4B02 空間坐標系

▲ 圖 1 在上一單元，我們利用經度與緯度來描 述地球上每一點的位置。本單元我們要建立 空間坐標系，將空間中的點賦予坐標，來描 述該點的位置。再介紹如何把地球置於坐標 空間中，並將經度、緯度表示轉換為空間坐 標表示。最後，介紹球面上兩點的球面距 離。

甲 空間坐標系

如圖 1，在空間中任取一點 O 作為原點，過原點 O 作兩兩互相垂直的三條直 線，並在這三條直線上取適當長度為單位長，接著任選其中二條直線，分別稱為 x 軸與 y 軸，並指定其正負方向；剩下的一條直線稱為 z 軸。最後採用「右手系」 規定 z 軸的正負方向，說明如下：將右手拇指以外的四指併攏，指向 x 軸正向， 然後往 y 軸正向握拳，此時拇指所指的方向就是 z 軸的正向。

我們將 x 軸、y 軸與 z 軸統稱為坐標軸，原點 O、x 軸、y 軸與 z 軸組成了空

間坐標系。

空間坐標系的任兩個坐標軸都可以決定一個平面，

其中由 x 軸與 y 軸所決定的平面稱為 xy 平面；由 y 軸與

▲ 圖 2 ▲ 圖 3 平面稱為 zx 平面，如圖 2 所示。 我們將 xy 平面、yz 平面與 zx 平面統稱為坐標平面；三坐標平面把空間分成 八個部分，每一個部分稱為一個卦限；由三個坐標軸的正向所決定的卦限，稱為 第一卦限，其餘 7 個卦限沒有特別編號。 根據之前學過的二面角定義，可以得知：xy 平面、yz 平面與 zx 平面兩兩互 相垂直。 （一）點的坐標 建立空間坐標系之後，該如何賦予這空間中一點 P 的 坐標呢？由 P 點和三條坐標軸架構出長方體

OAQB

CRPS

，並假設

A B C

, ,

三點分別在 x 軸、y 軸、z 軸的坐標 為

a b c

, ,

，如圖 3 所示。再由長方體的性質得知，x 軸與平 面 AQPR 垂直，所以 x 軸與直線 PA 垂直，也就是說，P 點在 x 軸的投影點為 A。同理可得，P 點在 y 軸的投影點 為 B，在 z 軸的投影點為 C。此時定義 P 點的坐標為



a b c

, ,



，並記作

P a b c



, ,



， 其中

a b c

, ,

分別稱為 P 點的 x 坐標、y 坐標、z 坐標。延續上述各點的假設，底下 我們分別來探討 P 點在三個坐標平面上的投影點（之坐標）及其在三個坐標軸上 的投影點（即

A B C

, ,

）之坐標。 由長方體的性質得知，P 點在 xy 平面的垂足為 Q 點，且 Q 點在 x 軸、y 軸的 垂足分別為 A 點、B 點；又因為 z 軸垂直 xy 平面於原點 O，所以直線 OQ 垂直 z 軸，即 Q 點在 z 軸的垂足為 O，因此 Q 點的坐標為



a b

, , 0



。 同理可知，P 點在 zx 平面的垂足為 R 點，且 R 點在 x 軸、y 軸、z 軸的垂足 分別為 A 點、原點 O、C 點，因此 R 點的坐標為



a

, 0,

c



；P 點在 yz 平面的垂足 為 S 點，且 S 點在 x 軸、y 軸、z 軸的垂足分別為原點 O、B 點、C 點，因此 S 點 的坐標為



0, ,

b c



。

另一方面，因為 A 點在 x 軸的垂足是 A 本身，且在 y 軸、z 軸的垂足都是原 點 O，所以其坐標為



a

, 0, 0



。同理可知，B 點的坐標為



0, , 0

b



，C 點的坐標為



0, 0, c



。 根據上述，我們將點

P a b c



, ,



分別在三個坐標軸及三個坐標平面上的投影點 之坐標整理如下。 坐標軸 x 軸 y 軸 z 軸 P 點的投影點坐標



a

, 0, 0





0, , 0

b





0, 0, c



坐標平面 xy 平面 yz 平面 zx 平面 P 點的投影點坐標



a b

, , 0





0, ,

b c





a

, 0,

c



利用上表，作一個練習。 【例题 1】 右圖是空間中的一個長方體，頂點 O 為原點，且

, ,

A B C

分別在 x 軸、y 軸、z 軸上。已知頂點 P 的坐 標為



2, 3, 4



，求頂點

A B C Q S R

, , , , ,

的坐標。 Ans： 【詳解】 由坐標軸與坐標平面上的投影點坐標，得知



2, 0, 0 ,

 

0,3, 0 ,

 

0, 0, 4 ,



A

B

C



2,3, 0 ,

 

0,3, 4 ,

 

2, 0, 4



Q

S

R

。 【隨堂練習 1】 右圖是空間中的一個長方體，頂點 O 為原點，且

, ,

A B C

分別在 x 軸、y 軸、z 軸上。已知頂點



3, 4, 0 ,



D



F



0, 4, 2





，求頂點

A B C E G

, , , ,

的 坐標。 Ans：

▲ 圖 4 【詳解】 由坐標軸與坐標平面上的投影點坐標，得知



3, 0, 0 ,

 

0, 4, 0 ,

 

0, 0, 2 ,

 

3, 0, 2 ,

 

3, 4, 2



A

B



C

E

G



。 （二）兩點的距離公式 如圖 4，國中時我們利用畢氏定理得知，坐標 平面上

A x y B x y



₁

,

₁

 

,

₂

,

₂



兩點的距離為



 

2



2 2 1 2 1

AB



x x



 

y

y

。 現在，空間中的點被賦予坐標之後，我們也可以利用畢氏定理計算出任意兩 點的距離，推導如下。 設

P x y z Q x y z



₁

, ,

_{1 1}

 

,

₂

, ,

_{2 2}



為空間中兩點，其中

x

₁



x y

₂

,

₁



y z

₂

,

₁



z

₂。過 P 與 Q 兩點，分別作與坐標平面平行的平面，則此六個平面構成一個長方體，它的 三邊長分別為

RS x

 

₂

x QS

₁

,

 

y

₂

y PR z

₁

,

 

₂

z

₁ ，如圖 5 所示： ▲圖 5 因為△PQR 與△RSQ 均為直角三角形，所以利用畢氏定理，得





2 2 2 2 2

PQ



QR PR





RS



QS



PR



 

2

 

2



2 2 1 2 1 2 1

x x

y

y

z

z





 

 

。

至於當

x

1



x

2_或

y

1



y

2_或

z

1



z

2_{時，上式仍成立。因此，我們有以下的公} 式。 空間中兩點的距離公式 空間中，

P x y z Q x y z



₁

, ,

_{1 1}

 

,

₂

, ,

_{2 2}



兩點的距離為



 

2

 

2



2 2 1 2 1 2 1

PQ



x x



 

y

y

 

z

z

。 有了距離公式後，只要給定兩點的坐標，就可求出此兩點的距離。 【例题 2】 設

A



1, 1, 0 ,



 

B

2,1, 2



是空間中一正立方體的兩個 頂點，如右圖所示。 (1) 求

AB

的長。 (2) 若



6, 0,1



是正立方體的一個頂點，則



6, 0,1



是 圖中的哪一個頂點？ Ans： 【詳解】 (1) 利用空間中兩點的距離公式，得





2



 



2





2

2 1

1

1

2 0

3

AB

      

。 (2) 計算 2 2 _{2 2}

3 3

3 2,

AC



AB BC





 

 

2 2 2 ₂

3 2

3

3 3

AG



AC CG





 

。 得知，A 點與另外 7 個頂點的距離有

3, 3 2

與

3 3

三種情形。 又因為點



6, 0,1



與A 點的距離為





2



 



2





2

6 1

      

0

1

1 0

3 3

， 所以點



6, 0,1



是距離A 點最遠的頂點 G。

【隨堂練習 2】 已知

A



2,3, 6 ,

 

B



1,5, 0 ,

 

C

4, 3,3





為空間中三點， 求△ABC 的三邊長，並說明此三角形為等腰直角三角形。 Ans： 【詳解】 利用空間中兩點的距離公式，得







 



 

 

2 2 2 2 ₂ 2

1 2

5 3

0 6

3

2

6

49 7,

AB  

   

    





 







 



 

2 2 2 2 2 2

4

1

3 5

3 0

5

8

3

98 7 2,

BC

      



  











 



   

2 2 2 2 2 2

4 2

3 3

3 6

2

6

3

49 7

AC

     



   





。 因為

_{AB AC}



，且

BC

2



AB

2



AC

2， 所以△ABC 為等腰直角三角形。

再練習空間中兩點的距離公式。 【例题 3】 如圖，已知

A



1, 2,1



是空間中一正立方體的頂點，



3, 4,5



M

是底面的中心，求正立方體的邊長。 Ans： 【詳解】 設正立方體的邊長為 a（

a

0

）。 利用空間中兩點的距離公式，得



 

2



2





2

1 3

2 4

1 5

2 6

AM

     

。 因為 M 是底面的中心， 所以

BM

為底面對角線長的一半，即

1

2

2

2

2

BM

 

a



a

。 利用畢氏定理，得 2 2 2

AB



BM



AM

， 即 2

1

2

24

2

a



a



。解得

a

4

。 故正立方體的邊長為 4。 【隨堂練習 3】 右圖是空間中的一個直圓柱體。已知底面的圓通過原點 O， 且圓心為

M



2,1, 2



；頂面的圓通過點

A



5, 4, 6



，求 (1) 底面的圓之半徑。 (2) 圓柱體的體積。 Ans： 【詳解】 (1) 底面的圓之半徑為



 

2

 

2



2

2 0

1 0

2 0

3

OM

     

_。

(2) 作A 點在底面的投影點 H。 因為

AM



5 2

     

 

2

4 1



2



6 2



2

34

， 所以圓柱體的高為

AH

 

34

2

 

3

2

5

， 故圓柱體的體積為

3

2



 

5 45



。 根據點坐標的定義，位置在坐標軸或坐標平面上的點，其坐標的形式如下表。 點位置 x 軸 y 軸 z 軸 xy 平面 yz 平面 zx 平面 點坐標



x

, 0, 0





0, , 0

y





0, 0, z





x y

, , 0





0, ,

y z





x

, 0,

z



利用上表，作一個練習。 【例题 4】 空間中，已知

A



1, 2, 1 ,



 

B

2,1,3



，且 z 軸上一點 P 滿足

AP BP



，求 P 點的坐標。 Ans： 【詳解】 因為 P 是 z 軸上一點， 所以可設 P 點的坐標為



0, 0, z



。 又因為

AP BP



，所以



 

2



2



 



2



 

2

 

2



2

0 1

     

0 2

z

1



0 2

    

0 1

z

3

， 將兩邊平方，得



2





2



1 4

        

z

2

z

1 4 1

z

6

z

9

， 整理得

8

z

8

，解得

z 

1

。 故 P 點的坐標為



0, 0,1



。

【隨堂練習 4】 空間中，已知正三角形 PQR 的兩個頂點為

P



3, 0,1 ,

 

Q

1,1, 2



， 且另一頂點

R x



, 2,

z



在 xy 平面上，求實數

x z

,

的值。 Ans： 【詳解】 因為

R x



, 2,

z



在 xy 平面上，所以

_z

₀

。 又因為△PQR 為正三角形，所以

PR PQ QR





， 即



x

      

3



2

4 1

4 1 1



x

  

1



2

1 4

。 因此，



x

3



2



1

且



x

1



2



1

，解得

x

2

。 故

x



2,

z



0

。 再練習一題。 【例题 5】 右圖是空間中的一個立體圖（底面是正方形， 四個側面都是正三角形）。設四個頂點的坐標為



0, 0, 0 ,

 

4, 0, 0 ,

 

4, 4, 0 ,

 

0, 4, 0



O

A

B

C

。 (1) 求頂點P 的坐標。 (2) 已知Q 為

AB

上一點，且

PQ

13

，求Q 點的坐標。 Ans： 【詳解】 (1) 底面正方形的邊長為

OA

4

。 作頂點P 在底面的投影點 H。 因為

PH

垂直底面， 所以

PH

與

AH BH CH OH

,

,

,

均垂直，即 △PAH, △PBH, △PCH 與△POH 均為直角三角形。 利用畢氏定理，得 2 2

4

AH BH CH OH











PH

，

因此，H 為底面正方形的外接圓圓心， 且

AC

為直徑，得半徑

1

1

_{4 2 2 2}

2

2

AH



AC

 



。 於是

 

2 2

4

2 2

2 2

PH





。 又因為H 的坐標為



2, 2, 0



， 所以P 的坐標為



2, 2, 2 2



。 (2) 因為Q 為

AB

上一點， 所以可設

Q



4, , 0

t



，其中

₀

 

_t

₄

。 又因為

PQ

13

，所以





₂





₂





2

4 2

    

t

2

0 2 2



13

， 兩邊平方後，再展開，整理得 2

_{4 3 0}

t

  

t

。 解得

_{t }

₁

或 3。 故Q 點的坐標為



4,1,0



或



4,3, 0



。 【隨堂練習 5】 右圖是空間中的一個正立方體。 已知四個頂點的坐標為



0, 0, 0 ,

 

2, 0, 0 ,

 

2, 2, 0 ,

 

0, 2, 0



O

A

B

C

， 且 M 為

AD

的中點，P 為

_BC

上一點，

PM 

6

， 求 P 點的坐標。 Ans： 【詳解】 因為 P 為

BC

上一點， 所以可設

P t



, 2, 0



，其中

0

 

t

2

。 又因為

M



2, 0,1



且

PM 

6

， 所以



t 

2

 

2

    

2 0

 

2

0 1



2

6

，

兩邊平方後，再展開，整理得

t

2

  

4 3 0

t

。 解得

t 

1

或 3（不合）。

乙 球面距離

有了空間坐標系後，我們可以將之前介紹的經度、緯度表示轉換為坐標表 示。方法是將地球球心設為原點 O，赤道落在 xy 平面上，z 軸正向為球心往正北 極方向，且 0經線落在 xz 平面上，並規定： (1) 經度



滿足

   

180



180

，其中東經為正，西經為負。 (2) 緯度



滿足

   

90



90

，其中北緯為正，南緯為負。 如圖 6 (a)所示。 (a) (b) (c) ▲圖 6 例如，設地球的半徑為 r，P 點位於東經 45、北緯 60處，如圖 6 (b)所示。設 P 點的坐標為



a b c

, ,



。根據空間坐標的定義，建立一個以

OP

為對角線的長方體， 如圖 6 (c)所示。根據三角比的定義，

a b c

, ,

滿足





2

cos45

cos60 cos45

4

a OH





r





r

，





2

sin45

cos60 sin45

4

b OH





r





r

，

3

sin60

2

c r





r

。 故 P 點的坐標為

2

,

2

,

3

4

r

4

r

2

r













。

【隨堂練習 0】 已知地球的半徑為 r，P 點位於東經 30、北緯 45處， 根據上述轉換成空間坐標的方法，求 P 點的坐標。 Ans： 【詳解】 如圖，根據三角比的定義，P 點的坐標



a b c

, ,



滿足





6

cos30

cos45 cos30

,

4

a OH





r





r





2

sin30

cos45 sin30

,

4

b OH





r





r

2

sin45

2

c r





r

。 故 P 點的坐標為

6

,

2

,

2

4

r

4

r

2

r













。 球面上

A B

,

兩點的最短路徑，就是通過

A B

,

兩點的大圓在這兩點間的劣弧， 如圖 7 (a)中的

_AB

，我們把這一段弧長稱為

A B

,

兩點的球面距離。 (a) (b)示意圖 ▲圖 7 例如 A 地位於「東經 121，北緯 25」（大約在臺北市），B 地位於「東經 121， 北緯 31」（大約在上海市），如圖 7 (b)的示意圖所示。因為

6

30

AOB





 

，且

地球半徑

R

6400

公里，所以

6400

670

30

AB



 



（公里）。 故

A B

,

兩地的球面距離大約為 670 公里。 兩地最短的航線長就是它們的球面距離，因此飛機、輪船都會盡可能沿著大 圓來航行。當球面上兩點的位置是以空間坐標表示時，利用餘弦定理可以求得它 們的球面距離。舉例說明如下。 【例题 6】 將地球儀設定成一個坐標空間，其中球心為原點 O， 地球儀上

A B

,

兩個城市的坐標分別為



6, 0, 0 ,





3,3,3 2



A

B 

。 (1) 求 A，B 兩點的球面距離。 (2) 在實際地球上，飛機從A 城市直飛至 B 城市的 最短航線長大約多少公里？ （地球半徑約 6400 公里，





_3.1416

，四捨五入到整數位） Ans： 【詳解】 (1) 利用空間中兩點的距離公式，得

6,

6 3

OA OB





AB



。 再利用餘弦定理，得

 

2 2 2

6 6

6 3

36

1

cos

2 6 6

72

2

AOB

 





_{ }

 

， 因此

120

2

3

AOB





 

。 故

A B

,

兩點的球面距離為

2

6

4

3

AB

  

 

單位。 (2) 因為

6400

2

13404

3

AB



 



， 所以最短航線長約為 13404 公里。

【隨堂練習 6】 將地球儀設定成一個坐標空間，其中球心為原點 O，地球儀上

A B

,

兩個城市 的坐標分別為

A



1, 2, 2 ,

 

B

2, 2,1





，求

A B

,

兩城市的球面距離。 Ans： 【詳解】 利用空間中兩點的距離公式， 得

OA OB





3,

AB



3 2

。 再利用餘弦定理，得

 

2 2 2

3 3

3 2

cos

0

2 3 3

AOB

 





_{ }



， 因此

90

2

AOB





 

。 故

A B

,

兩城市的球面距離為

3

3

2

2

AB

  

 

單位。 因此，我們可以透過經度、緯度表示轉換為坐標表示，再仿照例題 6 的解法， 可以求得地球上任兩點的球面距離。

觀念澄清

0. 下列敘述對的打「」 (1) 點



0, 2, 0



在 y 軸上。 (2) 點



2, 0, 3



在 xz 平面上。 (3) 點

P



1, 2, 3



在 z 軸的投影點為



0, 0, 3



。 (4) 點

P



1, 2, 3



與點

Q 



1, 2,3



在 yz 平面的投影點相同。 Ans： 【詳解】 (1) ○，因為x 與 z 坐標都為 0，所以正確。 (2) ○，因為y 坐標為 0，所以正確。 (3) ○。 (4) ○，點

P



1, 2,3



與點

Q 



1, 2,3



在yz 平面的 投影點同為點



0, 2, 3



。

一、基礎題

1. 右圖是空間中的一個長方體，其長、寬、高分別 為

OC



6,

CB



2,

BF



4

，求

A B G F

, , ,

的坐 標。 Ans： 【詳解】 根據空間坐標的定義，得



2, 0, 0 ,

 

2, 6, 0 ,

 

0, 6, 4 ,

 

2, 6, 4



A



B



G

F



。

2. 空間中，已知點

P



5, 4,3





在 x 軸上的投影點為 Q，求

PQ

的長。 Ans： 【詳解】 因為

Q



5, 0, 0



，所以





2



 



2





2

5 5

0

4

0 3

25 5

PQ

   

  



。 3. 空間中，已知

A



2, 0, 2 ,



 

B

3, 1, 2





，且 y 軸上一點 P 滿足

2

AP



AB

，求 P 點的坐標（兩解）。 Ans： 【詳解】 設 P 點的坐標為



0, , 0

y



。 因為

AP



2

AB

，所以

 

2 _{2 2 2}

 

2 ₂

2

y

2

2 1

1

4

   

  

， 兩邊平方，得

y  

2

8 72

，解得

y

8

。 故 P 點的坐標為



0,8, 0



或



0, 8, 0





。 4. 假設地球為一半徑 r 的球體。今將地球球心設為原點 O， 赤道落在 xy 平面上，z 軸正向為球心往正北極方向， 且 0經線落在 xz 平面上。已知 P 點位於 「東經 120，北緯 60」，求 P 點的空間坐標。 Ans： 【詳解】 如圖，根據三角比的定義， P 點的坐標



a b c

, ,



滿足





1

1

cos120

cos60

,

2

4

a OH





r

   

 

 

_{ }

r





3

3

sin120

cos60

,

2

4

b OH





r

  

r

3

sin60

2

c r





r

。 故 P 點的坐標為

1

,

3

,

3

4

r

4

r

2

r



_











。 5. 將地球儀設定成一個坐標空間，其中球心為原點 O， 地球儀上

A B

,

兩個海島的坐標分別為

A



0,0, 4 , 1, 11, 2



B





， 求在實際地球上，輪船從 A 海島到 B 海島的最短航線長 |大約多少公里？ （地球半徑約 6400 公里，





_3.1416

，四捨五入到整數位） Ans： 【詳解】 利用空間中兩點的距離公式，得

4

OA OB AB

  

。 因此△OAB 為正三角形， 於是

60

3

AOB





 

。 故兩海島最短航線長大約

6400

6702

3



 

公里。

二、進階題

6. 空間中，已知點 P 在 xy 平面上的投影點為



2,3, 0



， 在 yz 平面上的投影點為



0, 3,1



， 求 P 點在 z 軸上的投影點坐標。 Ans： 【詳解】 依題意可推得 P 點的坐標為



2, 3,1



。 故 P 點在 z 軸上的投影點坐標為



0, 0,1



。 7. 已知正立方體的三個頂點為

A



1,1, 2 ,

 

B

3,3, 2 ,

 

C

3,3, 4



， 且其中心為 O 點，求 O 點的坐標。 Ans： 【詳解】 因為

AB

2 2 0

2

  

2 2

2 2,

2 2 2

2 2 2

2 3,

AC

  

2 2 2

0

0

2

2

BC

  

， 所以

A B C

, ,

三點的相關位置如圖所示。 因為正立方體的中心 O 為

AC

的中點， 所以 O 點的坐標為





1 3 1 3 2 4

_,

_,

_{2, 2,3}

2

2

2









_









。