國立臺中教育大學數學教育學系碩士班
碩士論文
指導教授：甯 平 獻 博士
一個國小五年級兒童的面積概念
研究生：溫 山 明 撰
中 華 民 國 九 十 八 年 七 月
摘 要
本 研 究 的 目 的 主 要 在 探 索 國 小 高 年 級 兒 童 的 面 積 概 念 的 解 題 活 動 類 型 ， 利 用 教 學 晤 談 法 對 一 個 國 小 五 年 級 學 童 — 小 蓉 （ 假 名 ） 在 真 實 情 境 與 GSP 情 境 中 ， 進 行 十 一 次 的 教 學 晤 談 。 蒐 集 其 對 矩 形 、 平 行 四 邊 形 、 梯 形 和 三 角 形 等 問 題 的 解 題 活 動 資 料 ， 在 根 據 分 析 結 果 ， 本 研 究 假 設 小 蓉 的 面 積 概 念 具 有 以 下 性 質 ： 一 、 能 利 用 調 整 成 相 同 的 排 列 方 式 或 先 進 行 造 型 的 分 類 比 較 ， 解 決 面 積 保 留 概 念 的 題 型 。 二 、 對 於 面 積 測 量 的 方 格 紙 情 境 ， 以 分 割 、 點 數 和 合 併 的 方 式 計 算 。 三 、 可 以 操 作 共 同 測 量 ， 藉 由 中 間 媒 介 測 量 兩 物 件 ， 進 而 比 較 面 積 大 小 。 四 、 平 行 四 邊 形 的 高 是 一 半 的 切 開 線 。 五 、 無 論 是 在 平 行 四 邊 形 、 梯 形 ， 或 三 角 形 畫 高 的 題 型 中 ， 小 蓉 認 為 ， 高 是 由 底 邊 所 對 應 的 頂 點 而 連 成 的 直 線 。 六 、 對 於 指 定 面 積 的 三 角 形 造 形 活 動 ， 均 以 2 公 分 為 底 邊 進 行 解 題 ， 但 仍 無 法 成 功 。 七 、 對 於 非 切 割 成 1/2 單 位 方 格 圖 形 的 掌 握 小 蓉 依 然 無 法 成 功 解 題 。 關 鍵 詞 ： 面 積 概 念 、 GSP 情 境 、 教 學 晤 談 法Abstract
The main purpose of this study was to investigate the children’s conceptions of Area. Shou-Rong (pseudo name), a 5t h-grade child, was examined eleven times by means of Teaching-Interview within both paper-and-pencil and GSP environment. The data of children’s activities in diverse configurations (i.e., rectangle, parallelogram, trapezium and triangle) were collected. The results have found several properties of Shou-Rong’s conceptions of Area as the following:
1. Shou-Rong can solve questions of the conservation by means of adjusting the permutation or classification by comparing shapes.
2. Shou-Rong can calculate areas by means of the methods of cutting、
counting and merging in the grids paper situation.
3. Shou-Rong can manipulate the mastery of common measures. It means that she could measure two objects using mediators and by which she could compare the area.
4. Shou-Rong considered that the height of parallelogram was a cutting line that split the parallelogram into two parts.
5. Shou-Rong considered that the height was a straight line from the base to the apex in all activities of rectangles, parallelograms, trapeziums and triangles.
6. Shou-Rong failed to solve the activities of making up the configurations in designating the area of the triangle with a 2-cm. base.
7. Shou-Rong failed to solve the activities of the graph of non-half square unit.
目 錄
摘 要 ... I Abstract ... III 目 錄 ...V 附 表 目 次 ... VII 附 圖 目 次 ... VIII 第 一 章 緒 論 ... 1 第 一 節 研 究 背 景 ... 1 第 二 節 研 究 目 的 ... 4 第 三 節 論 文 組 織 ... 5 第 二 章 文 獻 探 討 ... 7 第 一 節 知 識 論 立 場 及 心 理 學 上 的 理 論 背 景 ... 7 第 二 節 兒 童 的 空 間 幾 何 概 念 與 面 積 概 念 ... 10 第 三 節 面 積 與 GSP ... 18 第 二 節 兒 童 面 積 概 念 發 展 之 相 關 研 究 ... 20 第 三 章 研 究 方 法 及 實 施 過 程 ... 23 第 一 節 教 學 晤 談 法 的 意 義 與 目 的 ... 23 第 二 節 晤 談 問 題 的 內 容 與 結 構 ... 24 第 三 節 受 試 者 的 選 擇 ... 27 第 四 節 晤 談 實 施 步 驟 ... 28 第 五 節 資 料 整 理 分 析 的 方 法 與 過 程 ... 29 第 四 章 小 蓉 的 面 積 概 念 ... 33 第 一 節 面 積 保 留 概 念 的 解 題 活 動 類 型 ... 33 第 二 節 面 積 測 量 概 念 的 解 題 活 動 類 型 ... 47 第 三 節 矩 形 面 積 公 式 的 解 題 活 動 類 型 ... 71 第 四 節 平 行 四 邊 形 面 積 公 式 的 解 題 活 動 類 型 ... 83 第 五 節 梯 形 面 積 公 式 的 解 題 活 動 類 型 ... 93 第 六 節 三 角 形 的 面 積 公 式 的 解 題 活 動 類 型 ... 102第 五 章 結 論 與 建 議 ... 123 第 一 節 結 論 ... 123 第 二 節 建 議 ... 127 參 考 文 獻 ... 131 一 、 中 文 ... 131 二 、 英 文 ... 133 附 錄 ... 135 附 錄 一 訪 談 問 題 ... 135 附 錄 二 ： 訪 談 原 案 ... 153
附 表 目 次
表 2-1 動 作 表 徵 與 心 理 意 義 對 照 表 ... 19
表 5-1 小 蓉 解 決 面 積 保 留 概 念 問 題 的 解 題 活 動 類 型 ... 123
表 5-2 小 蓉 解 決 面 積 測 量 概 念 問 題 的 解 題 活 動 類 型 ... 124
附 圖 目 次
圖 2-1 Piaget 牛 吃 草 的 面 積 保 留 概 念 試 驗 ... 14 圖 2-2 疊 置 法 面 積 測 量 概 念 實 驗 ... 16 圖 2-3 單 位 測 量 法 面 積 測 量 概 念 實 驗 ... 17 圖 3-1 面 積 基 本 保 留 概 念 馬 吃 草 測 試 圖 ... 25 圖 3-2 面 積 互 補 保 留 概 念 測 試 圖 ... 25 圖 3-3 GSP 情 境 獨 立 覆 蓋 物 測 量 圖 ... 26 圖 3-4 A4 紙 張 測 量 圖 ... 26 圖 3-5 平 行 四 邊 形 圖 形 卡 ... 27 圖 3-6 GSP 情 境 中 ， 梯 形 求 面 積 圖 ... 27 圖 4-1 面 積 保 留 概 念 公 仔 排 列 ... 38 圖 4-2 GSP 面 積 保 留 概 念 測 試 圖 ... 43 圖 4-3 GSP 互 補 面 積 保 留 概 念 測 試 圖 ... 45 圖 4-4 紙 張 覆 蓋 活 動 圖 1 ... 48 圖 4-5 紙 張 覆 蓋 活 動 圖 2 ... 49 圖 4-6 紙 張 覆 蓋 活 動 圖 3 ... 51 圖 4-7 方 格 紙 三 角 形 面 積 測 量 ... 56 圖 4-8 非 合 成 非 1/2 單 位 面 積 成 整 數 單 位 測 量 圖 ... 57 圖 4-9 GSP 情 境 獨 立 覆 蓋 物 測 量 圖 2 ... 60 圖 4-10 GSP 情 境 中 ， 合 成 非 單 位 量 進 行 面 積 的 估 測 圖 ... 62 圖 4-11 GSP 情 境 中 ， 矩 形 公 式 面 積 的 測 量 圖 ... 64 圖 4-12 GSP 情 境 中 ， 平 方 公 分 板 面 積 覆 蓋 活 動 圖 1 ... 66 圖 4-13 GSP 情 境 中 ， 平 方 公 分 板 面 積 覆 蓋 活 動 圖 2 ... 66 圖 4-14 GSP 情 境 中 ， 格 點 覆 蓋 計 算 面 積 活 動 圖 ... 69 圖 4-15 矩 形 面 積 計 算 圖 ... 72 圖 4-16 正 方 形 面 積 計 算 圖 1 ... 73 圖 4-17 正 方 形 面 積 計 算 圖 2 ... 75 圖 4-18 矩 形 面 積 造 形 活 動 圖 ... 75圖 4-19 GSP 情 境 中 ， 矩 形 面 積 計 算 圖 ... 77 圖 4-20 GSP 情 境 中 ， 由 矩 形 面 積 求 邊 長 ... 78 圖 4-21 GSP 情 境 中 ， 正 方 形 邊 長 求 面 積 圖 ... 79 圖 4-22 GSP 情 境 中 ， 正 方 形 面 積 求 邊 長 圖 ... 80 圖 4-23 GSP 情 境 中 ， 正 方 形 造 形 活 動 圖 ... 81 圖 4-24 平 行 四 邊 形 合 併 成 長 方 形 圖 卡 ... 84 圖 4-25 斜 平 行 四 邊 形 轉 化 成 長 方 形 合 併 失 敗 圖 ... 85 圖 4-26 平 行 四 邊 形 畫 高 圖 ... 87 圖 4-27 平 行 四 邊 形 面 積 計 算 圖 ... 89 圖 4-28 平 行 四 邊 形 面 積 切 割 合 併 成 長 方 形 圖 ... 90 圖 4-29 GSP 情 境 中 ， 底 邊 非 水 平 方 向 之 面 積 計 算 ... 92 圖 4-30 梯 形 畫 高 圖 ... 94 圖 4-31 全 等 梯 形 所 拼 成 的 平 行 四 邊 形 的 面 積 圖 ... 95 圖 4-32 梯 形 面 積 計 算 圖 ... 97 圖 4-33 GSP 情 境 中 ， 梯 形 畫 高 圖 ... 98 圖 4-34 GSP 情 境 中 ， 梯 形 面 積 求 底 圖 ... 102 圖 4-35 三 角 形 拼 成 平 行 四 邊 形 的 造 形 活 動 圖 ... 103 圖 4-36 方 格 紙 情 境 中 ， 求 三 角 形 面 積 圖 ... 105 圖 4-37 方 格 紙 情 境 中 ， 矩 形 造 形 活 動 圖 ... 106 圖 4-38 方 格 紙 情 境 中 ， 三 角 形 造 形 活 動 圖 ... 106 圖 4-39 GSP 情 境 中 ， 三 角 形 合 併 成 平 行 四 邊 形 造 形 活 動 圖 ... 109 圖 4-40 GSP 情 境 中 ， 三 角 形 畫 高 圖 ... 110 圖 4-41 GSP 情 境 中 ， 三 角 形 面 積 公 式 計 算 面 積 圖 1 ... 113 圖 4-42 GSP 情 境 中 ， 三 角 形 面 積 公 式 計 算 面 積 圖 2 ... 114 圖 4-43 GSP 情 境 中 ， 三 角 形 面 積 公 式 計 算 面 積 圖 3 ... 114 圖 4-44 GSP 情 境 中 ， 網 格 情 境 計 算 三 角 形 面 積 圖 ... 115 圖 4-45 GSP 情 境 中 ， 指 定 面 積 矩 形 造 形 活 動 圖 ... 116 圖 4-46 GSP 情 境 中 ， 指 定 面 積 三 角 形 造 形 活 動 圖 ... 117 圖 4-47 GSP 情 境 中 ， 底 高 相 等 的 矩 形 、 梯 形 和 三 角 形 面 積 比 較 圖 ... 119
第 一 章 緒 論
本 章 分 成 部 分 ， 首 先 先 說 明 本 研 究 之 研 究 背 景 ， 其 次 說 明 研 究 目 的 ， 最 後 針 對 論 文 組 織 架 構 進 行 說 明第 一 節 研 究 背 景
數 學 是 一 切 科 學 的 基 礎 學 科 ， 在 現 今 科 技 高 度 發 展 的 時 代 中 ， 各 國 對 於 國 民 之 數 學 能 力 的 提 升 ， 以 及 數 學 課 程 的 實 施 ， 在 在 顯 示 出 對 於 提 升 國 民 的 素 質 和 整 體 國 家 的 競 爭 力 有 密 切 的 影 響 ， 均 為 各 國 政 府 所 關 切 注 意 的 。 在 九 年 一 貫 課 程 綱 要（ 教 育 部 ， 民 92）中 指 出 ， 數 學 被 納 入 國 民 教 育 基 礎 的 課 程 有 三 個 主 要 原 因：一、數 學 是 人 類 最 重 要 的 資 產 之 一。 二 、 數 學 是 一 種 語 言 。 三 、 數 學 是 人 類 天 賦 本 能 的 延 伸 。 美 國 數 學 教 師 協 會 （ National Council of Teachers of Mathematics ［ NCTM ］） 出 版 的「 數 學 課 程 與 評 量 標 準（ Curriculum and Evaluation Standards for Schools Mathematics）」 之 中 更 強 調 透 過 溝 通 組 織 以 加 強 學 生 的 數 學 思 考 ， 把 學 生 的 數 學 想 法 清 楚 地 傳 達 給 同 儕 、 教 師 、 和 其 他 人 以 及 用 數 學 的 語 言 來 精 確 表 達 數 學 想 法 (NCTM, 2000)。 而 現 今 正 逐 年 實 施 的 九 年 一 貫 課 程 ， 其 總 目 標 強 調 的 是 帶 著 走 的 能 力 ， 其 數 學 課 程 承 續 82 年 版 課 程 的 精 神 ， 更 強 調 解 決 問 題 ， 以 及 與 他 人 溝 通 講 理 等 各 種 能 力 的 培 養 。 同 時 更 指 出 數 學 的 學 習 ， 注 重 循 序 漸 進 的 邏 輯 結 構 ， 小 學 學 生 主 要 的 學 習 方 式 與 思 考 形 態 的 特 徵 為 具 體 操 作→具 體 表 徵 → 類 化 表 徵 的 具 體 歷 程 （ 教 育 部 ， 民 92）。 回 顧 我 國 國 小 數 學 課 程 發 ， 在 民 國 六 十 四 年 的 課 程 內 容 是 以 數 、 量 、 形 三 個 領 域 為 主 軸 ； 民 國 八 十 二 年 國 民 小 學 數 學 課 程 標 準 將 數 學 內 容 分 為「 數 與 計 算 」、「 量 與 實 測 」、「 空 間 與 圖 形 」、「 統 計 圖 表 」、「 數 量 關 係 」 與 「 術 語 與 符 號 」 等 六 個 領 域 。九 年 一 貫 數 學 領 域 課 程 綱 要 其 內 容 分 為「 數 與 量 」、「 幾 何 」、「 代 數 」、「 機 率 與 統 計 」、「 連 結 」 等 五 大 主 題 。 由 上 述 各 個 階 段 課 程 中 來 看 ，幾 何 的 教 材 其 份 量 所 涉 及 的 範 圍 相 當多，已 逐 漸 分 類 成 一 大 領 域，可 看 出 幾 何 課 程 已 慢 慢 被 重 視 。 幾 何 在 數 學 課 程 中 佔 有 相 當 重 要 的 份 量 ， 美 國 數 學 教 育 協 會 (NCTM, 2000)的 數 學 課 程 標 準 中 ， 進 一 步 將 幾 何 區 分 成 四 大 項 目 ： （ 一 ） 分 析 二 維 、 三 維 幾 何 形 體 的 特 徵 與 性 質 及 發 展 有 關 幾 何 關 係 的 數 學 論 證 。 （ 二 ） 使 用 坐 標 幾 何 及 其 他 表 徵 系 統 來 確 定 位 置 與 描 述 空 間 的 關 係 。 （ 三 ） 應 用 變 換 以 及 使 用 對 稱 性 來 分 析 數 學 情 境 。 （ 四 ） 使 用 視 覺 化 、 空 間 推 理 以 及 幾 何 模 式 化 來 解 題 。 相 較 於 我 國，目 前 實 施 的「九 年 一 貫 數 學 領 域 課 程 綱 要」（ 教 育 部 ， 民 92） ， 亦 將 幾 何 課 程 分 為 四 個 學 習 階 段 ： （ 一 ） 第 一 階 段 （ 1-3 年 級 ） ： 較 強 調 幾 何 形 體 的 認 識 、 探 索 與 操 作 ， 學 生 對 幾 何 形 體 中 的 幾 何 要 素 ， 也 許 能 指 認 ， 但 上 不 清 楚 其 結 構 意 義 。 （ 二 ） 第 二 階 段（ 4-5年 級 ）：由 於 術 語 量 的 發 展 逐 漸 成 熟 ， 學 生 開 始 結 合 「 數 」 與 「 形 」 兩 大 主 題 ， 學 習 運 用 幾 何 形 體 的 構 成 要 素（ 如 角、邊、面 ）及 其 數 量 性 質（ 如 角 度 、 長 度 、 面 積 ） 。 （ 三 ） 第 三 階 段 （ 6-7年 級 ） ： 透 過 形 體 的 分 割 、 合 併 、 截 補 、 變 形 及 變 換 等 操 作 ， 來 瞭 解 形 體 的 性 質 與 幾 何 量 的 計 算 及 非 形 式 化 的 推 理 。 透 過 方 位 描 述 及 立 體 模 型 的 展 開 與 組 合 以 培 養 空 間 能 力 及 視 覺 推 理 。 （ 四 ） 第 四 階 段（ 8-9年 級 ）： 開 始 由 具 體 操 作 情 境 進 入 推 理 幾 何 情 境 中 ， 最 終 目 標 是 學 會 推 理 幾 何 證 明 ， 學 習 內 容 採 漸 進 式 安 排 ， 由 基 本 幾 何 概 念 進 入 教 身 的 幾 何 推 理 領 域 中
由 上 述 可 知 ， 不 論 是 國 內 外 的 課 程 標 準 中 ， 可 看 出 幾 何 必 須 結 合 「 數 」、「 量 」 與 「 形 」 等 主 題 ， 需 具 備 相 當 複 雜 的 能 力 ， 然 而 幾 何 的 教 學 與 教 材 卻 經 常 被 忽 略 的 主 題 ； 小 學 教 師 從 事 幾 何 教 學 ， 往 往 易 受 本 身 歐 氏 公 設 幾 何 訓 練 的 干 擾 ， 而 受 制 於 定 義 的 認 定 與 邏 輯 順 序 ， 應 由 應 用 、 操 作 、 實 踐 中 認 識 各 種 幾 何 要 素 與 性 質 （ 教 育 部 ， 民 92）。 在 我 們 生 活 中 ， 常 會 接 觸 和 使 用 到 「 面 積 」 的 概 念 ， 例 如 ： 春 聯 的 長 短 ， 牆 壁 磁 磚 的 多 少 ， 桌 子 的 大 小 等 ， 時 時 刻 刻 都 可 接 觸 到 有 關 面 積 的 物 品 ， 所 以 面 積 是 學 童 日 常 生 活 中 常 接 觸 到 也 是 最 實 用 的 經 驗 教 材 。 在 數 學 上 ， 由 國 小 基 礎 的 面 積 教 材 往 上 延 伸 到 高 等 教 育 微 積 分 的 Fubini 定 理 ， 在 在 均 與 面 積 概 念 有 所 相 關 。 因 此 在 國 小 階 段 遭 遇 到 「 面 積 」 的 問 題 時 ， 如 何 讓 兒 童 打 下 良 好 的 基 礎 ， 是 十 分 重 要 的 。 而 面 積 在 國 小 數 學 課 程 中 ， 是 屬 於 「 量 與 實 測 」 的 教 材 領 域 ， 其 學 習 受 空 間 概 念 的 影 響。以「 面 積 」來 說，乃 一 兼 具 幾 何 與 測 量 概 念 的 教 材 ， 屬 於 幾 何 量 的 範 圍 但 由 於 「 量 」 的 教 學 ， 會 因 各 類 「 量 」 的 成 熟 早 晚 有 別 ， 因 此 部 分 「 量 」 的 完 成 ， 會 延 續 到 第 二 階 段 。 教 材 內 容 也 由 第 一 階 段 的 一 ～ 三 年 級 ， 延 續 到 第 二 階 段 的 四 ～ 五 年 級 ， 由 此 可 知 面 積 教 材 的 實 施 與 兒 童 的 生 理 發 展 具 有 密 切 的 關 係 。 既 然 兒 童 對 於 面 積 的 接 觸 經 驗 十 分 豐 富 ， 在 學 習 上 應 具 有 不 錯 之 成 效，然 而 現 今 課 程 實 施 的 結 果，卻 發 現 大 多 數 學 童 只 學 會 了 背 公 式， 而 無 法 掌 握 面 積 的 真 正 涵 義 。 有 太 多 的 例 子 證 明 面 積 的 教 學 常 常 失 敗 ， 探 詢 學 生 的 面 積 概 念 時 ， 發 現 大 多 數 學 生 掌 握 的 不 過 是 一 連 串 的 公 式 ； 至 於 面 積 所 代 表 的 意 義 ， 或 不 同 面 積 公 式 之 間 的 關 聯 性 等 往 往 被 學 生 忽 略，導 致 學 生 面 積 概 念 的 偏 頗 不 全 而 影 響 他 們 日 後 的 學 習 (譚 寧 君 ， 民 84)。 一 般 而 言 ， 教 師 對 於 面 積 概 念 的 教 學 ， 較 偏 重 於 基 本 圖 形 公 式 的 熟 練 與 計 算 ； 教 學 的 內 容 主 要 為 正 方 形 、 長 方 形 、 三 角 形 、 平 行 四 邊 形 、 梯 形 、 圓 形 與 扇 形 等 面 積 公 式 的 熟 練 與 在 複 合 圖 形 上 的 應 用 。 從 而 學 生 學 到 的 ， 很 容 易 只 限 於 是 公 式 化 的 知 識 ； 大 多 數 無 法 達 成 掌 握 公 式 與 面 積 之 間 關 聯 性 的 了 解 。 學 生 一 看 到 面 積 的 題 目 時 ， 先 找 適 合 公 式 所 需 的 條 件 ， 有 時 甚 至 為 了 遷 就 公 式 ， 會 改 變 已 知 的 條 件 ， 或 將
自 己 認 定 的 公 式 套 入 圖 形 中 ， 勉 強 給 出 答 案 ， 應 付 了 事 （ 温 山 明 ， 民 98）。如 能 在 教 師 課 堂 講 述 和 紙 筆 測 驗 以 外 的 教 學 方 式，融 入 於 課 程 之 中 ， 是 否 能 增 加 學 生 面 積 的 學 習 成 果 則 值 得 大 家 深 入 研 究 。 二 十 一 世 紀 是 一 個 資 訊 科 技 的 時 代 ， 目 前 不 論 是 生 長 在 都 市 或 鄉 間 的 學 生 都 處 於 一 個 注 重 資 訊 與 溝 通 的 環 境 中 ， 生 活 中 充 滿 來 自 電 視 、 電 腦 、 益 智 遊 戲 網 路 和 其 他 電 子 媒 體 的 資 訊 ， 因 此 每 個 人 都 應 具 備 基 本 的 資 訊 處 理 能 力 ， 方 能 適 應 這 個 瞬 息 萬 變 的 時 代 ， 當 然 教 育 界 也 無 法 置 身 於 事 外 。 為 了 因 應 資 訊 社 會 的 需 求 ， 教 育 部 公 佈 的 「 九 年 一 貫 課 程 綱 要 」（ 教 育 部 ， 民 92） 中 ， 十 大 基 本 能 力 即 包 括 了 「 運 用 科 技 與 資 訊 」一 項 及 六 大 議 題 的「 資 訊 教 育 」，學 生 必 須 透 過 各 種 學 習， 適 當 利 用 科 技 即 運 用 資 訊 的 能 力 ， 以 提 升 學 習 效 率 與 生 活 品 質 。 在 基 本 能 力 與 學 習 領 域 間 更 明 確 的 表 示 出 應 將 資 訊 科 技 融 入 各 學 習 領 域 （ 教 育 部 ， 民 92）。 目 前 的 科 技 一 日 千 里 ， 資 訊 融 入 教 學 之 中 已 非 空 談 與 夢 想 ， 若 能 結 合 資 訊 於 課 程 當 中 ， 則 可 達 事 半 功 倍 之 效 ， 但 因 為 涉 及 到 程 式 的 撰 寫，或 利 用 電 腦 做 圖 及 教 學 情 境 設 計，使 得 大 多 數 的 研 究 者 望 之 怯 步。 目 前 資 訊 融 入 數 學 概 念 的 研 究 大 多 數 屬 於 補 救 教 學 的 形 式 ， 或 是 僅 以 特 定 概 念 部 份 的 教 學 演 示 進 行 研 究 ， 對 於 資 訊 融 入 於 特 定 概 念 的 研 究 ， 則 較 少 見 。 至 於 紙 筆 情 境 和 資 訊 情 境 中 的 訪 談 結 果 的 差 異 性 更 未 論 及。 特 需 說 明 的 是 ，資 訊 情 境 用 在 這 裡 是 以 GSP 情 境 而 言，至 於 何 以 選 用 GSP 軟 體 做 為 資 訊 情 境 ， 則 稍 後 於 「 面 積 與 GSP」 一 節 中 再 行 說 明 。 在 此 訪 談 ， 數 學 內 容 則 定 在 有 關 面 積 的 概 念 上 。 因 此 ， 如 能 透 過 訪 談，紙 筆 情 境 抑 或 是 資 訊 情 境，發 現 兒 童 的 確 切 面 積 概 念 類 型， 則 教 師 可 經 由 瞭 解 兒 童 面 積 概 念 ， 來 當 作 教 學 實 施 時 的 參 考 ， 佈 置 適 當 題 型 ， 藉 以 增 進 教 學 的 效 能 。
第 二 節 研 究 目 的
根 據 上 述 說 明 ， 本 研 究 以 兒 童 面 積 概 念 為 探 究 焦 點 ， 並 以 九 年 一貫 數 學 領 域 第 一 、 二 階 段 面 積 之 能 力 指 標 為 依 據 來 命 題 ， 來 了 解 修 畢 國 小 五 年 級 課 程 之 學 童 ， 亦 即 完 成 九 年 一 貫 數 學 領 域 課 程 中 第 二 階 段 的 學 童 在 面 積 方 面 之 解 題 活 動 類 型 ， 從 事 有 關 現 象 的 探 索 及 研 究 。 本 研 究 的 目 的 如 下 所 述 ： 一 、 透 過 紙 筆 的 真 實 情 境 與 GSP 情 境 的 晤 談 ， 瞭 解 五 年 級 兒 童 解 決 面 積 保 留 概 念 問 題 的 解 題 活 動 。 二 、 透 過 紙 筆 的 真 實 情 境 與 GSP 情 境 的 晤 談 ， 瞭 解 五 年 級 兒 童 解 決 面 積 測 量 概 念 問 題 的 解 題 活 動 。 三 、 透 過 紙 筆 的 真 實 情 境 與 GSP 情 境 的 晤 談 ， 瞭 解 五 年 級 兒 童 面 積 公 式 應 用 問 題 的 解 題 活 動 。
第 三 節 論 文 組 織
本 研 究 包 括 五 大 部 分 ， 第 一 章 為 緒 論 ， 說 明 研 究 的 背 景 及 目 的 ； 第 二 章 為 文 獻 探 討 ， 包 括 研 究 者 的 知 識 論 和 心 理 學 立 場 、 空 間 概 念 和 幾 何 概 念 發 展 的 相 關 理 論 探 究 以 及 動 態 幾 何 軟 體 GSP 的 選 用 說 明；第 三 章 則 說 明 本 研 究 的 研 究 方 法 及 實 施 過 程 、 ， 包 括 了 教 學 晤 談 法 的 意 義 實 施 方 式 及 目 的 、 訪 談 的 問 題 架 構 、 受 訪 兒 童 的 選 擇 與 特 徵 描 述 、 訪 談 的 實 施 過 程 與 資 料 的 紀 錄 ， 並 說 明 資 料 的 整 理 與 分 析 過 程 ； 第 四 章 針 對 受 訪 者 的 面 積 概 念 進 行 分 析 與 整 理 ； 第 五 章 則 總 結 本 研 究 的 結 果 與 建 議 。第 二 章 文 獻 探 討
本 章 將 內 容 分 成 四 個 部 份 ， 第 一 部 份 說 明 知 識 論 立 場 及 心 理 學 上 的 理 論 背 景 ； 第 二 部 份 探 究 兒 童 空 間 與 幾 何 概 念 與 面 積 概 念 ； 第 三 部 份 為 有 關 動 態 幾 何 軟 體 GSP 情 境 與 面 積 關 係；第 四 部 分 為 兒 童 面 積 概 念 的 相 關 研 究 。第 一 節 知 識 論 立 場 及 心 理 學 上 的 理 論 背 景
本 研 究 欲 瞭 解 兒 童 如 何 解 決 面 積 的 問 題 ， 並 說 明 其 解 題 活 動 類 型 藉 此 描 述 兒 童 面 積 之 概 念 ， 因 此 必 須 先 對 知 識 本 質 以 及 心 理 學 基 礎 等 議 題 先 加 以 探 討 。 根 本 建 構 主 義 主 要 是 用 來 說 明 兒 童 的 運 思 ， 質 性 研 究 則 是 在 研 究 問 題 的 特 性 ； 因 為 本 研 究 是 以 探 討 兒 童 面 積 概 念 的 解 題 活 動 類 型 為 主 ， 故 採 取 根 本 建 構 主 義 為 知 識 論 的 立 場 ， 以 質 性 研 究 為 研 究 方 法 。一 、 知 識 論 的 立 場 － 根 本 建 構 主 義
探 討 知 識 的 問 題 ， 在 哲 學 上 稱 之 為 知 識 論 （ epistemology）， 其 主 要 的 目 的 在 於 對 知 識 的 可 能 性 、 本 質 和 起 源 等 加 以 探 究 。 而 本 研 究 所 持 的 知 識 論 立 場 － 根 本 建 構 主 義 （ radical constructivism ） 是 由 Von Glasersfeld 所 提 出，然 而 在 知 識 論 上 有 兩 項 基 本 主 張 (引 自 甯 自 強，民 76)： （ 一 ） 知 識 並 非 由 被 動 地 收 穫 而 得 乃 為 認 知 之 個 體 主 動 地 建 造 構 築 而 成 的 。 （ 二 ） 知 識 獲 得 的 方 式 是 調 融 的 (adaptive)， 認 知 的 功 能 是 用 來 組 織 外 在 的 經 驗 世 界，而 非 用 來 發 現 已 存 在 的 本 體 現 實（ ontological reality） 的 。 由 於 上 述 的 兩 項 原 則 一 方 面 規 範 了 兒 童 所 建 構 的 數 學 知 識 的 本 質 ， 另 一 方 面 也 規 範 了 研 究 者 所 建 構 有 關 兒 童 面 積 概 念 模 型 的 本 質 。換 句 話 說 兒 童 本 身 的 「 面 積 概 念 」 模 型 ， 是 有 關 數 學 情 境 中 所 建 構 的 經 驗 類 型 ； 而 研 究 者 的 「 兒 童 面 積 概 念 」 模 型 則 是 在 面 對 兒 童 的 表 現 時 所 建 構 的 。 由 於 根 本 建 構 主 義 重 視 學 習 者 的 主 動 性 ， 於 認 知 發 展 及 教 與 學 的 研 究 中 提 供 另 一 種 新 的 研 究 架 構 ， 因 此 研 究 者 將 採 取 此 知 識 論 立 場 ， 來 進 行 兒 童 面 積 概 念 之 研 究 。
二 、 心 理 學 基 礎 － 基 模 論
皮 亞 傑 從 事 發 生 知 識 論 （ genetic epistemology ） 的 研 究 （ Piaget,1970），他 區 分 兩 類 的 知 識：數 學 邏 輯 知 識 與 物 理 知 識；而 後 者 則 以 前 者 為 組 織 架 構 。 他 的 基 模 理 論 （ scheme theory） 透 露 出 他 的 理 論 中 是 以 活 動 為 主 體 的 特 色 ， 並 透 過 個 體 的 同 化 與 調 適 活 動 與 環 境 互 相 交 流 ， 認 知 個 體 達 到 所 謂 的 平 衡 狀 態 ； 個 體 內 化 或 內 蘊 化 自 己 的 活 動，以 使 達 成 心 智 運 思 的 操 作 性 顯 著（ operationally significant）。（ 甯 自 強 ， 民 85） Piaget （ 1970 ） 認 為 在 一 個 活 動 中 任 何 可 重 覆 及 一 般 化 的 事 物 稱 為「 基 模 」。並 且 主 張 基 模 本 身 沒 有 邏 輯 的 構 成 要 素，但 基 模 可 以 和 另 一 基 模 進 行 統 整 ， 也 可 以 重 複 使 用 ， 或 進 一 步 推 廣 的 運 作 系 統 ， 不 論 是 活 動 的 類 型 或 心 智 上 的 動 作， 它 們 是 用 來 改 變 現 有 情 境 的 狀 態，作 為 同 化 （ assimilation） 的 工 具 。 基 模 論 在 基 本 上 ， 是 與 根 本 建 構 主 義 是 相 容 的 （ fit） （ 甯 自 強 , 民 85） ， 因 此 ， 本 研 究 對 於 有 關 兒 童 「 面 積 概 念 」的 解 題 活 動 類 型 說 明，將 以 皮 亞 傑 的 基 模 論 為 架 構 加 以 說 明。von Glasersfeld （ 1989 ） 受 到 皮 亞 傑 發 生 知 識 論 （ genetic
epistemology）的 影 響， 對 基 模 下 了 一 個 操 作 型 定 義， 以 彰 顯 基 模 的 特 質 ， 他 認 為 一 個 基 模 可 分 為 三 個 部 分（ von Glasersfeld,1995； 甯 自 強 , 民 85） ： （ 一 ） 有 一 個 同 化 後 的 初 始 經 驗 情 境 ， 用 來 引 發 （ trigger） 或 刺（ stimulate）活 動 或 運 思（ 指 內 化 後 的（ internalized）活 動 或 概 念 上 （ conceptual） 的 活 動 ） 。 （ 二 ） 有 一 連 串 的 活 動 或 運 思 。
（ 三 ） 有 一 些 活 動 後 的 成 果 或 續 局 （ sequel） 。
甯 自 強 （ 民 80， 81b， 82a） 曾 根 據 發 動 基 模 後 ， 對 運 作 結 果 的 預 知 能 力 ， 以 及 運 作 時 對 於 感 官 活 動 材 料 的 依 賴 程 度 ， 而 將 解 題 活 動 分 為 感 官 活 動（ sensori-motor activity）、表 徵 活 動（ re-presenting activity） 或 是 再 表 現 活 動，以 及 心 智 活 動（ mental activity）等 三 類。所 謂 的「 感 官 活 動 」 是 指 兒 童 解 題 時 ， 必 須 透 過 實 際 具 體 物 的 操 作 ， 基 本 上 是 一 種 嘗 試 錯 誤 的 活 動 ， 其 最 高 境 界 為 辨 識 。 所 謂 的 表 徵 活 動 是 指 兒 童 能 夠 在 缺 乏 感 官 材 料 中，自 行 提 供 操 作 上 所 需 的 材 料，來 進 行 解 題 活 動。 其 最 高 境 界 則 為 再 表 現 。 所 謂 的 心 智 活 動 是 指 兒 童 在 解 題 活 動 過 程 中 完 全 不 需 要 透 過 具 體 的 操 作 物 ， 完 成 解 題 活 動 ， 並 能 夠 進 一 步 預 測 活 動 的 結 果 ， 並 說 明 活 動 的 結 果 與 原 由 。 其 最 高 境 界 為 瞭 解 。 因 此 ， 如 果 研 究 者 想 要 說 明 兒 童 具 有 某 種 「 面 積 概 念 」 ， 即 是 說 明 兒 童 具 有 某 些 特 定 的 基 模 ， 而 兒 童 所 建 立 的 這 些 基 模 是 用 來 解 決 面 積 問 題 的 。 若 以 vonGlasersfeld 的 操 作 型 定 義 來 說 明 ， 當 研 究 者 想 要 說 明 兒 童 具 有 某 類 「 面 積 概 念 類 型 時 ， 必 須 說 明 兒 童 將 有 關 面 積 概 念 的 問 題 當 成 何 種 問 題 情 境 ， 而 問 題 情 境 中 的 構 成 要 素 以 哪 一 種 形 式 進 行 操 作 ， 操 作 之 後 ， 對 操 作 的 結 果 有 無 持 續 出 現 ， 以 及 持 續 出 現 的 情 形 。 研 究 者 所 建 構 的 「 兒 童 面 積 概 念 」 模 型 與 兒 童 的 面 積 概 念 間 ， 頂 多 只 能「 相 容（ fit）」而 非「 相 同（ match）」（ von Glaserfeld, 1987）。 也 就 是 說 研 究 者 所 建 構 的 只 是 一 個 在 經 驗 中 仍 能 存 活 的 模 型 ， 而 不 是 真 理 。 然 而 ， 為 了 瞭 解 兒 童 的 特 定 基 模 ， 研 究 者 僅 能 由 兒 童 的 外 顯 行 為 來 進 行 觀 察 ， 也 就 是 針 對 兒 童 的 解 決 問 題 的 活 動 和 兒 童 的 本 身 說 明 進 行 解 釋 。 但 有 可 能 同 一 種 製 圖 行 為 是 採 用 了 兩 種 不 同 的 基 模 ， 研 究 者 就 需 盡 力 對 兒 童 的 活 動 做 出 符 合 兒 童 原 始 初 衷（ intention）（ 甯 自 強 ， 民 85）的 詮 釋， 因 此 ， 當 研 究 者 欲 標 記 出 兒 童 特 定 的 面 積 概 念 或 面 積 基 模 時 ， 必 須 要 對 該 基 模 具 有 的 功 能 及 限 制 加 以 說 明 ， 以 避 免 解 釋 時 作 出 過 度 的 推 論 。
第 二 節 兒 童 的 空 間 幾 何 概 念 與 面 積 概 念
藉 由 感 官 的 活 動 ， 人 類 首 先 察 覺 了 物 件 ， 而 物 件 的 恆 存 概 念 則 有 待 表 徵 (re-presenting)能 力 的 出 現。表 徵 能 力 的 出 現 一 方 面 使 人 類 具 備 了 抽 象 出 物 件 輪 廓 與 其 他 物 件 的 輪 廓 相 比 較 的 能 力 ， 在 另 一 方 面 也 具 備 了 間 接 比 較 不 同 事 物 的 能 力 。 前 者 使 《 形 》 成 為 可 能 跨 越 時 空 的 物 件，而 後 者 使 得《 量 》的 保 留 成 為 可 能。由 於 物 的 輪 廓 得 以 跨 越 時 空 ， 代 表 輪 廓 底 不 同 的 《 形 》 便 可 以 被 記 錄 和 比 較 ， 例 如 三 角 形 及 四 邊 形 之 不 同 的《 形 》底 分 類 記 錄 於 焉 產 生。表 徵 圖 形 於 原 物 之 外 即 是 作 圖 ， 而 更 有 效 率 的 作 圖 建 基 於 對 圖 形 的 特 色 與 掌 握 ， 從 而 圖 形 的 要 素 ， 例 如 滿 足 特 定 條 件 的 三 邊 始 能 構 成 一 三 角 形 ， 從 此 成 為 處 理 《 形 》 的 重 要 角 色 。 不 同 的 《 形 》 之 間 再 加 以 互 相 聯 絡 後 ， 所 謂 幾 何 學 的 內 容 已 經 躍 然 欲 出 了 (甯 自 強 ， 民 80)。 由 此 可 知 ， 幾 何 內 容 涉 及 到 數 、 量 、 形 等 問 題 十 分 複 雜 。一 、 皮 亞 傑 的 空 間 發 展 理 論
Piaget（ 1967） 認 為 空 間 發 展 的 心 理 學 研 究 之 最 大 障 礙 ， 在 於 其 牽 涉 兩 個 不 同 的 層 面 ， 一 為 知 覺（ perceptual）層 面 ， 一 為 思 考 或 想 像 （ thought orimagination） 的 層 面 。 而 大 部 分 的 數 學 家 及 心 理 學 家 ， 也 都 假 設 空 間 的 發 展 受 到 動 作 及 知 覺 機 制 （ motor and perceptual mechanisms）的 影 響 ， 每 一 種 知 覺 的 範 疇（ perceptual field）， 都 是 從純 粹 的 直 覺 或 動 作 反 射 的 知 覺 發 展 到 智 能 的 或 運 思 的 知 覺 。 皮 亞 傑 認 為 兒 童 必 須 等 到 一 定 的 年 齡 才 能 對 物 件 的 形 體 與 大 小 產 生 保 留 概 念 ， 兒 童 對 於 空 間 的 知 覺 是 一 個 逐 步 建 構 的 過 程 ， 受 到 主 體 動 作 機 制 的 控 制 。 Piaget（ 1967） 對 於 兒 童 的 空 間 概 念 ， 有 兩 項 主 要 的 論 點 ：
（ 一 ） 空 間 的 表 徵 是 經 由 兒 童 動 作 的 組 織 （ organization of the child's motor） 及 行 動 的 內 化 （ internalized actions） 而 來 。 因 此 ，
空 間 的 表 徵 並 非 知 覺 的 「 讀 取 」 （ read-off） 空 間 環 境 ， 而 是 從 較 早 對 環 境 的 行 動 操 弄 中 建 立 。
拓 樸 關 係 （ topological relations） 建 立 而 來 ， 接 著 是 根 據 投 影 關 係（ projective relations）， 最 後 是 依 據 歐 幾 里 德 關 係（ Euclidean relations） 。
以 下 將 就 第 二 項 論 點 中 的 拓 樸 關 係 、 投 影 關 係 與 歐 幾 里 德 關 係 所 構 成 的 空 間 進 行 說 明 。
拓 樸 空 間： 拓 樸 空 間 是 由 拓 樸 關 係 所 構 成 的 空 間。而 拓 樸 關 係 是 由 鄰 近（ proximity）、分 離（ separation）、次 序（ order）、環 繞（ enclosure） 與 持 續 （ continuity） 等 五 種 關 係 。 投 影 空 間： 投 影 空 間 是 由 投 影 關 係 所 構 成 的 空 間。而 投 影 關 係 是 指 圖 形 的 構 成 考 慮 其 所 在 的 視 點 （ perspective） ， 並 以 直 線 的 方 式 進 行 延 伸 ， 因 此 僅 有「 保 存 直 線 」的 特 性 ， 並 無「 保 存 平 行 」、「 保 存 角 度 」 與 「 保 存 長 度 」 ， 必 須 具 有 多 重 視 點 的 整 合 。 歐 幾 里 德 空 間： 歐 幾 里 德 空 間 是 由 歐 幾 里 德 關 係 所 構 成 的 空 間 。 而 歐 幾 里 德 關 係 是 指 幾 何 形 體 的 構 成 已 考 慮 了 「 保 存 平 行 、 角 度 與 長 度 」 等 因 素 。 由 上 述 可 知 ， 歐 氏 幾 何 在 研 究 由 點 、 線 、 面 所 構 成 具 有 固 定 形 狀 的 幾 何 圖 形 。 他 所 處 理 的 關 係 是 物 件 與 物 件 之 間 的 關 係 ， 其 內 容 包 含 了 長 度 、 大 小 、 距 離 和 彼 此 之 間 的 方 位 關 係 ， 因 此 也 涉 及 了 距 離 與 測 量 的 概 念 ， 所 以 面 積 應 屬 於 歐 氏 幾 何 的 轉 換 關 係 。
二 、 面 積 概 念 發 展
對 於 面 積 概 念 的 發 展 ， 先 針 對 「 面 積 」 加 以 說 明 後 ， 再 依 照 「 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 」 的 面 積 概 念 分 類 進 行 說 明 ， 並 引 入 面 積 概 念 發 展 的 相 關 理 論 。 （ 一 ） 面 積 的 概 念 「 面 積 」 是 什 麼 ？ 有 專 家 學 者 指 出 ： 「 面 積 」 所 指 的 是 對 某 一 特 定 區 域 的 覆 蓋 程 度 ， 即 被 覆 蓋 面 的 大 小 （ 譚 寧 君 ， 民 84） 。 對 於 面 積 覆 蓋 活 動，需 包 含 了 二 個 條 件，即 (1)面 積 是 有 周 界 的，故 覆 蓋 物 不 能 超 過 給 定 的 邊 界。(2)面 積 是 從 一 維 到 二 維 平 面 掃 描 的 結 果，故 覆 蓋 物 不 能 重 疊 （ 譚 寧 君 ， 民 84） 。面 積 的 概 念 在 國 小 的 課 程 內 容 ， 依 據 「 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 」 (教 育 部 ， 2001)中 ， 可 分 為 ： 1.面 積 的 初 步 概 念 ： 即 面 積 的 直 接 比 較 。 將 兩 個 要 進 行 比 較 面 積 的 圖 形 ， 直 接 覆 蓋 在 一 起 後 ， 能 比 較 出 大 小 。 例 如 ： 將 明 信 片 與 A4大 小 的 紙 張 兩 者 直 接 覆 蓋 在 一 起 ， 顯 然 A4的 紙 張 能 將 明 信 片 完 全 覆 蓋 住 ， 而 明 信 片 覆 蓋 住 A4 紙 張 後 ， 仍 有 一 部 份 區 域 無 法 覆 蓋 住 ， 可 以 知 道 A4紙 張 的 面 積 大 於 明 信 片 的 面 積 。 此 種 比 較 方 式 可 說 是 直 接 比 較 的 一 種 。 2.面 積 的 間 接 比 較 ： 對 於 無 法 直 接 比 較 面 積 的 兩 個 圖 形 ， 可 以 透 過 複 製 一 個 與 原 來 圖 形 形 狀 和 面 積 大 小 相 等 的 中 介 物，再 與 另 一 圖 形 進 行 直 接 比 較。例 如： 將 一 個 長 6公 分 寬 4 公 分 的 長 方 形 和 一 個 邊 長 為 5公 分 的 正 方 形 進 行 比 較 ， 兩 者 雖 然 可 以 直 接 相 互 覆 蓋 ， 卻 無 法 比 較 出 大 小 ， 如 果 我 們 將 邊 長 為 5公 分 的 正 方 形，在 於 確 信 分 割 後 面 積 仍 維 持 不 變 的 情 況 下，分 割 成 一 個 長 5公 分 寬 4公 分 的 長 方 形 與 一 個 長 為 5公 分 寬 為 1公 分 的 長 方 形 後；再 與 長 6公 分 寬 4公 分 的 長 方 形 進 行 比 較 時，發 現 切 割 後 的 正 方 形， 可 將 未 被 切 割 的 長 方 形 覆 蓋 完 後 ， 仍 有 剩 餘 。 這 樣 的 比 較 方 式 ， 可 視 為 間 接 比 較 的 一 種 。 除 了 直 接 比 較 的 方 式 外 ， 其 餘 的 方 法 均 可 視 為 間 接 比 較 。 由 上 述 例 子 中 ， 可 以 發 現 到 當 正 方 形 進 行 切 割 時 ， 仍 須 將 其 切 割 後 重 組 的 面 積，視 其 面 積 大 小 為 不 變 時，是 需 要 具 備 面 積 的 保 留 概 念。 而 面 積 概 念 的 發 展 過 程 中 ， 面 積 的 保 留 概 念 ， 對 於 兒 童 的 面 積 概 念 發 展 而 言 ； 是 十 分 關 鍵 且 重 要 的 概 念 。 3.面 積 的 個 別 單 位 與 普 遍 單 位 比 較 ： 當 我 們 將 同 一 個 圖 形 使 用 不 同 測 量 單 位 來 測 量 。 例 如 將 一 個 長 6 公 分 ， 寬 4公 分 的 長 方 形 ， 利 用 紅 色 積 木 (約 2平 方 公 分 )來 測 量 ， 則 需 要 12個 紅 色 積 木 才 能 完 整 覆 蓋 。 這 樣 使 用 紅 色 積 木 完 整 覆 蓋 的 方 式 ， 可 以 當 成 面 積 個 別 單 位 比 較 的 一 種 。 在 此 例 中 不 但 可 以 得 到 紅 色 積 木 面 積 的 單 位 量 ， 更 可 以 獲 得 長 方 形 面 積 完 整 覆 蓋 所 需 的 單 位 數 。 透 過 單 位 面 積 數 的 比 較 進 而 進 行 單 位 面 積 量 的 比 較 ， 由 此 可 知 在 此 階 段 所
需 要 能 掌 握 單 位 化 與 數 值 化 的 能 力 。 如 果 將 紅 色 積 木 更 換 成 白 色 積 木 或 是 平 方 公 分 板，而 白 色 積 木 若 為 1平 方 公 分，此 為 約 定 俗 成 的 測 量 單 位 則 稱 為 普 遍 單 位 。 由 於 等 積 異 形 概 念 的 結 果 ， 可 知 道 一 平 方 公 分 未 必 是 正 方 形 。 4.面 積 度 量 制 度 中 的 單 位 化 聚 ： 能 將 以 小 單 位 描 述 的 面 積 ， 改 用 大 單 位 來 描 述 ， 這 種 活 動 稱 為 「 聚 」 ； 反 之 則 稱 為 「 化 」 。 即 俗 稱 的 面 積 單 位 間 的 互 換 。 例 如 ， 由 40000平 方 公 分 換 成 4平 方 公 尺 就 是 聚 ， 而 由 4平 方 公 尺 換 成 40000平 方 公 分 即 為 化 。 由 此 看 來 要 掌 握 本 階 段 的 能 力 ， 首 需 掌 握 前 一 階 段 兩 種 以 上 的 普 遍 單 位 (如 平 方 公 尺 及 平 方 公 尺 )， 其 次 得 必 須 掌 握 普 遍 單 位 間 的 關 係 (如 1平 方 公 尺 =10000平 方 公 分 )。單 位 間 的 互 換 可 以 說 是 單 位 間 關 係 的 應 用 。 5.面 積 與 部 份 周 界 長 的 關 係 ： 在 國 小 階 段 ， 對 於 規 則 的 常 見 圖 形 (如 平 行 四 邊 形 ， 圓 形 等 )除 了 採 用 覆 蓋 (有 無 單 位 皆 可 )的 方 法 ， 尚 有 利 用 圖 形 的 部 份 周 界 長 如 底 ， 圓 周 長 來 測 量 其 面 積 (如 平 行 四 邊 形 面 積，圓 面 積 )的 方 法。以 長 3公 分 寬 2公 分 的 長 方 形 為 例 ， 可 以 量 出 長 可 排 3個 一 平 方 公 分 的 積 木 ， 寬 能 排 出 2個 一 平 方 公 分 積 木 ， 面 積 大 小 可 藉 由 兩 者 相 乘 (3×2)而 得 到 。 以 此 種 方 式 測 量 面 積 ， 就 是 俗 稱 的 公 式 。 （ 二 ） 有 關 面 積 概 念 的 理 論 1.面 積 的 保 留 概 念 ： 瑞 士 心 理 學 家 Piaget, Inhelder (1960)在 兒 童 的 幾 何 概 念 發 展 研 究 中，指 出 面 積 保 留 概 念 乃 指 兒 童 認 知 物 件 經 過 某 種 轉 換 (如 位 置、形 狀 改 變 )後 其 面 積 依 然 保 持 不 變 的 能 力。亦 即 對 某 一 封 閉 平 面 圖 形 不 論 形 狀 、 位 置 如 何 改 變 ， 其 面 積 恆 常 不 變 的 認 知 能 力 。 而 面 積 的 保 留 概 念 包 含 兩 個 層 次 ： 基 本 面 積 保 留 概 念 與 互 補 面 積 保 留 概 念 。 Piaget ＆ Inhelder（ 1960）為 研 究 兒 童 的 面 積 的 保 留 概 念，曾 設 計 了 「 牛 吃 草 的 實 驗 」 （ 如 圖 2-1 ， 引 自 Piaget ＆ Inhelder, 1960, p262） ： 皮 亞 傑 設 計 此 實 驗 的 目 的 是 ： 觀 察 兒 童 從 何 時 會 受 限 於 感 知
的 影 響 ， 而 放 棄 「 等 量 加 等 量 ， 結 果 相 等 」 的 概 念 。 此 實 驗 是 在 兒 童 面 前 放 兩 張 各 20cm×30cm的 綠 色 紙 板 以 代 表 牧 場 的 草 地，兒 童 可 疊 合 比 對 ， 以 確 定 兩 塊 紙 板 是 一 樣 大 的 ， 然 後 只 是 在 二 板 上 各 放 一 玩 具 牛 ， 問 受 測 試 兒 童 這 兩 頭 牛 能 吃 的 綠 草 是 否 一 樣 多 。 兒 童 回 答 「 一 樣 多 」 之 後 ， 研 究 者 告 訴 兒 童 ， 草 地 上 的 農 夫 主 人 決 定 在 草 地 上 蓋 房 子 ， 房 子 以 1cm×2cm 的 木 頭 模 型 代 表 ， 研 究 者 先 在 其 中 一 塊 草 地 上 放 一 間 房 子 時 ， 兒 童 皆 回 答 在 沒 有 房 子 的 草 地 上 的 牛 有 較 多 的 草 可 以 吃 ； 接 著 將 另 一 個 完 全 相 同 的 木 屋 模 型 放 在 沒 有 房 子 的 草 地 上 ， 則 兒 童 會 回 答 兩 頭 牛 吃 的 草 變 成 「 一 樣 多 」 了 。 像 這 樣 ， 研 究 者 把 小 木 屋 的 數 目 在 兩 塊 草 地 上 成 對 的 慢 慢 的 增 加 ， 並 反 覆 詢 問 牛 吃 的 草 是 否 一 樣 多 ， 所 不 同 的 是 ： 第 一 塊 草 地 上 的 小 木 屋 是 緊 密 排 列 ， 第 二 塊 的 小 木 屋 是 分 散 放 置 。 皮 亞 傑 對 於 保 留 概 念 研 究 ， 指 出 其 發 展 階 段 如 下 ： Stage Ⅱ A：約 在 5 歲 半 ～ 6 歲，在 此 階 段 不 認 為 剩 餘 的 面 積 相 等， 是 基 於 外 顯 的 感 知 並 非 由 運 思 而 獲 得 。 Stage Ⅱ B： 約 在 6～ 7 歲 ， 一 直 到 某 個 程 度 才 會 認 為 剩 餘 的 草 皮 是 相 等 的，對 於 感 知 構 成 的 數 目 非 常 不 同，為 不 同 程 度 的 連 續 直 覺 ， 並 非 運 思 的 合 成 。 Stage Ⅲ A：約 在 7 歲 半，確 認 剩 餘 的 草 皮 是 相 等 的，依 賴 運 思 解 決 問 題 。 圖 2-1 Piaget 牛 吃 草 的 面 積 保 留 概 念 試 驗 Piaget ＆ Inhelder（ 1960） 亦 針 對 互 補 面 積 保 留 概 念 設 計 ---草 地 內 馬 鈴 薯 園 的 實 驗 ， 以 檢 驗 兒 童 何 時 開 始 具 備 互 補 面 積 保 留 概 念 。
互 補 面 積 保 留 則 表 示 在 面 積 相 等 的 兩 個 面 上 ， 減 去 形 狀 雖 不 同 但 面 積 相 等 的 兩 塊 小 平 面 後 ， 其 所 剩 的 面 積 仍 然 相 等 ， 亦 即 等 量 減 等 量 結 果 相 等 。 此 實 驗 即 以 上 述 的 牛 吃 草 實 驗 的 兩 塊 綠 色 紙 板 代 表 兩 塊 全 等 的 的 草 地 1和 2， 此 時 研 究 者 另 外 出 示 兩 塊 棕 色 全 等 正 方 形 紙 板 3和 4， 以 代 表 兩 塊 全 等 的 馬 鈴 薯 園，將 3放 在 1內，將 4剪 成 若 干 部 分，且 拼 成 不 同 於 原 正 方 形 的 形 狀 放 在 2內，然 後 問 受 試 兒 童：兩 塊 草 地 的 馬 鈴 薯 園 一 樣 大 嗎 ？ （ 其 用 意 在 瞭 解 兒 童 是 否 具 備 基 本 面 積 保 留 概 念 ） 。 接 著 又 問 ： 原 來 的 兩 隻 牛 在 兩 塊 已 圍 有 馬 鈴 薯 園 的 草 地 上 ， 可 以 吃 的 草 是 否 有 一 樣 多 呢 ？ （ 其 用 意 在 瞭 解 兒 童 是 否 具 有 互 補 面 積 保 留 概 念 ） 。 試 驗 結 果 發 現 7歲 以 下 的 兒 童 是 不 具 有 基 本 和 互 補 兩 種 保 留 概 念，7～ 8 歲 只 具 備 基 本 保 留 概 念，尚 未 具 備 互 補 面 積 保 留 概 念，直 到 8歲 後 逐 漸 形 成 面 積 互 補 保 留 概 念 。 Piaget ＆ Inhelder（ 1960）認 為 面 積 保 留 概 念 是 面 積 測 量 概 念 的 先 備 知 識 ， 當 面 積 保 留 概 念 能 進 行 到 互 補 面 積 保 留 概 念 時 ， 此 時 才 能 進 行 面 積 的 測 量 。 故 由 直 接 比 較 進 入 到 間 接 比 較 的 階 段 ， 需 具 備 面 積 保 留 概 念 才 能 完 成 。 2.面 積 的 測 量 概 念 ：
Piaget ＆ Inhelder（ 1960） 曾 設 計 疊 置 測 量 法 (measurement by superposition)與 單 位 測 量 法 (measurement by unit iteration)來 研 究 面 積 概 念 。 (1)疊 置 測 量 法 （ measurement by superposition） ： 研 究 者 出 示 一 直 角 三 角 形 和 一 個 不 規 則 的 圖 形 （ 如 圖 2-2 ， 引 自Piaget ＆ Inhelder,1960 , p292） ， 然 後 給 兒 童 一 些 較 小 的 測 量 紙 卡 ， 包 括 正 方 形 、 直 角 三 角 形 和 長 方 形 ， 這 些 紙 卡 的 數 量 正 好 可 以 疊 置 於 原 先 之 直 角 三 角 形 和 不 規 則 的 圖 形 上 ， 而 在 這 三 種 測 量 單 位 量 之 中 ， 兩 個 小 直 角 三 角 形 紙 卡 會 等 於 一 個 正 方 形 紙 卡 ， 兩 個 正 方 形 紙 卡 會 等 於 一 個 長 方 形 紙 卡 。 研 究 者 嘗 試 讓 兒 童 用 疊 置 測 量 法 將 這 些 測 驗 紙 卡 蓋 滿 兩 圖 ， 再 詢 問 兩 個 圖 形 面 積 是 否 一 樣 大 。 這 個 實 驗 的 目 的 在 檢 驗 兩 個 重 要 概 念 ， 即 測 量 紙 卡 的 合 併 使 用 ， 使 三 種 不 同 等 級 的 單 位 量 中 的 兩 個 次 級 單 位 量 可 以 合 併 成 一 個 單 位 量 再 進 行 比 較 ； 一 個 圖 形 若 被 某 些 測
量 紙 卡 蓋 滿 ， 而 另 一 個 圖 形 也 被 同 樣 的 測 量 紙 卡 蓋 滿 ， 則 此 兩 圖 形 的 面 積 大 小 相 等 ， 此 為 數 學 上 相 當 重 要 的 遞 移 關 係 。 實 驗 結 果 發 現 ： 6 歲 以 下 兒 童 ， 兩 種 概 念 均 無 法 形 成 ， 也 就 是 說 ， 這 個 年 齡 的 兒 童 對 面 積 量 相 等 的 遞 移 性 質 還 不 清 楚 ； 6～ 7歲 半 可 從 嘗 試 錯 誤 中 ， 經 驗 到 面 積 的 大 小 不 是 只 數 其 單 位 個 數 ， 而 必 須 考 慮 不 同 的 單 位 量 ， 但 此 時 仍 不 能 正 確 了 解，顯 示 他 們 已 開 始 了 解 量 的 遞 移 性；7歲 半 以 後，在 經 驗 過 豐 富 的 疊 合 與 比 較 活 動 下 才 能 逐 步 了 解 單 位 數 、 單 位 量 的 關 係 及 相 等 關 係 的 遞 移 性 。 圖 2-2 疊 置 法 面 積 測 量 概 念 實 驗
(2)單 位 測 量 法 （ measurement by unit iteration） ： 這 個 方 法 是 只 給 兒 童 一 個 剪 好 的 測 量 紙 卡 作 為 測 量 單 位 ， 然 後 要 求 兒 童 以 重 複 測 量 的 方 法 ， 比 較 不 同 圖 形 的 面 積 是 否 相 同 ， 皮 亞 傑 等 人 設 計 A（ 由 9 個 小 正 方 形 所 組 成 的 大 正 方 形 ）、B、C、D、E 五 種 不 同 形 狀 的 圖 形（ 如 圖 2-3， 引 自Piaget ＆ Inhelder ,1960 , p296） ， 另 外 提 供 兒 童 一 個 小 正 方 形 紙 卡 ， 大 小 同 虛 線 所 示 正 方 形 之 大 小 ， 但 各 圖 形 出 示 給 兒 童 時 是 沒 有 畫 虛 線 的。研 究 者 者 拿 出 一 枝 鉛 筆 要 兒 童 用 小 正 方 形 紙 卡 在 A、 B、 C圖 上 描 畫 ， 量 量 看 這 三 個 圖 形 是 否 相 等 。 然 後 再 提 供 兒 童 兩 種 紙 卡 ， 一 種 是 小 正 方 形 紙 卡 兩 倍 大 的 長 方 形 紙 卡 ， 另 一 種 是 小 正 方 形 紙 卡 一 半 面 積 的 直 角 三 角 形 紙 卡 （ 如 E 圖 中 有 3 個 同 樣 的 直 角 三 角 形 紙 卡 ），連 同 原 來 的 正 方 形 紙 卡，共 有 三 種 測 量 單 位 紙 卡 可 供 兒 童 使 用 。 接 下 來，研 究 者 要 兒 童 比 較 D、E 兩 圖 形 是 否 一 樣 大 ？ 試 驗 結 果 與 疊 置
測 量 法 相 似 並 發 現 到 ： 5～ 6歲 通 常 不 會 做 正 確 測 量 ， 而 誤 認 為 B或 C比 較 大 ； 6～ 7歲 半 會 使 用 測 量 紙 卡 ， 也 會 數 出 單 位 個 數 ， 但 不 能 明 瞭 測 量 單 位 間 的 關 係 ， 有 的 認 為 D和 E一 樣 大 ， 因 為 它 們 都 可 畫 成 四 塊 ； 有 的 因 為 E有 五 塊 （ 三 個 三 角 形 和 兩 個 正 方 形 ） 而 D只 有 四 個 正 方 形 ， 所 以 E較 大，此 階 段 的 兒 童 尚 未 具 備 基 本 測 量 單 位 的 概 念；7歲 半 ～ 8歲 半 歲 以 上 的 兒 童 能 正 確 回 答 且 明 白 基 本 測 量 單 位 的 關 係 。 圖 2-3 單 位 測 量 法 面 積 測 量 概 念 實 驗 在 上 述 的 研 究 中 指 出 ， 而 對 於 測 量 概 念 的 發 展 具 有 下 列 階 段 ： Stage Ⅱ ： 無 法 正 確 測 量 。
Stage Ⅲ A:使 用 共 測 單 位 （ common measures） 來 計 算 相 同 單 位 ， 而 忽 略 不 相 等 的 面 積 。 Stage Ⅲ B： 瞭 解 單 位 概 念 ， 使 用 測 量 物 件 的 大 小 來 計 算 面 積 。 綜 合 以 上 所 述 ， 單 位 面 積 概 念 可 透 過 覆 蓋 、 拼 湊 、 比 較 與 切 割 等 活 動 來 進 行 測 量 ， 而 其 過 程 涉 及 單 位 數 的 累 加 與 單 位 量 的 比 較 與 轉 換 （ 王 選 發 ， 民 91） 。 譚 寧 君 (民 84)亦 認 為 面 積 測 量 的 基 本 概 念 即 在 探 索 封 閉 範 圍 內 的 覆 蓋 情 形 ， 其 又 可 分 為 三 個 不 同 層 次 ： 1.基 本 面 積 概 念 ； 2.單 位 面 積 概 念 ； 3.直 線 測 量 面 積 概 念 。 他 們 所 述 的 各 個 層 次 與 本 文 中 的 面 積 概 念 相 互 比 較，可 以 看 出 譚 寧 君 的 第 1層 次 指 的 是 1.面 積 的 初 步 概 念 與 2. 面 積 的 間 接 比 較 ， 其 比 較 的 方 法 都 是 Piaget的 疊 置 測 量 法 。 而 譚 寧 君 的 第 2 層 次 所 指 的 分 別 是 3. 面 積 的 個 別 單 位 與 普 遍 單 位 比 較 以 及 4. 面 積 度 量 制 度 中 的 單 位 化 聚 ， 則 為 Piaget 的 單 位 測 量 法 。 譚 寧 君 的 第 3 層 次 指 的 是 5.面 積 與 部 份 周 界 長 的 關 係。面 積 教 學 的 相 關 研 究 分 析（ 王 選 發 ， 民 91； 許 嵐 婷 ， 民 91； Outhred & Mitchelmore,2000） ， 均 強
調 學 童 在 學 習 面 積 時，要 有 足 夠 的 面 積 覆 蓋 經 驗，才 能 形 成 測 量 概 念， 進 而 才 能 運 用 直 線 測 量 及 公 式 來 計 算 面 積 。 假 設 這 些 研 究 都 是 確 定 的 ， 那 麼 如 何 從 單 位 的 測 量 進 入 到 公 式 的 使 用 就 值 得 深 入 探 討 。 如 果 說 長 度 的 測 量 工 具 是 直 尺 的 話 ， 那 平 方 公 分 板 (或 方 格 紙 )則 是 面 積 的 測 量 工 具 ， 平 方 公 分 板 主 要 可 以 用 來 點 數 單 位 面 積 的 量 有 多 少 。 在 本 文 提 到 面 積 概 念 的 1～ 4階 段 ， 都 可 藉 由 平 方 公 分 板 的 協 助 而 測 得 面 積，可 看 出 平 方 公 分 板 扮 演 著 重 要 的 角 色。甯 自 強 (個 人 通 訊 ， 民 98年 1月 23日 )指 出 ， 面 積 公 式 概 念 的 獲 得 ， 可 以 說 是 由 平 方 公 分 板 的 抽 象 而 來 的 ； 例 如 ： 長 3公 分 寬 2公 分 的 長 方 形 ， 利 用 平 方 公 分 板 來 測 量 面 積 時 ， 可 看 出 長 方 形 面 積 ， 可 被 分 成 每 列 有 3個 1平 方 公 分 大 小 的 圖 形 共 有 2列 ， 所 以 可 以 得 到 6平 方 公 分 。 當 我 們 在 使 用 公 式 時 ， 必 須 先 量 出 長 方 形 的 長 有 3公 分 寬 有 2 公 分 時 ， 心 中 會 抽 象 出 長 可 分 割 3 格，寬 可 分 割 成 2格，面 積 為 6格 的 長 方 形，由 此 可 知 面 積 公 式 的 概 念 ， 似 乎 可 藉 由 平 方 公 分 板 來 建 立 （ 溫 山 明 ， 民 98） 。 所 以 平 方 公 分 板 或 方 格 紙 ， 對 於 面 積 公 式 的 引 出 ， 具 有 一 定 的 重 要 性 。
第 三 節 面 積 與 GSP
面 積 是 一 種 幾 何 量 ， 目 前 針 對 幾 何 學 習 設 計 的 軟 體 頗 多 ， 例 如 較 為 初 階 的 「 幾 何 支 持 者 」 (Geometry Supporter)其 主 要 的 功 能 則 為 幾 何 論 證 的 演 示，較 為 高 階 的 有 Mathematica，不 但 能 以 向 量 方 式 檢 查 幾 何 基 本 性 質 ， 甚 至 代 數 化 的 操 作 座 標 系 統 性 質 ， 使 能 對 幾 何 與 幾 何 量 的 兩 類 性 質 加 以 兼 顧 。 由 於 前 者 所 重 視 的 論 證 並 非 國 小 面 積 概 念 的 主 要 內 容 ， 而 後 者 的 代 數 化 運 作 卻 涉 及 程 式 語 言 的 撰 寫 ， 均 不 適 用 於 國 小 兒 童 使 用 ， 是 以 並 未 列 入 加 以 使 用 的 考 慮 。 至 於 幾 何 繪 圖 板 (Geometer's Sketchpad［ GSP］ )則 以 其 以 繪 圖 操 作 為 主 且 兼 顧 能 被 度 量 化 的 性 質 ， 並 具 有 下 列 可 操 作 性 ： (一 )繪 圖 --也 就 是 幾 何 的 造 形 活 動 。 (二 )圖 像 可 移 動 ， 進 而 覆 蓋 並 反 覆 操 作 ， 具 可 逆 溯 --是 為 面 積 的 保 留 概 念 。 (三 )可 複 製 --即 面 積 的 單 位 化 並 可重 複 單 位。(四 )可 以 提 供 測 量 的 座 標，且 可 自 訂 單 位。(五 )可 標 記。(六 ) 可 提 供 grid的 功 能 ， 類 如 方 格 紙 的 操 作 或 平 方 公 分 板 的 作 用 。 又 面 積 覆 蓋 活 動 的 實 施，因 為 GSP情 境 對 於 覆 蓋 物 的 複 製，相 較 於 紙 筆 的 真 實 情 境 所 使 用 的 具 體 操 作 物 ， 更 容 易 準 備 及 攜 帶 ， 是 以 選 之 為 本 研 究 資 料 蒐 集 工 具 。 對 於 其 它 研 究 者 如：陳 冠 州 (2003)在 真 實 情 境 與 GSP情 境 研 究 中 ， 曾 指 出 有 關 螢 幕 上 的 操 作 與 兒 童 的 意 圖 間 的 關 係 ， 如 表 1所 示 。 表 2-1 動 作 表 徵 與 心 理 意 義 對 照 表 動 作 表 徵 與 心 理 意 義 對 照 動 作 表 徵 兒 童 可 能 的 心 理 想 法 點 選 滑 鼠 1.隨 便 玩 玩 ， 不 具 任 何 意 思 。 2. 試 著 去 點 選 ， 看 看 能 否 開 啟 更 多 更 多 新 的 功 能 。 3. 嘗 試 性 地 想 要 選 取 工 具 箱 中 一 個 功 能 來 使 用 。 4. 知 道 工 具 相 項 目 的 功 能 後 ， 可 以 指 定 的 動 作 加 以 點 選 滑 鼠 。 移 動 物 件 1. 經 說 明 後 可 仿 作 或 自 行 嘗 試 後 ， 發 現 移 動 的 技 巧 。 2.已 經 決 定 好 路 徑 和 目 標 。 3.遵 照 指 示 的 位 置 移 動 。 畫 一 條 直 線 1. 決 定 從 哪 裡 到 哪 （ 出 發 的 方 向 ）。 2.決 定 要 多 長 。 3.表 示 兩 點 間 的 長 度 。 顯 示 grid 1.想 要 開 始 計 數 格 子 數 。 2.可 以 用 來 計 算 長 度 。 3.要 確 定 兩 物 間 的 距 離 。 4.做 為 一 條 的 起 點 或 終 點 。 移 動 游 標 1.玩 玩 看 ， 看 有 沒 有 新 發 現 。 2.要 說 明 物 體 的 位 置 。 資 料 來 源 ： 國 小 二 年 級 兒 童 空 間 定 位 概 念 的 個 案 研 究 ： 真 實 情 境 與 GSP 情 境 的 活 動 類 型 (頁 29)， 陳 冠 州 ， 2003， 國 立 台 北 師 範 學 院 數 理 教 育 研 究 所 碩 士 論 文 。
兒 童 本 身 操 作 GSP 情 境 解 題 時 的 實 際 意 圖，當 然 是 兒 童 本 身 概 念 的 重 要 指 標 ， 倘 能 加 以 蒐 集 ， 應 對 兒 童 的 概 念 內 涵 有 所 助 益 。 但 同 樣 的 操 作 ， 如 上 表 所 述 ， 往 往 可 能 肇 因 於 不 同 的 意 圖 是 刻 意 或 是 嘗 試 錯 誤 的 ， 均 有 待 兒 童 本 身 親 口 證 實 ， 無 法 由 研 究 者 逕 行 強 加 。 由 是 相 關 的 操 作 意 圖 在 訪 談 時，是 否 必 須 進 行 釐 清，並 能 避 免 晤 談 主 題 的 離 題， 端 視 訪 談 者 的 敏 感 程 度 以 及 訪 談 技 術 的 精 煉 程 度 。 本 研 究 將 GSP 以 學 具 的 觀 點，運 用 於 兒 童 面 積 概 念 的 表 徵 工 具 ， 並 提 供 了 基 本 繪 圖 工 具 。 甯 自 強（ 民 85）認 為 所 謂 的 表 徵 ， 則 專 指 概 念 的 再 表 現 的 活 動 產 品（ von Glaserfeld,1995b; Kaput,1991）而 且 特 別 強 調 ， 如 同 語 言 一 般 ， 表 徵 自 然 有 其 施 指 （ de Saussure,1938）， 是 以 有 關 數 學 表 徵 的 意 義 在 其 指 向 的 具 體 解 題 活 動 上 ， 表 徵 的 本 身 只 是 個 信 號 ， 表 徵 基 本 上 是 個 人 的 產 品 ， 而 為 了 達 成 與 群 體 溝 通 的 目 的 ， 及 文 化 相 容 的 目 的，才 自 己 調 適 自 己 的 文 化 產 品 成 為 約 定 俗 成 的 格 式。。 Freudental(1983)指 出 面 積 的 測 量 概 念 為 一 心 理 物 件 （ mental object）
由 實 際 實 施 的 覆 蓋 活 動 過 程 中 形 成 的 ，Piaget ＆ Inhelder（ 1960）亦 指 出 面 積 的 保 留 概 念 為 幾 何 概 念 之 抽 象 而 得 的 。 欲 將 兒 童 的 心 理 物 件 或 抽 象 概 念 表 徵 出 來 則 需 要 利 用 媒 介 （ mediation） 顯 現 出 來 ， 在 此 ， 對 GSP 而 言，兒 童 所 操 作 的 幾 何 物 件 也 屬 於 符 號 表 徵 的 一 種，至 於 其 表 徵 意 義 是 否 有 意 義 ， 則 端 視 表 徵 能 否 作 為 溝 通 的 要 件 ， 並 使 解 題 活 動 得 以 順 利 進 行 來 決 定 。
第 二 節 兒 童 面 積 概 念 發 展 之 相 關 研 究
高 敬 文（ 民 78）針 對 我 國 兒 童 測 量 概 念 的 發 展 指 出： 學 童 對 於 測 量 單 位 量 與 測 量 總 量 間 的 關 係 不 甚 了 解 ， 不 了 解 單 位 量 越 小 ， 所 測 得 的 單 位 數 將 越 多 ； 而 且 在 解 決 面 積 問 題 時 ， 仍 受 視 覺 影 響 甚 鉅 ， 因 為 死 記 面 積 公 式，所 以 他 們 在 解 題 時，往 往 憑 直 覺，對 於 題 意 不 求 甚 解 ， 若 恰 有 公 式 可 以 套 用，則 該 題 通 過 率 可 達 近 九 成，但 如 題 型 稍 有 變 化， 則 通 過 率 未 達 兩 成 ， 即 使 提 醒 他 們 ， 這 些 學 童 也 不 易 進 行 反 思 。陳 鉪 逸 （ 民 86） 研 究 指 出 約 有 15﹪ ∼23﹪ 的 學 生 ， 認 為 幾 何 圖 形 的 底 一 定 要 在 水 平 線 上，高 一 定 要 在 鉛 直 線 上。同 時 發 現 學 童「 畫 高 」 的 作 圖 能 力 上 待 加 強 ， 通 過 率 約 在 52﹪ ∼69﹪ 之 間 ， 同 時 部 分 學 生 對 高 的 定 義 不 清 楚 ， 誤 以 為 高 一 定 要 過 頂 點 像 頂 邊 所 做 的 垂 直 線 才 稱 為 高 。 王 選 發（ 民 91）研 究 指 出 六 年 級 學 童 對 於 透 過 切 割、覆 蓋、拼 湊 、 點 數 與 合 成 ， 以 測 量 或 比 較 圖 形 面 積 的 能 力 大 都 具 備 。 但 對 於 單 位 化 聚 、 面 積 公 式 的 應 用 、 等 積 異 形 的 辨 識 、 周 長 與 面 積 的 概 念 、 三 角 形 及 平 行 四 邊 形 的 「 畫 高 」 能 力 則 尚 待 加 強 。 此 外 ， 研 究 中 也 指 出 學 童 普 遍 在 解 面 積 應 用 問 題 時 ， 對 題 意 欠 缺 分 析 的 能 力 ， 往 往 憑 直 覺 套 用 公 式 來 解 題 。 若 題 目 變 為 非 直 接 可 套 用 公 式 的 型 態 ， 則 通 過 率 不 到 二 成 。 戴 政 吉 （ 民 90） 研 究 四 年 級 學 童 面 積 測 量 概 念 發 現 有 下 列 幾 點 ： 1.有 些 學 生 在 繪 製 另 一 個 與 原 來 圖 形 相 同 面 積 的 圖 形 時 ， 會 以 原 來 圖 形 的 「 高 度 」 （ 圖 形 縱 向 的 長 度 ） 為 主 要 的 依 據 ； 2.有 些 學 童 點 數 圖 形 面 積 大 小 時，會 以「 高 度 」大 者 為 面 積 大 的 圖 形，有 些 會 以「 寬 度 」 （ 圖 形 左 右 的 長 度 ） 大 者 為 面 積 大 的 圖 形 ； 3.有 些 學 童 在 點 數 圖 形 面 積 時 ， 會 將 未 滿 一 格 的 圖 形 當 作 一 格 ， 有 些 會 將 未 滿 一 格 的 圖 形 省 略 不 計 ； 4.有 些 學 童 在 解 題 時 ， 只 以 圖 形 出 現 的 數 字 求 周 長 和 面 積 ； 5. 有 些 學 童 容 易 固 著 於 面 積 公 式 中 兩 數 相 乘 的 思 考 模 式 ， 只 要 題 目 中 出 現 與 面 積 相 關 的 概 念 ， 它 們 的 算 式 中 就 會 出 現 兩 數 相 乘 ， 而 不 管 這 樣 的 算 法 是 否 合 理 。 戴 錦 秀 （ 民 91） 研 究 國 小 五 年 級 學 生 使 用 電 腦 軟 體 GSP 學 習 三 角 形 面 積 成 效 之 研 究 ， 比 較 「 GSP 輔 助 教 學 」 和 「 傳 統 講 述 式 教 學 」 兩 種 不 同 的 方 式 ， 對 於 國 小 五 年 級 三 角 形 面 積 的 學 習 成 就 之 差 異 與 概 念 發 展 情 形 ， 發 現 學 習 的 動 機 、 學 習 氣 氛 以 及 學 習 態 度 均 有 助 益 。 林 文 慧 （ 民 93） 探 討 可 行 GSP 融 入 國 小 數 學 面 積 概 念 補 救 教 學 之 模 式 ， 運 用 此 模 式 於 國 小 六 年 級 學 童 之 補 救 教 學 ， 並 分 析 學 童 的 數 學 學 習 表 現 及 數 學 學 習 態 度 情 形。研 究 發 現 如 下 GSP 融 入 面 積 概 念 補 救 教 學 模 式 配 合 具 體 物 操 作 與 討 論 實 施 ， 有 助 於 補 救 教 學 的 進 行 ， 並
達 到 補 救 教 學 的 效 果，以 及 GSP 融 入 面 積 之 補 救 教 學 對 數 學 低 成 就 學 生 的 學 習 成 就 是 有 幫 助 的 。 陳 雪 華 (民 90)探 討 國 小 四 年 級 學 童 直 觀 面 積 概 念 在 GSP 動 態 診 斷 教 學 下 的 成 效 中 發 現 學 生 對 GSP 動 態 診 斷 教 學 在 面 積 保 留 概、面 積 基 本 概 念 和 面 積 單 位 概 念 有 進 步 ， 而 教 學 反 應 都 持 有 正 向 的 態 度 。 上 述 可 知 ， 面 積 概 念 所 涉 及 的 能 力 較 複 雜 ， 如 果 能 使 用 多 重 的 表 徵 方 式 來 學 習 ， 相 較 於 單 一 表 徵 方 式 的 學 習 形 態 ， 會 更 有 助 益 。 隨 著 科 技 的 發 展 ， 對 於 電 腦 的 使 用 將 成 為 不 可 或 缺 的 能 力 ， 將 日 益 發 達 的 科 技 融 入 於 教 學 的 情 境 中 ， 不 但 能 幫 助 學 生 學 習 ， 也 可 以 引 發 學 生 學 習 興 趣。本 研 究 的 目 的 將 瞭 解 在 真 實 情 境 及 GSP 情 境 中 對 於 解 題 活 動 類 型 ， 提 供 教 學 者 參 考 ， 藉 以 改 進 教 學 形 態 。
第 三 章 研 究 方 法 及 實 施 過 程
本 章 說 明 本 研 究 採 取 的 研 究 方 法 以 及 實 施 的 過 程 ， 共 分 成 五 大 部 分 。 首 先 說 明 蒐 集 資 料 的 方 法 － 教 學 晤 談 法 ， 其 次 敘 述 訪 談 的 問 題 架 構 ， 第 三 部 份 是 兒 童 的 選 擇 與 特 徵 描 述 ， 第 四 部 份 是 訪 談 的 實 施 過 程 與 資 料 的 紀 錄 ， 最 後 是 資 料 的 整 理 與 分 析 。第 一 節 教 學 晤 談 法 的 意 義 與 目 的
根 據 本 研 究 所 持 的 知 識 論 立 場 － 根 本 建 構 主 義 ， 是 將 知 識 視 為 有 機 體 與 外 在 環 境 互 動 的 經 驗 結 果 ， 在 於 有 機 體 於 問 題 情 境 中 可 以 獲 得 成 功 的 一 組 概 念 。 因 此 當 本 研 究 試 圖 建 立 個 案 兒 童 的 面 積 概 念 的 活 動 類 型 時 ， 研 究 者 需 布 置 適 當 的 問 題 情 境 以 觸 發 （ trigger） 兒 童 的 解 題 活 動 ， 研 究 者 在 從 兒 童 的 解 題 活 動 中 找 出 與 兒 童 意 圖 相 容 的 面 積 概 念 ， 促 使 研 究 者 和 兒 童 成 為 「 可 溝 通 的 數 學 社 群 」 就 十 分 重 要 。 基 於 此 理 由 ， 本 研 究 採 用 教 學 晤 談 法 （ teaching interview）（ Ning， 1992； 甯 自 強 ， 民 82d） 做 為 資 料 收 集 的 方 法 。 當 在 進 行 晤 談 時 ， 研 究 者 先 對 兒 童 佈 下 問 題 並 要 求 兒 童 加 以 解 題 ， 接 著 研 究 者 根 據 其 解 題 反 應 後 ， 再 以 兒 童 的 表 現 為 基 礎 ， 再 佈 下 進 一 步 的 問 題 ， 來 釐 清 兒 童 的 解 題 方 式 和 有 關 的 意 圖 。 晤 談 的 全 部 過 程 將 予 以 錄 影，以 方 便 作 為 日 後 資 料 分 析 的 資 源。研 究 者 與 兒 童 之 間， 彼 此 的 溝 通 互 動 ， 則 持 續 到 研 究 者 提 出 其 它 的 問 題 或 時 間 結 束 為 止 。 藉 由 教 學 晤 談 的 模 式 ， 研 究 者 可 以 觀 察 到 兒 童 的 外 顯 行 為 並 猜 測 其 思 考 活 動 ， 進 一 步 形 成 對 兒 童 所 使 用 概 念 的 假 設 ， 加 以 提 出 問 題 檢 測 假 設 的 真 實 性 ， 或 調 整 問 題 使 得 晤 談 過 程 得 以 順 利 的 進 行 ， 讓 兒 童 的 解 題 活 動 ， 能 表 達 出 更 真 實 的 想 法 。 透 過 教 學 晤 談 法 所 收 集 到 兒 童 的 資 料 ， 將 進 一 步 進 行 分 析 ， 從 中 獲 得 兒 童 的 解 題 活 動 類 型 。 最 後 ， 必 須 進 一 步 說 明 教 學 晤 談 法 與 臨 床 晤 談 法 的 差 異 。 教 學 晤 談 法 與 臨 床 晤 談 法 最 大 的 差 異 在 ， 若 研 究 者 察 覺 受 訪 者 確 實 無 法 解 決研 究 者 所 提 出 的 問 題 時 ， 研 究 者 會 適 時 的 予 以 協 助 ， 避 免 受 訪 者 遭 遇 過 多 的 挫 折 ， 但 必 須 在 事 後 適 當 地 剔 除 因 研 究 者 介 入 而 成 功 的 表 現 ， 除 非 研 究 者 有 充 分 的 證 據 顯 示 兒 童 在 類 似 問 題 的 成 功 表 現 並 非 由 於 研 究 者 的 教 學 介 入 而 干 擾 ， 所 以 教 學 晤 談 法 的 目 的 為 瞭 解 兒 童 解 決 問 題 的 方 式 。
第 二 節 晤 談 問 題 的 內 容 與 結 構
在 本 研 究 中，一 部 份 的 晤 談 是 在 GSP 情 境 中 進 行 的，由 於 兒 童 在 GSP 情 境 中 的 解 題 活 動 ， 已 受 到 軟 體 本 身 的 限 制 ， 可 能 在 本 質 上 會 產 生 變 化 ， GSP 雖 然 本 身 已 經 提 供 部 分 工 具 提 供 兒 童 使 用 ， 但 也 相 對 限 制 兒 童 的 解 題 活 動 ， 例 如 ： 兒 童 在 對 圖 形 進 行 畫 高 時 ， 無 法 利 用 外 在 工 具 檢 驗 是 否 底 高 垂 直 。 在 此 GSP 情 境 中， 兒 童 外 在 的 行 為 表 現 ， 僅 能 靠 著 滑 鼠 的 各 種 操 作 ， 口 頭 表 達 ， 臉 部 表 情 及 肢 體 姿 勢 來 說 明 。 在 本 研 究 中 為 了 探 索 兒 童 面 積 保 留 概 念 、 面 積 測 量 概 念 ， 以 及 面 積 公 式 運 用 等 解 題 策 略 ， 設 計 了 三 個 類 型 的 問 題 。 另 外 ， 在 考 慮 到 GSP 情 境 使 用 時，兒 童 操 作 GSP 軟 體 的 基 本 技 巧 影 響 其 表 現 的 活 動 ， 則 先 讓 兒 童 熟 悉 GSP 環 境 中 的 選 項 功 能，並 練 習 利 用 滑 鼠 進 行 拖 曳 、 點 選 等 動 作 做 出 簡 單 的 幾 何 物 件 ， 如 畫 直 線 ， 並 在 熟 悉 的 過 程 中 ， 經 驗 GSP 與 實 際 紙 筆 作 圖 的 不 同 處 。 晤 談 問 題 共 分 為 三 類 ， 分 別 為 面 積 保 留 概 念 的 問 題 、 面 積 測 量 活 動 的 問 題 以 及 面 積 公 式 應 用 的 問 題 （ 詳 見 附 錄 一 ） 。 以 下 將 訪 談 問 題 做 摘 要 性 的 敘 述 。一 、 面 積 保 留 概 念 的 問 題
在 真 實 情 境 中 ， 分 別 利 用 積 木 以 及 打 洞 機 ， 並 排 列 成 不 同 方 式 ， 來 測 驗 兒 童 的 基 本 面 積 保 留 概 念 及 互 補 面 積 保 留 概 念 ， 更 進 一 步 瞭 解 兒 童 的 解 題 方 式 。 本 題 型 在 調 查 兒 童 解 決 面 積 保 留 概 念 的 過 程 時 ， 以 及 對 於 「 面 積 保 留 概 念 」 的 具 體 掌 握 程 度 。 面 積 保 留 概 念 是 面 積 測 量 概 念 的 基 礎 ， 因 此 ， 該 部 分 問 題 除 透 過 具 體 活 動 外 ， 還 著 重 瞭 解 兒 童對 於 面 積 保 留 的 心 理 運 作 及 其 解 題 方 式 。 （ 一 ） 透 過 具 體 操 作 積 木 活 動 來 解 決 基 本 面 積 保 留 概 念 問 題 本 題 型 透 過 兩 張 色 紙 與 積 木 擺 設 方 式 的 不 同 ， 請 兒 童 比 較 兩 者 間 綠 色 區 域 面 積 大 小 ， 藉 此 瞭 解 兒 童 的 面 積 保 留 概 念 ， 進 一 步 設 置 等 量 添 加 的 題 型 ， 解 決 面 積 保 留 概 念 的 問 題 。 目 的 在 調 查 兒 童 能 否 透 過 點 數 、 移 動 和 併 置 調 整 等 方 式 ， 掌 握 面 積 的 保 留 概 念 。 例 1 ： 這 裡 有 兩 片 草 地 ， 請 問 哪 一 邊 的 馬 吃 的 草 比 較 多 ？ 圖 3-1 面 積 基 本 保 留 概 念 馬 吃 草 測 試 圖 例 2 ： 這 裡 有 兩 片 草 地 ， 同 時 增 加 3個 積 木 請 問 哪 一 邊 的 馬 吃 的 草 比 較 多 ？ 2、 透 過 具 體 操 作 比 較 活 動 解 決 互 補 面 積 保 留 概 念 的 問 題 在 此 題 型 中 ， 與 上 一 題 「 馬 吃 草 的 問 題 」 最 大 的 差 別 ， 為 空 間 位 置 無 法 藉 由 搬 移 或 調 整 的 操 作 方 式 來 解 決 問 題 。 因 此 ， 研 究 者 並 藉 由 此 類 問 題 ， 瞭 解 兒 童 在 無 法 藉 著 搬 移 或 調 整 羅 列 分 佈 情 形 操 作 時 ， 對 於 面 積 保 留 概 念 的 掌 握 程 度，並 分 別 在 實 際 紙 筆 情 境 與 GSP 情 境 中 進 行 面 積 保 留 概 念 的 解 題 活 動 。 例 ： 這 兩 張 白 紙 分 別 打 上 一 些 洞 ， 請 問 哪 一 邊 的 白 色 區 域 比 較 大 ？ 圖 3-2 面 積 互 補 保 留 概 念 測 試 圖
（ 二 ） 面 積 測 量 活 動 的 問 題 面 積 測 量 的 問 題 圖 形 分 為 兩 類 ， 獨 立 單 位 覆 蓋 物 測 量 ， 另 一 種 為 刻 度 單 位 覆 蓋 物 測 量 。 第 一 種 請 受 試 者 利 用 手 上 所 擁 有 的 覆 蓋 物 ， 進 行 圖 形 覆 蓋 ， 可 以 為 個 別 單 位 或 普 遍 單 位 ； 第 二 種 則 請 受 試 者 將 平 方 公 分 板 ， 放 置 於 圖 形 上 面 或 在 方 格 紙 上 畫 出 圖 形 來 算 出 面 積 大 小 。 兩 者 的 目 的 都 在 調 查 兒 童 面 積 測 量 概 念。此 類 問 題 在 實 際 情 境 與 GSP 情 境 中 都 有 進 行 。 例 1： 你 看 看 這 兩 個 圖 形 ， 比 比 看 哪 一 個 面 積 比 較 大 ？ 圖 3-3 GSP 情 境 獨 立 覆 蓋 物 測 量 圖 例 2： 數 數 看 長 方 形 面 積 有 多 大 ？ 圖 3-4 A4 紙 張 測 量 圖 （ 三 ） 面 積 公 式 應 用 的 問 題 本 題 型 的 目 的 在 於 調 查 兒 童 能 否 應 用 面 積 公 式 來 求 出 面 積 ， 以 及 基 本 的 幾 何 先 備 知 識 對 受 試 兒 童 的 意 義 ， 例 如 ： 各 種 圖 形 的 基 本 名 稱 或 底 、 高 之 間 與 圖 形 面 積 的 關 係 及 原 由 ， 但 分 題 型 因 需 具 體 操 作 且 受 限 於 撰 寫 程 式 的 能 力 ， 例 如 ： 斜 平 行 四 邊 形 的 轉 化 ， 僅 能 由 真 實 情 境
展 現 無 法 由 GSP 情 境 來 實 施 。 其 給 定 的 問 題 分 為 矩 形 、 平 行 四 邊 形 、 梯 形 和 三 角 形 等 各 種 圖 形 ， 每 種 圖 形 皆 在 兩 種 情 境 中 進 行 解 題 活 動 ： 1、 基 本 幾 何 先 備 知 識 對 受 試 兒 童 的 意 義 。 例 ： 請 說 說 看 ， 平 行 四 邊 形 的 部 位 名 稱 你 是 怎 麼 知 道 ？ 圖 3-5 平 行 四 邊 形 圖 形 卡 2、 面 積 公 式 的 應 用 。 例 ： 請 算 出 下 面 圖 形 的 面 積 。 圖 3-6 GSP 情 境 中 ， 梯 形 求 面 積 圖
