圓內接奇數邊多邊形正弦定律的推廣(下)

李輝潰

嘉義縣私立同濟高級中學 (三}第三類型 n=4k+2 請參閱圖 (6)

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圖 7

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(B-3-s-1).

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4k+2 平面凸多遍形的餘弦公式。此結果恰與 n=4k 方程式(1 1 )、方 程式(1 2)完全相同。

(四)第四類型恨的 +3 請參閱圖 (7) (B-4-的.同理，再做效第二類型 n= 4k+l 的推導過程;此次省略所有流程步驟，直 接敘述出結果如下; (

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以上方程式(21)為 n=4k+3 平面凸多邊形的正弦公式，而另一個方程式(22)則為此

n=4k+3 平面凸多遍形的餘弦公式。

(五)平面凸多遍形的正弦公式、餘弦公式

對照，發現 n=4k 與 n=4k+2 兩者的公式完全相同。而另一組 n=4k+1 與 n=4k+3 者 亦完全相同。比較之後，奇數邊多邊形都比前一個偶數違者多出最後 -J頁。將這樣 的結果歸納出下述定理1.: 定理 1 :平面凸多邊形有偶數邊多邊形及奇數邊多邊形兩類型; (1)偶數邊多邊形類型者，其正弦、餘弦公式分別為方程式(1 1 )、方程式(1 2) (2) 奇數邊多邊形類型者，其正弦、餘弦公式分別為方程式 (21 )、方程式 (2月

三、圓內接多邊形的正弦公式、餘弦公式

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式，即得證出方程式 (23) 為圓內接偶數過多遍形的正弦公式，而方程式 (24) 則 為圍內接偶數遍多邊形的餘弦公式。而對於另一類型的圍內接奇數過多遍形，其 各邊長與各內角必滿是方程式 (21) 、方程式 (22) 的正弦、餘弦公式 O

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(1叮_{5-1η) 、 (15-2)兩式即為圓內接 n=4k+1 邊數多邊形的正弦、餘弦公} 式。

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邊多邊形，現在指定這 4k 邊多邊形，由圖(l 0) 的部份放大圖圖( 12) 中 可見;頂點 A

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接著，將( 1臼5-4的)式等式兩側同乘以第 4仕k 邊的邊長，得下列等式(1叮5 帽刁7η)

;

PUCOM 十几× ZZSMF叫苦付。(15-

7)

(1 -D) 再看附圖(12) ，由。角及第 4k 邊的邊長關條，可求得下列三式;

A

_4k

A

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A

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5-10)

現在將以上(15-5) 、(1 5-6) 、(1 5-8) 、(1 5-9) 、(1 5-10)等五式一起代人 等式(1 5-7) 內;經過一連串的展開，化簡運算後，(此段落省略大部份 計算流程) ，終得下列精緻簡易結果;

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(1 5-11)式中等號兩側的角度數目不相等，將右側角度和轉換成

叫π一 (t，A" ，J 肌再他簡得

川in

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(1 -E) 再看附圖(1 4) ，由。角及各頂角的關條，並仿照引理 3 可求得下列二式;

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L

A

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(1

5-15)

將(1 5-14)式、(1 5-15)式同時代人(15-13)式，他簡，並利用弦與圓周 角性質，得下式;

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H 圖 14 現在詳細觀察(1 5-16) 式，並參考附圖(1 0) ，則可依序得出各邊長的正 弦比例式如下:

仰的+1 乞己\)

_{刊文己也 I) 刊文241)}

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(1 5-17)

再詳細觀察此(15-17)式的各項邊長與各角度所組合成之數學結構， 並將其歸納成下列的第t 邊長一般式，而不論 t 是偶數或奇數都成立;

VI

(

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(2). 其次，考慮 n=4k+3 的情形，見圖(1 1 )及圖(1 3) 、圖(1 4) 。因為此處所有的推 導流程皆與上述 n=4k+l 的情況完全相同，省略這些敘述，直接列出演算推 導的結果如下;

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Li=1

A 2i

J

叮叮 叮J 再詳細觀察此 (21-2) 式，並比對圖(11)的各項邊長與角度數學結構，再仿照前 述(1 -E). 的推演運算過程，將其各擅長的正弦比例式歸納成下列的第 t 邊長

一般式; /ty 、=

2R... ... ...

...(21-3)

(±[2(n

牛l(lyl

jh叫叫

)

叫

Z Ardi+ 靴，也II

以上所得之方程式 (21-3 )式即為圓內接 n=4k+3 邊數多邊形的正弦定律公式。 (3). 現在比對方程式(

15-18

)式與方程式(

21-3

)式，發現等號右側相差一個 負號，而等號左側完全相等;把這兩方程式再歸納統一起來即得下式，

y

/ i

\=•

1)

2"

2沈R.……….…….….………..……….………..….…... (仰

2衍5)

(~[2扣2刻(伊叫一I)-μμ

川

ι叫一(卜」吋叫

l吋y什]

~[2μ←叫lμ昀+

叫

z

4仙心+必心叭

2幻ρt

汁+ ~A2i_1+(~IY

I

此處， 1 三 t 歪 n

'

t 與 i 均為自然數 ， VI 為此多邊形的第 t 邊邊長 ，

n

為奇數自然數叫，且規定

L

A

t+

2i

=0 ' LA2i =0 ' LA2i-1 =0

上述的方程式(25)即稱為圓內接奇數過多遍形正弦定律的推廣公式。定理3. 證明完成 o 再仔細觀察，定理3. 的逆命題敘述也是成立的;只要利用反證法即歸繆法， 配合圍 (14)就能證明，在此省略o 方程式(25)的美妙之處是: (a) 它涵納了三角形正弦定理;當n=3 代人方程式(25)中，即得出三角形正

V

,

V、司 弦定理如下

__

·1 一=一」一-斗一 =

2R

sin

A

₃

sin Al

sin

A

(b) 當 n

=

5 代人方程式 (25) 中，即得圓內接五邊形的正比例型正弦公式如

下;

昕一九

月

sin(A

3

+

As)

sin(A

4

+

AI)

sin(As

+

A

2 )

VA

V.

't一一= J = -

2R

sin(A

1

+

A

3 )

sin(A

2

+

A

4 ) (c) 當 n 為任意奇數邊數的圓內接多邊形，其正比例型正弦公式表示式都可 完整地被敘述出來。而且對任意圓內接奇數邊數的多邊形言，其面積的 表示式亦都與此正比例型正弦公式相關 o 以上為本文全部推理演繹過程，因凸多邊形共有四種類型，必須逐一運算檢驗，才

能完整歸納得出所有正確結果，過程雖複雜但細心努力就可成功! 參、結論 作者實際計算，發覺將多邊形的所有內角分配成兩部份的組合，並不侷限於全部偶 數標內角及奇數標內角兩情況:可以任意選取所需的組合，像分別由偶數標內角及奇數 標內角混合成的兩不同組合，因此得到的相關方程式如(11)、(1 2) 、 (2 1)、 (22) 、 (23) 、 (24) 等亦不相同，這種某些特定選取組合方式對於多邊形分割後的思考、運算很有助益。 平面凸多邊形的四種類型在推導演算過程中皆有其各自的相異點，必須逐一審慎確 認，才能完美無瑕地尋獲所有正確結果。 平面凸 n 邊形的所有內角總和為 (n- 2)π ，將此所有內角適度地選取內角數目，組合 成兩部份集合;當 n 為偶數，每一集合的內角總數目取相等。當 n 為奇數，每一集合的 內角總數目則取相差一個內角。而此時，每一集合的內角總和皆可設定為此 n 邊形的所 有內角總和的一半，再加減一個角度修正參數¢'而此￠恰扮演了聯繫本文所有分析、 運算流程的關鍵角色!也因為它的存在，才得以推導出一般型平面凸多邊形的正弦、餘 弦公式。 圓內接奇數邊數的多邊形恰有兩類;第一類為 n = 4k+l 型，有五邊形、九邊形、十 三邊形、，其正比例型正弦公式即為方程式(1 5-18) 式 o 第二類為 n

=

4k+3 型，有三邊 形、 t 邊形、十一邊形、，其正比例型正弦公式即為方程式 (21-3 )式。兩種類型恰可統 整成方程式(

25

)。 在平面凸多邊形相關的數學領域中，能夠被探索、分析、研究的新性質應還有很多; 希望讀者研讀本文後能朝此方向共同努力，再次發掘出新主題，並開拓出創新的研發領 域。

參考文獻

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