國 立 竹 南 高 級 中 學
壹、前言
在 坐 標 平 面 上 給 定ABC,P(x,y)為 三 邊AB、 BC 、 CA 上 或 其 內 部 一 點 , 我 們 想 要 求 f x y( , )(PA +)2 (PB +)2 (PC 的 最 大 最 小 值。 我 們 考 慮由 三 角 形 開始 探 討 , 再延 伸 到 四)2 邊 形 、 五 邊 形 、 六 邊 形 到 凸n 邊 形 。 1 2 ... 1 2... (x x x yn, y yn) O n n 是 凸n 邊 形 頂點 A x y( , )1 1 、B x y( ,2 2)、C x y( , )3 3 …. 的 坐 標 平 均 點 , 我 們 想 限 定 凸 n 邊 形 來 探 討 , 此 時 多 邊 形 各 頂 點 的 坐 標 平 均 點 1 2 ... 1 2... (x x x yn, y yn) O n n ,由 分 點 公 式 及 數 學 歸 納 法 可 知,坐 標 平 均 點 O,一 定 會 在 多 邊 形 的 內 部 。 距 離 平 方 和 函 數 f x y( , )是 一 個 多 項 式 的 函 數 , 凸 n 邊 形 的內 部 及 邊 界是 一 個 封 閉而 有 界 的 集 合 , 定 義 在 這 個 集 合 的 連 續 函 數 一 定 會 有 最 大 值 與 最 小 值 , 在 這 種 條 件 下 我 們 開 啟 探 討 的 旅 程。Geogebra 是 我們 模 擬 實 驗的 工 具,幾 何探 索 一 直都 缺 少 不 了這 個 優 良 的工 具 , 它 可 以 輕 易 的 結 合 代 數 運 算 與 幾 何 作 圖 , 讓 我 們 可 以 發 現 最 小 值 、 最 大 值 產 生 的 位 置 在 哪 裡 。 有 了 確 定 的 方 向 之 後 , 我 們 才 能 進 一 步 去 研 究 與 證 明 。 最 小 值 的 計 算 比 較 簡 單 , 用 配 方 法 或 偏 導 數 就 可 以 解 決 , 在 網 路 上 就 能 找 到 。 最 大 值 的 計 算 比 較 困 難 , 不 僅 需 要 用 到 代 數 方 法 來 化 簡 , 還 需 要 用 到 幾 何 圖 形 來 轉 化 , 尤 其 是 當 一 般 化 考 慮 到 凸n 邊 形的 情 形 , 就需 要 結 合 代數 計 算 與 幾何 證 明 的 方法 , 在 網 路上 我 們 尚 未 找 到 類 似 的 作 法 。貳、本文
首 先 我 們 先 考 慮 正 三 角 形 的 特 例 , 如 圖(一), 令
是 邊 長 為 2 的 正
邊 界 及 內 部 所 成 的 集 合 ,P x y( , ) *為本 文 通 訊 作 者( , ) f x y (PA)2+(PB +)2 (PC =)2 (x1)2y2 +(x1)2y2 x2(y 3)2 =3( 2 2 2 3 ) 5 3 x y y =3 ( 0)2 ( 3)2 4 3 x y 圖(一 ) 則 f x y( , ) 4 且 等 號 成 立 0, 3 3 x y 即 P 點是 正 ABC 的 重 心 (0, 3) 3 G , 此 時 f x y( , )(PA +)2 (PB +)2 (PC =)2 3(PA =)2 2 2 3 3 3 =4 藉 由 Geogebra 的 實驗 觀 察 , P 在 上 的 任一 點 , P G ,都有 f x y( , )>4。 考 慮 是封閉而有界的集合, f x y( , )在 一定有最大值,顯然最大值 4 ,而且這個 最 大 值 發 生 的 點,一 定 不 是
的 內 點,於 是 f x y( , )的 最 大 值 必 然 發 生 在 三 邊 AB、BC 、 CA 上,由x y, 的 特 殊 關 係 易 知: f x y( , )的 最 大 值 必 然 發 生 在 正ABC的 三 頂 點 此 時,最 大 的 ( , ) f x y =(AC)2+(BC)2 。 8 引 理 (一 ): ABC 中 , 設 AB AC BC , P 為 三 邊 AB 、 BC 、 CA 上 任 一 點 , 則 有 2 (PA +) (PB +)2 (PC)2
(AC +)2 (BC , 且 等 號 成 立 之 充 要 條 件 為 P 在 較 大 兩 邊 的 交)2 點 , 亦 即 是 在 頂 點 C。 解 說 : 如 圖(二)(三)(四)圖(二 ) 圖 (三 ) 圖 (四) 如 圖(二) ABC 中 ,AB BC , 故PB BC , 2 (PA +) (PC +)2 (PB)2
(PA PC )2+(BC)2 (AC +)2 (BC )2 如 圖(三) ABC 中 ,AB AC , 故PA AC , 2 (PA +) (PB +)2 (PC)2
(AC +)2 (PB PC )2 (AC +)2 (BC )2 如 圖(四) ABC 中 ,AC BC , 故PC BC , 2 (PA +) (PB +)2 (PC)2
2 (PA PB ) +(BC =)2 (AB +)2 (BC)2 (AC +)2 ( )2 BC 於 是 得 到(PA +)2 (PC +)2 (PB)2 (AC +)2 (BC ,等 號 成 立 時, P 在 頂 點 C。 )2 我 們 想 要 用 解 析 幾 何 的 方 法,將 三 頂 點 坐 標 化,如 圖(五 ), ABC 的 三 頂 點 A x y( , )1 1 、 2 2 ( , ) B x y 、C x y( , )3 3 ,P(x,y)是 其內 部 或 邊 上一 點 , 圖(五 ) 令 二 元 二 次 函 數 f x y( , ) (PA +)2 (PB +)2 (PC =)2 3 2 1 ( i) i x x
+ 3 2 1 ( i) i y y
代 表 點 P(x,y)到 三 頂 點 的 距 離 平 方 和 , 則( , ) f x y 3 2 2 1 ( 2 i i ) i x x x x
+ 3 2 2 1 ( 2 i i ) i y y y y
= 2 3 3 2 1 1 3 2 i i i i x x x x
+ 3 3 2 2 1 1 3 2 i i i i y y y y
= 2 2 3 3 3 3 2 1 1 2 1 1 3 2 3 3 3 3 i i i i i i i i x x x x x x
+ 2 2 3 3 3 3 2 1 1 2 1 1 3 2 3 3 3 3 i i i i i i i i y y y y y y
令 3 1 3 i i x x
, 3 1 3 i i y y
, 則 ( , ) f x y = 2
2 3 2
2 1 3 2 i 3 i x x x x x x
+
3 2 2 2 2 1 3 2 i 3 i y y y y y y
=
2 3 2
2 1 3 i 3 i x x x x
+
2 3 2
2 1 3 i 3 i y y y y
=3 x x
2 y y
2 +
3 2 2 1 3 i i x x
+ 3 2
2 1 3 i i y y
3 2 2 1 3 i i x x
= 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 ( 2 2 2 ) 3 x x x x x x x x x x x x = 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1(2 2 2 2 2 2 ) 3 x x x x x x x x x = 2 2 2 1 2 1 3 2 3 1 ( ) ( ) ( ) 3 x x x x x x = 2 1 < 3 1 ( ) 3 i j i j x x
同 理
3 2 2 1 3 i i y y
= 2 2 2 1 2 1 3 2 3 1 ( ) ( ) ( ) 3 y y y y y y = 2 1 < 3 1 ( ) 3 i j i j y y
故 f x y( , )=3 x x
2 y y
2 + 2 1 < 3 1 ( ) 3 i j i j x x
+ 2 1 < 3 1 ( ) 3 i j i j y y
即 f x y( , )=3 x x
2 y y
2 + 2 2 1 < 3 1 ( ) ( ) 3 i j i j i j x x y y
如 圖(六), 由 幾何 意 義 來 看, f x y( , )=3(PO +)2 1 ( )2 ( )2 ( )2 3 AB AC BC 圖(六 ) 如 圖(七),若 以坐 標 平 均 點 O 為 圓 心,OP為 半 徑 作 圓,圓 周 上 的 任 意 點 的 f x y( , )皆 與 P 點 的 f x y( , )相 同 , 1 ( )2 ( )2 ( )2 3 AB AC BC 是 定 數 , 當 2 (PO 愈 大 ,) f x y( , )就 愈 大 , 因 此 ( , ) f x y 的 最 小 值 發 生 在 P=O 點,此時 坐 標 平 均 點 O,就 是三 角 形 的 重 心 G,而 最大 值 發 生 在 離 坐 標 平 均 點 O 最 遠 的頂 點 C,此 時 P=C,如 圖(八)。因 為最 短 邊 所 對 的 中 線 最 長 , OC 是最長中線的三分之二,故 OC OB OA 。 圖 (七 ) 圖 (八 ) 於 是 我 們 可 以 得 到 下 面 的 兩 個 定 理 : 定 理 一 、 給 定ABC,P 為 三 邊 AB、BC 、 CA 上或其內部一點,則 P 點到三頂點的距離平方 和 f x y( , ) (PA +)2 (PB +)2 (PC 的 最 小 值 發 生 在)2 ABC的 重 心 G , 且 最 小 值 為
2 (GA +) (GB +)2 (GC , 也等 於)2 1 ( )2 ( )2 ( )2 3 AB AC BC 補 充 說 明(一 ): 設ma是ABC中BC 邊上的中線, 由 中 線 定 理ma=(1/ 2) 2(AB)22(AC)2(BC)2 , 2 3 a GA m , 2 4( )2 9 a GA m 所 以 2 4( )2 9 a GA m =(1/ 9)[2(AB)22(AC)2(BC) ]2 ………(1) 同 理 2 4( )2 9 b GB m =(1/ 9)[2(AB)22(BC)2(AC) ]2 ………(2) 2 4 2 ( ) 9 c GC m =(1/ 9)[2(AC)22(BC)2(AB) ]2 ………(3) (1)+(2)+(3),(GA +)2 (GB +)2 (GC =)2 1 ( )2 ( )2 ( )2 3 AB AC BC 定 理 二 、 如 圖(八), 給 定 ABC , 設 AB AC BC ,P(x,y)為 三 邊 上或 內 部 任 一點 , 則 P 點 到 三 頂 點 的 距 離 平 方 和 f x y( , ) (PA +)2 (PB +)2 (PC 的 最 大 值 是)2 (AC +)2 (BC (較大 兩 邊)2 的 平 方 和), 亦 可表 為3(GC +)2 1 ( )2 ( )2 ( )2 3 AB AC BC ,G 是重心,且等號成立之充 要 條 件 為 P 在 較大 兩 邊 的 交點 , 亦 即 是 P 在 頂 點 C。 補 充 說 明(二 ): 由定 理 一 的 補充 說 明(一) 2 GC =(1/ 9)[2(AC)22(BC)2(AB) ]2 ………(3) 2 3(GC +) 1 ( )2 ( )2 ( )2 3 AB AC BC = 2 2 2 1 [2( ) 2( ) ( ) ] 3 AC BC AB + 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 3 AB AC BC =(AC +)2 (BC 即為 ABC)2 最 大 兩 邊 之 和 。 我 們 想 要 將 這 個 結 果 推 廣 到 凸n 邊 形 : 如 圖(九),凸 四邊 形 ABCD 的 四 頂點A x y( , )1 1 、B x y( ,2 2)、C x y( , )3 3 、D x y( , )4 4 ,P(x,y)是 其 內 部 或 邊 上 一 點 , 令 二 元 二 次 函 數 f x y( , ) (PA +)2 (PB +)2 (PC +)2 (PD =)2 4 2 1 ( i) i x x
+ 4 2 1 ( i) i y y
代 表 P 點 到 四 頂 點 的 距 離 平 方 和 , 則圖(九 ) ( , ) f x y 4 2 2 1 ( 2 i i ) i x x x x
+ 4 2 2 1 ( 2 i i ) i y y y y
= 2 4 4 2 1 1 4 2 i i i i x x x x
+ 4 4 2 2 1 1 4 2 i i i i y y y y
, 經 由 配 方 法 得 到 = 2 2 4 4 4 4 2 1 1 2 1 1 4 2 4 4 4 4 i i i i i i i i x x x x x x
+ 2 2 4 4 4 4 2 1 1 2 1 1 4 2 4 4 4 4 i i i i i i i i y y y y y y
令 4 14
i ix
x
, 4 14
i iy
y
, 則 ( , ) f x y = 2
2 4 2
2 1 4 2 i 4 i x x x x x x
+
4 2 2 2 2 1 4 2 i 4 i y y y y y y
=
2 4 2
2 1 4 i 4 i x x x x
+
2 4 2
2 1 4 i 4 i y y y y
=4 x x
2 y y
2 +
4 2 2 1 4 i i x x
+ 4 2
2 1 4 i i y y
4 2 2 1 4 i i x x
= 2 2 2 2 1 2 3 4 x x x x 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 ( 2 2 2 2 2 2 ) 4 x x x x x x x x x x x x x x x x = 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 (3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ) 4 x x x x x x x x x x x x x x x x = 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 x x x x x x x x x x x x = 2 1 < 4 1 ( ) 4 i j i j x x
同 理
4 2 2 1 4 i i y y
= 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 y y y y y y y y y y y y = 2 1 < 4 1 ( ) 4 i j i j y y
故 f x y( , )=4 x x
2 y y
2 + 1 < 4 2 1 ( ) 4 i j i j x x
+ 2 1 < 4 1 ( ) 4 i j i j y y
即 f x y( , )=4 x x
2 y y
2 + 2 2 1 < 4 1 ( ) ( ) 4 i j i j i j x x y y
由 幾 何 意 義 來 看 , 如 圖(十), ( , ) f x y =4(PO +)2 1 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 4 AB BC CD DA AC BD 若 以 坐 標 平 均 點 O 為 圓 心,OP為 半 徑 作 圓,圓 周 上 任 意 點 的 f x y( , )皆 與 點 P 的 f x y( , )相 同 。1 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 4 AB BC CD DA AC BD 是 定 數 , 2 (PO 愈 大 ,) f x y( , )就 愈 大 , 則 f x y( , )的 最 小 值 發 生 在 P=O 點 ,此 時 O 不 一定 是 四 邊 形的 重 心(若 為正 多 邊 形 O 一 定 是 重 心), 而 最 大值 發 生 在 P 離 O 最 遠 的頂 點 C, 如圖(十 一 )所 示。 圖 (十 ) 圖(十 一 ) 例 題 1: 如 圖(十二), P 是 凸四 邊 形 ABCD 內 部 或 邊上 一 點 , 試求 ( , ) f x y (PA +)2 (PB +)2 (PC +)2 (PD 的最 大 值 與最 小 值? )2 經 由 上 面 的 計 算,離 座 標 平 均 點 O 最 遠的 頂 點 是 C,以 O 為 圓心, OC 為 半 徑的 圓 , 涵 蓋 了 點 A、B、D。 此 時圖(十 二 ) ( , ) f x y 的 最 大 值=4(CO +)2 1 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 4 AB BC CD DA AC BD =80 1(17 34 37 26 65 45) 136 4 ( , ) f x y 的 最 小 值=1 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 4 AB BC CD DA AC BD =1(17 34 37 26 65 45) 56 4 與Geogebra 實驗 的 結 果相 符 合 。 當 它 是 凸 五 邊 形 時 f x y( , )=5 x x
2 y y
2 + 1 < 5 2 2 1 ( ) ( ) 5 i j i j i j x x y y
=5(PO +)2 1 5(五 個邊 長 及 五條 對 角 線 的平 方 和) 此 時 坐 標 平 均 點 O 也 不 一 定是 五 邊 形 的重 心 。 當 它 是 凸 六 邊 形 時 ( , ) f x y =6 x x
2 y y
2 + 2 2 1 < 6 1 ( ) ( ) 6 i j i j i j x x y y
=6(PO +)2 1 6(六 個邊 長 及 九條 對 角 線 的平 方 和) ( , ) f x y 的 最 小 值 都 發 生 在 P=O 點 ,最 大 值 都 發生 在 P 離 O 最 遠 的 頂 點。 此 時 坐 標 平 均 點 O 不 一 定 是六 邊 形 的 重心 。 於 是 我們 可 以 得 到: 定 理 三 、 一 個 凸 n 邊 形 A A A1 2 3...An,P(x,y)是 內 部 或 邊 上 一 點 , P 到 各 頂 點 的 距 離 平 方 和 ( , ) f x y 2 1 ( ) n i i PA
, 它 的 坐 標 平 均 點 O, 一 定在 凸 n 邊 形的 內 部 。 且 ( , ) f x y =n x x
2 y y
2 + 1 < 2 2 1 ( i j) ( i j) i j n x x y y n
=n PO +( )2 1 n(n 個 邊 長 及( 2 n C n)條對 角 線 的平 方 和)。 則 ( , ) f x y 的 最 小 值 都 發 生 在 P=O 點 ,產 生 最 大 值 的 P 都 發 生在 離 O 最 遠的 頂 點 。 上 面 的 定 理 在n4時,n 個 邊 長 及( 2 n C n)條對 角 線的 平 方 和,並 不 容 易 計算,若 直 接用: 離 O 最 遠 的 頂 點與 其 他 各 頂點 的 距 離 平方 和 , 反 而簡 單 。 例 如P.9 的 例 題 1 ( , ) f x y 的 最 大 值=CA2CB2CD2 65 34 37 136 , 計 算 更 快 。參、結語
由ABC邊 上 或 內 部 一 點 P,計 算 f x y( , ) (PA +)2 (PB +)2 (PC 的極 值,衍 生 出 一 個有)2 趣 的 代 數 運 算 與 幾 何 作 圖 的 轉 換 : ( , ) f x y = 3 2 2 1 ( 2 i i ) i x x x x
+ 3 2 2 1 ( 2 i i ) i y y y y
=3(PO +)2 1 ( )2 ( )2 ( )2 3 AB AC BC 這 是 一 個 很 有 意 義 的 學 習 經 驗 , 可 以 延 伸 到 凸n 邊形 的 結 論 ,則 是 一 時 的靈 感 , 數 學常 常 都 是 在 不 同 的 思 考 方 向 中 , 卻 能 找 到 相 同 的 研 究 結 果 。 附 帶 一 提:以 上 所 用 到 的 坐 標 平 均 點 O 只 有 在 三 角形 時 它 代 表重 心,在 四邊 形 五 邊 形 它 就 不 一 定 是 重 心,可 以 確 定 的 是 正 四 邊 形、正 五 邊 形 等 正 多 邊 形,坐 標 平 均 點 O 仍 是 重 心 。 古 時 候 聰 明 的 木 匠 , 測 量 等 厚 度 的 不 規 則 形 狀 的 木 板 的 重 心 , 是 將 它 以 邊 緣 一 點 用 繩 索 懸 吊 , 沿 垂 直 地 面 畫 鉛 垂 線 , 再 將 邊 緣 上 另 一 點 用 繩 索 懸 吊 , 再 沿 垂 直 地 面 再 畫 鉛 垂 線 , 兩 條 鉛 垂 線 的 交 點 即 接 近 重 心 。上 圖 四 邊 形 ABCD 的 重 心 G,是 由 ABC 的 重 心 O1 與 ACD 的 重 心 O2,按 照 兩 三 角 形 的 面 積(代 表重 量)以 槓 桿原 理 計 算 得到 , 換 言 之如 果 有 一 根針 尖 頂 住 重心 G 它 是 可 以 平 衡 的 ,G 就 是 重心 , 但平 均 坐 標 點 O 卻 與 G 有 一 點點 的 差距 。