2-數列與級數

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2- 數列與級數

【83】一皮球自離地面 10 公尺高處落下。首次反彈高度為 3 10 公尺，此後每次反彈高度為其前次反彈高度的 3 1 ，則此球到完全靜止前，所經過路徑的總長度為　　　　　公尺。【解答】20 【84-1】下圖表示長方形垛的疊法： 某水果販將橘子堆成長方形垛。若最底層長邊有10 個橘子，短邊有 5 個，則此長方形垛最 多有幾個橘子？(A)110　(B)120　(C)130　(D)140　(E)150 【解答】(C) 【84-2】假設某鎮每年的人口數逐年成長，且成一等比數列。已知此鎮十年前有 25 萬人，現 在有30 萬人，那麼二十年後，此鎮人口應有　　　　　萬人。（求到小數點後一 位）【解答】43.2

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【85】有一個 101 項的等差數列 a1，a2，a3，…，a101，其和為0，且 a71  71。問下列選項 哪些正確？(A) a1 a101 0　(B) a2 a100 < 0　(C) a3 a99 0　(D) a51 51　

(E) a1 < 0 【解答】(C)(E) 【86】有一個無窮等比級數，其和為 9 8 ，第四項為 32 3 ，已知公比為一有理數，則當公比以最簡分數表示時，其分母為(A) 2　(B) 3　(C) 4　(D) 6　(E) 8 【解答】(C) 【87-1】設 a 與 b 均為實數。若 2 a  ₂ 2 b  ₃ 2 a  ₄ 2 b  …  ₂ ₁ 2 n a  b₂_n 2  …  3， 則2 a  b 　　　　　。 【解答】9

【87-2】在等比數列<an>中，a1 1，a4 2  5，an2  an1 an，n  1。則<an>的公比

　　　　　。

【解答】

2 5 1

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【88】試選出正確的選項：(A) 0.343不是有理數　(B) 0.34> 3 　(C) 0.34> 0.343 (D) 0.34< 0.35　(E) 0.34 0.343 【解答】(B)(C)(D)(E) 【89】將自然數按下列規律排列，每一列比前一列多一個數，如下表所示： 第 1 列 1 第 2 列 2，3 第 3 列 4，5，6 第 4 列 7，8，9，10 第 5 列 11，12，13，14，15 …… …… 試問第 100 列第 3 個數是多少？答：　　　　　。 【解答】4953 【91-1】某甲自 89 年 7 月起，每月 1 日均存入銀行 1000 元，言明以月利率 0.5％按月複利計 息，到90 年 7 月 1 日提出。某乙則於 89 年 7 月起，每單月（一月、三月、五月…） 1 日均存入銀行 2000 元，亦以月利率 0.5％按月複利計息，到 90 年 7 月 1 日提出。一 整年中，兩人都存入本金12000 元。提出時，甲得本利和 A 元，乙得本利和 B 元。問 下列選項何者為真？(1) B  A　(2) A  1000_



_  12 1 ) 1000 1005 ( k k (3) B  2000    

_

 6 1 2 ) 1000 1005 ( k k (4) A  12000( 1000 1005 )12_{(5) B}_{ 12000(} 1000 1005 )12 【解答】(1)(2)(3)(4)(5)

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【91-2】一機器狗每秒鐘前進或者後退一步，程式設計師讓機器狗以前進 3 步，然後再後退 2 步的規律移動。如果將此機器狗放在數線的原點，面向正的方向，以 1 步的距離為 1 單位長。令 P(n)表示第 n 秒時機器狗所在位置的坐標，且 P(0)  0。那麼下列選項 何者為真？(1) P(3) = 3　(2) P(5)  1　(3) P(10)  2　(4) P(101)  21　 (5) P(103)  P(104) 【解答】(1)(2)(3)(4) 【91-3】某公司民國 85 年營業額為 4 億元，民國 86 年營業額為 6 億元，該年的成長率為 50％。87、88、89 三年的成長率皆相同，且民國 89 年的營業額為 48 億元。則該公司 89 年的成長率為　　　　　％。 【解答】100 【91-4】某次網球比賽共有 128 位選手參加，採單淘汰制，每輪淘汰一半的選手，剩下一半的 選手進入下一輪。在第1 輪被淘汰的選手可獲得 1 萬元，在第 2 輪被淘汰的選手可獲 得2 萬元，在第 k 輪被淘汰的選手可獲得 2k  1_{萬元，而冠軍則可獲得}_{128 萬元，試問} 全部比賽獎金共多少萬元？答：　　　　　萬元。【解答】576 【92】設 a1，a2，…，a50是從 1，0，1 這三個整數中取值的數列。若 a1 a2 …  a50 9

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【93】已知一等差數列共有十項，且知其奇數項之和為 15，偶數項之和為 30，則下列哪一選 項為此數列之公差？(1) 1　(2) 2　(3) 3　(4) 4　(5) 5 【解答】(3) 【94】利用公式₁3 ₂3 ₃3 3 ₍ ( 1)₎2 2 n n n       ，可計算出 3 3 3 3 11 12 13   20 之值為 (1) 41075 (2) 41095 (3) 41115 (4) 41135 (5) 41155 【解答】(1) 【95-1】假設實數a a a a1, , ,2 3 4是一個等差數列﹐且滿足0a12及a3 4﹒若定義 2 n a n b  ﹐則以下哪些選項是對的﹖(1)b b b b1, , ,2 3 4是一個等比數列 (2)b1b2 (3)b2 4 (4)b4 32 (5)b2 b4 256. 【解答】(1)(2)(3)(4)(5) 【95-2】用黑﹑白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規律拼成若干圖形﹕ 拼第 95 個圖需用到________塊白色地磚.

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【解答】478 【96】某巨蛋球場 E 區共有 25 排座位，此區每一排都比其前一排多 2 個座位。小明坐在 正中間那一排(即第 13 排)，發現此排共有 64 個座位，則此球場 E 區共有 個座位。【解答】1600 【97】已知a1，a2，a3為一等差數列，而b1，b2，b3為一等比數列，且此六數皆為實數。 試問下列哪些選項是正確的？　(1) a1a2與a2 a3可能同時成立　 (2) b1 b2與b2 b3可能同時成立　(3) 若a1 a20，則a2 a3 0　 (4) 若b₁b₂ 0，則b b_{2 3} 0　(5) 若b1，b2，b3皆為正整數且b1 b2，則b1整除b2　【解答】(2)(4) 【98-1】數列a12，…，ak2k，…，a1020共有十項，且其和為240，則 1 k 10 a   a   a 之值為(1)31　(2)120　(3)130　(4)185　(5)218。【解答】130

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【解答】95 【99】設a a1, ,2 ,an,為一實數數列，且對所有的正整數n 滿足 1 ( 1) 2 n n n n a _    。請問下列a 哪些選項是正確的？(1)如果a11，則a2 1　(2)如果a1是整數，則此數列的每一項都是整數 (3)如果a1是無理數，則此數列的每一項都是無理數 (4)a2 a4 a2n （n 為正整數） (5)如果ak是奇數，則ak2,ak4,,ak2n,都是奇數（n 為正整數）。 【解答】(2)(3)(4) 【100】已知首項為 a、公比為 r 的無窮等比級數和等於 5；首項為 a、公比為 3r 的無窮等比 級數和等於 7，則首項為 a、公比為 2r 的無窮等比級數和等於________。 【解答】35 6