－ 34 － 科學教育月刊 第 243 期 中華民國九十年十月
一、前言
九十年度大學數學系及應用數學系學生 數學學力測驗已於今年九月二十二日(星期六) 下 午 於 東 華 大 學 、 高 雄 師 範 大 學 、 成 功 大 學、彰化師範大學、中正大學、逢甲大學、 清華大學、中原大學、大同大學及臺灣師範 大學分部等十所大學同時舉行，此次考試科 目及命題範圍仍如去年，考微積分及線性代 數兩科。學生可報考兩科目或任選一科目報 考。每科測驗時間為 1 0 0 分鐘。微積分包 括：極限、單變數的微分、積分、級數、數 列、偏微分、多變數的重積分( 曲面積分除 外)。線性代數包括：向量空間與線性變換、 行列式與矩陣、線性方程組、特徵值與特徵 向量、方陣的對角化、二次型。二、微積分試題
第一部分：選擇題(每題恰有一個選項是 正確的，答對得 5 分，答錯不倒扣，共 5 0 分，請將答案劃記在答案卡上。) 1.設 f [0,10]→R 為一連續函數，則下列敘述 哪些恆正確? (甲)為有界函數 (乙)有絕對極大值及絕對極小值 (丙)為可微分函數 (丁)為可積分函數 (1)僅(甲)、(乙)、(丁) 正確 ; (2)僅(乙)、(丙)、(丁) 正確 ; (3)僅(甲)、(乙)、(丙) 正確 ; (4) 僅(甲)、(丙)、(丁) 正確 。九十年度大學數學學力測驗試題與解答
編輯室
2.設f(2)=1,f′(1)=0, f′(2)=2, f′′(1)=−1, 3 ) 2 ( f′′ = 則下列何者正確 ? (1)(f of)′(2)=2； (2)(f of)′(2)=4； (3)(f of)′′(2)=12； (4)(f of)′′(2)=−4。 3 . 設 a 1= 1 ， 且 對 每 一 個 正 整 數 n ， n n a a+1= 5 ，則下列哪一個敘述不正確? (1) a 為一遞增數列；n (2) a 有下界但無上界；n (3)limn→∞(an−an−1)=0； (4) n n→∞a lim 存在。 4.設 = 為無理數 若 為有理數 若 x x x x f , , 0 ) ( ， g(x)=[x]，其中 [x] 表示小於或等於 x 的最大整數，則下列 哪些敘述是正確的? (甲)lim( )( ) 0 f f x x→ o 存在 (乙)lim( )( ) 0 g g x x→ o 存在 (丙)lim( )( ) 0 f g x x→ o 存在 (丁)lim( )( ) 0 g f x x→ o 存在 (1)僅(甲)、(乙)正確 ; (2)僅(丙)、(丁)正確 ; (3)僅(甲)、(丙)正確 ; (4)僅(甲)、(丙)、(丁)正確 。 5.設 = ≠ = 0 , 0 0 , 1 sin ) ( 4 x x x x x f 若 若 ，則使得 f(n)(0) 存在的最大正整數 n 之值為何? (1) 5 (2) 4 (3) 3 (4) 2 6.設 f (x)=(2x+1)-1，則 f (10)(0)之值為何?－ 35 － 九十年度大學數學學力測驗試題與解答 (1)2-11 (2)211 (3)(10!)×210 (4)(11!)×211 7.下列哪一個級數收斂? (1)
∑
∞ =1 1 sin 2 k k k (2)∑
∞ = + − × × × − 1 2 2 2 )! 1 2 ( ) 1 2 ( 3 1 ) 1 ( k k k k L (3)∑
∞ =1 ln k k k (4)∑
∞ =2 ln 1 k k k 8.下列哪一個敘述正確? (1)若∑
∞ =1 k k a 為一正項級數且lim
=0 ∞ → k n a k ，則∑
∞ =1 k k a 為收斂級數； (2)若∑
∞ =1 k k b 為一收斂的正項級數，則 1 lim +1< ∞ → k k k b b ； (3)若∑
∞ =1 k k c 為一收斂級數，則∑
∞ =1 2 k k c 亦為收斂 級數； (4)若∑
∞ =1 k k d 為一絕對收斂級數，則∑
∞ =1 sin k k d 亦為絕對收斂級數。 9.設函數 f (x)=x3+ax2+bx+c 在 x=4 時有相對極 小值 0 ，且在 x=1 時有反曲點，則下列哪一 個正確? (1)a=-3,c=80； (2)a=-3,b=24；
(3)a=3,b=24； (4)b=24,c=80 。 10.下列四點都在橢球面 2x2+3y2+4z3=9 上，試 問過其中哪一點的切平面會與平面互相平 行? (1) (1,1,1) (2)(1,-1,1) (3)(1,-1,-1) (4)(-1,-1,1) 第二部分：填充題(甲至癸共十題，將答 案依作答說明劃記在答案卡上所標示的列號 11 至 27 處。每題完全答對得 5 分，答錯不倒 扣，未完全答對者不給分。如果答案是分數 時，必須以最簡分數表示。) 甲.lim +4( +14− +6) ∞ → x x x x 之值為 。 乙.若 ) 8 )( 7 )( 6 )( 5 ( ) 4 )( 3 )( 2 )( 1 ( 360 ) ( − − − − − − − − = x x x x x x x x x f ，則f (2)' 之值為 。 丙. x 2 cos 1 2 e e lim x x 0 x − − + − → 之值為 。 丁.瑕積分∫
∞ − 0 3 2 dx e x x 之值為 。 戊. 若 f 為一連續函數且對所有x≥0 ，恆有 ) 1 ( ) ( 4 4 0 4 x x dt t f x + =∫
，則 f (16)之值為 。 己 . 若 f ： [ 0 , 8 ] → R 為 一 連 續 函 數 且 21 ) ( 8 0 =∫
f x dx ， 則∫
02 2 3 ) (x dx f x 之 值 為 。 庚.正弦曲線 y=sin x 與餘弦曲線 y=cos x 在 π π 4 5 4 3 ≤ ≤ − x 之 間 所 圍 成 區 域 的 面 積 為 。 辛. 雙紐線r2=8cos2è 所圍成區域的面積為 。 壬.已知(1,1, 2 2)為可微分函數 z=f (x,y)圖 形 上 的 一 點 ， 若 此 圖 形 與 平 面 0 3 2 2 2 4 x+ y− z= 相切於點(1,1,2 2)， 則函數 z=f (x,y)沿著向量 ) 2 1 , 2 1 ( = uv 之 方向導數Duvf(1,1)為 。 癸.設Ω是由曲線 y=4x2,y=-5x2與直線 x=1 所圍 成的區域，若二重積分 exdxdy∫∫
Ω 3 之值可表 為 Ae+B ，則數對(A,B)為( , )。三、線性代數試題
第一部分：選擇題 (每題 5 分，共 60 分， 請將答案劃記在「答案卡」上。)－ 36 － 科學教育月刊 第 243 期 中華民國九十年十月 壹、單選題 (每題恰有一個選項是正確的， 答對得 5 分，答錯不倒扣。) 1.設 − − − = 1 3 1 8 4 0 6 2 8 4 1 5 2 6 3 0 3 1 4 2 1 1 0 2 1 A ，則 A 的秩(rank )為何？ (1) 2 (2) 3 (3) 4 (4) 5 2.設V ={(x,y,z,w)∈R4:3y+2z=0,8y+2z+w } 0 2 2 , 0 − + = = y z w ，則 V 的維數為何？ (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 3.設 A 為一個 7×6 階矩陣， { 6: 1 v v ∈ = X AX W R } 0 v = 且 { 7: 0} 2 v v v = ∈ = Y YA W R 。若 W1的維數 為 4 ，則 W2的維數為何？ (1) 3 (2) 4 (3) 5 (4) 6 4.設 = 4 3 2 1 A ，試問下列哪一個方陣與 A 相 似？ (1)34 12 (2)13 24 (3)42 31 (4)43 12 5.設 A 為二階實方陣且 det(A)=-1 ，試問下列 哪一個敘述不正確？ (1)det(-A)=-1 (2)det(A2)=1 (3)A 為可逆矩陣 (4)A 不可對角化 6.設 A 為非零的實方陣，試問下列哪一個敘 述不正確？ (1)若 A 為二階方陣且 det(A)=0 ，則 A 的兩 列向量線性相依； (2)若 A 為二階方陣且 A 的兩列向量線性相 依，則 det(A)=0； (3)若 A 為三階方陣且 det(A)=0 ，則 A 中有 兩列向量線性相依； (4)若 A 為三階方陣且 A 中有兩列向量線性 相依，則 det(A)=0 。 貳、多重選擇題 (每題至少有一個選項是正 確 的 。 每 個 選 項 各 自 獨 立 ， 答 對 得 4 5 分，答錯倒扣 4 5 分；每題最低分數為 0 分；完全不答者得 0 分。) 7 . 設 = + − = + − = − + 1 2 5 2 4 1 2 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x ax 為一線性方程組，試 問下列哪些敘述是正確的？ (1)若 a=0 ，則此方程組無解； (2)若 a=1 ，則此方程組有無窮多解； (3)若 a=3 ，則此方程組有唯一解； (4)不論 a 為何值，此方程組均有解。 8.設 Ti：R3→R3為函數， i=1,2,3,4 。對於任 意(x1,x2,x3)，(y1,y2,y3)∈R3， T 1(x1,x2,x3)=(x1 2, x22,x 3 2)， T 2(x1,x2,x3)=(2x1-x3,x3-3x1,x2-x3)， T3 (x1,x2,x3)=(x1+x2,x2+x3,x3+1)， T4(x1+y1,x2+y2, x3+y3)=T4(x1,x2,x3)+T4(y1,y2,y3)。試問哪些函 數是 R2上的線性變換？ (1)T1 (2)T2 (3)T3 (4)T4 9.設 V 為所有 n 階實方陣(n≥2)所構成的向量 空間，試問下列哪些集合是 V 的子空間？ (1)W1={A∈V:tr(A)=0}，其中 tr(A)表 A 的 跡(trace)； (2)W2={A∈V:det(A)=0}，其中 det(A)表 A 的行列式(determinant)； (3)W3={A∈V:A=−AT}，其中 A T表 A 的轉 置矩陣(transpose)； (4)W4={A∈V:AB=BA}，其中 B 為某一固 定 n 階方陣。
－ 37 － 九十年度大學數學學力測驗試題與解答 1 0 . 設 = 0 2 2 2 0 2 2 2 0 A 且v∈R3，試問下列哪些 敘述是正確的？ (1) A 有三個相異的固有值(eigenvalue)； (2) 若 Av=5v ，則 v 是零向量； (3) 若Av=4v，則 = 1 1 1 c v ，其中c為實數； (4) 若 Av=-2v ，則 − = 1 1 1 c v ，其中 c 為實 數。 11.設 A 為一個三階實方陣，且其固有值為 1, -1 與 0 ，試問下列哪些敘述是正確的？ (1)A 可對角化 (2)A 為可逆方陣 (3)A2=A (4)A3=A 。 12.設 A 為一個非零的三階對稱實方陣且 det(A)=0 。試問下列哪些敘述是正確的？ (1)A 的秩不等於 3； (2)若 A 的秩等於 1 ，則 A 恰有 2 個相異固 有值； (3)若 A 的秩等於 2 ，則 A 恰有 3 個相異固 有值； (4)0 必為 A 的固有值之一。 第二部分：填充題 (甲至辛題，將答案依 作答說明劃記在「答案卡」上所標示的列號13 至 3 5 處。每題完全答對得 5 分，答錯不倒 扣，未完全答對者不給分。) 甲.設 T 為 R3上的線性變換，{e 1,e2e3}為 R 3上 之標準有序基底(ordered basis)。 設 + = + = + = , , , 3 1 3 2 1 2 2 1 1 e e Te e e Te e e Te 且設 = + = + + = . , 2 , 3 2 1 3 2 1 2 3 2 1 1 e u e e u e e e u 若 + + = + + = + + = 3 3 2 2 1 1 3 3 3 2 2 1 1 2 3 3 2 2 1 1 1 u c u c u c Tu u b u b u b Tu u a u a u a Tu ， 則 。 乙.設 − = 1 2 0 1 A 且 = * * * 10 c A ，則 c= 。 丙.設 = 0 5 0 0 5 0 5 1 0 5 0 5 0 1 5 0 A ，且 A 有 a 個大於零的 固有值和 b 個小於零的固有值，則( a , b ) = ( , )。 丁.設 = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 A 且 f (x)＝ x4+x3+x2+x+1 。若 f (A)=aA2+bA+cI 3，其中 a,b,c 為實數， I3 為三階的單位矩陣，則 (a,b,c)=( , , )。 戊.設 V 為由(1,0,0,0),(1,2,1,1)及(0,1,-1,2)所生 成之 R4的子空間， W 為由(2,5,1,4)及(1,1, 2,-1)所生成之R4的子空間，且V+W 的維數 是 a ，V∩W 的維數是 b ，則 ( a , b ) = ( , )。 己.在 R4中，設 W 為由(0,0,1,1),(1,0,0,0)及(0, 1,1,1)所生成之子空間，向量(2,3,3,1)在 W 上之正射影向量(orthogonal projection)為 ，(a,b,c,d)則 (a,b,c,d)=( , , , )。 (下轉第 39 頁)
