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高中生應該知道的數值方法

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Academic year: 2021

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(1)

高中生應該知道的數值方法

石厚高

筆者自民國五十一年開始執教中等學 校, 除了最早的三年是教初中, 其它的二十 六年都是教的高三, 也多次輪到全年級的月 考或期考命題, 多年來我都是公認命題最“窩 囊” 的老師, 不及格的學生很少, 都是不到百 分之十很正常, 今年我也“神勇”了一次, 全年 級不及格將近二分之一。 本學期建中高三理組第一次月考由筆者 命題 (見附錄) , 我在2月26日開學接獲通知, 查查進度應考完第一章 [數值方法], 它是高 中數學裡教師與學生都很感冒的一章, 太多 的誤差公式, 要學生把結果算到第幾位小數, 精確到第幾位小數, 正確到第幾位小數, 誤差 是多少, 都很讓人煩惱。 不使用微積分來討論 這一章, 那麼本章的內容倒是可圈可點, 再把 那些誤差公式刪除, 就更無話可說了。 當然阿 基米德誤差公式要保留。 某校校刊的學生對 話很有意思 甲生: 我們班的數學老師最偉大。 乙生: 為甚麼? 甲生: 他一出題就全校學生不及格了。 乙生: 嘻嘻!他比我們班數學老師差得 太多了。 甲生: 你們班的數學老師更偉大嗎? 乙生: 他一出題就全校數學老師都不及 格了。 數學習題是自己作的, 老師講的都明白, 就課本例題與習題僅作數據變更的命題方式 而言 ,考試時能細心保持平常水準的學生應 有 80 分以上的成績, 應該得到鼓勵。 如果這 次月考要考範圍以前講過的也都記得, 都能 融會貫通, 應該有 90 分以上的成績。 所以我 命題的原則是取材自課本的例題與習題佔百 分之八十至八十五, 數據幾乎是都作了修改, 另百分之十至百分之十五是大家都沒有教過 我也沒教過的, 考考資優生。 課本例題一字不易作考題, 應該是極容 易的題目, 那不是送分數給學生嗎? 其實不 然。 例如理科數學 (上) 第 193 頁的例 2, 求 兩個函數 f (x) 與 g(x) 的圖形所圍成 的區域面積。 課本的作法太簡單了些。 求面積 先要把這兩個函數的圖形畫出來。 其中求在 x = (3 ±√3)/3 時 f (x) 的極值; 以 及 x = (4 ±√7)/3 時 g(x) 的極值 都很麻煩。 沒有教過的教師不妨把這一題作 一遍, 從所花的時間就可以知道它不適合作 考題了。 某校月考一字不易把它選用為考題 並不恰當, 聽說幾乎都是全軍覆沒 , 「倖存」 1

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的不是資優生, 也不是班上較好的學生, 只不 過是考前一個晚上作過一遍罷了。不過它很適 合作教材, 因為它傳授了多方面的知識。 第 (五) 題的設計是要看看學生記不記 得正、 餘弦的半角公式, 如果這個角度的餘弦 加上 1 , 或由 1 減去之後再除以 2 都能是個簡 易平方數, 那麼會作的很快就作出來了, 不記 得的就不必談了。 所以我就在三角函數表裡 找, 找得很痛苦, 最後求助於電腦, 它很快就 找出來兩個,0.28 與 0.8432。 100 FOR I=100 TO 9999 110 A=(10000+I)/2 : B=(10000-I)/2 120 C=SQR(A) : D=SQR(B)

130 IF C=INT(C) AND D=INT(D) THEN PRINT C,D,I

140 NEXT I RUN 80 60 2800 90 28 8432 再算出 COS73◦ 44= 0.2800 , 所以作起 來是希鬆平常, 不知道命題人 出這個題目很 是傷了些腦筋。 這份試題最讓筆者不可思議的是第 (六) 題 (六) 要求 q2 −√3 的近似值正確到小 數二位, 則必需先求得 √3 正確到小 數第 位的近似值 (填最小 值) 這是課本的題目, 唯一的一字不易照抄的一 題, 答案是 4, 打字小姐打成了 q2 −√7 , 我一校再校居然沒有校出來, 妙的是學生都 沒有發現它不合理, 絕對多數的學生都“作對 了”, 所以是誰說的專家就是訓練有素的狗, 妙哉!妙哉! 我是個求好心切的人, 總希望作 到盡善盡美, 這種個性讓我痛苦, 事實上我們 作不到盡善盡美。 第 (七) 大題 以 五 種 方 法 求 定 積 分R30 0 x 2 dx 的近似值, 這一大題兩個班的平 均分數極端接近, 一個班 50 名學生, 總分是 753; 另一班有 57 名學生, 總分是 855; 平均 各為 753/50 = 15.06 與 855/57 = 15 , 按 100 分內所佔比例放大各為 75.3 與 75, 可見學生對這一節相當了解; 這一大題的設 計也有些技巧, 記得 12 +22 +32 +· · ·+n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 這個公式在作 32、34 兩個空格很快就得到答案, 否則會算得很辛 苦; 而 39、40 兩空格在求拋物線法近似值時, 要是知道它就等於正確值只要幾秒鐘就求得 答案, 可以節省很多時間。 我教的班級課本上的習題都要學生上黑 板演算過, 計算與證明題的第1題是課本的題 目, 只不過把半徑 1 改成 r, 兩個班作對的 學生很少; 第 3 題取材自葉東進先生發表於 「科學教育月刊」102期 (76年 9 月) 的 「阿基 米德為什麼會這樣子想?」 課本的阿基米德不 等式的證明方式十分不自然, 葉先生把這個 形如 x < y < z 的不等式的三個式 子 x, y, z 經過精心設計後, 都能用一個線 段長來表示, 而這三個線段長又很 “直觀”的 看得出來有 x < y < z 的關係。

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“阿”文中公式的證明用到了“數學的多 方面知識”計有: 直線的兩點式、 分線段成定 比的分點公式、 過曲線上一點的切線方程式 (要利用導函數)、 平行線截直線成比例線段、 二元一次聯立方程式的解等, 所以講完了這 篇文章, 也複習了以上各單元。 本文發表於七十六年九月, 我看了一遍 十分喜歡, 所以在教這一節時, 我先用課本的 方式得到這個不等式, 再用“阿”文的說法作 完整的證明, 學生的反應非常熱烈, 我把它介 紹給同事, 也很欣賞。 這冊課本在修訂時, 希望高三理科數學 (下) 的阿基米得不等式的證明能採用“阿”文 的方式, 不必再找“學者專家”修改了,“原文 照抄”可也。 命題與評分是有很大學問的, 外行是不 瞭解; 常會聽到某年紀輕輕數學教授第一年 教書全系及格的沒有幾個, 第二年全系都過, 為甚麼? 因為他去了一趟美國, 發現美國老 師評分很寬, 所以就寬多了; 更妙的是還有某 年紀輕輕數學教授第一年教書全系及格的沒 有幾個, 第二年結婚了全系都過, 為甚麼結婚 會影響評分呢? 因為新娘子哭訴數學沒有及 格過, 於是同情之心油然而生, 各位讀者, 這 像話嗎。 有學生要求加分, 其實加分並沒有意義, 每人加二十分是平移, 根本就不公平; 也有 老師說乘以 6再除以5, 也就是加百分之二十, 那又會有超過一百分的了。 最後仍舊是保持 原狀不作變更, 因為學生要畢業了, 老師都要 從寬處理的。 民國四十二年至四十三年間我在讀初中 二年級時, 數學老師常應同學要求而加分 ,他 是用開平方乘以十的方式。 當時曾與同學算 過, 用這種方式加分的話,36 分剛好及格 , 25 分加得最多。 它的特點是 0分與100分保持原 分數, 而加分的高低雖有不同, 原來考得好的 加分以後分數還是高。 加分本來是不值得大事張揚的, 不過這 個函數倒很值得談談。 這個函數只能應用於 區間 [0,100], 小於 0 當然不必談, 大於 100 用這種方式加分, 結果是幫倒忙加了負分。 例 如考 121分, 開平方乘以 10之後成了 110分, 加了負 11分。 這是怎麼回事? 直線 y = x 與曲線 y = 10√x 的交 點是 (100,100), 曲線 y = 10√x 上在 (100,100) 左方每一點的橫座標都是小於縱 座標, 而右方每一點的橫座標都是大於縱座, 所以才有這種現象, 不過 y = 10√x 仍然 是個增函數。 用這種方式來調整分數當然是不公平 的, 不過總比全班加二十分或三十分的“平 移”要好多了。 最好的方式當然是正常教學、 合理命題、 不作調整。 筆者在四十二、 三年間讀初二時就知道 這個函數, 它的發現至少也有三十七、 八年 了, 是那位偉大老師的發明已無可考, 不過筆 者以為它的發現, 並不見得經過深思熟慮的 研究, 而是靈感來了偶然發現的。 詩曰:「文章 本天成, 妙手偶得之」, 它是 「函數本天成, 妙 手偶得之。」 這次月考全年級平均也就是所謂的 「低 標準」 是 56.4 分, 比正常情況的 65 分少了 8.6 分。 討論完畢我問學生有沒有因為自己老師 命題而佔了便宜, 他們回答得非常整齊說沒

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有。 如果大專聯考由筆者命題, 我可以保證比 大專教師更能測出學生程度, 另外筆者自己 教的班級不會比別班或它校學生佔便宜。 命 題一定要公平公正, 自己教的學生和別人一 樣的一視同仁, 命題人雖然不是教育家, 至少 也要有教育家的胸懷, 這是命題人應有的正 常心態。 一位電影明星在電視上為某種膠卷 作的廣告說, 請用 ∆∆ 像紙, 它抓得住 我。 對!我也抓得住學生, 能把學生程度表現 得恰如其分。 這次命題得到些教訓, 校對不能 自己作, 要兩個人合作, 一人讀原稿一人看打 字稿; 又因彈性放假, 月考在 3 月 25、26 兩日 舉行, 數學本來就是全世界學生頭痛的學科, 也是“投資報酬率” 最低的科目。 考試日期提 前了十天至半個月, 就不能按照進度命題了, 進度當然是以往的慣例進度, 甚麼都可以速 成, 只有學問不能速成, 數學尤其不能速成。 月考前在走廊上聽到學生說 [怎麼辦數 學看不完!]可見為了統一進度的考試各班的 速度都快了些, 不及格的人數多了些也就不 在話下了, 有好幾位老師都對我說很喜歡這 份題目, 都是學生應該知道的最起碼的重點, 對高中生來說這份試題大體都會作, 數值方 法的內涵也就有了整體概念了。 所以我寄給 數播, 願與全國教師、 學子共享。 又本試題曾 蒙本校林礽堂老師提供改進意見, 謹此致謝。

附錄:

台北市立建國高級中學

七十九學年度第二學期第一次月考數學科

(自然組) 三年級試題

班積分號 姓名 填空: 每空格2分 (一) 設 π 4 = 0.7850 , ( π 4) 2 = 0.6168 , (π 4) 3 = 0.4830 , 試填下列各空格, 不得使用計算 機。

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f (x) a n f (x) 在 x = a 附近之n次近似g(x) k g(k) √ x 1 3 (1) 1.2 (2) √ x w2 2 (3) w2 + p (4) ex 0 3 (5) 1 (6) ln(1 + x) 0 3 (7) 1 (8) ln1 + x 1 − x 0 3 (9) 1 3 (10) sin x 0 3 (11) π 4 (12) cos x 0 2 (13) π 4 (14) tan x π 4 2 (15) π 4 (16) (二) 設方程式 f (x) = x3 + 3x − 6 = 0 有一正根介於二正整數 k 與 k + 1 之間, 令 a1 = k 則使用牛頓切線法可求得更佳之近似值 a2 = (17) 又更好的近似值 a3 = (18) 。 (三) 設 r < 0 , 方程式 27x3 + rx2 + 36x + s = 0 有三重根, 則 r + s = (19) 而 此三重根為 (20) 。 (四) 令 w = 6.4 , p = 0.04 , 利用一次近似與下列數據 P 2 W3 = 0.0000064 , 1 32 = 0.0312500 可得 (21) < √41 < (22) 故得 √41 = (23) 正確至小 數 (24) 位。

(五) cos 73◦ 44= 0.2800, 則 sin 3652= (25) cos 3652= (26)

(六) 要求 q 2 −√3 的近似值正確到小數二位, 則必需先求得 √3 正確到小數第 (27) 位。 考慮半徑等於 2 的圓之內接正五邊形P , 利用 sin 18◦ = (28) 。 可得 P 之邊長 s = (29) 。 試利用下表求s之近似值, 正確至二位小數得到的結果是 (30) 。 x 3 5 6 7 √ x 1.7321 2.2360 2.4494 2.6457

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各近似值正確到小數四位。 (七) 將區間[0,30] 分成 n 等分, 以下列各種方法求 R30 0 x 2 dx 之近似值, 設 f (x) = x2 , 前面空格寫出算式, 後一空格寫出答案, 例: 矩形的長與寬為2、6 求面積 解: 算式 2 × 6 = 12(答案) 左端點矩形法近似值 (31) = (32) n = 30 右端點矩形法近似值 (33) = (34) n = 30 中點 矩形法近似值 (35) = (36) n = 3 梯形 法近似值 (37) = (38) n = 6 拋物線 法近似值 (39) = (40) n = 5 (八) 計算與證明題:20 分 1. 圓之半徑為 r , 外切正 n 邊形之邊長為 a, 試以 r 及 a 表出 (2 分) 外切正 2n 邊形 之邊長並證明之 (3分)。 2. 求 √11 之近似值, 精確至小數後第二位 (5 分)。 3. 給定 x 軸上三點 A(w2 , 0),P (w2 + p, 0) B((w + 1)2 , 0), 其中 w > 0,p > 0 且 w2 + p < (w + 1)2 , 今過 A,B 作 x 軸之垂線各交曲線 f (x) =√x 於點 A′,B, 又過 P 作 x 軸的垂線各交線段 A′ B、 曲線 f (x) =x 以及過 A的切線 L 於 點 P′、Q、P′′ 試以 (1) w, p 表示 P P′′,P P二線段之長 (各 2 分), (2) 並證明之 (各 3 分)。

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台北市立建國高級中學

七十九學年度第二學期第一次月考數學科

(自然組) 三年級試題

班積分號 姓名

答案

1. 1+1 2(X −1)− 1 8(X −1) 2 + 1 16(X −1) 3 2. 1.0955 3. W + 1 2W(X −W 2 )− 1 8W3(X −W 2 )2 4. W + P 2W − P2 8W3 5. 1 + X + 1 2X 2 + 1 6X 3 6. 8 3 7. X − 12X2 +1 3X 3 8. 5 6 9. 2X + 2 3X 3 10. 56 81 11. X − 16X3 12. 0.7045 13. 1 − 12X2 14. 0.6916 15. 1 + 2(X − π4) + 2(X − π4)2 16. 1 17. 4 3 18. 58 45 19. −62 20. 2 3 21. 6.4031242 22. 6.4031250 23. 6.403124 24. 5 25. 0.6 26. 0.8 27. 4 28. √ 5 − 1 4 29. q 10 − 2√5 30. 2.35

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左端點矩形法近似值 31. P29 k=0K 2 32. 8555n = 30 右端點矩形法近似值 33. P30 k=1K 2 34. 9455n = 30 中點 矩形法近似值 35. 10(52 + 152 + 252 ) 36. 8750n = 3 梯形 法近似值 37. 5 2[0 2 + 302 + 2(52 + 102 + 152 + 202 + 252 )] 38. 9125n = 6 拋物線 法近似值 39. R30 0 x 2 dx 40. 9000n = 5 (八) 計算與證明題:20 分 1. 圓之半徑為 r , 外切正 n 邊形之邊長為 a, 試以 r 及 a 表出 (2 分) 外切正 2n 邊形 之邊長並證明之 (3分) 設外切正 2n 邊形之邊長為 x, x 2 = CD = r tan θ 2, AB = a 2 = r tan θ = r 2 tanθ2 1 − tan2 θ 2 , = 4r 2 x 4r2 − x2。 故得 ax2 + 8r2 x − 4ar2 = 0, x = 2r √ a2 + 4r2 − 4r2 a 。 2. 求 √11 之近似值, 精確至小數後第二位 (5 分) 3.3 給 2 分 3.32 給 5 分 3. 給定 x 軸上三點 A(w2 , 0),P (w2 + p, 0),B((w + 1)2 , 0), 其中 w > 0,p > 0 且 w2 + p < (w + 1)2 , 今過 A,B 作 x 軸之垂線各交曲線 f (x) =√x 於點 A′,B, 又過 P 作 x 軸的垂線各交線段 A′ B、 曲線 f (x) =x 以及過 A的切線 L 於 點 P′、Q、P′′ 試以 (1) w, p 表示 P P′′,P P二線段之長 (各 2 分)

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(2) 並證明之 (各 3 分) 證:x 滿足 w2 < x = w2 + p < (w + 1)2 , 此時 √w2 <√w2 + p <q(w + 1)2 , 即 0 < p < 2w + 1。 考慮曲線 y =√x, 取點 A = (w2 , 0), P = (w2 + p, 0), B = ((w + 1)2 , 0), 過 A, B 作 x 軸的垂直線分別交曲線 y =√x 於點 A′、B 又過 P 作 x 軸的垂線分別交線段 A′B, 曲線 y =x 及在 A的切線 l 於 點 P′ ,Q 及 P′′ 因為 AP : P B = P : 2w + 1 − P 故得 P P′ = (2w + 1 − p)AA ′+ pBB′ p + 2w + 1 − p = (2w + 1 − p)w + p(w + 1) 2w + 1 = w(2w + 1) + p 2w + 1 = w + p 2w + 1 而切線 l 的方程式是 y = w + 1 2w(x − w 2 ) 所以 P P′′= w + 1 2w(w 2 + p − w2 ) = w + p 2w。

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