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# 動態幾何環境下大學生幾何探索之研究

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### 動態幾何環境下大學生幾何探索之研究

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Xu, S. Y., & Hu, C. T. (2014).

Analyzing college students’ geometric investigation within the dynamic geometry environment.

Taiwan Journal of Mathematics Education, 1(1), 49-77.

doi: 10.6278/tjme.20140307.001

### the Dynamic Geometry Environment

Shun-Yuan Xu1 Cheng-Te Hu2

1National Jhongli Senior High School

2Department of Mathematics, National Taiwan Normal University

The aim of this study is to explore, in a dynamic geometry environment (DGE), the operation models of the geometric thinking of college students. To achieve this, we conducted a case study. We recorded the process of geometry exploration activities by math-major college students, interviewed them, and interpreted their operation models of thinking through a qualitative analysis. The results are summarized as follows: (1) When students observe the dynamic representations generated by dynamic geometry software (DGS), they seldom react immediately, and instead engage in geometric thinking before they carry out appropriate dragging. (2) The apparent actions and intrinsic mathematical properties of dynamic representations tend to inspire students’ conjectures. Students then mentally manipulate mathematical objects and analyze possible dynamic behaviors to confirm their conjectures. Finally, they are able to produce a declaration. This process is a basic model for geometric thinking. (3) Students manipulate mathematical objects mentally based on the complexity of operation, and then decide whether to use a DGS-specific claim or conjecture in geometric thinking. (4) Students explore geometry properties in DGE under the constant interactions between geometry experiments and geometric thinking.

Keywords: dynamic representation, dynamic geometry environment, geometric investigation

Corresponding author：Cheng-Te Hu，e-mail：jackhu@ntnu.edu.tw Received：9 May 2013;

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### 壹、緒論

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（一）在操作 DGS 的過程中，激發大學生進行幾何思考的機制為何？ （二）大學生在 DGE 中幾何思考運作模式為何？ 圖 1 DGE 下幾何探索

### 一、幾何探索的本質與認知歷程

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2.構圖（construction）過程：利用工具建構或修正幾何模型的歷程，藉由操作的呈現和觀察結果 來關聯到數學物件的表徵。譬如：尺規作圖、使用動態幾何軟體來建立與呈現幾何圖形。 3.推理（reasoning）過程：透過語文論述以延伸到相關聯的數學知識，包含了進行歸納或演繹推 理。譬如：證明或說明等。而推理的歷程一般可以分成二種，第一種是個體用自然的語言來 進行命名及討論；第二種是個體用形式化的語言透過定義與定理來進行論述的演繹及組織。 Duval 認為個體於幾何活動中，這三個歷程可能獨立進行，但通常是兩個或全部的歷程結合 在一起的複雜認知歷程；其中構圖是利用工具表徵知識，視覺化代表觀察的歷程，推理是演繹 證明的歷程，這三種歷程的交互作用是一個複雜的模式（如下圖 4，其中實線箭頭表總是可以 支持，虛線箭頭表示不一定支持。）。

Duval 認為推理歷程可以支持構圖與視覺化，例如：在中學的畢氏定理證明中，學生透過各 種不同的推理過程來洞察這個直角三角形的性質，而其中推理的過程也支持了構圖，例如做輔 助或作各邊上的正方形…等等；而構圖的歷程自然地會支持視覺化，例如：在直角三角形上進 行構圖，必然會產生幾何圖形，經由構圖的過程學生能夠瞭解圖形從何而來或其結構，支持了 學生對於圖形的視覺化歷程；雖視覺化歷程通常能夠支持推理歷程，但並不是總是有效的，甚 至反而會阻礙推理的進行。 本研究根據 Duval 的幾何認知模型，在 DGE 下動態表徵如同視覺化歷程，個體的拖曳行動 讓圖形產生了變化，拖曳行動有如構圖歷程。幾何認知模式中論述個體在幾何活動中主要有三 種認知歷程，個體透過理解、推理、證明…等等歷程進行數學的活動，研究者認為當個體 DGE 環境下操作幾何物件時，觀察拖曳所產生的圖形變化，即產生了動態表徵，學生可以透過觀察 動態表徵，引發個體去思考以輔助推理。從 Duval 的觀點認為視覺化歷程不總是能夠支持推理 歷程，雖然動態幾何軟體被視為能夠幫助學生學習幾何，但在目前的研究中很少深入地探討動 4 3 2 1 5（B） 5（A） 視覺化 構圖 推理

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### 二、動態幾何軟體與幾何探索

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（2004）即將此 DGE 中圖形物件的變動定義為動態行為（dynamic behavior），當拖曳物件使此

### 三、幾何實驗與思考模式

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Vygotsky（1978）在探討個體的高等思維時，認為有兩種主要仲介導引人類行為的方式，

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S11：那如果把 ABCD 拉成平行四邊形? S12：那裡面就是平行四邊形啊！因為是角平分線啊！ S11：等一下喔… S12：如果只有動 A，只有 AD 會動，那麼這三條都會動（三條角平分線）。 S11：那只拉成平行四邊形。 S12：應該是這三條線都會動，那這三條線都會動。 S11：對喔，如果拉成平行四邊形。（持續思考中…） 第二段： S12：如果我拉一拉有時會平行耶，兩條線很接近，那就會很遠。 S12：這兩邊平行，那…就只有兩個交點。 S11：一對平行，兩對平行，所以只要 AB 平行 CD 的話 GF 也會平行 HE。 S12：不一定啊！可是這樣子、這樣子、這樣子（手勢描述邊的關係） S11：可是啊！你這邊平行它的話！為什麼不一定，你這樣平行它的話。 S12：喔，你說 GF 啊！ S11：對啊！你 GF 就平行 HE，你這樣平移它的話，內錯角就相等。 S12：可是旁邊不一定會平行啊（EF 與 GH）！那它有可能差很多啊！例如這樣子（手 勢描述邊的關係），然後… S11：哦~~你說 AD 和 BC，對對對對！ S12：線可能會平行，就是那個邊啊（EF 與 GH）！ S11：嗯嗯嗯。 S12：如果是這樣子的話，那應該是這樣子會平行。 第三段： S11：你再說一次 S12：如果 AB 跟 CD 平行。 S11：把 D 拉過去（指著螢幕）。 S12：就變成 HE 這一條跟 GF 這一條會平行，因為它們這邊是… S11：我說的就是這個啊（指著螢幕 EF 與 GH）！ S12：有嗎？有嗎？好像沒有耶！ S11：因為你剛說 AD 跟 BC 不一定會平行，所以它角不一定一樣。 S12：疑~不是不對嗎？那…我要講什麼？ S12：如果只有一對平行，另一對不平行。

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S13：我也不知道耶！因為我想到它是角平分線，然後我就想到角平分線的性質，所 以就想到這個。 案例四分析： S13 觀察動態表徵，四個角平分線交於一點的情形，他是透過圖形角平分線的性質聯想到 至兩邊等距離，進而推得 ABCD 具有內接圓。S13 是觀察到動態表徵所蘊含不明顯的數學性質， 然後透過幾何思考來發現形成這個狀況的原因。 （三）動態表徵類型為「認知衝突的圖形」 當動態表徵與個體所認知的圖形產生衝突，會讓學生思考變的多元，通常第一個會問「為 什麼會這樣子」，接著會問「假如這樣子就會得到…」。透過幾何思考使得認知衝突轉化成一個 新的猜測或結論。以下以案例五與案例六說明： 案例五： 在活動一 S11 與 S12 使用 GSP 建構好幾何問題的動態表徵（圖 9）。進入活動二之前，他們 發現圖形上角平分線兩兩的交點有六個，這時候 S11 對於圖形與問題題幹產生了認知衝突，以 下是 S11 與 S12 的討論過程片段。 S11：那這些沒有點出來的點呢？它們也是相交，不是嗎？ S12：不是選四個嗎？ S11：所以它這個情況其實是沒有這種東西的。（一直觀察 GSP 中的圖形） S12：因為四條線應該是六個點。 S11：因為一定不只這幾個點啊，一定還有其他的點。所以它是不是拖拖拖，拖到一 種情況，讓裡頭只交四個點？ 圖 9 S11 與 S12 於活動一的構圖 案例五分析： 當 S11 與 S12 發現螢幕上所呈現的動態表徵的四條角平分線交於六點，讓他對於問題的題 幹產生了認知衝突。S12 開始思考為什麼會有六個交點，並提出任意四條線應該有六個交點， 以說明為什麼會有六個交點。S11 一直觀察動態表徵，一開始懷疑是否有角平分線交於四點的 情形，然後經過幾何思考後，提出可以將圖形進行拖曳可能形成角平分線交於四點的情形。S11

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（2）在 S1 在腦中進行幾何思考的模擬操作（心像操弄）並透過手勢輔助說明，S1 利用手勢輔 助說明他的想法（呈現出他的心像）向 S2 說明為何會交於一點。但對 S2 而言太過抽象， S2 提議將圖形畫出來，亦即讓心中的想法具體顯現在螢幕上。 （3）而 S1 認為不需要，繼續使用手勢來呈現想法並推論得到「等腰梯形就是一個圓」（數學 性質）的宣告。 圖 11 S1 的幾何思考基本歷程示意圖 在本研究中也發現幾何思考有時不是一個單向的過程，也會展現循環的過程。個體會將宣 告轉化成猜測再進行模擬操作，尤其是當個體模擬操作後所得到的宣告與猜測相衝突時。以下 以案例八說明此循環運作情形。 案例八： S11 與 S12 在活動三中正在觀察與操作幾何圖形之動態表徵。S11 拖曳某些點，嘗試將 A 點與 D 點重合使四邊形 ABCD 形成一個三角形且角平分線的交點 EFGH 交於一點。S11 繼續拖 曳 D 點發現有時候四邊形 ABCD 不需退化成三角形也會使四內角平分線的交點 EFGH 交於一點。 進一步地，他保持 EFGH 交於一點，拖曳改變 A 點，發現似乎 A 點會形成一個軌跡，而激發 S12 與 S11 深思其理由。以下是 S11 與 S12 的討論片段過程。 S11：…某些點會交於一點（EFGH 交於一點），而且不只一個點，所以可能會有一 個軌跡是所有點（EFGH）都交於一點的。 S12：交於一點，就是四點（ABCD）同圓嘛。啊!不是，是距離（比手勢），應該是 有一個內切圓？ S12：所以那個交點（EFGH 交於一點）到底是為什麼呢？ （停頓思考了一下） S12：為什麼會交一點？…（思考一下）就這個點到每個邊距離都一樣…（思考一下） 有內切圓。 案例八分析： S11 與 S12 在 DGE 下展現的幾何思考形成以下循環過程（參考圖 12）： 推論 （3） （2） （1） 操作 模擬操作 （心像操弄） 宣告 （數學性質） 猜測 （動態行為） 動態表徵

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（1）S11 在拖曳 D 點時看到動態表徵後產生「可能會有一個軌跡讓角平分線都交於一點」的猜 測（動態行為）。 （2）S12 提出「交於一點，就是四點（ABCD）同圓嘛」的猜測，在腦中操弄幾何圖形。 （3）S12 透過在腦中的心像操弄，發現「應該是有一個內切圓」的宣告（數學性質）。 （4）S12 為了瞭解為什麼會交於一點，此時宣告轉化為猜測。 （5）S12 思考為何會交於一點，透過模擬操作發現「這個點到每個邊距離都一樣」 （6）S12 最後推得「有內切圓」。 圖 12 S11 與 S12 幾何思考示意圖 （二）幾何思考中的操作：模擬操作 V.S.具體操作 在個體進行幾何思考過程中，有些時候個體形成猜測後，會直接透過 DGS 來進行具體的幾 何實驗，但常常因為數學的結構太過抽象與複雜，而無法在心智中繼續模擬操作，在 DGE 下個 體會進行數學物件的模擬與操作，來形成猜測與驗證猜測，並透過 DGS 來輔助幾何思考，以下 以案例九與案例十分別說明此兩種情形。 案例九： S5 與 S6 在活動三中觀察與操作 GSP 中的動態表徵，進行幾何思考中他們在提出猜測後， 立即使用 GSP 來進行操作實驗，檢驗了各種特殊四邊形，包含正方形、長方形、菱形、平行四 邊形，然後得到一些宣告。以下是 S5 與 S6 的討論片段過程。 S5：正方形的時候? （GSP 操作過程，將圖形拖曳形成正方形。） S5：正方形是一個點 。 S6：對~正方形是一個點。 S5：那拉長方形 （GSP 操作過程，將圖形拖曳形成長方形。） S6：所以是平行四邊形。 S5：嗯! 推論 （3） （2） （4） （1） 操作 轉化 模擬操作 （心像操弄） 宣告 （數學性質） 猜測 （動態行為） 動態表徵 （5） （6）

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S6：菱形也是一點嗎? （GSP 操作過程，將圖形拖曳成菱形。） S5：嗯~菱形會垂直。 S6：也是一點吧 S6：那做平行四邊形。 （GSP 操作過程，將圖形拖曳成平行四邊形。） S5：（EFGH 呈現）正方形。 S6：（EFGH）還是平行四邊形 案例九分析： 學生的幾何思考的運作流程並非都會經過心智的模擬操作，有可能猜測產生後，而直接進 行具體操作。在這個案例中，S5 與 S6 使用 GSP 依序實驗 ABCD 為正方形、長方形、菱形與平 行四邊形的情形，都是先提出假設，然後使用 GSP 進行模擬實驗，而得到一個宣告。詳細過程 如下：（參考圖 13） ABCD 為正方形的情形： （1）S5 提出正方形的時候，透過 GSP 將圖形拉成正方形； （2）GSP 的動態形為使得幾何圖形呈現交於一個點； （3）S5 與 S6 觀察到圖形交於一個點，得到（ABCD）正方形時，EFGH 交於一點之宣告。 ABCD 為長方形的情形： （4）S5 提出長方形的時候，透過 GSP 將圖形拉成長方形； （5）GSP 的動態形為使得幾何圖形呈現一個平行四邊形； （6）S5 與 S6 觀察圖形為平行四邊形，得到（ABCD）長方形時，EFGH 形成平行四邊形之宣 告。 ABCD 為菱形的情形： （7）S6 提出菱形的時候，S5 透過 GSP 將圖形拉成菱形； （8）GSP 的動態形為使得幾何圖形呈現交於一個點； （9）S5 與 S6 觀察到圖形交於一個點，然後得到（ABCD）菱形時，EFGH 交於一點之宣告。 ABCD 為平行四邊形的情形： （10）S6 提出平行四邊形的時候，透過 GSP 將圖形拉成平行四邊形； （11）GSP 的動態形為使得幾何圖形呈現平行四邊形； （12）S5 與 S6 觀察到圖形平行四邊形，然後得到（ABCD）平行四邊形時，EFGH 為平行四邊 形之宣告。

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S1 與 S2 在活動三開始使用 GSP 檢驗各種特殊的圖形，包含三角形、鳶形、菱形、正方形， 發現這些都 EFGH 都會交於一點，而當他們將 ABCD 拉成梯形時，發現 EFGH 似乎沒有交於一 點，也沒有形成特別的圖形，因此，討論 ABCD 為等腰梯形時。以下是 S1 與 S2 的討論片段過 程。 S1：等腰梯形交一點，會不會？ （S1 與 S2 思考了一下約 1 分鐘） S1：等腰梯形，角平分線交一點，角平分線交一點。嘿！可以在裡面畫一個圓。等腰 梯形…等腰梯形就是一個圓啊對啊！因為這兩邊會一樣，這兩邊會一樣，這兩邊 會一樣。 S2：哪有？ S1：我做給你看（使用 GSP 的圓工具，拖曳出一個圓，參考圖 14）。 S2：在裡面嗎？ S1：你看。等腰梯形你看唷！這兩邊會一樣長，這兩邊會一樣長。 S2：所以會交一點。 圖 14 S1 與 S2 於活動三的構圖 2 （3）、（6）、（9）、（12） （1）、（4）、（7）、（10） 宣告 （動態行為） 具體操作 （DGE 外顯化） 猜測 （動態行為） 動態表徵 （2）、（5）、（8）、（11） D

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Hamilton 以很多方式從跟均曲率流 (mean curvature flow) 做類比 得到關於他的 Ricci 流的直觀。曲線縮短流 (curve shortening flow) 已被 Grayson 研究過，而

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