高職數學B版直線方程式教材內容分析

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(1)國立臺中教育大學教育學系課程與教學碩士在職專班論文. 指導教授：曾榮華博士. 高職數學 B 版直線方程式教材內容分析. 研究生：蔡秀玲撰. 中華民國 104 年 7 月.

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(3) 謝辭兩年的研究所生活眨眼間就過去了，白天教書晚上進修的生活著實辛苦，尤其是論文撰寫期間的壓力，更是無法用言語形容，今日論文能順利完成，首要感謝我的指導教授曾榮華老師，因為有老師的指導，讓我能從茫然中找到研究的主題及方向，尤其在論文撰寫遇到瓶頸時，老師總能給予適時的引導，非常感謝您。也感謝王金國老師及呂錘卿老師，在百忙中撥冗審閱論文，並且提供許多寶貴的建議，讓論文內容可以更加完善。另特別感謝我的導師-佩如老師，在我遇到挫折裹足不前時，對我的鼓勵，讓我能適時調整步伐，勇往直前，堅持到最後。在研究所求學過程中，非常感謝相處兩年的同學們，不管是在課業準備上或論文撰寫期間，大家總是互相鼓勵，彼此打氣、經驗分享，因為有大家的幫忙，才能順利將論文完成，謝謝您們。也感謝學校的同事們，在這段期間對我的包容與幫忙，謝謝晴良、興儀及婷雯不時的關心與協助，讓我能堅持到最後。謝謝我的好朋友琍葳，在這兩年來給予不斷的鼓勵，每當我遇到挫折或瓶頸時，總是在旁陪伴我走過低潮，給予我莫大的精神支持。最後，感謝我的可愛的家人們，在這段時間的體諒與關懷，全力的支持，讓我能專心於學業，順利完成論文，真的非感謝大家。總之，在這過程中要感謝的人實在太多了，受到的幫助更是無法細說，心中充滿無限感恩，謹以此文感謝所有幫助過我的師長、朋友及家人們，謝謝您們，感恩！. 蔡秀玲謹誌 2014 年 7 月. ii.

(4) 高職數學 B 版直線方程式教材內容分析. 摘要本研究主要目的，在了解高職數學 B 版直線方程式教科書之異同，研究結果擬作為日後課程及教科書發展、編寫與修訂的參考。本研究的研究對象是以依據民國 97 年教育部修正發布之職業學校一般科目數學領域「數學 B」課程綱要編寫而成，且經國家教育研究院審定通過之高職數學 B 版教科書為研究對象。包含廣懋、台科大、泰宇、啟芳、信樺、漢樺、華興、東大、美新、龍騰（高版）、龍騰（陳版）、育達共 12 個版本數學科課本進行內容之分析。採用的研究方法為比較分析法及內容分析法，分析教科書之直線方程式內容，包含直角坐標、距離公式、分點坐標、直線的斜率與方程式、函數等，瞭解各版本之教材內容及差異。研究目的：比較不同版本高職數學 B 版教科書「直線方程式」單元教材編排順序、教材觀念呈現及教材份量分配情形。綜合比較各版本之數學課本，主要有下列發現：一、皆說明直線方程式的四個重要觀念且順序相同且具連貫性及整體性。二、皆於分點公式介紹後推導中點公式，完整性學習。三、除「點斜式」外，其它直線方程式求法順序不一。四、直角坐標觀念引入方式各版本不同，結合學生過去學習經驗內容效果佳。五、教材內容呈現缺乏生活化題材。六、例題偏重於直線斜率及方程式比率最高。關鍵詞：教科書、內容分析、直線方程式 I.

(5) II.

(6) The Content of Analysis of Linear Equation of Vocational High School’s Mathematics(B) Textbooks. Abstract The main purpose of this study is to realize the difference of linear equation in vocational high school’s mathematics (B) textbooks. The subjects of this study are designed according to the curriculum guidelines of 2008, and examined by National Academy for Educational Research. The subjects are twelve versions include Kuang-Mao、Tiked、Taiyu、Chi- Fang、 Hsin-Hua、Han-Hua、Hwashing、Tung- Ta、Mei- Hsin、Lungteng（Gao version）、 Lungteng（Chen version）、Yui-da. The methods of this study include comparative analysis and content analysis. The researcher analyzed the linear equation in the textbooks included rectangular Cartesian coordinates, distance formula, section formula, linear slope and equation as well as function to understand the contents and differences between different versions. Moreover, the presenting, sequences, and proportions of units in linear functions are also analyzed to compare different versions. The main findings were as follows: 1. The four important ideas of linear equation in each version are coherent and have the same sequences. 2. The learning of section formula in each version is ahead of the learning of middle point formula. 3. The order of linear equation in each version is different besides “point-slope III.

(7) form”. 4. The presenting of rectangular Cartesian coordinates in each version is different. It is better to combine students’ prior learning experience. 5. The presenting of material in each version lacks of students’ daily lives. 6. The examples in each version emphasize on linear slope and equation .. Keywords: Textbook,content analysis,linear equation. IV.

(8) 目. 次. 目. 次.................................................V. 表. 次...............................................VII. 圖. 次................................................IX. 第一章緒論 ............................................1 第一節研究背景與動機 .............................. 1 第二節研究目的與待答問題 .......................... 4 第三節重要名詞解釋 ................................ 4 第四節研究範圍與限制 .............................. 5 第二章文獻探討 ........................................7 第一節高職數學課程內涵 ............................ 7 第二節直線方程式概念 ............................. 13 第三節教科書之重要性與評選 ....................... 31 第四節數學教科書之相關研究 ....................... 35 第三章研究設計與實施 .................................43 V.

(9) 第一節研究設計 ................................... 43 第二節研究對象 ................................... 46 第三節研究工具與信效度考驗 ....................... 47 第四節資料處理與分析 ............................. 53 第四章研究結果與討論 .................................55 第一節教材編排順序分析比較 ....................... 55 第二節教材觀念呈現之分析比較 ..................... 64 第三節教材份量分配之分析比較 ..................... 96 第五章結論與建議 ....................................105 第一節結論 ...................................... 105 第二節建議 ...................................... 107 參考文獻 .............................................109 附. 錄...............................................113 附錄一數學教科書之相關研究 ..................... 113 附錄二直線方程式相關研究（以年代排序） ......... 129. VI.

(10) 表. 次. 表 2-1 點 P 在各坐標軸和各坐標平面的投影及對稱點 ................. 18 表 2-2 點 P 在各坐標軸和各坐標平面的投影及對稱點 ................. 25 表 2-3 國內數學教科書相關研究之研究主題方向分析（以年代排序） ... 37 表 2-4 國內數學教科書相關研究之研究對象分析（以年代排序） ....... 38 表 2-5 國內數學教科書相關研究之研究方法分析（以年代排序） ...... 39 表 3-1 高職數學 B 版教科書一覽................................... 46 表 3-2 直線方程式單元教材內容類目 ............................... 48 表 3-3 函數的表徵分析類目....................................... 49 表 4-1 單元各小節比較 ........................................... 58 表 4-2 各版本直角坐標觀念教材分析 ............................... 65 表 4-3 直線斜率與方程式教材分析 ................................. 78 表 4-4 各版本教科書點到直線距離介紹方式 ......................... 88 表 4-5 函數觀念教材分析 ......................................... 90 表 4-6 各版本教科書二次函數介紹內容差異 ......................... 94 表 4-7 直線方程式教材內容分析次數與百分比 ....................... 98 表 4-8 直角坐標內容分析次數及百分比 ............................. 99 表 4-9 距離公式內容分析次數及百分比 ............................. 99 表 4-10 分點坐標內容分析次數及百分比 ........................... 100. VII.

(11) 表 4-11 直線斜率與方程式內容分析次數及百分比 ................... 101 表 4-12 函數內容分析次數及百分比 ............................... 102 表 4-13 函數表徵次數及百分比 ................................... 103 表 4-14 函數表徵類型統計次數及百分比 ........................... 104. VIII.

(12) 圖. 次. 圖 1-1 直線方程式教材地位分析.................................... 3 圖 2-1 數係關係 ................................................ 14 圖 2-2 數線 .................................................... 14 圖 2-3 直角坐標系的四個象限..................................... 16 圖 2-4 直角坐標系學習脈絡....................................... 16 圖 2-5 空間坐標系 .............................................. 17 圖 2-6 直線坐標上 AB 距離 ....................................... 18 圖 2-7 坐標平面上 AB 距離 ....................................... 19 圖 2-8 坐標平面上內分點 P( x, y ).................................. 20 圖 2-9 坡度比較 ................................................ 21 圖 2-10 直線斜率 ............................................... 22 圖 2-11 直線斜率變化 ........................................... 23 圖 2-12 高中的函數概念關係...................................... 27 圖 2-13 表徵系統互動模式........................................ 29 圖 3-1 研究架構 ................................................ 43 圖 3-2 研究流程 ................................................ 44 圖 4-1 啟芳版直線觀念說明實例................................... 67 圖 4-2 啟芳版颱風路徑圖示實例................................... 67 IX.

(13) 圖 4-3 漢樺版文字輔以坐標圖說明象限觀念實例 .................... 68 圖 4-4 象限判斷例題實例 ........................................ 69 圖 4-5 距離公式推導過程教材實例 ................................ 71 圖 4-6 信樺版生活化例題實例 .................................... 72 圖 4-7 分點坐標推導教材實例 .................................... 74 圖 4-8 重心公式推導教材實例 .................................... 75 圖 4-9 分點坐標計算過程輔以圖形說明實例 ........................ 76 圖 4-10 龍騰（陳版）斜率生活實例 ............................... 83 圖 4-11 斜率大小呈現方式實例 ................................... 84 圖 4-12 兩直線平行或垂直說明實例 ............................... 85 圖 4-13 廣懋版截距式推導實例 ................................... 86 圖 4-13 東大版截距式推導實例 ................................... 87. X.

(14) 第一章緒論本研究係以高職數學教科書為範圍，進行教科書內容之分析。本章主要針對研究者的研究動機與研究目的，提出研究問題，並對本研究相關的名詞加以定義，再提出研究範圍與限制。本章分為四節，分別為研究背景與動機、研究目的與問題、名詞釋義、研究範圍與限制。. 第一節研究背景與動機在教學過程中教科書占有重要地位，大部份教師對於教科書甚為依賴，學生也依教科書為主要學習對象。一套設計完善的教科書，對於學生的學習不但有事半功倍的效果，對於教師而言更是提升教學成效的最佳幫手（黃立期， 2010）。教師教學時對教科書有相當大程度的依賴，教科書為教師教學提供了詳細的資訊及正確的答案 (Son & Senk, 2010) 。台灣是以教科書導向（textbook-driven）為主的教學，而教科書具有引導的作用（李隆盛，2007）。黃政傑（1989）指出教師教學約有 70-90﹪是依據教科書進行教學。足可見教科書在學校教學中之重要性，無論對老師或學生，教科書佔有相當重要的地位。課程及教科書的改革是目前世界教育改革的主要趨勢（楊德清、陳仁輝， 2011；Ding & Li, 2010; Yang, Reys, & Wu, 2010）。課程實施的良窳無不受到課程綱要、教材、教法與評量的影響，在大多數教師選用教科書實施教學的情形下，其中教科書對基層教師的影響最大（楊美伶，2003）。然而教科書開放的結果，由於各版本教科書的編輯，在自由市場的競爭壓力下，更多元化也更具有特色，當然品質也良莠不齊(歐用生，1996)，因此，更加使研究者欲瞭解各版本教科書之異同，什麼樣的教科書內容，可以讓學生學習產生最大的效果，工欲善其事，必先利其器，在數學的教學過程中，能有一本好的教科書，學生學. 1.

(15) 習更具效率。目前教科書內容分析研究大多集中在中小學，在張芬芬（2012）研究發現，從 1956 年至 2010 年臺灣教科書研究博碩士論文中，以國小類最多（54.8%）、次為國中（26.4%）、高中（12.2%），高職只有（1.8%），目前教科書研究主要偏重於國小，高職教科書研究較少。而研究者本身任職於高職學校，並教授學生較不感興趣的數學科課程，在教學的過程中，常發現學生對於數學教材內容缺乏興趣，故想藉此機會對高職數學教科書進行研究。直線方程式內容對高職學生來說並不陌生，學生在國中時期已有線型函數概念，進入高職後，數學教材第一個單元介紹平面直線方程式，讓學生瞭解其概念及運算，一年級下學期教材延申到多項方程式及聯立方程式計算，二年級下學期更延申到拋物線、圓方程式與直線方程式的關係計算，如圖 1-1，足可見直線方程式在高職數學中的重要性。鐘明宏（2013）提出此單元有五個特點： 1. 直線方程式為高職數學的第一個單元。 2. 本單元是中等數學重要且基本的教材內容之一。 3. 直線方程式本身具有「代數」與「幾何」互相解釋的的意涵，也是最基礎的連結。 4.「線型函數與二次函數」中「函數」這個部份是「抽象概念」化為「具體圖形」的重要轉換過程，也是接下來三角函數與指對數函數的基礎概念。 5. 此單元對學生而言應不陌生，因學生在國中時就已經學習過與這幾個主題相關的概念。由上可知，「直線方程式」單元對於學生未來高職數學學習之重要性，又根據研究者本身學習、教學經驗與現職高職數學教師討論發現，直線方程式之計算與應用，的確是高職學生學習困難的單元之一，若能有一本好的教科書，對學生. 2.

(16) 在此單元學習應更有助益，達事半功倍效果。. 已習教材. 直線方程式單元. 直線坐標. 直角坐標. 未習教材. 距離、分點公式. 線型函數. 直線斜率. 直線斜角. 直線方程式. 方程式、圓方程式. 一次函數二次函數. 拋物線. 圖 1-1 直線方程式教材地位分析目前教科書版本多元化，教科書編輯內容依據教育部所公告之課程綱要編製，自從 1996 年起教科書市場開放後，數學教科書產生了一綱多本，每隔幾年課程綱要進行修訂，教科書內容亦隨之修訂，目前經過國家教育研究院審核通過之高職數學 B 版教科書共計有十二個版本，每個版本內容各有其特色，惟每次在選書會議時，因時間有限，總在匆忙之間完成選書決定，無法仔細瞭解各版本教科書內容之差異，引發研究者想透由本研究深入去瞭解不同版本教科書內容及其異同，研究者基於上述之動機擬進行本研究，針對不同版本高職數學 B 版教科書內容進行分析研究。研究者想針對各版本「直線方程式」教材進行內容分析，此單元主要分為五個部份：直角坐標、距離公式、分點坐標、直線的斜率與方程式、函數圖形，希望透過教科書內容研究，進一步分析數學教材中各小節安排、教材觀念呈現及教材內容…等之異同，期望研究結果能對教科書編輯與教師教材選用有所助益。. 3.

(17) 第二節研究目的與待答問題基於以上動機，本研究旨在於分析依據教育部自 99 學年度開始實施「職業學校群科課程綱要」（以下簡稱 99 課綱）所編輯，並通過教育部審定通過之各版本數學教科書中「直線方程式」單元，進行教材內容分析。本研究之研究目的與待答問題如下：. 一、研究目的（一）探討高職數學 B 版教科書「直線方程式」單元教材編排順序情形。（二）探討高職數學 B 版教科書「直線方程式」單元教材觀念呈現情形。（三）探討高職數學 B 版教科書「直線方程式」單元教材份量分配情形。. 二、待答問題依據研究目的，擬定本研究之待答問題，如下所示：（一）高職數學 B 版教科書「直線方程式」單元教材編排順為何？（二）高職數學 B 版教科書「直線方程式」單元教材觀念呈現之異同？（三）高職數學 B 版教科書「直線方程式」單元教材份量分配之異同？. 第三節重要名詞解釋為使本研究所使用之名詞意義更清楚且明確，針對重要名詞逐一說明如下：. 一、高職數學教科書教學活動中，教材是學習活動的內容。工具科目如語文、數學的教材等， 4.

(18) 常編有「教科書」，供教學活動之用。有些科目，在教學活動中除用教科書以外，並配合教科書編有「教學指引」（或「教師手冊」）、「學生作業」（或「學生習作」）、「實習手冊」、「教學掛圖說明」等。這些教學工具（或資源），常統稱為「教學用書」（國立編譯館，1988）。本研究所指的高職數學教科書為民國 97 年教育部修正發布之職業學校一般科目數學領域「數學 B」課程綱要編寫而成之高職數學教科書。. 二、「直線方程式」直線方程式的內容泛指平面及空間中的直線方程式。本研究所探討之「直線方程式」係為平面部份，亦即高職數學 B 版第一冊第一單元，其內容包含直角坐標、距離公式、分點坐標、直線的斜率與方程式、一次函數與二次函數等內容。. 第四節研究範圍與限制本節主要分為研究範圍及研究限制進行說明：. 一、研究範圍（一）研究對象本研究以 97 年修正發布之「職業學校一般科目數學領域數學 B 課程綱要」為編輯依據之教科書進行研究，且經國家教育研究院審定通過之教科書，高職數學 B 版課本有：廣懋、台科大、泰宇、啟芳、信樺、漢樺、華興、東大、美新、龍騰（高版）、龍騰（陳版）、育達共 12 個版本，針對教科書的課本內容進行分析，不探討編輯要點及編輯委員教材選擇之原理原則。. 5.

(19) （二）研究主題本研究採用「比較分析法」及「內容分析法」，針對高職數學 B 版第一冊第一個單元「直線方程式」進行內容分析，不探討直線方程式的教學實施方式與教學策略，針對內容分析結果，提供部份課程設計上的建議。. 二、研究限制（一）研究範圍限制本研究範圍僅限於高職數學 B 版教科書直線方程式單元之課本，不包含高職數學 B 版的所有單元，亦未包含高職數學其他版本部份（A、C、S 版），若能將所有的教科書內容完整分析，更能對高職數學教科書有全盤瞭解。. （二）研究方法限制本研究針對高職數學 B 版教科書直線方程式單元進行內容分析，無法瞭解編輯委員編排教材的原理、原則及影響因素。另以比較分析法及內容分析法分析教科書時，並無法瞭解教科書在教學現場實際施行狀況。. （三）研究推論限制本研究結果對於高職數學 B 版教科書直線方程式單元內容進行討論，對於其他單元的數學教材內容則不作推測與分析。研究結論主要提供出版單位作為教科書編輯與修訂參考，也提供學校選用直線方程式單元教科書之參考，但無法對教科書的其他單元教材做相同的推論。. 6.

(20) 第二章文獻探討本研究主要先搜集數學教科書相關文獻進分析討論，以歸納高職數學教科書比較分析面向。本章之文獻探討共分四節，第一節高職數學課程內涵，第二節直線方程式相關概念，第三節教科書之重要性與評選，第四節數學教科書之相關研究。. 第一節高職數學課程內涵教科書主要依據課程標準或綱要編寫而成，隨著教育部課程綱要修訂，而教科書內容有所不同，因此，本節主針對高職課程綱要進行說明，進一步說明數學科課程目標及新課程改革方向，分述如下：. 一、高職數學課程綱要教科書編寫依據職業學校群科課程綱要所編輯，隨著課程綱要修訂，教科書內容也必需隨之變更。近年來課程綱要修訂主要為 94 年發布《職業學校群科課程暫行綱要》，本次修訂之綱要於 95 學年度實施（簡稱 95 暫綱），另於 97 年修正發布《職業學校群科課程綱要》，並於 99 學年度實施（簡稱 99 課綱）。 95 暫綱將數學課程分為四個版本，學分數分別為 6～8 學分，99 課綱仍維持四個版本課本，惟將藝術群學分數酌減 2 學分， 99 課綱中各版本學分數及建議適用群科如表 2-1 所示。. 7.

(21) 表 2-1 一般科目版本規劃說明版本（學分數）. 建議適用群科. 備. 註. 建議適用於家政類科。. A(8) B(12) C(16) S(4~6). 各校可依群科建議適用於商業類科、管理類科、設計類屬性、學生生涯發展、學校科。發展特色，彈建議適用於工業類科、資訊類科。性選擇版本。專供藝術類使用。. 資料來源：職業學校群科課程綱要宣導手冊（頁 34），教育部，2009。台北市：教育部。由表 2-1 可知，數學課程學分數各類科不一，分別 4～16 學分不等，視群科類別而定，高職數學 B 版學分數共 12 學分，適用於商業類科、管理類科及設計類科，數學課程設計內容主要與此類群科較相關之教材編製，分為 4 個學期實施，每學期 3 學分。高職數學 B 版教材大綱如表 2-2 所示，一年級第一學期第一章介紹「直線方程式」，其內容延續學生在國中已學習的線型函數概念，進一步加深加廣，並增加直角坐標、距離公式、分點坐標、直線的斜率與直線方程式求法計算，另也複習線型函數及二次函數的坐標圖形。一年級下學期將教材則延申到多項方程式、聯立方程式及不等式的計算，以「直線方程式」觀念為基礎，進一步擴充到相關學習主軸。二年級下學期更推展到拋物線、圓方程式，也說明圓與直線方程式的關係。三年級並未編製新的課程內容，主要是複習一、二年級所學教材內容。. 8.

(22) 表 2-2 高職數學 B 版教材大綱學期一年級第一學期. 一年級第二學期. 單元主題. 內容綱要. 1.直角坐標。 2.距離公式。 3.分點坐標。 4.直線的斜率與方程式。 2.三角函數 1.有向角及其度量。 2.三角函數的定義與圖形★。 3.三角函數的基本性質。 3.向量 1.向量的意義。 2.向量的加減與實數積。 3.向量的內積與夾角。 4.指數與對數及 1.指數與對數及其運算的意義。其運算 2.指數函數及其圖形★。 3.對數函數及其圖形★。 4.常用對數與其應用★。 5.數列與級數 1.等差數列與等差級數。 2.等比數列與等比級數。 3.無窮等比級數★。. 分配節數. 1.直線方程式. 8. 7.方程式. 1.多項式的四則運算。 2.餘式與因式定理。 3.分式與根式的運算。 1.多項方程式。 2.二元一次聯立方程式與二階行列式。 3.三階行列式與 Cramer 公式。. 註. 本單元宜複習線型函數與二次函數的坐標圖形。. 24. 8. 14. 8. 6.式的運算. 備. 14. 1.應強調將數列規律以一般式表示的操作。 2.無窮等比級數部分宜以計算器或數學軟體列值進行觀察與直觀推論，不宜以極限之概念處理。包含平方根分式之有理化。多項方程式部分以能分解成一次或二次因式乘積之問題為限。. 18. 9. （接下頁）.

(23) 表 2-2 （續）學單元主題期 8.不等式及其應用. 內容綱要. 分配節數. 備. 註. 1.一元二次不等式。 2.絕對不等式。 14 3.二元一次不等式的圖形。 4.線性規劃。二 9.排列組合 1.乘法原理與樹狀圖。年 2.排列與組合。 18 級 3.重複排列與重複組合。第 4.二項式定理*。一 10.機率與統計 1.樣本空間與事件。學 2.求機率問題★。期 3.數學期望值★。 4.資料整理與圖表編製★。 5.算術平均數、中位數、百分等 36 級★。 6.四分位差與標準差★。 7.抽樣方法。 8.解讀信賴區間與信心水準。二 11.三角函數的 1.和差角公式與二倍角公式。年應用 2.正弦與餘弦定理*。 16 級 3.解三角形問題(含三角測第量)★。二 12.二次曲線 1.圓方程式。應強調將不含xy 學 2.圓與直線的關係。項之一般式以配方期 3.拋物線的圖形與標準式。 20 轉換成標準式的操 4.橢圓的圖形與標準式*。作。 5.雙曲線的圖形與標準式*。 13.微積分及其 1.極限的概念(數列與函數)★*。應用 2.多項函數的導數與導函數。 3.微分公式。 18 4.微分的應用★。 5.積分的概念與反導函數*。 6.多項函數的積分*。 1.註記★之內容應編寫使用計算器、電腻軟體(如：詴算表)解決相關問題之操作說明。 2.註記*者為選讀內容，教師得依學生需求調整授課內容。資料來源：職業學校群科課程綱要（頁 49-51），教育部，2009。台北市：教育部。 10.

(24) 二、數學科課程目標根據 99 課綱高職數學科目之目標（教育部，2009）：（一）能熟練多項式、指數、對數的運算及相關之估算。（二）認識簡單函數。（三）面對問題能做數學的猜測並能以此猜測進行探究。（四）能將數學知識與具體世界做連結。（五）能應用基本數學解決實際的問題。（六）能正確、流暢地利用口語或文字表達解題想法。（七）能應用科學計算器與軟體來解決職業群中的實務問題等。數學作為一種語言，是學習各個領域的共同基礎（國家教育研究院， 2013），更可窺見數學科目學習對學生其它科目學習之重要性，依據 99 課綱中有關高職數學課程目標如下（教育部，2009）： 1.引導學生瞭解數學概念與函數圖形，增進學生的基本數學知識。 2.培養學生基本演算與識圖能力，以應用於解決日常實際問題及(A: 未來工作領域；B:商業專業及資訊應用領域；C: 工程專業及資訊應用領域；S: 表現藝術之動、靜化相關物理及資訊應用領域）內實務問題。 3.訓練學生運用電算器與電腦軟體，解決日常實際問題及（A: 未來工作領域；B: 商業專業及資訊應用領域；C: 工程專業及資訊應用領域；S: 表現藝術之動、靜化相關物理及資訊應用領域）內實務問題。 4.增強學生基礎應用能力，以培養學生未來就業、繼續進修、自我發展的能力。高職數學課程目標，除強調數學內容的學習、數學解題能力的培養、應用於生活問題的解決外，也希望透過數學的學習，具備其他學科或者未來就業、進修、自我發展所需的知識。 11.

(25) 三、新課程改革方向從國小到高職數學課程編排方式，在 2000 年以前，數學課程內容從國小、國中、到高中、高職，由不同的教師或專家學者編寫課程標準或課程綱要，需要花費較多的精力統整與連貫。由於九年一貫課程實施後，國小、國中課程內容較有連貫性，但高中、高職課程仍然獨立撰寫。2014 年 8 月 1 日全面實施十二年國民教育。未來從國小、國中、到高中、高職的數學課程綱要，將由同一委員會或工作小組研擬與撰寫，將更有助課程的銜接與連貫。 12 年課綱是以素養為導向，教育部提升國民素養專案辦公室（2013）提出國民素養之內容，乃是設想十二年國教完成後所具備的素養內涵，使其能於各自的學習、工作、生活領域上產出成果價值，以提升個人的生活福祉。數學素養的定義與內涵為：個人的數學能力與態度，使其在學習、生活、與職業生涯的情境脈絡中面臨問題時，能辨識問題與數學的關聯，從而根據數學知識、運用數學技能、並藉由適當工具與資訊，去描述、模擬、解釋與預測各種現象，發揮數學思維方式的特長，做出理性反思與判斷，並在解決問題的歷程中，能有效地與他人溝通觀點。在十二年國民基本教育的政策基礎下，有四項提升數學素養的目標（國家教育研究院，2013）：（一）學習並發揮數學思維的特長：抽象、邏輯與深刻的創新。（二）充實並活用基本的數學知識：關係與變化、空間與形狀、數量、數據處理與不確定性。（三）建立健康對待數學的態度：數學是人格發展的基礎一環。（四）擅於利用計算工具與數位科技：協助數值計算、整理和分析資料，並做數學概念的視覺化。依據教育部（2014）訂定「十二年國民基本教育課程綱要總綱」，並自一百零七 12.

(26) 學年度，依照不同教育階段（國民小學、國民中學及高級中等學校一年級起）逐年實施。未來高職數學部定必修學分數各校可依群科屬性、學生生涯發展、學校發展特色彈性調減至 4 學分，合計為 4-8 學分。以學科基本知識為主，注重通識及對人文、生命與自然的關懷，俾有助於提升終身學習之能力與興趣。比現行數學 B 版學分數 12 學分略有調減，對於數學內容教學安排也有一定的衝擊，故對於現行高職數學課程內容的檢視，將成為一百零七學年度新教科書編製的重要依據。. 第二節直線方程式概念本節依據直線方程式所呈現的知識內容分為五個面向，分別為：坐標系統、距離公式、分點坐標、直線的斜率與方程式、函數，探討各學習單元有關之教材內容與學習概念。. 一、坐標系統正式進入高職數學課程前，先複習國中所學「直角坐標概念」，再進一步針對國中已習得之觀念，將教材內容加深加廣，藉由課程內容，使同學能靈活運用並熟悉各象限的正負值。在進入直角坐標前先說明數系關係，延伸至數線及坐標平面觀念。. （一）數系關係實數包含自然數、整數、有理數、無理數…等，如下說明（陳進春、張太山、蘇哲欽，2008）： 1.自然數：又稱計物數，也稱為正整數。 2.整數：自然數計算物品個數，或來表示各種數的意義，有時也會有不足的情況發生，或難以表示的地方，因此有了負數的概念與應用，正整數 13.

(27) 與負整數統稱為整數。 3.有理數：凡是可表為分數形式的數，統稱有理數，整數、分數、小數（有限小數、循環小數），均為有理數。 4. 無理數：一個數若不能表為分數的形式，稱為無理數，如圓周率π =3.14159…、 3 =1.7321…都不能表示為分數形式，都是無理數。 5.實數：上述之有理數與無理數，統稱為實數。. 實數.     整數     有理數  分數    有限小數  小數      循環小數    無理數 → 不循環的無限小數圖 2-1 數係關係. （二）數線在一條水平線上取一點 O，並取適當長度為單位長，以 O 點為起點，在 O 點的左右各以一個單位長為間隔分別取點，並在 O 點的右方依序以 1、2、3…， O 點的左方依序以-1、-2、-3...與這些點相對應，此時將 O 點對應到數字 0，並稱 O 點為原點。這種由數與點的對應關係所形成的直線，就稱為數線（謝立人、祝仰濤、林政宏、林建宏、張克旭，2011）。. 圖 2-2 數線 14.

(28) （三）直角坐標系 1.直角坐標系形成笛卡兒坐標系（Cartesian coordinate system），也稱直角坐標系，是一種正交坐標系。二維的直角坐標系是由兩條相互垂直、O 點重合的數軸構成的。在平面內，任何一點的坐標是根據數軸上對應的點的坐標設定的。在平面內，任何一點與坐標的對應關係，類似於數軸上點與坐標的對應關係。採用直角坐標，幾何形狀可以用代數公式明確的表達出來。幾何形狀的每一個點的直角坐標必須遵守代數公式（維基百科，2014）。二維的直角坐標系通常由兩個互相垂直的坐標軸設定，通常分別稱為 x-軸和 y-軸；兩個坐標軸的相交點，稱為原點，通常標記為 O，既有「零」的意思，又是英語「Origin」的首字母。每一個軸都指向一個特定的方向。這兩個不同線的坐標軸，決定了一個平面，稱為 xy-平面，又稱為笛卡兒平面。通常兩個坐標軸只要互相垂直，其指向何方對於分析問題是沒有影響的，習慣上，x-軸被水平擺放，稱為橫軸，通常指向右方；y-軸被豎直擺放而稱為縱軸，通常指向上方。x-軸刻畫的數值為 x-坐標，又稱橫坐標，稱 y-軸刻畫的數值為 y-坐標，又稱縱坐標。這兩個坐標就是直角坐標系的直角坐標，標記為（x,y）（維基百科， 2014）。直角坐標系的兩個坐標軸將平面分成了四個部分，稱為象限，分別用羅馬數字編號為. ，. ，. ，. 。依照慣. 例，象限的兩個坐標都是正值；象限. 的 x-坐標是負值，y-坐標是正值；象. 限. 的 x-坐標是正值，y-坐標是負值。所. 的兩個坐標都是負值的；象限. 以，象限的編號是按照逆時針方向，從象限編到象限. 15. （維基百科，2014）。.

(29) 圖 2-3 直角坐標系的四個象限 2.直角坐標系學習脈絡從直線坐標系中，用一個「實數」來表示一個點的位置，再延申到直角坐標系中，以「數對」（a，b），也稱「坐標」來表示平面上一點的位置。如下圖（陸思明編著，2013）：. 圖 2-4 直角坐標系學習脈絡 16.

(30) （四）空間坐標系 1.空間坐標系形成在空間任取一點 O，稱為原點，過 O 點做互相垂直的三直線，分別稱為 x 軸、 y 軸、 z 軸，此三直線通稱為坐標軸。 x 、 y 兩軸所形成平面稱為 x y 平面， y 、 z 兩軸所形成的平面稱為 y z 平面， z 、 x 兩軸所形成的平面稱為 z x 平面。 x y 、 y z 、 z x 三個坐標平面把空間中不在這三個平面上的點分為 8 個卦限。若 P 空間中的一點，過 P 點分別向 x 軸、 y 軸和 z 軸作垂直線，則 P 點的坐標為 (a, b, c) 。如下圖（林原宏、謝闓如編著，2014）：. 圖 2-5 空間坐標系 2.空間坐標的投影與對稱點已知空間一點 P 之坐標為 (a, b, c) ，點 P 在各坐標軸和各坐標平面的投影及對稱點如下表所示（林原宏、謝闓如編著，2014）：. 17.

(31) 表 2-1 點 P 在各坐標軸和各坐標平面的投影及對稱點 P ( a , b, c ). 正射影. 對稱點. x軸. (a,0,0). (a,−b,−c). y軸. (0, b,0). (-a, b,-c). z軸. (0,0, c). (-a,-b, c). x y 平面. (a, b,0). ( a , b, − c ). y z 平面. (0, b, c). (-a, b, c). z x 平面. (a,0, c). (a,−b, c). 二、距離公式距離公式的觀念，由直線上兩點距離，再引入平面上兩點的距離公式，進一步說明空間中兩點的距離。. （一）直線坐標上兩點距離在一直線上，任取一點 O 作為原點，在選一個單為長度 a，在原點 O 的一側（習慣上為右側）取一點 A，使得 OA 等於單位長度 a。再令實數 0 與點 O 對應，1 與點 A 對應，其他實數則可以根據他的正負與絕對值大小，與此直線上的點形成一對一對應。此對應即形成直線坐標系。在直線坐標系中，假若有 P、Q 兩點的坐標分別為 x 、 y ，則 P 與 Q 的距離為 O. 0. P. y-x （林原宏、謝闓如，2014）。. Q. y. x. 圖 2-6 直線坐標上 AB 距離. （二）直角坐標上兩點距離平面上的兩點距離公式可以由畢式定理轉換為牽涉到坐標代數公式導出， 18.

(32) 如下圖 A 與 B 之間的距離為 AB 的長，直角三角形的斜邊， 2. 2 2 AB = ( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 ，即 AB = ( x2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) ，故當已知兩點坐. 標時，即可計算出兩點距離。在直角坐標系中，若點 A、B 的坐標分別為 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 )，則：A、 2 2 B 兩點的距離 AB = ( x2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) （林原宏、謝闓如，2014）。. 圖 2-7 坐標平面上 AB 距離. （三）空間中兩點距離仿照平面上求兩點 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) ，的距離公式 AB = ( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 之方法，同理可求得空間中兩點 P x y z 、 ( 1, 1, 1) Q( x 2 , y 2 , z 2 ) 之距離公式為 PQ = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 （陳進春、張. 太山、蘇哲欽編著，2008）。. （四）距離公式延申-圓方程式利用距離公式將圓的定義轉換成代數方程式。歐幾里得定義圓為從所有到 19.

(33) 一已知點（稱為圓心）為定距離（稱為半徑）的點的集合。假設圓心為 (a, b) ， 2 2 2 半徑為 r， ( x, y ) 為圓上任一點，則圓的方程式為 ( x − a) + ( y − b) = r ，當圓心 2 2 2 為原點時，圓的方程式簡化為 x + y = r （戴永久，1987）。. 三、分點坐標（一）平面上分點坐標意義分點坐標概念，配合國中學過的比例觀念，再推衍出坐標平面上的分點坐標公式。設 A、P、B 為坐標平面上相異三點，且 P 為 AB 上一點，則 P 稱為 AB 之內分點，以 A-P-B 表示。若 A、B 的坐標分別為 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 )，且內分點 P( x, y )將 AB 分割成兩段，即 AP ： PB =m：n，則內分點坐標 P( x, y )為 (. nx1 + mx 2 ny1 + my 2 , ) （謝立人、祝仰濤、林政宏、林建宏、張克旭，2011）。 m+n m+n. 圖 2-8 坐標平面上內分點 P( x, y ). （二）平面上分點坐標延申觀念由內分點坐標公式中，若 m：n=1：1，即 AP ： PB =1：1，則 P 為 AB 的中. 20.

(34) x + x 2 y1 + y 2 1 × x1 + 1 × x 2 1 × y1 + 1 × y 2 , )（謝 , ) ，即 ( 1 2 2 1+1 1+1. 點，則中點坐標 P( x, y )為 (. 立人、祝仰濤、林政宏、林建宏、張克旭，2011）。利用中點坐標公式與分點坐標公式，及三角形重心性質，可推導出三角形重心計算方法，若三角形頂點為 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 )、C( x3 , y3 )，則此三角形重心坐標為 (. x1 + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 , )。 3 3. （三）空間中分點坐標依據平面上分點公式與推論，推導出空間上分點公式，空間中相異兩點 P( x1 , y1 , z1 )、Q( x 2 , y 2 , z 2 )， R( x, y, z ) 為 PQ 線上一點，且 R 介於 P、Q 兩點之間，. PR ： RQ =m：n，則空間中分點坐標分為 (. nx1 + mx 2 ny1 + my 2 nz1 + mz 2 , , )。 m+n m+n m+n. 四、直線的斜率與方程式（一）直線斜率 1.斜率的意義斜率直觀來說，即是我們騎車或走路上坡時，坡度越大的坡，我們就越吃力，這個「坡度」就是坡陡峭的程度，在數學上，我們用水平方向每前進一個單位時，鉛直方向上升或下降多少單位來描述。例如圖 2-9 所示，右邊的坡度就比左邊的坡度大。. 圖 2-9 坡度比較 21.

(35) 通常一個斜坡的傾斜程度，水平方向每移動一單為距離時，鉛直方向上升或下降多少個單位距離來表示。 x1 − x2 和 y1 − y 2 分別表示斜坡 A 點爬到 B 點的水平位移，若 x1 ≠ x2 ，利用下列比值來表示直線傾斜程度，以 m 表示比值（謝立. m= 人、祝仰濤、林政宏、林建宏、張克旭，2011）：. y 2 − y1 y1 − y 2 = x2 − x1 x1 − x2 ；直線 L. 若垂直於 x 軸，直線 L 斜率無意義、不存在；直線 L 若平行於 x 軸，直線 L 斜率為 0；若斜率 m >0，如圖 2-9 左圖；若斜率 m <0，如圖 2-3-5 右圖。. 圖 2-10 直線斜率 2.斜率的特點斜率即代表直線的傾斜程度，所以斜率相同的直線，其傾斜程度也相同，兩直線互相平行。斜率亦可用來判斷兩直線是否垂直，若兩直線垂直，假設直線 L1 與 L 2 均不垂直於坐標軸，斜率分別為 m1 、 m2 ，則 m1 × m2 = −1 。 (1)存在於同一條直線上的任意兩點，其得出來的斜率值都是相同的。 (2)平面座標系中直線由左下向右上傾斜時，斜率為正。 (3)平面座標系中直線由左上往右下傾斜時，斜率為負。 22.

(36) (4)兩平行線的斜率相等，兩垂直線斜率相乘等於-1。 (5)平面座標系中水平線斜率為 0，鉛直線則斜率不存在。下圖表示斜率之變化：. 圖 2-11 直線斜率變化. （二）直線方程式求法 1.平面上直線方程式求法在平面坐標上，每一條直線都可以一個二元一次方程式（直線方程式）表示，直線方程式的基本型（林原宏、謝闓如主編，2014）： (1)點斜式：直線 L 通過點 A( x1 , y1 )，且斜率為 m ，直線 L 的點斜式 y − y1 = m( x − x1 ) 。. (2)斜截式：若直線 L 與 x 軸相交於(a,0)則稱 a 為 L 的 x 截距；若直線 L 與 y 軸相交於(0,b)則稱 b 為 L 的 y 截距，直線方程式寫成 y = mx + b 。 (3)截距式：若直角坐標平面上有一直線 L，其 x 截距為 a，其 y 截距為 b（此. x y + =1 處 ab ≠ 0 ），則 L 的方程式可寫成 a b 。 (4)一般式：對坐標平面上的任一直線，經整理後都可以化成一個二元一次 23.

(37) 方程式， ax + by + c = 0 的形式。 (5)參數式：參數式由直線兩點式推導，L 直線過 ( x0 , y 0 ) 、 ( x1 , y1 ) 兩點，則  x = x0 + ( x1 − x0 )t L 的參數方程式為  參數 t ∈ R 。  y = y 0 + ( y1 − y 0 )t. 直線的型式主要談點斜式，其他型式如斜截式、兩點式等不需另立名稱，可在應用時推導。不要讓學生背太多公式，而是要讓他們多練習推演，在反覆推演的練習中，自然會熟悉斜截式與兩點式（教育部，2008）。 2.空間中直線方程式求法直線 L 通過空間中相異的兩點，直線方程式求法可分為三種，如下所示（林原宏、謝闓如主編，2014）：  x − x1 = m( x 2 − x1 )  (1)空間直線參數方程式：  y − y1 = m( y 2 − y1 )  z − z = m( z − z ) 1 2 1 . (2)空間直線對稱比例式：.  x = x1 + m( x 2 − x1 )  或  y = y1 + m( y 2 − y1 )  z = z + m( z − z ) 1 2 1 . x − x1 y − y1 z − z1 = = x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1. (3)空間直線的兩面式：若兩個不平行的平面，相交於直線 L，則聯立方程式的圖形即為交線 L，此聯立方程式稱為直線 L 的二面式。. （三）點與直線關係若點（ x0 , y 0 ）在直線 L： ax + by + c = 0 上，則點（ x0 , y 0 ）滿足 ax + by + c = 0 ，即 ax0 + by0 + c = 0 。若點 P（ x0 , y 0 ）為直線 L 外一點，則點 P 到直線 L 距離為： d ( P, L ) =. ax0 + by 0 + c a2 + b2. 。. 利用點到直線的距離公式，推導出兩平行線的距離，設兩平線 L1 ： ax + by + c1 = 0 、 L2 ： ax + by + c2 = 0 ，則二平行線直線 L1 到直線 L2 距離為： 24.

(38) d ( L1 , L2 ) =. C 2 − C1 a2 + b2 。. （四）二元一次聯立方程式在坐標平面上，二元一次方程式 ax + by = c 的圖形是一條直線，故又稱為直  a x +b1 y = c1 線方程式，二元一次聯立方程式  1 在坐標平面上的圖形是二條直 a 2 x + b 2 y = c 2. 線，二條直線的交點坐標就是聯立方程式的解。二條直線可分為下列三種情況： 1.兩直線相交於一點，代表二元一次聯立方程式有一組解，稱為「相容方程組」。 2.兩直線重合，相交於無限多點，代表二元一次聯立方程式有無限多組解，稱為「相依方程組」。 3.兩直線不相交，沒有交點，代表二元一次聯立方程式有無解，稱為「矛盾方程組」。二元一次聯立方程式圖形及其解的情形如下表 2-2 所示。表 2-2 點 P 在各坐標軸和各坐標平面的投影及對稱點類. 型. 相容方程組. 說. 明. 相交於一點. 條. 件. a1 b1 ≠ a 2 b2. a1 b1 c1 = = a 2 b2 c 2. 恰有一組解. 無限多組解. 解的情形. 圖. 備. 相依方程組重. 合. 矛盾方程組平. 行. a1 b1 c1 = ≠ a 2 b2 c 2 無. 解. 示. 註. 兩直線若相交一點，則兩直線斜率相乘為 -1，即 m1 × m2 = −1 。. 兩直線若平行，則兩直線斜率相等，即 m1 = m 2 。 25.

(39) 五、函數（一）函數基本概念第一個變量如何去影響第二個變項之規則，技術上，函數(function)是介於唯一地連結第一組的元素和第二組元素之間的對應規則，從第一組元素的變項表徵稱為自變量(independent variable)，函數中第二組變項的值依照第一組變項之值而改變，稱作依變量(dependent variable) （張英傑、周菊美譯，2005）。函數以抽象方式表徵量與量的關係，並以關係、數列、公式、函數等方式呈現；函數是表徵兩量關係的基本語言。函數概念的建立需要較長時間的鋪陳，可能的鋪陳步驟為（教育部，2008）： 1.觀察樣式規律性。 2.列表紀錄測量所得之兩量，這是建立自變量與應變量的前置經驗。 3.以繪圖方式呈現兩量關係的規律性。 4.未知量的測量。 5.公式與函數模型的建立。 6.以方程式呈現兩量關係。. （二）函數圖形函數圖形的繪製是培養學生「函數感」的重要歷程；而「函數感」是指對於函數的圖形特徵、這些特徵所對應的現實意涵、以其作為數學模型的典型問題等，三者綜合認識，一次函數圖形特徵有斜率與截距，二次函數的特徵包括：頂點坐標、開口方向等（教育部，2008）。函數學習關係如圖 2-12。. 26.

(40) 圖 2-12 高中的函數概念關係資料來源：教學對高中生學習函數概念的影響，吳玫瑤，2001，頁 21。 1.一次函數圖形：在函數 y = f (x) 中，若對每一個 x 的值確定後， y 的值亦隨之可以確定，便產生有序數對 ( x, y ) ，將這些有序數對 ( x, y ) 描繪在坐標平面上，則每一序對皆可在坐標平面上找到其對應的點，所有的點以平滑的曲線連起來，即可得到 y = f (x) 的圖形。凡能化成 y = ax + b （ a , b 為實數， a ≠ 0 ）之圖形之函數，稱. 為一次函數，圖形為斜直線。若 y = ax + b ，當 a = 0 時，稱為常數函數，圖形為水平線。 2.二次函數圖形凡能化為 f ( x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 之型式者，稱為二次函數。例：有一正方方形的花園其邊長為 x ，面積為 y ，則關係式 y = x 2 ， y 是 x 的二次式，稱此函 27.

(41) 數為 x 的二次函數。二次函數之圖形特徵：圖形為拋物線，在 y 軸左右對稱， y 軸是圖形的對稱軸，其頂點為 (-. b b 4ac - b 2 , ) ，對稱軸為 x = − 。 2a 4a 2a. （1）若 a > 0 時，開口朝上，圖形有最低點，即當 x = − 最小值. 4ac − b 2 。 4a. （2）若 a < 0 時，開口朝下，圖形有最高點，即當 x = − 最大值. b 時， y = f (x) 有 2a. b 時， y = f (x) 有 2a. 4ac − b 2 。 4a. （三）函數之表徵 Lesh、Post 和 Behr(1987)將數學學習分為五種表徵類型： 1.實物情境(real scripts)表徵：由真實情境的物體或知識等，來解釋問題中的情境或內容。例如：利用腳步長度來測量教室的長度與寬度，而推估教室的面積。 2.教具模型(manipulative model)表徵：必需配合概念才具備意義的教具。例如：利用玩具鈔票、圓形分數板等教具，建立符合問題情境的關係與運算。 3.圖形、圖示或圖表模型(static pictures)表徵：指靜態的圖形模式，透過圖形模式的運用，可被內化為心像(image)。例如：透過數線、直角坐標平面、長條圖等。 4.口說方言(spoken language)表徵：指日常生活用的口語符號，可以解釋數學概念，以解決數學問題。例如：五分之一。 5.書寫符號(written symbols)表徵：意指常用的數學算式或符號系統等。例如： y=3x+6 等。. 28.

(42) 圖 2-13 表徵系統互動模式資料來源：Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1987). Representations and translations among representation in mathematics learning and problem soving. In C. Janvier(Ed.). Problems of representation in teaching and learning of mathematics, P.34. Leinhardt、Zaslavsky 及 Stein(1990)認為函數的代數與圖形表徵是兩種非常不同的符號系統，並提出表徵轉換的意義如下：(一)確認相同函數的不同表徵；(二)識別函數從一種表徵到對應表徵的特定轉換過程；(三)指定其他的表徵，建構一種函數表徵。Leitzel(1989)則將函數的表徵分為三種：表格、圖形、代數。代數是指變數之間的恆等關係式；表格是指給定一個 x 值，就可得到一個 y 值之列表；圖形則是指函數圖形。函數之所以複雜難學，其中一個主要的原因，就是函數可以用多種不同的設置及表徵呈現。數學教學需運用不同表徵來協助學生發展數學概念，Dreyfus (1991) 認為透過表徵之數學學習有四個階段：透過單一表徵了解數學概念、學習到其他平行的表徵、平行表徵之間的相互連結、整體地將所有表徵整合。. 29.

(43) 用多樣表徵來表達同一數學概念以及做表徵間的互換可以有助於發展更完善的概念架構，加深對概念的理解，由於函數概念的表徵有許多樣，瞭解其中一樣未必就理解另一樣表徵(Even,1998)。胡惠茹（2009）研究探討國三學生在不同表徵型式（圖形、數對、代數和文字敘述）之二次函數問題的解題表現，發現學生在圖形表徵題的答對率最集中，而在數對表徵題的答對率最分散。不同數學能力的國三學生在解題策略及表徵喜好有所異同，高數學能力學生比較喜歡文字敘述題，其次為圖形表徵題、代數表徵題、數對表徵題；而中、低數學能力組的學生，比較喜歡數對表徵題，其次為圖形表徵題、代數表徵題、文字敘述題。丁斌悅（2002）以 Sfard（1991）的概念發展理論為依據，來探究北市 25 名國二學生，對學習線型函數時解題概況。他將二元一次方程式與線型函數的概念用以下三個主要表徵（表列、代數式、圖形）呈現，依這三個主要表徵分成「內化」、「壓縮」、「物化」三個層次，設計二元一次方程式測驗卷（前測用）及線型函數測驗卷（後測用），以瞭解學生在每個表徵的認知發展情形、解題策略、迷思概念與錯誤類型，並佐以訪談來深入瞭解學生的想法。研究結果發現：國二學生在學習線型函數概念時，三個主要表徵的認知發展情形步調都有所不同。在 .05 的顯著水準下：「表列」表徵的整體表現優於「代數式」表徵。 「圖形」表徵的整體表現優於「代數式」表徵。「表列」表徵的整體表現與「圖形」表徵沒有顯著差異。綜合上述，函數學習有不同表徵類型，各學者分類不盡相同，最主要運用三個主要表徵，包含表列、代數式、圖形表徵呈現。. 30.

(44) 第三節教科書之重要性與評選教科書在教學過程中佔有重要的角色，不但影響教師教學，也影響學生的學習，本節將從教科書的重要性及評選規準進行討論。. 一、教科書的重要性教科書為學生學習的主要資料，協助教師教學的利器，其功用有三（黃政傑，1989）：教材是實現教育目標的重要工具、教科書可以節省教師編輯教材的時間、教科書可以幫助學生學習。教科書是教師教學主要依據與素材，學生學習過程中活動重要的內涵，也是達成教育理想的重要工具，教育機會均等、教育品質與教育效能等都要藉由教科書來實現（黃政傑，2002；藍順德，2006）。藍順德（2006）認為教科書的功能主要有 1.教師教學主要依據、2.有利學生學習、3.課程改革指標、4.升學考試主要範圍、5.確保教育基本品質、6.教育目標的實現與 7.家長經濟負擔的減輕。教科書為學生學習的利器，同時也是協助教師進行教學的重要工具，其主要的功能有幾點（周珮儀，2002；黃政傑， 1989）：（一）教科書將龐雜的人類知識、經驗和價值去蕪存菁，有系統地陳述學科內容，以合乎邏輯和教育目的的次序安排教學內容與主題，能夠實現國民教育目標、貫徹國家教育政策。（二）教科書和相關的教學指引與習作，提供教師發問的問題、測驗題目、學生的活動與正確的解答，減輕教師的教學負擔，增進教師運用教學時間的效率，節省教師編輯教材的時間。（三）由於課程內容具有各種不同的學科，教師很難兼具這些專業，而教科書正可以提供各科的專門知識。（四）教科書設定了教師和學生的學習歷程，使教師、學生、家長和行政人員都可以了解教學進行的順序和目的與學生的學習狀況，作為輔導與改進的依據。（五）教科書可以幫助學生學習，教科書的編輯依照學生學習心理，合. 31.

(45) 理的選擇、組織並排列教材，以生動的方式提供學生學習，而且，教科書除了文字說明外，尚有插圖、表、練習與作業指導等，是學童學習的利器。因此，教科書在教學過程中占有重要地位，如何選擇適當教科書成為教學前重要準備工作，不容忽視。. 二、教科書評選規準隨著教科書開放，教科書版本多元化，數學教科書分析和評鑑愈顯重要。國內外有關於教科書的評鑑規準目前已有許多文獻可供參考， Gall（1981）提出的評鑑規準包含四類，如下說明： 1. 發行與費用考量作者合格與否、費用合理與否、購買程序與師資訓練等。 2. 物理屬性考慮美感、耐用性、成分（教學指引、習作、影片等）、品質（紙張、裝訂、是否反光）等等。 3. 內容屬性考量教學目標是否清楚、多元文化、範圍順序、性別角色及有無時效性。 4. 教學屬性考量評量設計、可理解性、配合性、個別化（適合不同學習者）、教學效果、教學型態、先備條件是否清晰、可讀性、教師及學生角色主動或被動等等。 DuKe（1985）指出六項評鑑要點，分別為： 1. 物理特性紙質、裝訂、插圖、結構外觀、耐用性、聲音顏色的品質等。 2. 目標清楚敘述否、有無與主題一致、是否適當。 32.

(46) 3. 教學的應用學生是否能參與、學生能力是否能擴展、與其他科目相關、無經驗教師可用性、學生創造發展的活動等。 4. 內容評鑑適合於目標群體、正確性、發展批判思考、寫作技術良好等。 5. 範圍與順序涵蓋基本能力、教師手冊實用。 6. 文化敏感教材的處理包括人種、性別、宗教及其他等。國內的學者黃政傑（1990）亦有提出選用規準如下： 1. 發行：教材自發展至成品出現、推廣等程序。 2. 外表：課程材料的物理特性。 3. 內容：包括事實、概念、原則、理論、方法、程序、價值、角色等。 4. 教學：指教材是否便利老師的「教」與學生的「學」。 5. 效果：（外在規準）實際產生的效果。 6. 學生：對象、動機興趣、未來進路、可讀性、可理解性等。 7. 教師：教學指引、使用條件、必備能力、激發研究、調整方法、教師角色等。 8. 其他：簡介、提示、實例、問題、操作、練習、測驗、回饋、內容歸納、自學指導。歐用生（1995）提出的評鑑和選擇教科書的一般效標如下： 1. 物理特性：外觀、印製、字體、裝訂、紙張。 2. 內容屬性：理論基礎、目標、均衡、範圍和順序、主題選擇、知識正確性和時效性、潛在課程。. 33.

(47) 3. 使用屬性：可讀性、可理解性、分量（是否適合教學時間）、評量形式、教學型態、相關教材。 4. 發行屬性：發行者、作者、發行日期、費用、附屬性質、研究發展。張清濱（1996）在教科用書的編印、審定與選用：一些理論與實務的探討中，將優良教科書的指標分析歸納如下：1.教育性：把握國家的教育政策與目標、2.規範性：遵循課程標準或課程綱要、3.正確性：內容、圖文、數據、資料須正確、4.結構性：哲學理念的架構與組織須完整、5.邏輯性：根據兒童身心發展的邏輯順序編輯、6.銜接性教科書的前後、左右、上下須連貫、完整、7.可讀性：難易度須適合學生的能力及程度、8.趣味性：教學活動設計、圖表，富變化及兒童化、9.一致性：價值觀念與社會現況的價值觀一致、10.公平性：對各種族群、性別、宗教、黨派、語文公平對待、11.創造性：教材以問題解決為導向，富挑戰性與批判思考、12.增強性：插圖等要能增強內容的學習，並能環環相扣、13.實用性：紙質、字體大小、裝訂牢固，並能達成教育目標、14.價值性：價格的合理性與後續出版的延續性是否穩定可靠、15.服務性：售後服務的配套措施與特殊學生的需求能否滿足。從數學教科書評鑑報告(2007)的評鑑項目可區分為：1.設計理念：對於教科書在課程上各面向的設計加以分析，了解不同版本的數學教科書設計理念；2. 與能力指標之符合度：對於各版數學教科書的教材內容與「能力指標」的符合程度；3.內容與組織：分析各教材組織之間的整體性和連貫性；五大主題是屬於內部的連結，而與其他領域、生活經驗等屬於外部的連結；4.活動設計與取材：包含了活動設計和內容份量的適當性、活動的趣味性、學習活動導向、反思與討論活動、學生個別差異和經驗的考量和評量的多樣性；從評鑑報告當中所細分的項目可以知道數學教科書的各版本之間內容重要性。. 34.

(48) 教科書評鍵規準尚有許多文獻資料，歸納國內外文獻所提及之內容，大部分評鑑規準可分為四大部分，就是內容、教學、物理、行政（出版特性）等四部分，本研究則將著重於內容部分進行分析，主要針對各小節安排、教材觀念呈現及教材內容等進行分析，瞭解各版本內容之異同及其優點。. 第四節數學教科書之相關研究本節搜集國內碩博士論文資料，先將與數學教科書內容分析相關論文整理，以便瞭解相關研究的主題、對象及方法。進一步針對本研究主題─直線方程式，彙整相關論文研究資料，了解目前對本單元之研究情形。. 一、數學教科書相關研究本研究以「臺灣碩博士論文知識加值系統」資料庫為主要蒐尋對象，利用關鍵字「教科書」及「數學」搜尋資料，並從中刪除與本研究無關與重複之部分後，得二十筆資料，針對二十筆資料進行分析。以下依據研究年代先後進行排序，並以研究主題、研究對象和研究方法進行分析。. （一）以研究主題方向分析數學教科書論文研究方向主要以「數與量」研究為主，共九篇最多；其次以「內容分析比較」為主題之研究，計八篇；以「九年一貫課程比較」為主之研究計二篇；另尚有「幾何」為主題之研究計一篇。從研究主題分析發現，數學教科書研究大部份研究方向為「數與量」部份，其次為教科書內容分析比較。目前國內較少有關直線方程式單元之教材內容相關研究。二十筆論文資料中有關於中學教科書研究有四篇，羅瑞珍（1990）以內容分析法、文獻分析法研究國中數學教科書，整理出數學能力分為四大類別：知識、基本技能、心智方法、非認知與形上認知；數學素養學習經驗分為五大類 35.

(49) 型：價值、信心、解題、溝通、推理。陳穎希（2001）以內容分析法、訪談法研探究國中數學新舊教材之比較，以教學目標、教材順序、教學時數、內容與範圍等方面進行新舊教材比較。廖光永（2011）從高職教師角度進行 95 暫綱、99 課綱高職數學 B 教材內容之比較研究，發現（1）99 課綱增加「能熟練多項式、指數、對數的運算及相關之估算」、「面對問題能做數學的猜測並能以此猜測進行探究」、「能將數學知識與具體世界做連結」、「能正確、流暢地利用口語或文字表達解題想法」、「能應用計算器與軟體來解決職業群中的實務問題等」等五項科目目標，符合國內外數學教育所強調的能力和趨勢，並延續九年一貫數學課程的設計理念與目標。（2）透過教材內容設計，教師的教學活動、教學及評量方法的調整，能夠落實 99 課綱高職數學 B 在教學目標的調整。99 課綱高職數學 B 教材的內容增加，但部訂 12 學分的教學時數明顯不足。（3）增加微積分及其應用，以奠定商業類群學生未來大學相關專業科目學習的基礎。（4）「三角函數的應用」和「三角函數」拆開，教學時程間隔一年半，課程缺乏銜接與連貫性。（5）課程主題內容整合，有助於學生理解、應用與比較，主題明確可提高學習效率。柯書郁（2013）探討高中數學排列組合單元教材內容分析發現： 1.各版本排列組合教材結構之概念呈現順序、內容有些不同，但都是依循符合邏輯思維的順序，概念由低層次循序漸進至高層次概念介紹與學習，其共同概念比例佔高中排列組合相關概念高達約百分之八十六。2.在各版本排列組合教材結構中，教材內容大部分符合 99 高中數學課程綱要規範編寫而成之教材內容，各版本共同皆有排列組合單元核心概念外，其餘各版本各自補充的概念皆各有所長。從中學數學教科書研究資料可以發現，主要為教材內容分析或新舊教材內容比較分析，本研究將以直線方程式各小節安排、教材觀念呈現及教材內容…等方面進行討論，藉由分析比較更瞭解各教材的異同之處。. 36.

(50) 表 2-3 國內數學教科書相關研究之研究主題方向分析（以年代排序）研究主題方向. 研究者（年代）. 篇數. 蔡麗蓉（2003）、吳月瑛（2004）陳穆鶯（2005）、孫德蘭（2006）數與量. 李金葉（2007）、蘇琵雅（2009）. 9. 蕭弘卿（2009）、余佳倫（2010）易庭緯（2011）幾何. 李豪文（2008）. 1. 羅瑞珍（1990）、陳穎希（2001）吳明穎（2002）、張雅茹（2007）內容分析比較. 8 廖曼伶（2007）、李盈萩（2008）廖光永（2011）、柯書郁（2013）. 九年一貫課程比較. 麥昌仁（2004）、孫菁璣（2008）. 2. 資料來源：研究者自行整理。. （二）以研究對象分析以研究對象來看，大多以國小數學教科書為主，共計十六篇，占數學教科書研究之多數；國中數學教科書為主題之研究，共二篇；高中及高職數學教科書研究，各一篇。依據教科書研究對象分析發現，高中職數學教科書研究較缺乏，從 2011 年開始出現高中職之數學教科書研究（廖光永，2011；柯書郁，2013）。. 37.

(51) 表 2-4 國內數學教科書相關研究之研究對象分析（以年代排序）研究對象. 研究者（年代）. 篇數. 吳明穎（2002）、蔡麗蓉（2003）吳月瑛（2004）、麥昌仁（2004）陳穆鶯（2005）、孫德蘭（2006）國小. 李金葉（2007）、張雅茹（2007）廖曼伶（2007）、李豪文（2008）. 16. 李盈萩（2008）、孫菁璣（2008）蘇琵雅（2009）、蕭弘卿（2009）余佳倫（2010）、易庭緯（2011）國中. 羅瑞珍（1990）、陳穎希（2001）. 2. 高中. 柯書郁（2013）. 1. 高職. 廖光永（2011）. 1. 資料來源：研究者自行整理。. （三）以研究方法分析在數學教科書研究中，如表 2-5 內容分析法是大部份的研究者所採用的方法，共計十七篇（羅瑞珍，1990；陳穎希，2001；蔡麗蓉，2003；麥昌仁， 2004；陳穆鶯，2005；李金葉，2007；張雅茹，2007；廖曼伶，2007；李豪文，2008；李盈萩，2008；孫菁璣，2008；蘇琵雅，2009；蕭弘卿，2009；余佳倫，2010；易庭緯，2011；廖光永，2011；柯書郁，2013）。其次為訪談法，共五篇（陳穎希，2001；吳月瑛，2004；孫德蘭，2006；廖曼伶，2007；廖光永，2011）；文獻分析法三篇（羅瑞珍，1990；吳明穎，2002；陳穆鶯，2005）；比較分析法二篇（李盈萩，2008；易庭緯，2011）；觀察法二篇（吳月瑛，2004；孫德蘭，2006）。從研究方法分析，內容分析法仍為目前教科書研究之主要方法，本研究也使用內容分析法作為研究方法，並以比較分析法發探討各版本教科書之異同。 38.

(52) 表 2-5 國內數學教科書相關研究之研究方法分析（以年代排序）研究方法. 研究者（年代）. 篇數. 羅瑞珍（1990）、陳穎希（2001）蔡麗蓉（2003）、麥昌仁（2004）陳穆鶯（2005）、李金葉（2007）張雅茹（2007）、廖曼伶（2007）內容分析法. 李豪文（2008）、李盈萩（2008）. 17. 孫菁璣（2008）、蘇琵雅（2009）蕭弘卿（2009）、余佳倫（2010）易庭緯（2011）、廖光永（2011）柯書郁（2013）陳穎希（2001）、吳月瑛（2004）訪談法. 孫德蘭（2006）、廖曼伶（2007）. 5. 廖光永（2011）文獻分析法. 羅瑞珍（1990）、吳明穎（2002）陳穆鶯（2005）. 3. 比較分析法. 李盈萩（2008）、易庭緯（2011）. 2. 觀察法. 吳月瑛（2004）、孫德蘭（2006）. 2. 資料來源：研究者自行整理。. 二、直線方程式相關研究從附錄二發現，直線方程式相關論文研究方向，主要分為四部分：. （一）直線方程式思惟歷程分析「高中生處理直線方程式思維歷程分析」（鄭世正，2003）探討高中生處理直線方程式截距之思維歷程以及高中生處理不同外在表徵的二元一次方程式與直線的想法。研究結果：高中生處理直線方程式截距思維歷程方面：學生的作答表徵形式主要為表列式與代入法兩種。高中生處理不同外在表徵的二元一次. 39.

(53) 方程式與直線的想法方面其共同點為：一開始都不知道這六個敘述哪些是代表相同的概念；最後都化成某種相同之方程式作為判斷相同概念之依據；解題歷程都有利用座標幾何畫出一條直線出來；都能夠對不同外在表徵的二元一次方程式與直線之間的關係作適當的轉譯。. （二）直線方程式表徵問題探討探討七年級學生在不同表徵型式之直線方程式圖形的解題表現（郭錦蓉， 2012），檢驗表徵概念互逆問題的相關性，分析不同性別、不同數學能力在整體的解題表現和三個不同向度(視覺的、數字的、抽象的)解題表現的差異。研究結果發現：不同數學能力的學生在不同表徵型式的整體解題表現有顯著差異，不同數學能力的學生在解題過程和想法、互逆問題的喜好、表徵型的喜好有所差異，其中以高數學能力組的喜好最為一致，比較喜歡圖形表徵題>代數表徵題 >數對表徵題>文字敘述題，而中低數學能力的喜好差異就比較大。. （三）錯誤題型分析研究李美君（2008）研究高職學生線型函數相關特徵概念錯誤類型分析發現，學生在斜率相關題型之解題表現主要是受到「斜角的概念」、「直線的傾斜度與傾斜方向」影響；在截距相關題型之解題表現主要是受到的「截距的概念」、「線型函數代數式中係數、直線斜率、截距間的關係混淆」影響；在解線型函數代數式運算的題目時，主要的錯誤導因於「平移概念混淆」、「混淆線型函數代數式與方程式的關係」以及演算過程的錯誤。「直線方程式錯誤題型分析」從學生在直線方程式解題表現來分析學生錯誤的類型和原因（李欣潔，2004；鐘明宏， 2013），發現直線方程式主要錯誤類型為：（1）對定義及公式的概念不清。（2）新舊學習經驗的相互干擾。（3）代數與幾何之間，無法作連結。（4）忽略題目所給條件、把給定的條件特殊化。（5）受題目情境設計、文字敘述及編排方式的影響。（6）由題目所給數字產生答案。（7）不合邏輯的推論。（8）粗心疏 40.

(54) 忽或明顯的計算錯誤。. （四）直線方程式補救教學之研究鐘明宏（2013）除針對「直線方程式」單元錯誤較嚴重的主題分析其錯誤類型成因，也設計補救教學教材，並進行補救教學活動。補救教學之成效分析發現，補救教學活動之後，學生在後測各題的答對率皆高於前測。以段考表現分析，「有參與補救教學的學生」在段考的答對率亦更高於後測的答對率。段考與後測每一題的表現均比「未參與補救教學的學生」好。由上述研究資料發現，高職此單元研究較少，且目前研究主要以錯誤成因分析較多。附錄二針對直線方程式相關論文整理，依據研究主題、研究內容與結論彙整如表。. 41.

(55) 42.

(56) 第三章研究設計與實施此章主要說明本研究的設計與實施方式，共分成四節：第一節說明研究設計，第二節說明研究對象，第三節說明研究工具與信效度考驗，第四節說明資料處理與分析。. 第一節研究設計本小節依據研究目的，確認教科書進行分析之研究架構、研究流程、研究方法等。. 一、研究架構本研究主要分析高職數學 B 版「直線方程式」內容，依據教育部公布之教材大綱共分為五部分，分別為：直角坐標、距離公式、分點坐標、直線的斜率與方程式、函數等，並以此五項比較各版本教科書的內容及其差異，研究架構如圖 3-1 所示：. 高職數學 B 版直線方程式教科書分析數學內容. 43. 函數. 圖 3-1 研究架構. 直線的斜率與方程式. 分點坐標. 距離公式. 直角坐標. 內容分析比較.

(57) 二、研究流程本研究與指導教授進行後，擬定研究方向，閱讀相關文獻後，決定以高職數學 B 版直線方程式教材作為研究主題，進一步確認研究方法與對象，搜集相關文獻做為理論及分析項目的基礎，本研究在分析上，先將十二個不同版本高職數學 B 版一年級教科書，依據教育部頒訂教材大綱，將各版本直線方程式單元教材編排順序、教材觀念呈現及教材份量分配進行彙整與歸納，瞭解各版本數學教科書的特色與差異，研究流程如圖 3-2。. 擬定研究方向搜集文獻界定研究主題決定研究方法與對象文獻探討. 建立並定義分析類項. 比較分析. 資料分析與討論. 結論與建議圖 3-2 研究流程 44.

(58) 三、研究方法本研究依據研究架構，分析比較不同版本高職數學教科書在數學內容（直角坐標、距離公式、分點坐標、直線的斜率與方程式、函數）五方面之單元教材編排、教材觀念呈現、教材份量分配等，瞭解各版本數學教科書之特色與差異。李淑芬認為(1988)比較研究法指分析兩種以上的制度和現象，可以區分為橫面式和縱線式兩種，橫面式：指兩個不同個體的互相比較研究；縱線式：指一個個體和自己過去的歷史做比較。本研究將採用橫面式的比較研究。鄭世仁（1996）內容分析的基本假設：在一個固定的空間中，例如報紙的版面、教科書的課文數量等，某一事物受到關切的程度與其出現之次數有正相關。傳統的內容分析法著重於量的研究，只重視統計數量的獲得，歐用生（1991）認為內容分析法應再深入探討潛在內容的部分。所以現在內容分析係指透過量化的技巧及質的分析，以客觀有系統的態度，對文件和內容進行研究和分析，是一種質與量並重的研究方法（歐用生，1994）。楊孝濚（1989）認為內容分析是以傳播內容量的變化來推論質的變化。由表 2-5 發現內容分析法為最普遍使用於教科書分析的研究方法，本研究所使用之內容分析法，依據課程綱要、目標，將直線方程式內容整理歸納，並依據文獻探討的分析，自行設計分析的類目。本研究採用比較分析法及內容分析法，先以比較分析法探究不同版本高職數學教科書所呈現之教材編排順序、教材觀念呈現等特色與差異，再以「量化分析」方式探討直線方程式各版本教材內容差異情形，並以「質性分析」方式，針對分析類目時的註解、研究者的研究紀錄等，進行更深入的分析與討論。. 45.