淺談財經領城常用的基礎數學觀念

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淺談財經領城常用的基礎數學觀念

陳昱成

高雄市立中山高級中學 畫、前言 2006 年 6 月 18 日自由時報的自由廣 場,刊登一位高三社會組考生,抱怨「以 盒本管理學院、盟主商學院來說,十四個 校君主中,僅採計國英數乙三科者,竟高達 十二個,並且全部對數乙加權計分 J' 讓非 以數學見長的社會組考生,處於不利的地 位。當然更引來自然組考生的觀棍,一些 盒本財經系的跨組考生高達 t 、八成,也 難怪社會組學生會發出不平之聲。 2011 年 盟主商學院大學指考招生,除了會計學系 和社會組統計系採計歷史與地理,情況依 舊,看不到這些傳統的社會組科系採用社 會學科做為選才的依據(註一)。 然而就財經科系的特質而吉,這樣的 選擇有其根據。拿商學院的基礎科目經濟 學為例,與數學的關 f係熹,早在一九四 t 年 藍孟草盛皇(何Pa叫叫u叫l川A. Samu叫1 的經典教科書《經濟分析之基礎〉

(Foundations of Economic Analysis)

,藉由

數學方程式來解釋經濟學的原理,兩者就 結下牢不可分的關像。這本經典奠定了以 數理的角度來分析經濟活動的基礎,盤且 皇家科學院所提出其獲獎的原因就強調: 「對經濟學的分析水準提昇有顯著的貢

獻」。後纜的學者,繼續發揚光大,讓許多

經濟學文獻,及教科書充滿數學方程式, 若無相當的數學背景,難以深入了解理論 背後的涵義。在這種趨勢下,數學成了經 濟學分析問題的重要工具,因此以「賽局 理論 J

(game

theory) 見長的數學家組芷

(John Nash)

,獲一九九四年益且直經濟 學桂冠,就不足為奇了。他的納許均衡, 廣泛應用到經濟分析中。2005 另一位數學 家 Robert

J.

Aumann' 與另一位經濟學家 也因為對賽局理論研究的貢獻,拿下造且 直桂冠。今年 (2011 )兩位計量經濟學家, 因為提出數學的分析方法,可以解釋變量 之間的因果關僚,而獲得肯定,都說明現 代經濟學與數學的密切關係。另外統計學 也是一個重點科目,沒有良好的數學基礎, 研讀經濟與統計必定會遇到不少挫折。再 加上一些數學高度相關的科目如財務工程、

財務分析,以及分析工具的課程如時間序

列、迴歸分析和管理數學、微積分等,佔 課程不少的比例,要求學生具備良好的數 理基礎,實在無可厚非。 財務經濟 (Financial Economics) 與數 學更為密切。財務經濟學家馬克維茲

(Harry

Markowitz) 、主盟(Merton

Miller)

及夏堇(William

F.

Sharpe) 三人共獲 1990

(2)

學的重要一環。不論是星星籃盔的投資組 合,或是主盟的 M&M 理論以及夏宜的 CAMP 模型,都充滿了數學方程式。而 1997 男兩位財務經濟學家,因為「提出對衍生 性金融商品定價的新方法」又再次獲得蓋 旦旦桂冠。其中之一的得主,盟且噩噩

(Myron S.

Scholes) 於 1973 年和查靈車(

F.

Black) 共同推導的著名 Black-Schole 選擇 權定價公式 (option

pricing formula)

,加速

期貨選擇權交易的成長;男一得主基盟

(Robert C.

Merton)則擴大此公式的應用,

除了其它衍生性商品外,更延伸到風險管 理上。兩位得主奠定現代的財金理論並運 用於實際的操作,但要懂他們的公式,沒 有深厚的數學、統計基礎,是不可能的。 國內財務金融相關學系,僅採計國、英、 數,並對數學加重計分,是很有道理。 數學與現代財經學科的密切關條,讓 有志於商管科系的學生,必須有具備良好 的數理背景的心理準備。就現行的教育制 度,高中數學的課程規劃,雖已經注意到 數學背景在未來的財經課程的需求,但就 以 95 課綱的內容來講(註二) ,與財經科系 最直接的統計,有機率與統計(1)(11)兩個章 節,分別置於第四冊與選修數學(I) ,機率 與統計(I)著重於敘述統計的部分,外加民 意調查的信賴區間與信心水準的解讀;還 修 (II)雖論及推論統計的部分,僅止於基本 的相關分析與簡單的回歸直線,並限於章 幅,偏重於實際的應用,對普通高中生而 吉,很難在機統部分,建立一個清晰的輪 廓。因此直接連接大學財經科系的數量基 淺吱財經領減常用的基礎數學觀念 礎科目,略有不足。作者從事高中數學教 育近 20 年,又曾涉入財經學門,深知數學 在財經研習過程中的重要地位,也略知數 學應用於財經學門研修時,一些容易被混 淆的概念,進而造成推論的錯誤。因此特 以從事教育者的觀點,論述基礎數理概念, 並提出簡單卻易被誤用的觀念,也可供教 師,做為教學參考資料。

貳、基本觀念

一、平均

研究中常被一堆的數據淹沒,面對浩 瀚的「數海 J' 需要一個代表整體集中趨勢 的數字,讓我們對資料有個輪廓,平均就 有這個功用。在股票基金續效比較的研究 中,無可避免會出現「平均報酬率J' 做為 績效評估之一,而在統計學上,平均(mean) 主要可分成三種。 (一)算術平均數(Arithmetic

mean)

一般他的算法為:

-

XI +x2 +x3

+",

+x

n X=

n

為X\ ,X2'巧,...n 筆資料的算術平均數

(二)加權平均數 (weighted

mean)

一般他的公式為: 對一組資料 X\ ,X2'巧,...丸, 若Xi 的權重為 wi, i= 1,2,..爪, w.X. +W司 X 司 +...+W】 X_ 則加權平均數為 "1--1 ~-- ~ " " WI

+w2

+",

+w

n 嚴格來說,算術平均數可以算是加權 平均數的一個特例,算術平均數的權 數都一樣。

(3)

科學教育月刊 第 345 期 中華民國 -00 年十二月 (三)幾何平均 (Geometric

mean)

一般忱的幾何平均數為:

對-~且非負的資料爪,巧,X3'···丸,

其幾何平均數為 ~X1X2月丸。

驗的單選題第六題,可以做為筆者推 論的依據。題目如下﹒ 台灣證券交易市場規定股票成 交價格只能在前一個交易日的收盤 價(即最後一筆的成交價)的漲、跌7% 範圍內變動。例如:某支股票前一個 交易日的收盤價是每股 100 元,則今 天該支股票每股的買賣價格必須在 的元至 107 元之間。假設有某支股票 的價格起伏很大,某一天的收盤價是 每股 40 元,次日起連續五個交易日 以跌停板收盤(也就是每天跌 7%) ,緊 接著卻連續五個交易日以漲停板收 盤(也就是每天漲 7%) 。請問經過這十 個交易日後,該支股票每股的收盤價 最接近下列哪一個選項中的價格?

(I

)39 元 (2) 39.5 元 (3) 40 元 (4) 40.5 元 (5) 41 元。 是大於、等於或小於 40 元? 根據考生答題的資料,繪成圖一。 這三種,常出現於生活中的應用,使 用上,提出注意事項,分述於下。 二、三種平均的比較 (一)算術平均數與幾何平均數 早在成書約於西元前 3 世紀,主丘 1且數學家監盤里堡(Euclid)的巨作〈幾 何原本〉內的第 VI 卷的命題 13 就可 以證明「算術平均數不小於幾何平均 數 J' 因此需要使用幾何平均的時機, 不可誤用算術平均,否則可能「失之 電麓,差之千里」。 一般大眾會傾向利用算術平均 數,而非幾何平均數,當然如果經過 適當的訓練則能正確的使用。剛好根 據的學年度大學數學科學科能力測 nunununu 戶、 dA 可勻 J 勻, h

O

2

3

4

5

沒作答 選項 圖卜考生答題百分比分析圈。I.資料來源、自大學入學考試中心網站。 2.T, H , L 分別為全 部到考考生,高分組考生(前 33%) ,低分組考生(後 33%) 之答案百分比。 3. 除還項外, 所有數字皆代表百分比。

(4)

正確選項,為 1 '最接近 39 元, 根據幾何平均的概念求得。有兩個醒 目的長條,還項 1 的紅色與選項 3 的 j炎黃長條,分別代表成績前 113 的考 生,與後 113 考生最多的選項,都將 近有一半(分別為 42%與 44%) 。考生 是為進入大學而參加測驗,因此在測 驗這段時間,會接觸較多的數學內容, 所以成績較好的考生,有近一半答對, 並不足為奇。但對後 113 的考生,可 能是一些因素,導致對數學厭惡,對 數學的熟悉度,與一般大眾接近,他 們近一半選擇 40 元。 上述的資料顯示,算術平均數雖 然不是合適的答案,卻得到最多的青 睞。在財務研究或實務上,會面臨一 個問題,長期投資的終期價值

(terminal

value)和投資組合的預期報 酬或公司價值(firm value)的評估都會 牽涉到期望報酬(expected return)的 估計。利用過去的「平均」報酬來做 為預測的指標,沒有人會反對,但是 該用算術平均數或是幾何平均數則 是學術上的一個長期辯論的問題。

Missiakoulis

,

Vasiliou

,

and

Eriotis

(2009)在文獻回顧上,認為利用過去

資料的算術平均數來推估未來的期

望報酬,獲得最多人的支持,符合一 般人的習慣。但是Indro

and Lee

(1

997)

則認為利用算術平均數會有高估最

終報酬的現象,而幾何平均數則有低

估的情形,也顯示同時考慮兩者的估

淺談財經領域常用的基礎數學觀念

計值的可能,如 Cooper( 1996) 的估算

方式即是。另外,

Breuer

,

Fuchs

,

and

Mark(2011)則認為根據公司成長程度 不同,可用不同的平均來推估。算術 平均數與幾何平均數這兩種非常基 本的概念,在使用上就可以引起極多 的討論,謹慎運用,才是上策。

(二)算術平均數與加權平均數

雖然加權平均數的使用並不困 難,但仍須注意直覺的誤用。先看下 表: 表一、兩位 MLB 選手年度打擊率比較表

\吃三

95

96

97

12/48

183/582

190/654

基特

0.25

0.314

0.291

104/411

451140

163/495

賈斯提斯

0.253

0.321

0.329

數揖來源:

http://en.wikipedia.org/wiki/

Simpson_paradox

。 一位是迋革的隊長基挂(Derek

Jeter)

,跟一位現已退休的選手薑噩噩 噩(David

Justice)

,在基宜初人棒壇的 前幾年的打擊率的統計資料。數字顯 示,從 1995 到 1997 這幾年,直單單 單每年的表現都優於基笠,所以會直 接認定三年來老將的總體表現價於 蓋宜。 但如果實際計算三年的合併資 料,卻會得到相異的結論,參照衰

(5)

科學教育月刊 第 345 期 中華民國一 00 年十二月

表二、兩位選手年度打擊率與總和打擊率比較表

\\《主

95

96

97

一年總平均

基特

12/48=0.25

183/582= 0.314

190/654=0..291

385

/1

284=0.300

賈斯提斯

104/411= 0.253

45/140

= 0.321

163/495=0.329

312

/1

046=0.298

數據來源:

http://en.

wikipedia.org/wiki/Simpson

_paradox 。

像表一和表二顯示出分類的資 料與總和的資料結論相異的情形,統 計學上就稱為「辛普森詭論」。雖然 這個統計現象名為「辛普森J '但並 非由主董亟(Edward

H.

Simpson) 首先 發現,早在 19 世紀末 20 世紀初,即 有統計學家提過這種現象,只是 1972 年的一篇期刊文章,將這種統計現象 命為「辛普森詭論 J '後人就跟著使 用,有人稱之為「反轉詭論 (reversal

paradox)

J '以避開使用人名的不適切 (註三)。 會對這種現象產生訝異,主要還 是習價優先考慮算術平均數,但顯然 每年的權數並不同,才會有反直覺的 效果產生。 Senthilnathan(2009) 認為 Ohlson(1 995) 的股權評價模型 (equity

valuation

model)在兩種解釋方向上呈 現不一致的現象,不排除是「辛普森 詭論」的一個例子,因此在財務會計 研究上,反轉效果的可能性,不能忽 略。

三、另一種「平均」一中位數(Median)

攸關學生人學的大學學科能力測驗, 有一個重要的指標,寫著「均標J' 中心對 均標的解釋為 I 成績位於第 50 百分位數 之考生組分 J '這種平均在統計上,稱為 中位數(median) 。 將原始資料從小排到大,中間的「數」 即為中位數,利用此數來代表集中的趨勢,

又是男一種「平均J (average) 。

假設某公司只有五個員工,分別是執 行長亟董、蠱經理,主課長與畫、查兩職 員,年薪分別為一億元、伍佰萬、一百萬、 六十萬與五十萬。根據定義,中位數為一 百萬元。 其算街平均數為:

(1

0000+500+100

+60+50)/5=2142(萬) ,以 2141 萬來表示平 均年薪,很不適切;用加繼平均數,權數 又難以決定,用中位數的-百萬元,是不 錯的選擇。 Markowitz(1952)的平均一變異 數模型(mean-variance model)即隱含著平 均的使用,必須考慮到資料離散的程度, 即變異數的大小。投資組合的效率前緣

(Portfolio Frontier)

,即表示最佳的投資組 合是在相同的報酬率下,選取最小的變異 數,反之其對偶命題可以看成在相同的變 異數下,最大投資報酬率的投資即為效率 前緣上的投資。在以「平均」為研究變數

(6)

時 (variable)' 若變異數過大,可能要謹慎, 用算術平均數做為資料的集中趨勢,要適 當的加權,但權數的決定,一般難以客觀 訂定,中位數可以列入考量做為「平均」。 男外用算術平均的男一個缺點,為易受極 端值干擾,當樣本數太少,像畫畫的年薪 太高,造成其值偏高,有四個員工(佔 4/5) 還低於此值。

參、推論統計工具

一、統計檢定與證明

在研究上無可避免會用到推論統計 的工具,最基本的就是檢定 (test) 與相關

(

correlation) 。本小節先討論檢定的基本觀 念,下一小節再討論相關的細節。 「假設檢定 J

(test of hypothesis)

,是 非常基本的統計概念,要檢定的「假設」 稱為虛無假設(null hypothesis)一般以 H

o

表示,與

H

o

相反的假設,就稱為對立假設

(alternative

hypothesis)一般以 H. 表示,表 三應該不陌生。 表三、假設檢定的四種可能情況 假設的 可能 決定的 H

o

正確 H. 正確 結果 接受 H

o

正確 錯誤 (型一錯誤) 拒絕 H

o

錯誤 (型一錯誤) 正確 淺談財經領域常用的基礎數學觀念 錯誤有兩種分別稱為型一錯誤惘。正 確卻誤認其為非 ;

type I

error) 與型二錯 誤徊。不正確卻誤認其為真;

type II error)

,

型一、型二錯誤的機率為 α'β 。在檢定 過程中,一定會產生這兩種錯誤,無法讓 此兩種機率同時消失。退而求其次,讓它 們同時變小?統計的理論又證明,在固定的 樣本數下, α 、 β 兩者有抵換 (trade

of

f)

的效果,降低其中一個,會以提升男一個 機率做為代價。換句話說如果增加樣本數, 可以同時讓 α 、 β 變小,可是在實務上, 這意味著成本的大量提升。因此,在有限 的時間成本下,會面臨取捨α 、 β 的問題, 如何拱擇,牽涉到對假設的態度,與反證 概念的邏輯思考,論述於下。 (一 )α 、 β 的抵換效果 如果對 H{ CEO 持股比例會影響 投資行為」的假設做檢定,以極端的 情形為例,無論實證數據如何,都一 律否定恥,則 H。為非而被誤認為真 的情形絕不會發生, β=0 。但此時,

即使 H

o

真的是事實,也一定被視為非, 型一錯誤α =1 。 如果採取完全相信恥的假設,則 任何資料都無法動搖我們的信心,根 本不可能發生型一錯誤, α=0 '但遺 幅的是, β=1 。圖二說明 α 與 β 的抵 換關像。 (二)檢定是一種反證法 從圖二可發現當 α 的機率變小,

對 H

o

的態度越是寬鬆,表示越容易接

受,而

α

β

在樣本固定的條件下有

(7)

科學教育月刊 第 345 期 中華民國一 00 年十二月 全盤接受 H

o

假設 α =0 'β=1 H

o

的態度漸嚴格 圖二、 α 與 β 的抵換閥,你圖。 全盤拒絕 H

o

假設 α =1 'β=0

抵換的效果,可以先考慮控制 α 的大 小。要讓 α 為零,並非辦不到,只要 無條件接受吭,但這就不需要檢定了。 因此將 α 變小,可以看成將對 H

o

的態 度變得寬鬆'除非是證據確鑿,否則 不輕易拒絕,有保護 H

o

假設的意味。 也就是說,當沒有十足把握,我們必 須「接受」需無假設,算是一個弱的 決策,接受它只是表示恥的假設「可 能」是對的;反過來當數據支持凡 的行為時,才會拒絕恥。相對接受 恥,拒絕它算是很強的決策,暗示恥 的假設「非常可能」是錯誤。因此在 檢定時,常將需要保護的檢定,或者 否定後會產生嚴重後果的假設,做為 虛無假設來檢定,其反面則設為對立 假設。 利用圖三可以說明檢定時,將研 究的假設當做對立假設,反證虛無假 設的謬誤,強化對立假設成立的正當 性。 但從數學的觀點來看,這種檢定 的反證法是屬於機率上的反證法,與 傳統上的「證明 J (proo f)還是有些出 人。遠從古希臘時代,數學就是追求 普遍、永恆與放諸四海皆準的真理, 必須憑藉著從最簡單的定義、公設出 發,根據符合邏輯法則的演繹推論, 才能算「證明J (prove)了定理。在數 學上經過嚴謹證明後,即是顛撲不破 的事實,沒有可能對的模糊地帶。因 此使用「證明」一詞,表示百分之百 的肯定,不容質疑。根據數學對「證 明」的看法,檢定出的決策,仍有錯 誤的空間,只是我們可以控制在可以 接受的範圍之內。 許多假說,經過檢定的「反證法J ' 接受或拒絕了虛無假設,間接拒絕或 接受對立假設,但不要忘了,接受對 立假設會冒著犯型一錯誤的風險,我 們可以將檢定的值設定的非常低, 一般為 0.05 甚至 0.01 '此稱顯著水準

( level of significance)

,越低表示否定 虛無假設的強度越強,但也不能保證 完全正確,所以在研究上,結論可以 使用提供「證據J

(evidence)

,而「證 明」的字眼,能免則免。 二、相關 (Correlation) 為了檢驗 CEO 持股比例與投資行為 的關條,可以將 CEO 持股比例與投資金額 對資本額比例的配對資料,畫在坐標平面 上,所得的圓形稱為散布圖 (scatter diagram) 。從圖中可透過一條虛擬的直線

(8)

來描述兩變量的「關條 J' 而利用直線來說 明兩個變量 (variable) 關餘的專門術語稱 為直線相關(l inear correlation) 。若從散布 圖的點,趨向成為一條正斜率的直線,表 示出兩個變量的變化是正向的,稱兩者的 「關條」是「正相關 J(positive

correlated)

,

如圖四所示。 有些資料之間不是正向的關像,反而 呈反向的趨勢,就稱為負相關 (negative

correlated)

,其虛擬的直線是負斜率。另外 第三種﹒沒有關餘,若資料顯示無論持股 淺談財經領域常用的基礎教學觀念 比例為何,投資比例都維持在一定的比例, 統計學對這種兩個變量沒有關像的情況稱 為零相關 (zero correlated) 。 (一)相關係數 直線相關是一般在描述兩個變量 的關你時,最先被考慮到的「關條」。 由於普遍的使用,有時候會將數據,帶 人統計公式中的「相關條數」

(correlation

coefficient)'利用此值的大 小'來判斷「關條」的強弱,而此條數 可用電腦軟體,直接幫我們算出, 反面設為圳,被保鐘,否定它來強化對立假設的正當性,但不保證完全正確。

l

a

接受 H

o

'容易達到。

/

I 設,例如 rCEO 虛無假設<

I

\ . ._,_..

~~ ~

~~_..~~.,

I 持股比例會影

':ll拒絕恥,不容易,要證據充分,

I

lflJ1l 出對立假設成立可能性高,力道強。

I 響投資行為」

圖三、檢定是一種反詮法,但有別於數學的反證法,不係證完全正確。

一.-.

投 8

一.-..

6

比 4

I

.一-8

10

例 2

6

%

0

2

4

持股比例%

-

12

14

國四、 CEO 持股比例與投資行為的散布圈。(資料來源、:作者自設,僅為說明正相關的 概念,並非實際的數據。)

(9)

科學教育月刊 第 345 期 中華民國 -00 年十二月 譬如 Excel 中函數功能的 CORREL 就 可運用。如果相關係數的絕對值在 l 和 0.7 之間,就稱為高度相關,顯示 「關像密切 j ,若絕對值介於 0.7 到 0.3 之間,就稱為中度相關,有關條 但並非密切;若絕對值介於 O 和 0.3 之間即稱為低度相關,關連性薄弱。 理論上,相關條數若為 0 ,則稱為零 相關,表示兩組數據間,並沒有直線 上關餘,但即使真的沒有關係,實際 上的數據,也很難求出 O 這個數,只 要求出的相關係數非常小,就表示出 兩變量的直線關條薄弱。 (二)零相關不是一定就「沒關係」 很多的研究會使用相關條數來 判斷兩變量的關條,但問題是並非任 何資料的關條皆建立在直線的關條 上。例如,表四的資料。 根據表四,利用 Excel 的圖表功 能,將點用圓滑曲線連接起,得到圖 五,是漂亮的拋物線的一部分。 X 與 Y 兩組數據關係密切,能用函數來表 示,但相關條數的計算,得到的卻是 表示零相關的數字 'OJ 。 表四的數據可以看出相關條數 的局限。因為是利用直線來衡量關連, 遇到的若非直線相關,如表四的資料, 兩個變量是曲線相關 (Curvilinear correlation) 或所謂的非線性相關

(nonlinear correlation)

,相關條數是無 法衡量此種相關的強度。因此有可能 從直線相關來看,變量間是「沒關係j

,

但實際上卻「有關條 j ,而且還可能 關條非常緊密呢!

表四、 y=x

2

關條、下的部分資料

X

2

3

4

5

6

-2

-3

-4

-5

-6

y

4

9

16

25

36

4

9

16

25

36

40

Y 軸

30

20十

10

O

-8

-6

-4

-2

O

2

4

6

8

X 軸 2 圖五、 y=x 。

(10)

淺談財經領域常用的基礎數學觀念 也就因為直線相關限制在直線 的關聯,在分析資料時,不能僅看到 相關條數非常小,就聽然下結論,認 為兩者沒有「關條」。必須再看看散 布圖,或許存有曲線相關,也說不一

定,

MacGregor

,

Slovic

,

Berry and

Evensky

(l

999)

.在對財務顧問與規畫 者的問卷研究中指出,曲線相關來描 述這些財務相關人員的知覺風險與 知覺的報酬對風險的比值(

perceived

return/risk)是比直線相關適切。最新 的一份研究·

Roca(20

11)指出,在富 裕的國家,個人所得與快樂的關條, 使用二次方程式(quadratic form)來說 明,並非不可能。總之,在研究的過 程中,曲線相關不能排除。 (三)高度相關不代表一定有關係 雖然直線相關的使用,有一些限 制,但卻沒影響到它被廣泛應用在資 料的分析上。普遍的使用,並不保證 會被正確使用,看看下面一個有名的 例子(註四)。 在世界各地,存有一個普遍的現 象,就是冰淇淋的銷售量和溺水的死 亡人數,存在正相關。簡單的說,隨 著冰淇淋銷售量的增加,溺水的人數 也跟著增加。我們可以解釋成因為冰 淇淋的消費而造成溺水事件嗎?如果 可以如此解釋,則減少溺斃事件的最 好方法,就是嚴禁販賣冰淇淋,因為 根據正相關的資料顯示,隨著冰淇淋 消費的減少,溺斃人數也會隨之減少, 如此根本不需要蓋游泳池,訓練民眾 游泳自救的能力。只是全世界都看不 到,因為防止溺斃事件,而禁止銷售 冰淇淋的先例,但是放諸四海,冰淇 淋銷售量又的確跟溺斃人數「有關 條 J '真非兩者的正相關,有玄機? 直線相關解釋兩變量的關條時, 僅說明兩者的變他是同方向還是反 方向,或者是毫無瓜葛,卻無法說出 兩者的「因果關條J<

cause and

effect) 。 像總體經濟學中·GDP 與貨幣供給餘 額 (M)有正相關,是眾所皆知的一個 現象 o 但要進一步推論出兩者的因果 關條,卻非其所能,如圖六所示。直 線相關沒辦法驗證因果關條,需要專 家進一步的深究,才可確認。例如, 2003 年諾員爾經濟學得主Clive

W.J.

Granger' 發展出的「格蘭傑因果檢定」

(Granger causality test)

·可以檢驗某

些時間序列的資料是否有因果的關 條。 Spinthiropoulos, Garefalak時,and

Arv

anitis

(2010) 就利用格蘭傑因果檢 定,來探討 GDP 與經濟體開放程度的 因果關條。 ? 4一-+ ? 叮 F­ 4司 圖六、直線相關無法確認因果關餘,若欲 推論其因果關餘,可以考慮 Granger

causality test

(11)

科學教育月刊 第 345 期 中華民國 -00 年十二月 正相關 冰淇淋消耗量增加... …...… ..溺水人數跟著上升 因果關條,無法經由直線相關來 確認,更進一步講,即使如冰淇淋銷 售量與溺斃人數在數據上真的呈現 出正相關現象,除無法確認何者因, 何者為果的可能性外,甚至還不能排 除兩者根本沒有直接關條的可能! 直線相關是用來衡量兩變量的關條, 一旦有相關,很多人會認為兩者之間 會有因果關條,雖然不確定是何種方 向。可是像冰淇淋的例子,推測因為 吃多了冰淇淋而造成溺水事件的增 加,沒有說服力;反之認為因為溺水 事件的增加,而造成冰淇淋銷售的提 升,也一樣難以想像。坦白講,直接 認定兩者沒有關條,才真會令人信服。 從直線相關的「有關條」到根據常識 判斷為「沒有關條 J '還真是「有關 條就沒關條 J

!

(四)干擾因東 (confounding factor) 的作 用 圖 t 中,兩個無關的變量,卻發 現強烈的正相關,然而無論哪個變量

/

當做「因」來解釋,總無法自圓其說。 透過圍中太陽所代表的溫度,讓資料 上的正相關有合理的解釋。這種潛在 的因素,如圖 t 的溫度,在一般研究 稱為干擾因子(

confounding factor)

,是 一種外生變數(extraneous

variables)

,

讓原本「沒關條」的變量,呈現數據 上的「有關條 J '只是有時這種因子 並不好找,也可能不同專家會提出不 同的因子來解釋相關的原因(註五)

,

根據 Pearl (1998) 的一篇技術報告,甚 至認為沒有統計的檢定,能確認兩變 量間的正相關,是否是平擾因子所造 成。

Hirshleifer and

Shumway(2003)

從實證資料得到陽光與每日的股票

報酬有強烈的正相關(

strongly

positively

correlated)

,

Symeonidis

,

Daskalakis and Markellos(20

I

0) 則認

為天氣中的晴天與陰天與股票的渡

動有關,

Fatma and Abaoub

(2010)也 指出天氣型態與股價有關,以上的文

暑 ||lIV

、消

\邊

\K

、、-/ 、 dHHd \本主 圖七、干擾因子造成正相關的說明圖﹒

(12)

獻都有實鍾的資料顯示天氣跟股價 有相關,但也都不約而同的認定是因 為氣棋型態影響心情狀態 (mood) ,透 過此一「干擾因子 J '進而影響決策 行為,擅亦屬於行為經濟學 (behavioral economics)的範疇。總之,即使資料上 顯示出兩費量存在強烈的相關,是否 兩變量的直接作用或是透過干擾因 子的作用,必須謹慎以對。 在研究上使用直線相關來評估 兩變量的關條,確實非常方便,但一 些限制,必須要注意。出現數據上的 無直線相關時,有可能是曲線相關, 「沒關條就有關係」。如果資料上顯 示有關係時,可能有直接的關條,但 不無沒有關係的可能,僅是干擾因素 的連結所造成,也還真有「有關條就 沒關 f象」。

肆、結前

從定義公理、公設出發,經由符合邏 輯的演繹推論,得到定理,是幾何原本對 數學發展奠定的重要形式。在現在經濟學 的教科書,如 Varian( 1997)的個體經濟學, 也可以看到這樣的身影,所以數學家獲得 諾貝爾桂冠,早已不是大新聞,而財經學 家在衍生性商品推導所用的大量數學觀念, 常讓人懷疑,沒有深厚的數學背景,能否 在這個續域從事研究。當然計量經濟學家, 為了研究的目的,也可能發展出新的分析 方法(註六)。總體而言,至少在財經續域, 數理背景是支撐能否繼續深入研究的重要 淺談財經領域常用的基礎數學觀念 基礎之一。 也因為數理背景的重要,本文特從教 學的角度切人,在最常使用的數理基礎工 具上,提出現今容易誤用或輕忽的概念, 讓往後在數理工具的使用,觀念更加清晰, 推論更嚴謹,結論更加有力。文中的觀念 或許簡單,但在演繹邏輯體系下,任何的 定理,都是從公理、公設,一步一步推論 出來,如果中間有一點差池,再茗、麼漂亮 的結果,都是鏡花水月,是虛幻的海市屢 樓。因此最基本的基礎的概念,尤其是初 次接觸者,必須正確的建立。如果不明就 裡的學會代人公式或電腦程式,然後根據 計算結果,一知半解的解讀,這是非常危 險的事。 「不了解數學的人,對數學的能力過 於樂觀,了解數學的人卻過於悲觀 J' 雖是 一句戲鐘的話,但也反映出大眾對數學過 與不及的期待,它的嚴謹、精確能讓問題 簡潔的呈現,限制卻也不少。唯有正確認 識所使用的工具,知其含意,才不會有過 度或是無力的推論,而能駕取數學這個有 用的工具,而非被工具所役。 附詮 註一:資料來自大學招生委員會聯合會,

http://www.jbcrc.edu.tw/indexl.htm

註二:教育部九十五年正式實施的「普通 高級中學課程暫行綱要J<民國九十 三年八月卅一日發布、九十四年一 月廿日修正發布,簡稱「九五課 綱 J 0 )

數據

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參考文獻

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