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凸多邊形邊上或內部一點到各頂點距離平方和的極值

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Academic year: 2021

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(1)

國 立 竹 南 高 級 中 學

壹、前言

在 坐 標 平 面 上 給 定ABCP(x,y)為 三 邊ABBC 、 CA 上 或 其 內 部 一 點 , 我 們 想 要f x y( , )(PA +)2 (PB +)2 (PC 的 最 大 最 小 值。 我 們 考 慮由 三 角 形 開始 探 討 , 再延 伸 到 四)2 邊 形 、 五 邊 形 、 六 邊 形 到 凸n 邊 形 。 1 2 ... 1 2... (x x x yn, y yn) O n n      是 凸n 邊 形 頂點 A x y( , )1 1 、B x y( ,2 2)、C x y( , )3 3 …. 的 坐 標 平 均 點 , 我 們 想 限 定 凸 n 邊 形 來 探 討 , 此 時 多 邊 形 各 頂 點 的 坐 標 平 均 點 1 2 ... 1 2... (x x x yn, y yn) O n n      ,由 分 點 公 式 及 數 學 歸 納 法 可 知,坐 標 平 均 點 O,一 定 會 在 多 邊 形 的 內 部 。 距 離 平 方 和 函 數 f x y( , )是 一 個 多 項 式 的 函 數 , 凸 n 邊 形 的內 部 及 邊 界是 一 個 封 閉而 有 界 的 集 合 , 定 義 在 這 個 集 合 的 連 續 函 數 一 定 會 有 最 大 值 與 最 小 值 , 在 這 種 條 件 下 我 們 開 啟 探 討 的 旅 程。Geogebra 是 我們 模 擬 實 驗的 工 具,幾 何探 索 一 直都 缺 少 不 了這 個 優 良 的工 具 , 它 可 以 輕 易 的 結 合 代 數 運 算 與 幾 何 作 圖 , 讓 我 們 可 以 發 現 最 小 值 、 最 大 值 產 生 的 位 置 在 哪 裡 。 有 了 確 定 的 方 向 之 後 , 我 們 才 能 進 一 步 去 研 究 與 證 明 。 最 小 值 的 計 算 比 較 簡 單 , 用 配 方 法 或 偏 導 數 就 可 以 解 決 , 在 網 路 上 就 能 找 到 。 最 大 值 的 計 算 比 較 困 難 , 不 僅 需 要 用 到 代 數 方 法 來 化 簡 , 還 需 要 用 到 幾 何 圖 形 來 轉 化 , 尤 其 是 當 一 般 化 考 慮 到 凸n 邊 形的 情 形 , 就需 要 結 合 代數 計 算 與 幾何 證 明 的 方法 , 在 網 路上 我 們 尚 未 找 到 類 似 的 作 法 。

貳、本文

首 先 我 們 先 考 慮 正 三 角 形 的 特 例 , 如 圖(一), 令

是 邊 長 為 2 的 正

邊 界 及 內 部 所 成 的 集 合 ,P x y( , )  *為本 文 通 訊 作 者

(2)

( , ) f x y(PA)2+(PB +)2 (PC =)2 (x1)2y2  +(x1)2y2 x2(y 3)2 =3( 2 2 2 3 ) 5 3 xyy  =3 ( 0)2 ( 3)2 4 3 x y           圖(一 ) 則 f x y( , ) 4 且 等 號 成 立 0, 3 3 xy 即 P 點是 正 ABC 的 重 心 (0, 3) 3 G , 此 時 f x y( , )(PA +)2 (PB +)2 (PC =)2 3(PA =)2 2 2 3 3 3         =4 藉 由 Geogebra 的 實驗 觀 察 , P 在  上 的 任一 點 , P G ,都有 f x y( , )>4。 考 慮 是封閉而有界的集合, f x y( , )在 一定有最大值,顯然最大值 4 ,而且這個 最 大 值 發 生 的 點,一 定 不 是

的 內 點,於 是 f x y( , )的 最 大 值 必 然 發 生 在 三 邊 ABBC 、 CA 上,由x y, 的 特 殊 關 係 易 知: f x y( , )的 最 大 值 必 然 發 生 在 正ABC的 三 頂 點 此 時,最 大 的 ( , ) f x y =(AC)2+(BC)2 。 8 引 理 (一 ): ABC  中 , 設 AB AC BC  , P 為 三 邊 ABBC 、 CA 上 任 一 點 , 則 有 2 (PA +) (PB +)2 (PC)2

(AC +)2 (BC , 且 等 號 成 立 之 充 要 條 件 為 P 在 較 大 兩 邊 的 交)2 點 , 亦 即 是 在 頂 點 C。 解 說 : 如 圖(二)(三)(四)

(3)

圖(二 ) 圖 (三 ) 圖 (四) 如 圖(二) ABC 中 ,AB BC , 故PB BC , 2 (PA +) (PC +)2 (PB)2

(PA PC )2+(BC)2 (AC +)2 (BC )2 如 圖(三) ABC 中 ,AB AC , 故PA AC , 2 (PA +) (PB +)2 (PC)2

(AC +)2 (PB PC )2 (AC +)2 (BC )2 如 圖(四) ABC 中 ,AC BC , 故PC BC , 2 (PA +) (PB +)2 (PC)2

2 (PA PB ) +(BC =)2 (AB +)2 (BC)2 (AC +)2 ( )2 BC 於 是 得 到(PA +)2 (PC +)2 (PB)2 (AC +)2 (BC ,等 號 成 立 時, P 在 頂 點 C。 )2 我 們 想 要 用 解 析 幾 何 的 方 法,將 三 頂 點 坐 標 化,如 圖(五 ), ABC 的 三 頂 點 A x y( , )1 1 、 2 2 ( , ) B x yC x y( , )3 3 ,P(x,y)是 其內 部 或 邊 上一 點 , 圖(五 ) 令 二 元 二 次 函 數 f x y( , ) (PA +)2 (PB +)2 (PC =)2 3 2 1 ( i) i x x  

+ 3 2 1 ( i) i y y  

代 表 點 P(x,y)到 三 頂 點 的 距 離 平 方 和 , 則

(4)

( , ) f x y  3 2 2 1 ( 2 i i ) i x x x x   

+ 3 2 2 1 ( 2 i i ) i y y y y   

= 2 3 3 2 1 1 3 2 i i i i x x x x       

+ 3 3 2 2 1 1 3 2 i i i i y y y y       

= 2 2 3 3 3 3 2 1 1 2 1 1 3 2 3 3 3 3 i i i i i i i i x x x xxx           

+ 2 2 3 3 3 3 2 1 1 2 1 1 3 2 3 3 3 3 i i i i i i i i y y y yyy           

令 3 1 3 i i x x

3 1 3 i i y y

, 則 ( , ) f x y = 2

   

2 3 2

 

2 1 3 2 i 3 i x x x x x x      

+

   

 

3 2 2 2 2 1 3 2 i 3 i y y y y y y      

=

 

2 3 2

 

2 1 3 i 3 i x x x x   

 +

2 3 2

 

2 1 3 i 3 i y y y y   

 =3 x x

  

 2 y y

2  +

 

3 2 2 1 3 i i x x  

+ 3 2

 

2 1 3 i i y y  

 

3 2 2 1 3 i i x x  

= 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 ( 2 2 2 ) 3 xxxxxxx xx xx x = 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1(2 2 2 2 2 2 ) 3 xxxx xx xx x = 2 2 2 1 2 1 3 2 3 1 ( ) ( ) ( ) 3 xxxxxx  = 2 1 < 3 1 ( ) 3 i j i j x x        

 同 理

 

3 2 2 1 3 i i y y  

= 2 2 2 1 2 1 3 2 3 1 ( ) ( ) ( ) 3 yyyyyy  = 2 1 < 3 1 ( ) 3 i j i j y y        

 故 f x y( , )=3 x x

  

 2 y y

2  + 2 1 < 3 1 ( ) 3 i j i j x x        

+ 2 1 < 3 1 ( ) 3 i j i j y y        

 即 f x y( , )=3 x x

  

 2 y y

2  + 2 2 1 < 3 1 ( ) ( ) 3 i j i j i j x x y y             

 如 圖(六), 由 幾何 意 義 來 看, f x y( , )=3(PO +)2 1 ( )2 ( )2 ( )2 3 ABACBC 

(5)

圖(六 ) 如 圖(七),若 以坐 標 平 均 點 O 為 圓 心,OP為 半 徑 作 圓,圓 周 上 的 任 意 點 的 f x y( , )皆 與 P 點 的 f x y( , )相 同 , 1 ( )2 ( )2 ( )2 3 ABACBC  是 定 數 , 當 2 (PO 愈 大 ,) f x y( , )就 愈 大 , 因 此 ( , ) f x y 的 最 小 值 發 生 在 P=O 點,此時 坐 標 平 均 點 O,就 是三 角 形 的 重 心 G,而 最大 值 發 生 在 離 坐 標 平 均 點 O 最 遠 的頂 點 C,此 時 P=C,如 圖(八)。因 為最 短 邊 所 對 的 中 線 最 長 , OC 是最長中線的三分之二,故 OC OB OA  。 圖 (七 ) 圖 (八 ) 於 是 我 們 可 以 得 到 下 面 的 兩 個 定 理 : 定 理 一 、 給 定ABC,P 為 三 邊 ABBC 、 CA 上或其內部一點,則 P 點到三頂點的距離平方f x y( , ) (PA +)2 (PB +)2 (PC 的 最 小 值 發 生 在)2 ABC的 重 心 G , 且 最 小 值 為

(6)

2 (GA +) (GB +)2 (GC , 也等 於)2 1 ( )2 ( )2 ( )2 3 ABACBC  補 充 說 明(一 ): 設ma是ABCBC 邊上的中線, 由 中 線 定 理ma=(1/ 2) 2(AB)22(AC)2(BC)2 2 3 a GAm , 2 4( )2 9 a GAm 所 以 2 4( )2 9 a GAm =(1/ 9)[2(AB)22(AC)2(BC) ]2 ………(1) 同 理 2 4( )2 9 b GBm =(1/ 9)[2(AB)22(BC)2(AC) ]2 ………(2) 2 4 2 ( ) 9 c GCm =(1/ 9)[2(AC)22(BC)2(AB) ]2 ………(3) (1)+(2)+(3),(GA +)2 (GB +)2 (GC =)2 1 ( )2 ( )2 ( )2 3 ABACBC  定 理 二 、 如 圖(八), 給 定 ABC , 設 AB AC BC  ,P(x,y)為 三 邊 上或 內 部 任 一點 , 則 P 點 到 三 頂 點 的 距 離 平 方 和 f x y( , ) (PA +)2 (PB +)2 (PC 的 最 大 值 是)2 (AC +)2 (BC (較大 兩 邊)2 的 平 方 和), 亦 可表 為3(GC +)2 1 ( )2 ( )2 ( )2 3 ABACBC  ,G 是重心,且等號成立之充 要 條 件 為 P 在 較大 兩 邊 的 交點 , 亦 即 是 P 在 頂 點 C。 補 充 說 明(二 ): 由定 理 一 的 補充 說 明(一) 2 GC =(1/ 9)[2(AC)22(BC)2(AB) ]2 ………(3) 2 3(GC +) 1 ( )2 ( )2 ( )2 3 ABACBC  = 2 2 2 1 [2( ) 2( ) ( ) ] 3 ACBCAB + 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 3 ABACBC  =(AC +)2 (BC 即為 ABC)2 最 大 兩 邊 之 和 。 我 們 想 要 將 這 個 結 果 推 廣 到 凸n 邊 形 : 如 圖(九),凸 四邊 形 ABCD 的 四 頂點A x y( , )1 1B x y( ,2 2)、C x y( , )3 3D x y( , )4 4P(x,y)是 其 內 部 或 邊 上 一 點 , 令 二 元 二 次 函 數 f x y( , ) (PA +)2 (PB +)2 (PC +)2 (PD =)2 4 2 1 ( i) i x x  

+ 4 2 1 ( i) i y y  

代 表 P 點 到 四 頂 點 的 距 離 平 方 和 , 則

(7)

圖(九 ) ( , ) f x y  4 2 2 1 ( 2 i i ) i x x x x   

+ 4 2 2 1 ( 2 i i ) i y y y y   

= 2 4 4 2 1 1 4 2 i i i i x x x x       

+ 4 4 2 2 1 1 4 2 i i i i y y y y       

, 經 由 配 方 法 得 到 = 2 2 4 4 4 4 2 1 1 2 1 1 4 2 4 4 4 4 i i i i i i i i x x x xxx                     

+ 2 2 4 4 4 4 2 1 1 2 1 1 4 2 4 4 4 4 i i i i i i i i y y y yyy                     

令 4 1

4

i i

x

x

4 1

4

i i

y

y

, 則 ( , ) f x y = 2

   

2 4 2

 

2 1 4 2 i 4 i x x x x x x      

+

   

 

4 2 2 2 2 1 4 2 i 4 i y y y y y y      

=

 

2 4 2

 

2 1 4 i 4 i x x x x   

 +

2 4 2

 

2 1 4 i 4 i y y y y   

 =4 x x

  

 2 y y

2  +

 

4 2 2 1 4 i i x x  

+ 4 2

 

2 1 4 i i y y  

 

4 2 2 1 4 i i x x  

= 2 2 2 2 1 2 3 4 xxxx 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 ( 2 2 2 2 2 2 ) 4 x x x x x x x x x x x x x x x x           = 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 (3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ) 4 xxxxx xx xx xx xx xx x = 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 xxxxxxxxxxxx  = 2 1 < 4 1 ( ) 4 i j i j x x        

(8)

同 理

 

4 2 2 1 4 i i y y  

= 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 yyyyyyyyyyyy  = 2 1 < 4 1 ( ) 4 i j i j y y        

 故 f x y( , )=4 x x

  

 2 y y

2  + 1 < 4 2 1 ( ) 4 i j i j x x        

+ 2 1 < 4 1 ( ) 4 i j i j y y        

 即 f x y( , )=4 x x

  

 2 y y

2  + 2 2 1 < 4 1 ( ) ( ) 4 i j i j i j x x y y             

 由 幾 何 意 義 來 看 , 如 圖(十), ( , ) f x y =4(PO +)2 1 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 4 ABBCCDDAACBD  若 以 坐 標 平 均 點 O 為 圓 心,OP為 半 徑 作 圓,圓 周 上 任 意 點 的 f x y( , )皆 與 點 P 的 f x y( , )相 同 。1 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 4 ABBCCDDAACBD  是 定 數 , 2 (PO 愈 大 ,) f x y( , )就 愈 大 , 則 f x y( , )的 最 小 值 發 生 在 P=O 點 ,此 時 O 不 一定 是 四 邊 形的 重 心(若 為正 多 邊 形 O 一 定 是 重 心), 而 最 大值 發 生 在 P 離 O 最 遠 的頂 點 C, 如圖(十 一 )所 示。 圖 (十 ) 圖(十 一 ) 例 題 1: 如 圖(十二), P 是 凸四 邊 形 ABCD 內 部 或 邊上 一 點 , 試求 ( , ) f x y(PA +)2 (PB +)2 (PC +)2 (PD 的最 大 值 與最 小 值? )2 經 由 上 面 的 計 算,離 座 標 平 均 點 O 最 遠的 頂 點 是 C,以 O 為 圓心, OC 為 半 徑的 圓 , 涵 蓋 了 點 A、B、D。 此 時

(9)

圖(十 二 ) ( , ) f x y 的 最 大 值=4(CO +)2 1 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 4 ABBCCDDAACBD  =80 1(17 34 37 26 65 45) 136 4        ( , ) f x y 的 最 小 值=1 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 4 ABBCCDDAACBD  =1(17 34 37 26 65 45) 56 4       與Geogebra 實驗 的 結 果相 符 合 。 當 它 是 凸 五 邊 形 時 f x y( , )=5 x x

  

 2 y y

2  + 1 < 5 2 2 1 ( ) ( ) 5 i j i j i j x x y y             

 =5(PO +)2 1 5(五 個邊 長 及 五條 對 角 線 的平 方 和) 此 時 坐 標 平 均 點 O 也 不 一 定是 五 邊 形 的重 心 。 當 它 是 凸 六 邊 形 時 ( , ) f x y =6 x x

  

 2 y y

2  + 2 2 1 < 6 1 ( ) ( ) 6 i j i j i j x x y y             

(10)

=6(PO +)2 1 6(六 個邊 長 及 九條 對 角 線 的平 方 和) ( , ) f x y 的 最 小 值 都 發 生 在 P=O 點 ,最 大 值 都 發生 在 P 離 O 最 遠 的 頂 點。 此 時 坐 標 平 均 點 O 不 一 定 是六 邊 形 的 重心 。 於 是 我們 可 以 得 到: 定 理 三 、 一 個 凸 n 邊 形 A A A1 2 3...AnP(x,y)是 內 部 或 邊 上 一 點 , P 到 各 頂 點 的 距 離 平 方 和 ( , ) f x y  2 1 ( ) n i i PA

, 它 的 坐 標 平 均 點 O, 一 定在 凸 n 邊 形的 內 部 。 且 ( , ) f x y =n x x

  

 2 y y

2  + 1 < 2 2 1 ( i j) ( i j) i j n x x y y n            

 =n PO +( )2 1 n(n 個 邊 長 及( 2 n Cn)條對 角 線 的平 方 和)。 則 ( , ) f x y 的 最 小 值 都 發 生 在 P=O 點 ,產 生 最 大 值 的 P 都 發 生在 離 O 最 遠的 頂 點 。 上 面 的 定 理 在n4時,n 個 邊 長 及( 2 n Cn)條對 角 線的 平 方 和,並 不 容 易 計算,若 直 接用: 離 O 最 遠 的 頂 點與 其 他 各 頂點 的 距 離 平方 和 , 反 而簡 單 。 例 如P.9 的 例 題 1 ( , ) f x y 的 最 大 值=CA2CB2CD2 65 34 37 136   , 計 算 更 快 。

參、結語

由ABC邊 上 或 內 部 一 點 P,計 算 f x y( , ) (PA +)2 (PB +)2 (PC 的極 值,衍 生 出 一 個有)2 趣 的 代 數 運 算 與 幾 何 作 圖 的 轉 換 : ( , ) f x y = 3 2 2 1 ( 2 i i ) i x x x x   

+ 3 2 2 1 ( 2 i i ) i y y y y   

=3(PO +)2 1 ( )2 ( )2 ( )2 3 ABACBC  這 是 一 個 很 有 意 義 的 學 習 經 驗 , 可 以 延 伸 到 凸n 邊形 的 結 論 ,則 是 一 時 的靈 感 , 數 學常 常 都 是 在 不 同 的 思 考 方 向 中 , 卻 能 找 到 相 同 的 研 究 結 果 。 附 帶 一 提:以 上 所 用 到 的 坐 標 平 均 點 O 只 有 在 三 角形 時 它 代 表重 心,在 四邊 形 五 邊 形 它 就 不 一 定 是 重 心,可 以 確 定 的 是 正 四 邊 形、正 五 邊 形 等 正 多 邊 形,坐 標 平 均 點 O 仍 是 重 心 。 古 時 候 聰 明 的 木 匠 , 測 量 等 厚 度 的 不 規 則 形 狀 的 木 板 的 重 心 , 是 將 它 以 邊 緣 一 點 用 繩 索 懸 吊 , 沿 垂 直 地 面 畫 鉛 垂 線 , 再 將 邊 緣 上 另 一 點 用 繩 索 懸 吊 , 再 沿 垂 直 地 面 再 畫 鉛 垂 線 , 兩 條 鉛 垂 線 的 交 點 即 接 近 重 心 。

(11)

上 圖 四 邊 形 ABCD 的 重 心 G,是 由 ABC 的 重 心 O1 與 ACD 的 重 心 O2,按 照 兩 三 角 形 的 面 積(代 表重 量)以 槓 桿原 理 計 算 得到 , 換 言 之如 果 有 一 根針 尖 頂 住 重心 G 它 是 可 以 平 衡 的 ,G 就 是 重心 , 但平 均 坐 標 點 O 卻 與 G 有 一 點點 的 差距 。

參考文獻

李 政 豐、傅 淑 婷、陳 昭 地(2014)。三 角形 三 個 極 小值 問 題 的 探討,科 學 教育 月 刊 第 366 期 P.11,台 北 市: 國 立 臺 灣師 範 大 學 科學 教 育 中 心。 李 政 豐、朱 啟 台、陳 昭 地(2014)。三 角形 三 個 最 大值 問 題 的 迴響,科 學 教育 月 刊 第 367 期 P.24, 台 北 市: 國 立 臺 灣師 範 大 學 科學 教 育 中 心。 朱 書 邱。三 角 形 中 有 關 距 離 的 極 值 問 題,湖 南 武 漢 師 範 學 校。http://wenku.baidu.com/view/ 6f716c1ba8114431b90dd87a.html

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