高二上第二次學藝競試數學3A題庫(40)

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高二學競 2 數 A 題庫

一、單選題：(60 小題，每題 1 分，共 60 分) 1. （　　）如圖，OABCDE 為坐標平面上一正六邊形，其中 O 為原點，A 點坐標為(2 , 0)，則向量 DE



的坐標表示法為 (A)(1, 3)_(B)( 1,  3)_(C)( 3,1)_(D)( 3, 1) _(E)( 1, 3)  解答 　B　 解析 　作EFOA



於 F。 因為 O (0 , 0)、A (2 , 0)，且∠AOE = 120°， 所以在△OEF 中，OE OA 2_、OF1_、EF  3_。推得E( 1, 3) _。 又因為OD2EF，所以OD2 3。推得D(0,2 3)_。 故DE



 ( 1, 3) (0,2 3) ( 1,    3)

2. （　　）圖為y2logx、ylogx、y logx與y 2logx的圖形，選出ylogx的圖形。

(A)A　(B)B　(C)C　(D)D　

解答 　B　

解析 　因為當x1時，

2logxlogx  0 logx 2logx_，

3. （　　）若 a = tan1，b = tan2，c = tan3，則 a，b，c 的大小關係為何？(A)a > b > c　(B)c > b > a (C)a > c > b　(D)c > a > b　(E)b > a > c　

解答 　C　

解析 　1 弳 ≈ 57°，2 弳 ≈ 114°，3 弳 ≈ 171°

⇒ tan1 > 0，tan2 ≈ tan114° = − tan66°，tan3 ≈ tan171° = − tan9°， 因為 – tan9° > − tan66°，所以 0 > tan3 > tan2，

故 tan1 > tan3 > tan2，即 a > c > b　

4. （　　）若 y = 5sinx − 12cosx − 3，則下列何者正確？　(A) − 20 ≤ y ≤ 8　(B) − 16 ≤ y ≤ 10　 (C) 17 3  y 17 3 _{(D) − 10 ≤ y ≤ 10　(E)} 20 y 20 解答 　B　 解析 　因為_{ 5}2_{ ( 12)}2 _{5sinx12cosx 5}2_{ ( 12)}2 ， 所以 − 13 − 3 ≤ 5sinx − 12cosx − 3 ≤ 13 − 3， 即 − 16 ≤ y ≤ 10　

5. （　　）f (x) = 5cosθ − 4sinθ 有最大值時，θ 為　(A)第一象限角　(B)第二象限角　(C)第三象限角 (D)第四象限角　 解答 　D　 解析 　cosθ > 0，sinθ < 0 有最大值，所以 θ 為第四象限角　 6. （　　）半徑 4，圓心角 θ = 72°，求 θ 所對的扇形面積是　 (A)2₅ 　(B)4₅ 　(C)8₅ 　(D)16₅ 　(E)32₅ 　 解答 　D　 解析 　 72 2 5      _， 所以所求面積 1 42 2 16 2 5 5       7. （　　）關於兩函數_y2x與 1 2 x y  _{  }   圖形的敘述，下列哪一個選項正確？　(A)兩圖形不相交　 (B)兩圖形對稱於 x 軸　(C)兩圖形均在 x 軸上方(D)_y2x的圖形恆在 1 2 x y  _{  }   的圖形上方 解答 　C　 解析 　兩圖形如下圖所示，觀察可得僅有「兩圖形均在 x 軸上方」正確。

8. （　　）設_{asin 2}，選出正確的選項。　(A) ₂3   a ₂2 _(B) 2 1 2 a 2     _(C) 2 3 2  a 2 (D) 3 1 2  a 　 解答 　D　 解析 　因為_{ 3.14}，所以 2 2 2 3  _{ }  。 觀察ysinx的圖形，發現當₂  x 2₃ 時， sin y x為遞減函數，因此可得 ₂3sin 2 1 9. （　　）下列選項中有一個是 y = log0.6x的圖形，選出正確的選項？　 (A) 　(B) 　(C) 　(D) 　 解答 　D　 解析 　因為 0.6 log 1 log log log 0.6 log 0.6 x y x _ _ x   ， 其中t_{log0.6 log6 1}1  1_ 0， 所以y t logx（t < 0）的圖形為嚴格遞減、以 y 軸為漸近線、恆在 y 軸右方、凹口向上、 必過(1, 0) 10. （　　）設 a > 1，若 y = f (x) = a − x_{與 y = g(x) = log} ax的圖形皆在圖中， 則下列的圖形中，何者為 y = f ( − x)與 y = − g(x)的圖形？ (A)BA　(B)CA　(C)DA　(D)CE　(E)DE　 解答 　B　 解析 　(I)因為a1_{，所以y f x}( )_ax 的圖形為D， 　而y f(x)與y f x( )的圖形對稱於y_軸， 　故y f(x)的圖形為C_。

(II)因為_a1， log 1 log

log log x y x a a    _{ }   ，其中 1 0 log a  ， 　所以y g x ( ) log ax的圖形為B。 A x y B C D E O

　而y g x( )與y g x ( )的圖形對稱於x_軸，

　故y g x( )的圖形為A

11. _{（　　）求}sin 3_sin cos3_cos 

(A)0_{(B)1　(C) − 1　(D)2　(E) − 2}

解答 　D　

解析 　

3 3

2 2

sin 3 cos3 3sin 4sin 4cos 3cos

(3 4sin ) (4cos 3)

sin cos sin cos

      _{ }              　　　　　　 = 6 − 4(sin2_{θ + cos}2_{θ) = 6 − 4 = 2} 12. （　　）下列哪一個數最小？　(A)0.9 − 3.6_(B)0.9 − 2.6_(C)0.9 − 1.6_(D)0.9 3_(E)0.9 5 解答 　C　 解析 　指數中以 − 1.6為最大，所以 0.9 − 1.6_為最小 13. （　　）下列哪一個三角比值最大？　(A)sin 6  　(B)cos 5  　(C)sin1　(D)cos1　(E)sin2　 解答 　E　 解析 　1 弳 ≈ 57°， 所以sin sin 30 6  _{ }

，cos cos36 sin 54 5

 _{   }

，sin1 ≈ sin57°， 　　cos1 ≈ cos57° = sin33°，sin2 ≈ sin114° = sin66°， 故 sin2 最大　 14. _{（　　）對任意實數 x 而言，} ( 2 2) 3 27x 的最小值為何？　(A)3　(B)3 3　(C)9　(D)27　(E)81 3　 解答 　C　 解析 　因為底數 27 > 1，又x2 2₃ 2_{3，所以 (} 2 2₎ 2 2 3 2 3 3 3 27x 27 (3 ) 3 9

15. （　　）下列各式何者的週期為 π？　(A)y = sinx + cosx　(B)y = sinx − cosx　(C)y = sinxcosx　 (D)y = 3sinx − 4sin3_{x　(E)y = 4cos}3_{x − 3cosx}

解答 　C　

解析 　(A)╳：週期為 2π　(B)╳：週期為 2π　(C)○： sin cos 1sin 2

2

y x x x_{，週期為 π}

(D)╳：y = 3sinx − 4sin3_{x = sin3x，週期為}2

3 

(E)╳：y = 4cos3_{x − 3cosx = cos3x，週期為}2

3  16. （　　）若 n 為正整數，且函數 ( ) 2sin( ) 5 nx f x   _{的週期不大於 1，則 n 的最小值為} (A)29　(B)30　(C)31　(D)32　(E)33　 解答 　D　

解析 　週期 2 10 1 5 n n      ⇒ n ≥ 10π， 又 n∈ℕ ⇒ n ≥ 32　 17. （　　）審計工作者會使用班佛法則來查帳。班佛法則是：「銀行存款的最高位數字是 a 者的比 例約為log(1 1) a  _{」。根據班佛法則，銀行存款的最高位數字是 4，5，6 或 7 者的比例約} 有（log2 ≈ 0.3010）　(A)20%　(B)30%　(C)40%　(D)50%　(E)60%　 解答 　B　 解析 　銀行存款的最高位數字是 4，5，6 或 7 者的比例約有 1 1 1 1

log(1 ) log(1 ) log(1 ) log(1 )

4 5 6 7

      

5 6 7 8

log log log log

4 5 6 7

    log(5 6 7 8) log 2 0.3010 30%

4 5 6 7

      

18. （　　）若函數 y = f (x) = 3cos2_{x + 2sinxcosx + sin}2_{x，則下列何者正確？　(A)y = f (x)的振幅為 2}

(B)y = f (x)的週期為 2π　(C)y = f (x)的圖形對稱於 y 軸　(D)y = f (x)的圖形恆在 x 軸的上方 (E)y = f (x)的圖形通過原點　

解答 　D　

解析 　 3cos2 2sin cos sin2 3 1 cos 2 sin 2 1 cos 2

2 2

x x

y x x x x    x 

　 2 cos 2 sin 2 2 2 sin(2 ) 2 2 0

4   x x  x    _{，　(A)╳：振幅為} 2 (B)╳：週期為 π　(C)╳：不對稱於 y 軸　(D)○　(E)╳：令 x = 0，y ≠ 0　 19. （　　）若_2OC

  

_5OA3OB且_AB8，則_BC的長為　(A)4　(B)8₅　(C)8₃　(D)₁₀　(E)20　 解答 　E　 解析 　將_2OC

  

_5OA3OB變形為_2OC

   

_{2OB5OA5OB}，即2OC OB 5OA OB  

   

  ， 由向量的拆解，可得2BC

 

5BA。 因此，2 5 5 5 5 8 20 2 2 2 BC

   

 BA  BC  BABC AB   20.（　　）如圖所示，兩直線_OA與_OB交於_O點，已知向量OP

  

2₅OA4₅OB_{，選出終點} P所在區域 _的選項。 (A)Ⅰ　(B)Ⅱ　(C)Ⅲ　(D)Ⅳ　(E)Ⅴ　 解答 　B　

解析 　如圖， 利用向量加法與2₅,4₅ 0且2 4_{5 5} 1，_即可判斷 P點會落在區域Ⅱ　 21. （　　）鐘面上時針的長度為 1，分針的長度為 2，求由 4 點 15 分到 5 點整，這段時間內長針 和短針所掃過的面積比為　(A)48：1　(B)3：16　(C)16：3　(D)59：30　 解答 　A　 解析 　分針走 45 分 45 6 270 3 2        _， 2 2 1 1 1 1 1 3 2 3 2 2 2 A  r      _， 時針走 1 45 6 12 8      _， 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 8 16 A   r      _， 所以 1 2 3 48 1 16 A：A  ：  ：

22. （　　）設正實數b滿足



log100 log

 

b



log100 log b7_{。試選出正確的選項。　(A)1 b 10}

(B) 10 b 10_(C)10 b 10 10_(D)10 10 b 100_(E)100 b 100 10 解答 　D　

解析 　因為log100 2 ，

所以2logb 2 logb7 3logb5 logb5₃，

解得_b₁₀53。 又因為₁₀32₁₀53 ₁₀2，所以_{10 10} _{b 100} 23. （　　）將函數 y = sinx 的圖形水平伸縮為1₂倍，再向左平移₆ 個單位，所得新圖形的函數為何？ 　(A) sin(2 ) 6 y x _(B) sin(2 ) 6 y x _(C) sin(2 ) 3 y x _(D) sin(1 ) 2 3 y x  (E) sin(1 ) 2 6 y x  解答 　C　

解析 　y = sinx水平伸縮為倍12 y = sin2x 6  向左平移單位 y sin[2(x 6)] sin(2x 3)       _， 所以所得新圖形的函數為 sin(2 ) 3 y x 24. （　　）已知 a = sin5，選出正確的選項：　(A) 1 1 2 a     _(B) 1 0 2 a    _(C)0 1 2 a    (D)1 2 2 a 2 　(E) 2 1 2  a 　 解答 　A　 解析 　因為 π ≈ 3.14，3 4.71 2  _ ，11 5.76 6  _ ，如圖所示： 所以由圖可知 1 1 2 a     25. （　　）坐標平面上滿足10x_100y _1000_的所有點



x y,



_{所形成的圖形為下列哪個選項？} (A)一個點　(B)一直線　(C)兩直線　(D)一個二次多項式的函數圖形　 解答 　B　 解析 　利用指數律，由10x_100y _1000 可得 2 3 10x_10 y _10 ，化簡得₁₀x2y _103 ， 即x2y3，此為直線方程式　 26. （　　）將正弦函數 y = sinx 的圖形向右平移 1 單位，再上下伸縮為 2 倍而得出的是下列哪個函數 的圖形？　(A)y = 2sin(x − 1)　(B)y = 2sin(x + 1)　(C)y = − 2sin(x − 1)　

(D)y = − 2sin(x + 1)　(E)y = 1 + 2sinx　

解答 　A　

解析 　y = sinx_{}向右平移單位1 y = sin(x − 1)_{}上下伸縮為倍2 1 sin( 1) 2y x ， 所以所求函數為 y = 2sin(x − 1)　 27. （　　）滿足不等式 1

 

10 2001 101 x   _{的整數 x 共有多少個？（log 2 0.3010 ）(A)9 個　(B)10 個} (C)11個　(D)12 個　(E)13 個　 解答 　C　

解析 　由 1

 

10 2001 101

x

  _可得log 1 log 10

 

log 2001

101 x   _， 利用對數的性質可得log 1 log 2001 101 2 x   _。 因為log 1 log 1 2 101 100  且

log2001 log 2000 log2 log1000 3.3    _，

所以 2 3.3 2 x    _，即 4 x 6.6    。 因為 x 為整數， 所以x    4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6_{，共 11 個} 28. （　　）設 ABCD 為一平行四邊形，則下列何者正確？ (A)

  

_{AB AD BD } 　(B)AC DA AB

  

  　(C)(AC BA

   

 )DB CD 　(D)AC CB BA

  

  　 (E)AB BC DC

   

  AD　 解答 　B　 解析 　(A)AB AD AB BC

    

    AC (B)AC DA AC CB AB

    

    (C)(AC BA

          

 )DB(AC CD )DBAD DB AB DC  CD (D)AC CB AB

   

   BA (E)AB BC DC

        

  AB AD AB  2AB AD AD  29. （　　）若 n 為滿足不等式 n4 _{< 10}6 _{< (n + 1)}4_{的正整數，則 n 的可能值為　(A)29　(B)30　(C)31} (D)32_(E)33 解答 　C　 解析 　_n4₁₀6



_n₁



4 _{n 10}46  _{n 1}，又 6₄ 3₂ 10 10  1000， 且 961 31 _， 1024 32 _，故 1000 31. _，即n31

30. （　　）下列數值何者最接近 3_？　(A) 3 cos39 sin39_(B) 3 sin 39 cos39

(C) 3 cos59 sin 59_(D) 3sin 79 cos79_(E) 3 cos79 sin 79 解答 　C　

解析 　(A) 3 cos39 sin39 2( 3cos39 1sin39 ) 2sin(39 60 ) 2sin99

2 2

(B) 3sin 39 cos39 2( 3sin 39 1cos39 ) 2sin(39 30 ) 2sin 69

2 2

            

(C) 3 cos59 sin 59 2( 3cos59 1sin 59 ) 2sin(59 60 ) 2sin119

2 2

            

(D) 3 sin 79 cos79 2( 3sin 79 1cos79 ) 2sin(79 30 ) 2sin109

2 2

            

(E) 3 cos79 sin 79 2( 3cos79 1sin 79 ) 2sin(79 60 ) 2sin139

2 2              31. （　　）關於函數

 

1₂ x f x _{  }    ，下列哪一個選項正確？　(A)

 

1 2 x f x _{  }    的圖形和

 

1 2 x g x _{  }    的 圖形對稱於_y軸　(B)

 

1₂ x f x _{  }    的圖形和_{h x}

 

_2x的圖形對稱於_y軸　(C)

 

1 2 x f x _{  }    的圖形和k x

 

2x的圖形對稱於y_軸　(D) f



1000



 f



999



 解答 　C　 解析 　(A) ( ) 1 2 x f x _{  }    的圖形和

 

1 2 x g x _{  }    的圖形對稱於 x 軸　(B) 1 ( ) 2 x f x _{  }    的圖形和

 

2 x h x _  的圖形相同　(C) ( ) 1 2 x f x _{  }    的圖形和k x

 

2x的圖形對稱於 y 軸　(D)因為 1 ( ) 2 x f x _{  }    是嚴格遞減函數，又1000 999 ，所以 f



1000



 f



999



32. （　　）設 a、b 為正實數，已知log7a11、log7b13，問：log a b7







之值最接近下列哪個選項？

　(A)12　(B)13　(C)14　(D)23　(E)24　 解答 　B　 解析 　因為log7a11，所以a711。 因為log7b13，所以b713。







11 13





11



2





7 7 7

log a b log 7 7 log 7 1 7 11

7 7 log 7 log 50 11 2 13      二、多選題：(40 小題，每題 1 分，共 40 分) 1. （　　）關於函數 f x

 

sinx，試問下列哪些選項正確？　(A) 1 f x

 

1　(B)f x

 

在x _時 有最小值　(C)f x

 

_{的週期為2 　(D)} f x

 

_{的圖形對稱於原點} 解答 　ACD　 解析 　(A)○： f x

 

_{的最大值為1，最小值為1，所以} 1 f x

 

1 (B)╳：當x _時，f

 

 sin 0_{（不為最小值）　(C)○　(D)○} 2. （　　）下列哪些選項可以表示函數 y = loga x與 y = a − x的圖形？　

(A) y x O 11 　(B) y x O 1 1 　(C) y x O 1 1 　 (D) y x O 1 1 _(E) y x O 1 1 　 解答 　AC　

解析 　 log log 1 log

log log a x y x x a a     _{ }   ， 1 ( ) x x y a a    _。 情況 1： 當_a1時，loga 0 _log1_a 0，且0 1 1 a   _， 即y_log1_alogx   圖形為嚴格遞增、以y軸為漸近線、恆在y軸右方、凹口向下、必過 (1, 0)_， 1 ( )x y a  _{圖形為嚴格遞減、以} x軸為漸近線、恆在x軸上方、凹口向上、必過(0 ,1)。 情況 2： 當_{0 a 1}時，log 0 1 0 log a a    _，且1 ₁ a ，即 1 log log y x a   _{ }   圖形為嚴格遞減、以y 軸為漸近線、恆在y_{軸右方、凹口向上、必過}(1, 0)_， 1 ( )x y a  _{圖形為嚴格遞增、以} x軸為漸近線、恆在x軸上方、凹口向上、必過(0 ,1)

3. （　　）下列哪些式子是正確的？　(A)log7( − 3)2 = 2log7( − 3)　(B)log77 = 1　(C)log813 = 4　

(D)log6(3 + 4) = log63 + log64　(E)log 6 7log67　 解答 　BE　 解析 　(A)真數必須為正數　(B) 7 log7 log 7 1 log7   (C) 81 log3 log3 1 log 3 log81 4log3 4    (D)左式 6 log(3 4) log7 log (3 4) log6 log6      _，右式 6 6

log3 log 4 log3 log4 log 3 log 4

log6 log6 log6

      log12 log6   左式  右式　(E)左式 1 2 1 2 1 log7

log 7 log7 ₂ log7

1 log6

log 6 _log6

log6 2

4. （　　）坐標平面上，在函數圖形_y2x 上，標示A_、B_、C_、D_{四個點，其}x_{坐標分別為}1_、0_、 1_、2_{。請選出正確的選項　(A)點}B_落在直線AC_{下方　(B)在直線}AB_、直線BC_、直線 CD_{中，以直線}CD_{的斜率最大　(C)}A_、B_、C_、D_{四個點，以點}B_最靠近x_軸　(D)直 線y2x與_y2x 的圖形有兩個交點　(E)點A_與點C_對稱於y_軸 解答 　ABD　 解析 　依題意，得 1,1 2 A_ _  ，B

 

0,1 ，C

 

1,2 ，D



2,4



(A)因為_y2x_{的圖形凹口向上，所以} B在AC



下方　(B)由圖得知CD



的斜率最大　(C)由 圖得知點A_最靠近x_{軸　(D)兩圖形恰交於}C、D_{兩點　(E)因為}A C、 _{兩點不等高，所} 以不對稱於y軸　 5. （　　）指數函數y a x_{、y b} x 、y c x_與y2x 的圖形如圖所示，且y c x_與y2x 的圖形對稱 於y軸。選出所有正確的選項。 (A)_a2　(B)_{1 a 2}　(C)b1_2　(D) b c 　 解答 　BD　 解析 　由圖可知：c b   1 a 2_， 又因為_{y c} x與_y2x的圖形對稱於_y軸，所以 1 2 c

6. （　　）關於兩對數函數 f x

 

logx、g x

 

 logx，選出正確的選項。　(A) f x

 

的圖形在x_軸 的上方　(B)f x

 

_{的圖形恆通過點}

 

1,0 _(C)g x

 

_{的圖形恆通過點}



0, 1



_(D)因為

3 2 ，所以f

   

3  f 2 　(E)f x

 

_的圖形與g x

 

_{的圖形對稱於}y軸　

解析 　(A)╳： f x

 

logx的圖形都在y_{軸右方　(B)○：因為} f

 

1 log1 0 _，所以f x

 

_的圖形恆

通過點

 

1,0

(C)╳：因為g

 

0  log0無意義，所以g x

 

的圖形不會過點



0, 1



(D)○：因為 f x

 

logx_{為嚴格遞增函數，又 3 2 ，所以} f

   

3  f 2

(E)╳： f x

 

_與g x

 

_{的圖形對稱於 x 軸}

7. _{（　　）下列何者為真？　(A)log}2( − 5)2 = 2log2( − 5)　(B)log2(3 × 5) = (log23)(log25)　

(C) 2 1

2 log 8 log 8 0 

　(D)log253 = (log25)3　(E)log49 = log23　 解答 　CE　

解析 　(A)真數必須為正數　(B) 2

log(3 5) log3 log5 log3 log5 log (3 5)

log 2 log 2 log2 log 2

 

    

2 2 2 2

log 3 log 5 (log 3)(log 5)

   (C)因為_{8 2} 3且 ( 1) ( 3) 1 3 1 3 8 2 (2 ) ( ) 2          _，所以 2 log 8 3 且 1 2 log 8 3_，因此 2 1 2 log 8 log 8 3 ( 3) 0     (D)左式 3 3 2

log5 3log5 log5

log 5 3

log2 log 2 log 2

     _{  }  ，右式 3 log5 log 2        ，左式右式　(E)左式

log9 2log3 log3 log4 2log2 log 2

   _右式 8. （　　）正六邊形 ABCDEF，下列何者為真？ (A)(AB BC

    

 ) ( CD DE ) AE　(B)AC AF CF

  

  　(C)(AC CE

   

 )CB CD 　(D) (AD CF

   

 )DCAF 　(E)AD

    

AB BD BD BA   　 解答 　ACDE　 解析 　(A)○：(AB BC

      

 ) ( CD DE )AC CE AE (B)╳：AC AF

    

 AC CD AD  (C)○：(AC CE

        

 )CBAE CB  AE EF AF CD (D)○：(AD CF

        

 )DC(AD DC )CF AC CF AF

(E)○：_{AB BD}

  

_{ AD}，BD BA BD

      

   ( AB)AB BD AD

9. （　　）設 log2.345 = a，log2.346 = b，選出正確的選項：　(A)log0.2345 10

a

 

(B)log2345 = 1000a　(C)log0.02346 = b − 2　(D)log234.6 = b + 2　

解答 　CD　

解析 　(A)log0.2345 log2.345 log 2.345 1 1

10 a

    

(B)log2345 = log(2.345 × 1000) = log2.345 + 3 = a + 3　(C)

2.346

log0.02346 log log 2.346 2 2

100 b

    

(D)log234.6 = log(2.346 × 100) = log2.346 + 2 = b + 2　

10. （　　）下列哪些三角函數的週期為_ ？　(A)ysin 2x　(B)ysin₂1x　(C)y 1₂sinx　

(D) 1sin 2 2 y  x 解答 　AD　 解析 　利用圖形伸縮的概念，可得　(A)函數ysin 2x的週期為2₂  (B)函數 1 sin 2 y x的週期為 2 4 1 2  _{ } (C)_函數 1sin 2 y x_的週期為 2 (D)函數 1sin 2 2 y  x_的週期為2 2 

11. （　　）試求下列何者正確？　(A)cos63°cos18° + sin63°sin18° = ₂2　(B)cos179°cos61° − sin179°sin61° = 1 2  _{(C)sin20°cos40° + cos20°sin40° =} 3 2 　(D)sin23°cos68° − sin68°cos23° = 2 2  _{(E)sin12°cos78° + cos12°sin78° = 1} 解答 　ABCDE　

解析 　(A)cos63°cos18° + sin63°sin18° = cos(63° − 18°) = cos45° = ₂2

(B)cos179°cos61° − sin179°sin61° = cos(179° + 61°) = cos240° = cos(180° + 60°) = − cos60° =1₂

(C)sin20°cos40° + cos20°sin40° = sin(20° + 40°) = sin60° = 3

(D)sin23°cos68° − sin68°cos23° = sin23°cos68° − cos23°sin68° = sin(23° − 68°) = sin( − 45°) = − sin45° = 2

2 

(E)sin12°cos78° + cos12°sin78° = sin(12° + 78°) = sin90° = 1　

12. _{（　　）選出所有正確的選項。　(A)函數}ysinx_{的圖形對稱於原點　(B)函數}ysinx_與 sin

y  x_{的圖形，對稱於 y 軸　(C)函數}y sinx _{的週期是2 　(D) 1 sinx1}

解答 　ABD　

解析 　(A)○　(B)○：ysinx_與y sinx_{的圖形，同時對稱於 x 軸及 y 軸　(C)╳：函數}y sinx _的

週期是 π　(D)○　

13. （　　）若₄   ₂ ，則下列哪些選項恆成立？　(A)sinθ < cosθ　(B)tanθ < sinθ　(C)cosθ < tanθ (D)cos2θ < sin2θ　(E)tan 1tan

2 2

 _{ }

　

解答 　CDE　

解析 　(A)當₄   ₂ 時 ⇒ sinθ > cosθ　(B)當₄   ₂ 時 ⇒ tanθ > 1，0 < sinθ < 1 ⇒ tanθ > sinθ (C)當₄   ₂ 時 ⇒ tanθ > 1，0 < cosθ < 1 ⇒ cosθ < tanθ　(D) 2

2

 _{  }

⇒ sin2θ >

0，cos2θ < 0 ⇒ cos2θ < sin2θ　(E) ₂

2 tan 2 tan 1 tan 2    _  ，又 8 2 4      ⇒0 tan 1 2    ⇒ 2 0 1 tan 1 2     _，所以tan 2 tan 2   _⇒tan 1tan 2 2  _{ } 14. （　　）如圖所示，兩射線OA



與OB



交於 O 點，若以 O 為始點，則下列選項中哪些向量的終點會 落在陰影區域內？ (A)_OA

 

_2OB　(B)₄3OA

 

1₃OB_(C)3 1 4OA

 

3OB　(D) 3 1 4OA

 

5OB　(E) 3 1 4OA

 

5OB　 解答 　AB　

解析 　(A)由平行四邊形法則（如圖）知，終點會落在陰影區內 (B)因為3₄OA

 

1₄OB_{的終點落在} AB上，所以當 3 4OA tOB

 

 的終點落在陰影區內時， 1 4 t (C)同(B)的解析　(D)同(B)的解析　(E)同(B)的解析　 15. （　　）設 0 < a < 1，關於函數 f(x) = ax_{，選出正確的選項：　(A)f(2) > 1　(B)f(x)的圖形在 x 軸的} 上方　(C)若 f(x) = f(2)，則 x = 2　(D)f(x)的圖形凹口向上　(E)若 α < β，則 ( ) ( ) ( ) 2 2 f f f        解答 　BCDE　 解析 　函數 f(x) = ax_{的圖形如下圖所示：} (A)╳：由圖可知：f(2) < f(0) = 1　(B)○：f(x)的圖形在 x 軸的上方　(C)○：因為 f(x)的圖 形和 x 軸上方的水平線均恰有一個交點，所以當 f(x) = f(2)時，x = 2　(D)○：f(x)的圖形 凹口向上　(E)○：因為 f(x)的圖形凹口向上，所以當 α < β 時，點( , ( ) ( )) 2 2 f f      比 點( , ( )) 2 f 2     的位置要高，因此 ( ) ( ) ( ) 2 2 f f f      

解答 　ABE　 解析 　如圖。 log log log a x y x a   _， log log log b x y x b   _， log log log c x y x c   _， 當y1時，分別與三個圖形交於( , 1)a 、( ,1)b 、( ,1)c ， 由圖形可知，三個交點由左到右分別為( ,1)c 、( , 1)a 、( ,1)b ， 其中點(1 ,1)介於( ,1)c 與( ,1)a 之間，故c  1 a b 17. （　　）下圖是 Γ：y = asinbx 的部分圖形，其中 a > 0，b > 0，則下列哪些敘述正確？ x y O 2 3 1 -2 -1 -3 3 － 6 － (A)a = 3　(B)b = 3　 (C)Γ的圖形可經由 y = sinx 的圖形先垂直方向伸縮為 3 倍，再水平方向伸縮為1₆倍而得 (D)Γ的圖形可經由 y = sinx 的圖形先垂直方向伸縮為 3 倍，再水平方向伸縮為1₃倍而得　 (E)Γ的圖形可經由 y = sinx 的圖形先水平方向伸縮為1₆倍，再垂直方向伸縮為 3 倍而得 解答 　ACE　 解析 　(A)○：振幅為 y = sinx 的 3 倍，所以 a = 3（因為 a > 0）　(B)╳：x 的係數為 b（b > 0）⇒ 週期為2_b  ₃ ，所以 b = 6　(C)○：y = sinx3 垂直方向 伸縮為倍 y = 3sinx 1₆ 水平方向 伸縮為倍 y = 3sin6x　 (D)╳：因為 b = 6，所以不真　(E)○：y = sinx 1 6 水平方向 伸縮為倍 y = sin6x_伸縮為倍垂直方向₃ y = 3sin6x　

18. （　　）已知



a b,



_{是對數函數}ylogx_{圖形上一點，問：下列哪些選項中的點也會在}ylogx_的圖

形上？　(A)

_{ }

1,0 　(B)



10 ,a b1



　(C)__a1,1 b _　(D)



_a2_,2b



　 解答 　ABD　

解析 　(A)因為log1 0 ，所以(1,0)在ylogx的圖形上　(B)因為log10alog10 log a 1 b，所以



10 ,a b1



在ylogx的圖形上　(C)因為log1_a  loga   b 1 b，所以

1 ,1 b a  _     不在 log

y x_{的圖形上　(D)因為loga}2_{2loga 2loga2b}

，所以



a2,2b



在ylogx_的圖形上 19. （　　）設 G 為△ABC 的重心，則　(A)AG

  

1₃AB1₃AC_(B) 1 1 3 3 AG

  

 AB BC_(C) 2 1 3 3 AG

  

 AB BC_(D) 1 1 3 3 AG

  

 BC CA_(E) 2 1 3 3 AG

  

 BC CA 解答 　AC　 解析 　(A)△ABC 中，AM

  

₂1AB₂1AC_， 2 2 1( 1 ) 1 1 3 3 2 2 3 3 AG

 

 AM AB

   

 AC  AB AC (B)由(A)， 1 1 1 1( ) 2 1 3 3 3 3 3 3 AG

       

 AB AC AB AB BC  AB BC (C)同(B)的解析　(D)由(B)， 2 1 2 1 2 2 1 1 2 ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 AG

          

 AB BC AC CB  BC  CA BC BC  BC CA (E)同(D)的解析　 20. （　　）如下圖，下列何者為真？

(A)a > 1　(B)b > 1　(C)c > 1　(D)a > b　(E)c > d　

解析 　如圖。 log log log a x y x a   _， log log log b x y x b   _， log log log c x y x c   _， log log log d x y x d   _， 當y1時，分別與四個圖形交於( , 1)a 、( ,1)b 、( ,1)c 、( , 1)d ，由圖形可知， 四個交點由左到右分別為( ,1)c 、( , 1)d 、( ,1)a 、( , 1)b ， 其中點(1 ,1)介於( ,1)d 與( ,1)a 之間，故 c < d < 1 < a < b　 21. （　　）如圖，A_在x_軸上，OA OB 2_、AOB120_{，選出正確的選項。} (A)OA



(2,0)　(B)OB



 ( 3,1)　(C)|OA



| 2 　(D)OA OB

 

 　(E)AB2 3　 解答 　ACE　 解析 　(A)因為A點在x軸上，且OA2，所以OA





 

2,0

(B)因為_{AOB120}，_B點的坐標為



2cos120 ,2sin120   





1, 3



_，所以OB



 



1, 3



(C)|OA



|OA2

(D)因為OA



與OB



的方向不同，所以OA OB

 



(E)利用餘弦定理，得AB22222   2 2 2 cos120       4 4 2 2 2 _ 1_212， 因此，AB 12 2 3

(A)_

    

AB BC   _{ } CD DE _AE_(B) 2 AC AF

  

  BC　(C) AC CE CB CD  _ _{ }   

   

 　(D) AD CF

  

 AF　(E)AD BE

  

 2AB　 解答 　ABCE　 解析 　設O_{點為正六邊形}ABCDEF _的中心。 (A)○：_

      

AB BC   _{ } CD DE _AC CE AE (B)○：AC AF

     

 AC CD AD  2BC (C)○：_AC CE

      

 _CB AE EF AF CD (D)╳：AD CF

      

 2AO2OF2_AO OF _2AF (E)○：_{AD BE}

    

_{ 2AO2BO2AB} 23. （　　）以下關於函數 y = sin(2x − π)的敘述哪些正確？　(A)圖形對稱於原點　(B)圖形對稱於直 線x_{4 　(C)函數週期為 2π　(D)函數值 y 的範圍為 − 1 ≤ y ≤ 1　(E)圖形可由函數 y =} sin2x的圖形向右平移 π 單位而得　 解答 　ABD　

解析 　(A)若點(a,b)在函數 y = sin(2x − π)的圖形上 ⇒ b = sin(2a − π)，x = − a 代入 ⇒ sin( − 2a −

π) = − sin(2a + π) = − sin(2a − π) = − b，所以圖形對稱於原點　(B)設 f (x) = sin(2x − π) ⇒ − 1 ≤ f (x) ≤ 1，又 ( ) sin(2 ) sin( ) 1 4 4 2 f          _，故 4 x _{為 y = f (x)圖形的對稱軸} (C)週期2₂ 

(D) − 1 ≤ y ≤ 1　(E)函數 y = sin2x 的圖形向右平移 π 單位，得函數 y = sin[2(x − π)] = sin(2x − 2π)的圖形，此非函數 y = sin(2x − π)的圖形　

24. （　　）關於 f (x) = 3sinx − 4cosx 的圖形，下列敘述何者正確？　(A)y = f (x)的圖形可由 y = sinx 的圖形_{利用伸縮與平移得來　(B)y = f (x)的圖形對稱於 y 軸　(C)若 f (x) = 0，則}tan 4 3

x

(D)方程式 f (x) = 6 有實數解　(E)存在實數 a 使 a + f (a) = 0　

解析 　 ( ) 5( sin3 4cos ) 5(cos sin sin cos ) 5sin( ) 5 5 f x  x x   x  x  x _， 其中sin 4 5   _，cos 3 5   _{，　(A)y = f (x)的圖形可由 y = sinx 的圖形伸縮與平移而得}

(B)y軸，即 x = 0 ⇒ sin(x − α) = sin( − α) = − sinα 4₅非極值，所以 y = f (x)的圖形不會對 稱於 y 軸　(C)f (x) = 0 ⇒ 3sinx = 4cosx ⇒tan 4

3

x

(D)因為 − 5 ≤ f (x) = 5sin(x − α) ≤ 5，所以 f (x) = 6 沒有實數解　(E)取 − 5 ≤ − a ≤ 5，則 f