微型週期性結構聲波頻溝理論分析與微機電實驗(1/2)

行政院國家科學委員會專題研究計畫 期中進度報告

微型週期性結構聲波頻溝理論分析與微機電實驗(1/2)

計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC92-2212-E-002-058- 執行期間： 92 年 08 月 01 日至 93 年 07 月 31 日 執行單位： 國立臺灣大學應用力學研究所 計畫主持人： 吳政忠 報告類型： 精簡報告 報告附件： 出席國際會議研究心得報告及發表論文 處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 93 年 5 月 26 日

行政院國家科學委員會專題研究計畫進度報告

微型週期性結構聲波頻溝理論分析與微機電實驗（1/2）

計畫編號： NSC 92-2212-E-002-058 執行期間：92年8月1日至94年7月31日 主持人：吳政忠 台灣大學應用力學研究所 一、中文摘要 經由兩種不同彈性材料組成之週期性 結構，在適當調整其材料常數及排列方式 後，通過之聲波有頻溝現象存在，此類結 構稱為聲子晶體(phononic crystals)。本計 畫旨在研究聲子晶體之頻溝現象，藉由規 劃與建構個人電腦叢集，以應付聲子晶體 龐大之記憶體與計算量需求。配合電腦叢 集之建立，將二維聲子晶體表面波傳電腦 分析程式(平面波展開法)平行化以提昇效 率，以進行微型週期性結構表面聲波頻溝 現象之研究。本計畫亦建立一套適用於正 交性材料(orthotropic material)的有限差分 方程式，並發展吸收型邊界程式碼配合使 用。本報告使用平行化後之平面波展開法 電腦分析程式計算二維聲子晶體之聲波頻 溝，並與個人電腦所計算之精確度與時間 作比較。針對有限差分方程式之數值方法 建構，本報告亦有詳細之介紹。 關鍵詞：聲子晶體、頻溝、電腦叢集、平 面波展開法、有限差分法、表面聲波 Abstract

The purpose of the research is to study the characteristics of the acoustic band gaps in the two-dimensional phononic crystals. The phononic crystal is a kind of periodic elastic material structure that there are some band gaps in which the elastic wave propagation of particular frequency is forbidden. The phenomena of band gaps are studied by using the plane wave expansion (PWE) and finite difference time domain (FDTD) methods. The personal computer clusters are adjusted to meet the

requirements of RAM and CPU time. Base on the clusters, the parallel calculated program of PWE method is developed and discussed. On the other hand, the FDTD method is developed and used to calculate the propagating phenomena of bulk acoustic waves in two-dimensional phononic crystals. These methods and calculated results provide useful guidelines for the design of a phononic crystal device as a frequency filter.

Keywords: Phononic crystals, Band gaps,

Cluster, Plane wave expansion method, Finite difference time domain, SAW

二、計畫緣由與目的 近年來光子晶體(photonic crystals)之 研究逐年迅速增長[1]。所謂光子晶體，即 為週期性之介電質結構，因週期性結構之 緣故，導致電磁波通過晶體時由於反射波 對入射波造成干涉，發生所謂的頻溝現象 (band gap)，阻擋在某些頻率振盪之電磁波 通過。由此頻溝現象，光子晶體可應用於 光纖通訊上，例如近來十分熱門之高密度 分波多工器(DWDM)濾波器，即為其應用 之一。而由光子(photon)與聲子(phonon)之 類比性，可推斷由彈性材料組成之週期性 結構，在適當調整其材料常數及排列方式 後，通過之聲波亦有頻溝現象存在，則將 此類結構稱為聲子晶體。 針對二維聲子晶體的研究直到1993年 才 有 所 突 破 。 首 先 是 Kushwaha 與Halevi [2~4]於1993年所提出的理論，研究兩種相 異之等向性彈性材料所架構的二維週期性 結構，但僅針對徹體波之振動提出波傳理

論。Tanaka與Tamura[5~7]於1998年選用立 方晶系的兩種材料(AlAs與GaAs)組合成 為二維聲子晶體，提出表面波的波傳理 論，說明在一般情況下，聲子晶體的表面 波頻帶分佈。近期，吳[8]分析含異向性材 料組合之二維聲子晶體，提出含異向性材 料之表面波與徹體波的波傳理論。 聲子晶體的頻溝現象，可應用於徹體 波濾波器或表面聲波濾波器，阻止特定角 度與頻率入射的聲子傳遞，藉以達成濾波 之效果，此為研究聲子晶體的主要動機。 本計畫旨在建構個人電腦叢集，以應付聲 子晶體龐大之記憶體與計算量需求。配合 電腦叢集之建立，將二維聲子晶體表面波 傳電腦分析程式（平面波展開法）平行化 以提昇效率，以進行微型週期性結構表面 聲波頻溝現象之研究。本計畫亦建立一套 適用於正交性材料的有限差分方程式，並 發展吸收型邊界程式碼配合使用。 不論是理論分析或有限差分計算，聲 子晶體之頻溝現象計算需耗費相當大之記 憶體及龐大計算量方可獲得可信賴之正確 結果。對一維平面波配合週期邊界，以四 階近似之差分方程式的模擬，在Pentium 4 時脈為1.8GHz之個人電腦上執行初步估 計耗時約21.5小時。而這樣的計算能力並 不足以進行表面波的聲子晶體研究或是更 大規模平面波之聲子晶體應用計算。另一 方面，即便是現存的平面波理論展開法， 欲求得聲子晶體精準的級數解，如表面波 可存在之模態，在上述系統亦需花費約200 多小時以上(Matlab數值軟體)，其計算量亦 相當可觀。 近來由於個人電腦之蓬勃發展，其計 算能力已直逼工作站等級電腦系統，且價 格反而日趨合理化，因此利用個人電腦建 立 叢 集 系 統 成 為 近 日 高 效 能 計 算 (HPC, high performance computing)之主要趨勢。 電腦叢集系統利用區域網路將多部電腦系 統串連，以單一系統的模式加以管理，同 時計算一個問題，實現複雜運算的平行處 理。因此電腦叢集系統相當於有多顆處理 器同時運算，所需計算時間可以倍數減 少；同時可聯合所有記憶體，擴大計算能 力之規模。電腦叢集系統除了價格較便 宜，其計算能力也直逼大型系統之超級電 腦，同時可依據使用者之需求及能力，建 立規模適當之叢集節點數量，日後並可隨 時加以擴充。而電腦叢集系統的實現在硬 體及軟體上皆必須加以配合，硬體上需要 高速的中央處理器、記憶體及高速網路傳 輸交換設備；軟體上需配合作業系統，選 擇適當的界面傳輸協定、排程管理系統並 購置所需之函式庫。而更重要的關鍵在於 需對程式進行平行化。 本計劃除延續91年度計劃在微機電實 驗 之 探 討 外 ， 亦 將 利 用 Madariaga[9] 及 Virieux[10]所提出以速度-應力為變數的有 限差分法，模擬彈性波在聲子晶體結構內 部的波傳行為，並觀察時間域上彈性波入 射的訊號，計算穿射係數與頻率的關係， 做為進一步研究聲子晶體及發展其應用之 重要工具。為解決龐大計算量與記憶體之 問題，本計劃擬建立一套八個節點之高速 網路電腦叢集系統並發展平行化有限差分 程式，以利往後聲子晶體應用之需。 三、研究方法與成果 (一) 個人電腦叢集之規劃與建構： 聲子晶體之平面波展開法理論計算及 有限差分數值計算均需耗費極大之記憶體 與計算時間，因此必須擴充計算能力及增 快運算速度，方可應付後續研究所需之龐 大記憶體與計算量需求，獲得可信賴之正 確 結 果 。 而 應 用 平 行 運 算 (Parallel Computation)技術同時在數個中央處理器 (CPU)上進行計算，將是解決計算量需求 的有效手段。傳統上欲實現平行運算，在 硬體設備上必須具備有多個中央處理器大 型工作站(Workstation)或超級電腦方可達 成。目前由於個人電腦(PC)蓬勃發展，其 計算能力已逼近工作站等級電腦系統且價 格日趨合理化，因此目前平行計算技術之 發展中，利用個人電腦建立叢集系統(PC Cluster)成為高效能計算之主要趨勢。 叢集電腦乃是透過網路設備，將個別 電腦之間的資料進行傳輸交換，如此便可

將計算之問題切割成數個部分，分配至各 電腦上同時運算，縮短計算所需時間。另 外，透過叢集電腦將問題分割，也可以將 本來所需龐大記憶體無法在單一電腦上執 行之程式，分散到各個電腦上執行，擴大 所能研究問題之規模。因此叢集電腦可依 據使用者之需求及能力，建立規模適當之 叢集節點數量，日後並可隨時加以擴充。 本計畫兩年內擬建構一八個節點之個人電 腦叢集系統，計畫第一年先行規劃並已建 構完成其中四個節點，其每個節點主要配 備為：雙中央處理器，型號Intel Xeon時脈 2.8 GHz；1 GByte記憶體；80 GByte硬碟， 並配置 Gigabit 網路卡以及網路交換器之 高速乙太網路，其架構及設備如圖1、圖2 所示。 架構叢集電腦系統除了硬體設備外， 最重要的實屬程式執行之作業環境，如此 方能依據此作業環境撰寫平行運算程式。 現行叢集電腦系統之執行環境主要有兩大 標 準 ， 分 別 為 MPI (Message Passing

Interface) 及 PVM (Parallel Virtual

Machine) ，其中 MPI 標準具有可同時在 叢集電腦系統及複數 CPU 之大型電腦上 執行而無須重新改寫程式、受到較多廠商 支援及容易學習等優點。因此，本計畫中 之平行運算程式以 MPI 標準作為平行運 算之語法，而所建置之叢集電腦系統作業 系統及程式執行環境亦均與之配合。各個 節點採用 Red Hat Linux 9.0 為作業系統， 而 MPI 之實做函式庫採用 MPICH 1.2.5 版。上述之作業環境與函式皆為自由軟體 (Freeware)，且可有效發揮硬體設備之效 能，並提供後續平行化程式穩定之執行環 境。本計畫第一年已完成規劃並建立叢集 電腦系統，第二年執行將持續擴充本系統 提升計算能力，提供聲子晶體之研究。 (二) 二維聲子晶體表面波傳電腦分析程 式（平面波展開法）之平行化與效率 提昇： 如圖1之電腦叢集架構，將二維聲子晶 體表面波傳電腦分析程式(平面波展開法) 平行化。平行運算程式的撰寫上，則可引 入上節所說明MPI函式之語法，將問題依 據CPU數量分割，分配至各個節點上同時 計算。然而，在平面波展開法的運算中， 各個節點在每個時步計算的結果都是獨立 的，並無交換邊界上之資料才能進行下一 次的計算，因此平面波展開法極適合用來 平行化，而無須等待其他節點運算之結 果。這在程式平行化的結構分析上，避免 資料在網路傳輸的時間以提昇效率。MPI 平行化之相關語法與架構如下： MPI_Init(&argc,&argv); MPI_Comm_size(….); MPI_Comm_rank(….); LoadData(); if (!id){ CreatJob(); while(NumProcs-1){ MPI_Recv(….); QueueGet(&K); MPI_Send(….); //K } TransData(); }else{ while(SendMe){ MPI_Send(….); MPI_Recv(…); } } MPI_Finalize(); 平行化程式中當需呼叫MPI函數或是 副程式之前必須先叫用MPI_Init副程式， 來啟動該程式在多個CPU上的平行計算工 作。在程式結束為語法以之前必須叫用 MPI_Finalize副程式，以結束平行計算工作 [11]。通常執行MPI_Init副程式後，就必須 叫 用 MPI_Comm_size以得知參與平行計 算的CPU個數，及叫用MPI_Comm_rank以 得知現在是第幾個CPU，如第一台主CPU 為CPU_0，之後的CPU為CPU_1，CPU_2 等等。在此平行化程式中，我們先建立欲 計算的資料庫，由主電腦CPU_0分配給其 他所有CPU各自執行一個工作，之後再由 平行化程式自動判斷那個CPU已執行工作 完畢，由CPU_0從欲計算的資料庫中分配 下一個工作至該台CPU，如此將不會有 CPU空閒，以充分利用CPU運算時間，達 成平行化程式最大目的。值得一提的是，

每一台CPU所執行完畢之工作結果都獨立 儲存為一個檔案，再由主程式將所有資料 進行後處理，完全無須額外進行人工整理 的動作。 平行化程式之建立時已將程式改寫成 以C++及Fortran程式語言，與Matlab數值 軟體所撰寫之程式比較運算時間發現，其 處理速度已快十倍以上（單一CPU），若進 行平行計算乃依CPU個數增加而呈現快速 成長。 (三) 建構三維彈性有限差分數值程式： 對於具缺陷之聲子晶體頻溝結構之分 析，有限差分數值分析模式將可提供彈性 波波傳研究更高的彈性。有限差分法主要 由泰勒級數展開的觀念，將方程式中的微 分計算近似為離散的四則運算。根據動態 彈性力學理論，應力波於彈性體內的傳播 行為可根據運動方程式與組成律來加以描 述 i j ij i f u τ ρ ρ&&= , + (1) kl ijkl ij C ε τ = (2) 其中_ρ為質量密度，_Cijkl為材料常數，_{u 為i} 位移， ij τ 及 kl ε 分別為應力及應變。若延伸 Virieux提出的應力-速度表示法，採用速度 -應力交錯格點，可將彈性波動方程式分解 為以速度 v 及應力τ 為變數的兩組一階微 分 方 程 組 ， 並 可 針 對 正 交 性 材 料 (orthotropic material)進行運算，如式(3) 、 (4)所示。 x xx xy xz x y xy yy yz y z xz yz zz z v x f v y f t v z f τ τ τ ρ τ τ τ ρ τ τ τ   ∂ ∂       ∂  ₌ _{∂ ∂ +}           ∂ _{   ∂ ∂   }        (3) 11 12 13 12 22 23 13 23 33 44 55 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 / 2( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 / 2( ) 0 0 0 0 0 1 / 2( ) xx x yy y zz z yz y z xz x z xy x y v x C C C v y C C C v z C C C v z v y C t C v z v x C v y v x τ τ τ τ τ τ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ₌ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂                            _ _      (4) 程式撰寫時，再依照中央差分方式展 開成差分方程式進行計算。若採用四階近 似之中央差分方式將彈性波動方程式之微 分項展開，則共可得到九條差分方程式。 以內部格點之 x v 、τ_xx為例，其表示式如 下： 1/ 2 1/ 2 , , , , 1/ 2, , 1/ 2, , 3 / 2, , 3 / 2, , , 1/ 2, , 1/ 2 ( ) ( ) 9 1 ( ) ( ) 8 1 1 ( ) ( ) 24 9 1 ( ) ( ) 8 l l x i j k x i j k l l xx i j k xx i j k l l xx i j k xx i j k l xy i j k xy i j v v t x t x t y τ τ ρ τ τ ρ τ τ ρ + − + − + − + − = ∆ _{ } + _ − _ ∆ ∆ _{ } − _ − _ ∆ ∆ + − ∆ , , 3 / 2, , 3 / 2, , , 1/ 2 , , 1/ 2 , , 3 / 2 , , 3 / 2 1 1 ( ) ( ) 24 9 1 ( ) ( ) 8 1 1 ( ) ( ) 24 l k l l xy i j k xy i j k l l xz i j k xz i j k l l xz i j k xz i j k t x t z t z τ τ ρ τ τ ρ τ τ ρ + − + − + −     ∆ _{ } − _ − _ ∆ ∆ _{ } + _ − _ ∆ ∆ _{ } − _ − _ ∆ (5) 1/ 2 1/ 2 , , , , 11 1/ 2, , 1/ 2, , 11 3 / 2, , 3 / 2, , 12 , 1/ 2, , 1/ 2, ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 8 1 ( ) ( ) 24 9 ( ) ( ) 8 l l xx i j k xx i j k l l x i j k x i j k l l x i j k x i j k l l y i j k y i j k t C v v x t C v v x t C v v y τ + τ − + − + − + − = ∆ _{ } + _ − _ ∆ ∆ _{ } − _ − _ ∆ ∆ _ + − ∆ 12 , 3 / 2, , 3 / 2, 13 , , 1/ 2 , , 1/ 2 13 , , 3 / 2 , , 3 / 2 1 ( ) ( ) 24 9 ( ) ( ) 8 1 ( ) ( ) 24 l l y i j k y i j k l l z i j k z i j k l l z i j k z i j k t C v v y t C v v z t C v v z + − + − + −    ∆ _{ } − _ − _ ∆ ∆ _{ } + _ − _ ∆ ∆ _{ } − _ − _ ∆ (6) 同時根據實際問題的邊界條件則可定義自 由邊界格點的條件，或是對稱格點的邊界 條件。如此便可使用有限差分法數值程 式，改變空間中材料常數的配置，模擬聲 子晶體的結構，計算彈性波在聲子晶體結 構內的波傳行為。 而在平行運算程式的撰寫上，則可引 入上節所說明MPI函式之語法，將問題依 據CPU數量分割，分配至各個節點上同時 計算。但如此各個節點則必須在每個時步 計算完成後，皆必須交換邊界上之資料 後，才能進行下一次的計算，其計算流程 如圖3所示。這在程式平行化的結構分析 上 ， 稱 之 為 「 完 全 併 發 平 行 化 」 (fully synchronous parallelism)，屬於較為複雜的 問題，同時平行化之後的速度提升將會受 限於利用網路交換之最高速度。第一年計 畫執行，已撰寫完成平行化之三維彈性有 限差分方程式，並與單機版本驗證其正確 性。而若以四節點，八個中央處理器的例

子而言，目前約可提升為六倍的速度，其 速度受到資料交換量之影響與限制。 (四) 發展有限差分法吸收邊界條件： 由於數值模擬計算中計算機的記憶體 有限，若欲計算無窮域的問題，或是為了 避免邊界反射現象干擾真正波傳行為之觀 察分析，必須在邊界上加以處理，使外傳 波不會反射入內部，形成等同無窮域中的 效果。具有這樣效果的邊界條件被稱為吸 收 型 邊 界 條 件 (Absorbing Boundary Condition, ABC)。為了分析聲子晶體內部 彈性波多重的反射及散射行為，需有吸收 型邊界條件加以配合，並由此可以進行複 雜排列之聲子晶體結構特性研究。 有限差分法中吸收型邊界條件最廣為 所知的是Engquest[12,13]所提出彈性波的 內 、 外 傳 波 分 離 法 ， 這 樣 的 概 念 也 被 Mur[14]應用到電磁波的有限差分計算，稱 為Mur’s ABC。然而由於內外傳波分離法 對波傳向量(wave vector)展開的關係，這 種吸收邊界條件因為波傳向量分量的近似 關係限制，只對於垂直入射邊界的波傳有 較佳的吸收效果。因此，Berenger[15]提出 了 完 全 匹 配 層 (Perfectly Matched Layer, PML)的觀念應用在電磁波的計算上，得到 良好的吸收效果，而Chew與Liu[16]也將完 全匹配層應用到彈性波傳的吸收邊界條 件。 完全匹配層藉由延伸座標的定義，在 計算區域的邊界上定義一波阻(impedance) 相等但具有衰減的延伸區，當波傳通過邊 界進入吸收區時將不會產生反射，並且將 在吸收區內隨波傳距離增加而衰減。因 此，PML吸收型邊界條件對於不同頻率、 不同方向入射的三維波傳皆有良好的吸收 效果。Chew與Liu[16]在文章中只表示出滿 足PML條件的微分方程組，本計畫中應用 完全匹配層條件撰寫的中央差分有限差分 方程式，其方程式之數量將由一般的九條 擴增至二十七條差分方程式，計算量略有 增加。 應用完全匹配層吸收邊界的條件，理 論上可得到完美無反射的吸收效果，但由 於數值上離散的關係以及我們所定義的邊 界吸收層有限，一般而言，並不能在有限 的層數中完全吸收，但是已可有效抑制波 傳自邊界反射的情形。圖4(a)為一測試完 全匹配層吸收邊界之算例配置，其材質為 環氧樹脂，在x方向上長度為60mm，切割 為200個格點。其-x方向上之邊界為自由邊 界，而+x方向上的邊界則配置30層吸收 層。吸收層的衰減係數 x Ω 為拋物線式變 化，其最大值為 _0.2 x t ∆ ⋅ Ω = 。另外，y軸及 z軸方向上的邊界則為週期性邊界條件。圖 4(b)展示了在不同時間，空間中各個格點 位移場Uy所形成的波形剖面，可觀察到彈 性波進入完全匹配吸收邊界後雖仍有反射 波存在，但可觀察其最大反射位移只有入 射波的百分之1.5。圖4(c) 及圖4(d) 中則 記錄了距離邊界100個格點位置處感測器

（圖4(a) 中標示圓點）之位移Uy及應力τxy

隨時間的變化關係，同樣表現出良好的吸 收效果。因此驗證了利用完全匹配層吸收 邊界的條件，可有效吸收一寬頻訊號入射 有限範圍時邊界反射的訊號。而在進一步 模擬聲子晶體中彈性波傳時，將有利於自 由安排週期性結構的分佈，而無須受限於 對稱性條件邊界或是週期性條件邊界。 四、計畫進度與未來工作 第二年將針對徹體波及表面波聲子晶 體波導進行數值研究與分析。實驗部分將 以微機電製程製作二維聲子晶體，佈上指 叉電極（Interdigital transducer）產生高頻 表面聲波，分析測試聲子晶體之頻溝現 象，並與數值分析相互印證。相關研究內 容為：(1).以第一年建立之電腦叢集進行平 面波波導現象之研究；(2). 表面波於聲子 晶體結構之波傳行為與頻溝現象；(3). 整 合高頻表面聲波交指叉換能器與微米級聲 子晶體及(4). 微米級聲波頻溝現象之理論 與實驗比較。本計畫的研究內容均依原先 訂定的進度順利完成，成果具學術與應用 價值，除在多個研討會發表外，相關研究 之成果亦投稿於國外著名物理期刊[8]及 審查中。計畫成果除可分析表面波頻溝現

象，並建立微機電製程之程序，有助於作 為日後後續研製相關應用元件之依據。

五、參考文獻

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六、圖表 圖 1 個人電腦叢集系統架構圖 Xeon 2.8G × 2 2GB RAM 80GB HDD GB Ethernet Server

Giga Bit Swith

Node 1 Xeon 2.8G*2 1GB RAM 80GB HDD GB Ethernet Node 2 Xeon 2.8G*2 1GB RAM 80GB HDD GB Ethernet Node 3 Xeon 2.8G*2 1GB RAM 80GB HDD GB Ethernet Node 4 Xeon 2.8G*2 1GB RAM 80GB HDD GB Ethernet t=n t=n+1/2

stress stress stress stress velocity velocity velocity velocity velocity fields stress fields BC velocity fields stress fields velocity fields stress fields velocity fields stress fields

cpu 0 cpu 1 cpu 2 cpu 3

BC BC BC BC BC BC BC : MPI exchange 圖 3 平行化有限差分方程式計算流程圖 (a) (b) 圖 2 個人電腦叢集系統 (a) 安裝於機櫃之電腦叢集系統全貌； (b) 伺服器與各節點； (c) 高速交換式集線器與各節點連結現 狀。 (c)

PML x y (a) sensor (d) 0 20 40 60 80 100 Time (µs) -6 -4 -2 0 2 4 6 τxy ( MP a ) (c) (b) 100 120 140 160 180 200 Grid index -2 0 2 4 6 Uy ( µ m) t=5000 t=6000 t=7000 圖 4 完全匹配層吸收邊界算例 (a) PML 邊界示意圖； (b) 不同時間各個格點之位移 Uy分佈圖； (c) 感應器處之位移 Uy隨時間關係； (d) 感應器處之應力τxy隨時間關係。 -2 0 2 4 6 Uy ( µ m) Time (µs) 0 20 40 60 80 100