高二上第二次學藝競試數學3A題庫(40)

18  53  Download (2)

全文

(1)

109

高二學競 2 數 A 題庫

一、單選題:(60 小題,每題 1 分,共 60 分) 1. (  )如圖,OABCDE 為坐標平面上一正六邊形,其中 O 為原點,A 點坐標為(2 , 0),則向量 DE

的坐標表示法為 (A)(1, 3) (B)( 1,  3) (C)( 3,1) (D)( 3, 1)  (E)( 1, 3)   解答  B  解析  作EFOA

於 F。 因為 O (0 , 0)、A (2 , 0),且∠AOE = 120°, 所以在△OEF 中,OE OA 2OF1EF  3。推得E( 1, 3) 又因為OD2EF,所以OD2 3。推得D(0,2 3)DE

 ( 1, 3) (0,2 3) ( 1,    3)

2. (  )圖為y2logxylogxy logxy 2logx的圖形,選出ylogx的圖形。

(A)A (B)B (C)C (D)D 

解答  B 

解析  因為當x1時,

2logxlogx  0 logx 2logx

(2)

3. (  )若 a = tan1,b = tan2,c = tan3,則 a,b,c 的大小關係為何?(A)a > b > c (B)c > b > a (C)a > c > b (D)c > a > b (E)b > a > c 

解答  C 

解析  1 弳 ≈ 57°,2 弳 ≈ 114°,3 弳 ≈ 171°

⇒ tan1 > 0,tan2 ≈ tan114° = − tan66°,tan3 ≈ tan171° = − tan9°, 因為 – tan9° > − tan66°,所以 0 > tan3 > tan2,

故 tan1 > tan3 > tan2,即 a > c > b 

4. (  )若 y = 5sinx − 12cosx − 3,則下列何者正確? (A) − 20 ≤ y ≤ 8 (B) − 16 ≤ y ≤ 10  (C) 17 3  y 17 3  (D) − 10 ≤ y ≤ 10 (E) 20 y 20  解答  B  解析  因為 52 ( 12)2 5sinx12cosx 52 ( 12)2 , 所以 − 13 − 3 ≤ 5sinx − 12cosx − 3 ≤ 13 − 3,− 16 ≤ y ≤ 10 

5. (  )f (x) = 5cosθ − 4sinθ 有最大值時,θ 為 (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角  解答  D  解析  cosθ > 0,sinθ < 0 有最大值,所以 θ 為第四象限角  6. (  )半徑 4,圓心角 θ = 72°,求 θ 所對的扇形面積是  (A)25  (B)45  (C)85  (D)165  (E)325   解答  D  解析   72 2 5      所以所求面積 1 42 2 16 2 5 5       7. (  )關於兩函數y2x與 1 2 x y       圖形的敘述,下列哪一個選項正確? (A)兩圖形不相交  (B)兩圖形對稱於 x 軸 (C)兩圖形均在 x 軸上方(D)y2x的圖形恆在 1 2 x y       的圖形上方 解答  C  解析  兩圖形如下圖所示,觀察可得僅有「兩圖形均在 x 軸上方」正確。

(3)

8. (  )設asin 2,選出正確的選項。 (A) 23   a 22  (B) 2 1 2 a 2      (C) 2 3 2  a 2 (D) 3 1 2  a   解答  D  解析  因為 3.14,所以 2 2 2 3     。 觀察ysinx的圖形,發現當2  x 23 時, sin yx為遞減函數,因此可得 23sin 2 1 9. (  )下列選項中有一個是 y = log0.6x的圖形,選出正確的選項?  (A)  (B)  (C)  (D)   解答  D  解析  因為 0.6 log 1 log log log 0.6 log 0.6 x yx x   , 其中tlog0.6 log6 11  1 0, 所以y t logx(t < 0)的圖形為嚴格遞減、以 y 軸為漸近線、恆在 y 軸右方、凹口向上、 必過(1, 0) 10. (  )設 a > 1,若 y = f (x) = a − x與 y = g(x) = log ax的圖形皆在圖中, 則下列的圖形中,何者為 y = f ( − x)與 y = − g(x)的圖形? (A)BA (B)CA (C)DA (D)CE (E)DE  解答  B  解析  (I)因為a1,所以y f x( )ax 的圖形為D,  而yf(x)與yf x( )的圖形對稱於y軸,  故yf(x)的圖形為C

(II)因為a1, log 1 log

log log x y x a a        ,其中 1 0 log a  ,  所以y g x ( ) log ax的圖形為BA x y B C D E O

(4)

 而y g x( )與y g x ( )的圖形對稱於x軸,

 故y g x( )的圖形為A

11. (  )求sin 3sin cos3cos 

(A)0 (B)1 (C) − 1 (D)2 (E) − 2 

解答  D 

解析  

3 3

2 2

sin 3 cos3 3sin 4sin 4cos 3cos

(3 4sin ) (4cos 3)

sin cos sin cos

                          = 6 − 4(sin2θ + cos2θ) = 6 − 4 = 2  12. (  )下列哪一個數最小? (A)0.9 − 3.6 (B)0.9 − 2.6 (C)0.9 − 1.6 (D)0.9 3 (E)0.9 5  解答  C  解析  指數中以 − 1.6為最大,所以 0.9 − 1.6為最小  13. (  )下列哪一個三角比值最大? (A)sin 6   (B)cos 5   (C)sin1 (D)cos1 (E)sin2  解答  E  解析  1 弳 ≈ 57°, 所以sin sin 30 6 

,cos cos36 sin 54 5

 

,sin1 ≈ sin57°,   cos1 ≈ cos57° = sin33°,sin2 ≈ sin114° = sin66°, 故 sin2 最大  14. (  )對任意實數 x 而言, ( 2 2) 3 27x 的最小值為何? (A)3 (B)3 3 (C)9 (D)27 (E)81 3  解答  C  解析  因為底數 27 > 1,又x2 23 23,所以 ( 2 2) 2 2 3 2 3 3 3 27x 27 (3 ) 3 9

15. (  )下列各式何者的週期為 π? (A)y = sinx + cosx (B)y = sinx − cosx (C)y = sinxcosx  (D)y = 3sinx − 4sin3x (E)y = 4cos3x − 3cosx 

解答  C 

解析  (A)╳:週期為 2π (B)╳:週期為 2π (C)○: sin cos 1sin 2

2

yx xx,週期為 π 

(D)╳:y = 3sinx − 4sin3x = sin3x,週期為2

3 

(E)╳:y = 4cos3x − 3cosx = cos3x,週期為2

3  16. (  )若 n 為正整數,且函數 ( ) 2sin( ) 5 nx f x   的週期不大於 1,則 n 的最小值為  (A)29 (B)30 (C)31 (D)32 (E)33  解答  D 

(5)

解析  週期 2 10 1 5 n n      ⇒ n ≥ 10π, 又 n∈ℕ ⇒ n ≥ 32  17. (  )審計工作者會使用班佛法則來查帳。班佛法則是:「銀行存款的最高位數字是 a 者的比 例約為log(1 1) a」。根據班佛法則,銀行存款的最高位數字是 4,5,6 或 7 者的比例約 有(log2 ≈ 0.3010) (A)20% (B)30% (C)40% (D)50% (E)60%  解答  B  解析  銀行存款的最高位數字是 4,5,6 或 7 者的比例約有 1 1 1 1

log(1 ) log(1 ) log(1 ) log(1 )

4 5 6 7

      

5 6 7 8

log log log log

4 5 6 7

    log(5 6 7 8) log 2 0.3010 30%

4 5 6 7

      

18. (  )若函數 y = f (x) = 3cos2x + 2sinxcosx + sin2x,則下列何者正確? (A)y = f (x)的振幅為 2 

(B)y = f (x)的週期為 2π (C)y = f (x)的圖形對稱於 y 軸 (D)y = f (x)的圖形恆在 x 軸的上方 (E)y = f (x)的圖形通過原點 

解答  D 

解析   3cos2 2sin cos sin2 3 1 cos 2 sin 2 1 cos 2

2 2

x x

yxx xx    x 

  2 cos 2 sin 2 2 2 sin(2 ) 2 2 0

4   xx  x    , (A)╳:振幅為 2 (B)╳:週期為 π (C)╳:不對稱於 y 軸 (D)○ (E)╳:令 x = 0,y ≠ 0  19. (  )若2OC

  

5OA3OBAB8,則BC的長為 (A)4 (B)85 (C)83 (D)10 (E)20  解答  E  解析  將2OC

  

5OA3OB變形為2OC

   

2OB5OA5OB,即2OC OB 5OA OB  

   

  , 由向量的拆解,可得2BC

 

5BA。 因此,2 5 5 5 5 8 20 2 2 2 BC

   

BABCBABCAB   20.(  )如圖所示,兩直線OAOB交於O點,已知向量OP

  

25OA45OB,選出終點 P所在區域 的選項。 (A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ (E)Ⅴ  解答  B 

(6)

解析  如圖, 利用向量加法與25,45 0且2 45 5 1,即可判斷 P點會落在區域Ⅱ  21. (  )鐘面上時針的長度為 1,分針的長度為 2,求由 4 點 15 分到 5 點整,這段時間內長針 和短針所掃過的面積比為 (A)48:1 (B)3:16 (C)16:3 (D)59:30  解答  A  解析  分針走 45 分 45 6 270 3 2        2 2 1 1 1 1 1 3 2 3 2 2 2 A  r       時針走 1 45 6 12 8      2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 8 16 A   r      所以 1 2 3 48 1 16 AA  :  :

22. (  )設正實數b滿足

log100 log

 

b

log100 log b7。試選出正確的選項。 (A)1 b 10  

(B) 10 b 10 (C)10 b 10 10 (D)10 10 b 100 (E)100 b 100 10  解答  D 

解析  因為log100 2 ,

所以2logb 2 logb7 3logb5 logb53

解得b1053。 又因為10321053 102,所以10 10 b 100 23. (  )將函數 y = sinx 的圖形水平伸縮為12倍,再向左平移6 個單位,所得新圖形的函數為何?  (A) sin(2 ) 6 yx  (B) sin(2 ) 6 yx  (C) sin(2 ) 3 yx  (D) sin(1 ) 2 3 yx   (E) sin(1 ) 2 6 yx   解答  C 

(7)

解析  y = sinx水平伸縮為倍12 y = sin2x 6  向左平移單位 y sin[2(x 6)] sin(2x 3)       所以所得新圖形的函數為 sin(2 ) 3 yx 24. (  )已知 a = sin5,選出正確的選項: (A) 1 1 2 a      (B) 1 0 2 a     (C)0 1 2 a     (D)1 2 2 a 2  (E) 2 1 2  a   解答  A  解析  因為 π ≈ 3.14,3 4.71 2  ,11 5.76 6  ,如圖所示: 所以由圖可知 1 1 2 a     25. (  )坐標平面上滿足10x100y 1000的所有點

x y,

所形成的圖形為下列哪個選項?  (A)一個點 (B)一直線 (C)兩直線 (D)一個二次多項式的函數圖形  解答  B  解析  利用指數律,由10x100y 1000 可得 2 3 10x10 y 10 ,化簡得10x2y 103 , 即x2y3,此為直線方程式  26. (  )將正弦函數 y = sinx 的圖形向右平移 1 單位,再上下伸縮為 2 倍而得出的是下列哪個函數 的圖形? (A)y = 2sin(x − 1) (B)y = 2sin(x + 1) (C)y = − 2sin(x − 1) 

(D)y = − 2sin(x + 1) (E)y = 1 + 2sinx 

解答  A 

解析  y = sinx向右平移單位1 y = sin(x − 1)上下伸縮為倍2 1 sin( 1) 2yx , 所以所求函數為 y = 2sin(x − 1)  27. (  )滿足不等式 1

 

10 2001 101 x   的整數 x 共有多少個?(log 2 0.3010 )(A)9 個 (B)10 個 (C)11個 (D)12 個 (E)13 個  解答  C 

(8)

解析  由 1

 

10 2001 101

x

  可得log 1 log 10

 

log 2001

101 x   利用對數的性質可得log 1 log 2001 101 2 x   因為log 1 log 1 2 101 100  且

log2001 log 2000 log2 log1000 3.3   

所以 2 3.3 2 x    ,即 4 x 6.6    。 因為 x 為整數, 所以x    4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6,共 11 個  28. (  )設 ABCD 為一平行四邊形,則下列何者正確? (A)

  

AB AD BD  (B)AC DA AB

  

   (C)(AC BA

   

 )DB CD  (D)AC CB BA

  

    (E)AB BC DC

   

  AD  解答  B  解析  (A)AB AD AB BC

    

    AC (B)AC DA AC CB AB

    

    (C)(AC BA

          

 )DB(AC CD )DBAD DB AB DC  CD (D)AC CB AB

   

   BA (E)AB BC DC

        

  AB AD AB  2AB AD AD  29. (  )若 n 為滿足不等式 n4 < 106 < (n + 1)4的正整數,則 n 的可能值為 (A)29 (B)30 (C)31  (D)32 (E)33  解答  C  解析  n4106

n1

4 n 1046  n 1,又 64 32 10 10  1000, 且 961 31 1024 32 ,故 1000 31. ,即n31

30. (  )下列數值何者最接近 3? (A) 3 cos39 sin39 (B) 3 sin 39 cos39 

(C) 3 cos59 sin 59 (D) 3sin 79 cos79 (E) 3 cos79 sin 79  解答  C 

解析  (A) 3 cos39 sin39 2( 3cos39 1sin39 ) 2sin(39 60 ) 2sin99

2 2

(9)

(B) 3sin 39 cos39 2( 3sin 39 1cos39 ) 2sin(39 30 ) 2sin 69

2 2

            

(C) 3 cos59 sin 59 2( 3cos59 1sin 59 ) 2sin(59 60 ) 2sin119

2 2

            

(D) 3 sin 79 cos79 2( 3sin 79 1cos79 ) 2sin(79 30 ) 2sin109

2 2

            

(E) 3 cos79 sin 79 2( 3cos79 1sin 79 ) 2sin(79 60 ) 2sin139

2 2              31. (  )關於函數

 

12 x f x       ,下列哪一個選項正確? (A)

 

1 2 x f x       的圖形和

 

1 2 x g x       的 圖形對稱於y軸 (B)

 

12 x f x       的圖形和h x

 

2x的圖形對稱於y軸 (C)

 

1 2 x f x       的圖形和k x

 

2x的圖形對稱於y軸 (D) f

1000

f

999

  解答  C  解析  (A) ( ) 1 2 x f x       的圖形和

 

1 2 x g x       的圖形對稱於 x 軸 (B) 1 ( ) 2 x f x       的圖形和

 

2 x h x  的圖形相同 (C) ( ) 1 2 x f x       的圖形和k x

 

2x的圖形對稱於 y 軸 (D)因為 1 ( ) 2 x f x       是嚴格遞減函數,又1000 999 ,所以 f

1000

f

999

32. (  )設 a、b 為正實數,已知log7a11、log7b13,問:log a b7

之值最接近下列哪個選項?

 (A)12 (B)13 (C)14 (D)23 (E)24  解答  B  解析  因為log7a11,所以a711。 因為log7b13,所以b713。

11 13

11

2

7 7 7

log a b log 7 7 log 7 1 7 11

7 7 log 7 log 50 11 2 13      二、多選題:(40 小題,每題 1 分,共 40 分) 1. (  )關於函數 f x

 

sinx,試問下列哪些選項正確? (A) 1 f x

 

1 (B)f x

 

x 有最小值 (C)f x

 

的週期為2  (D) f x

 

的圖形對稱於原點  解答  ACD  解析  (A)○: f x

 

的最大值為1,最小值為1,所以 1 f x

 

1 (B)╳:當x 時,f

 

 sin 0(不為最小值) (C)○ (D)○  2. (  )下列哪些選項可以表示函數 y = loga x與 y = a − x的圖形? 

(10)

(A) y x O 11  (B) y x O 1 1  (C) y x O 1 1   (D) y x O 1 1  (E) y x O 1 1   解答  AC 

解析   log log 1 log

log log a x y x x a a         , 1 ( ) x x y a a    情況 1: 當a1時,loga 0 log1a 0,且0 1 1 a   ylog1alogx   圖形為嚴格遞增、以y軸為漸近線、恆在y軸右方、凹口向下、必過 (1, 0) 1 ( )x y a圖形為嚴格遞減、以 x軸為漸近線、恆在x軸上方、凹口向上、必過(0 ,1)。 情況 2: 當0 a 1時,log 0 1 0 log a a    ,且1 1 a ,即 1 log log y x a       圖形為嚴格遞減、以y 軸為漸近線、恆在y軸右方、凹口向上、必過(1, 0) 1 ( )x y a圖形為嚴格遞增、以 x軸為漸近線、恆在x軸上方、凹口向上、必過(0 ,1)

3. (  )下列哪些式子是正確的? (A)log7( − 3)2 = 2log7( − 3) (B)log77 = 1 (C)log813 = 4 

(D)log6(3 + 4) = log63 + log64 (E)log 6 7log67  解答  BE  解析  (A)真數必須為正數 (B) 7 log7 log 7 1 log7   (C) 81 log3 log3 1 log 3 log81 4log3 4    (D)左式 6 log(3 4) log7 log (3 4) log6 log6      ,右式 6 6

log3 log 4 log3 log4 log 3 log 4

log6 log6 log6

      log12 log6   左式  右式 (E)左式 1 2 1 2 1 log7

log 7 log7 2 log7

1 log6

log 6 log6

log6 2

(11)

4. (  )坐標平面上,在函數圖形y2x 上,標示ABCD四個點,其x坐標分別為10 12。請選出正確的選項 (A)點B落在直線AC下方 (B)在直線AB、直線BC、直線 CD中,以直線CD的斜率最大 (C)ABCD四個點,以點B最靠近x軸 (D)直y2xy2x 的圖形有兩個交點 (E)點A與點C對稱於y軸  解答  ABD  解析  依題意,得 1,1 2 A   ,B

 

0,1 ,C

 

1,2 ,D

2,4

(A)因為y2x的圖形凹口向上,所以 BAC

下方 (B)由圖得知CD

的斜率最大 (C)由 圖得知點A最靠近x軸 (D)兩圖形恰交於CD兩點 (E)因為A C兩點不等高,所 以不對稱於y軸  5. (  )指數函數y axy b xy cxy2x 的圖形如圖所示,且y cxy2x 的圖形對稱 於y軸。選出所有正確的選項。 (A)a2 (B)1 a 2 (C)b12 (D) b c   解答  BD  解析  由圖可知:c b   1 a 2 又因為y c xy2x的圖形對稱於y軸,所以 1 2 c

6. (  )關於兩對數函數 f x

 

logxg x

 

 logx,選出正確的選項。 (A) f x

 

的圖形在x 的上方 (B)f x

 

的圖形恆通過點

 

1,0  (C)g x

 

的圖形恆通過點

0, 1

 (D)因為

3 2 ,所以f

   

3  f 2  (E)f x

 

的圖形與g x

 

的圖形對稱於y軸 

(12)

解析  (A)╳: f x

 

logx的圖形都在y軸右方 (B)○:因為 f

 

1 log1 0 ,所以f x

 

的圖形恆

通過點

 

1,0

(C)╳:因為g

 

0  log0無意義,所以g x

 

的圖形不會過點

0, 1

(D)○:因為 f x

 

logx為嚴格遞增函數,又 3 2 ,所以 f

   

3  f 2

(E)╳: f x

 

g x

 

的圖形對稱於 x 軸 

7. (  )下列何者為真? (A)log2( − 5)2 = 2log2( − 5) (B)log2(3 × 5) = (log23)(log25) 

(C) 2 1

2 log 8 log 8 0 

 (D)log253 = (log25)3 (E)log49 = log23  解答  CE 

解析  (A)真數必須為正數 (B) 2

log(3 5) log3 log5 log3 log5 log (3 5)

log 2 log 2 log2 log 2

 

    

2 2 2 2

log 3 log 5 (log 3)(log 5)

   (C)因為8 2 3且 ( 1) ( 3) 1 3 1 3 8 2 (2 ) ( ) 2          ,所以 2 log 8 3 且 1 2 log 8 3,因此 2 1 2 log 8 log 8 3 ( 3) 0     (D)左式 3 3 2

log5 3log5 log5

log 5 3

log2 log 2 log 2

        ,右式 3 log5 log 2        ,左式右式 (E)左式

log9 2log3 log3 log4 2log2 log 2

   右式  8. (  )正六邊形 ABCDEF,下列何者為真? (A)(AB BC

    

 ) ( CD DE ) AE (B)AC AF CF

  

   (C)(AC CE

   

 )CB CD  (D) (AD CF

   

 )DCAF  (E)AD

    

AB BD BD BA     解答  ACDE  解析  (A)○:(AB BC

      

 ) ( CD DE )AC CE AE (B)╳:AC AF

    

 AC CD AD  (C)○:(AC CE

        

 )CBAE CB  AE EF AF CD (D)○:(AD CF

        

 )DC(AD DC )CFAC CF AF

(13)

(E)○:AB BD

  

ADBD BA BD

      

   ( AB)AB BD AD

9. (  )設 log2.345 = a,log2.346 = b,選出正確的選項: (A)log0.2345 10

a

 

(B)log2345 = 1000a (C)log0.02346 = b − 2 (D)log234.6 = b + 2 

解答  CD 

解析  (A)log0.2345 log2.345 log 2.345 1 1

10 a

    

(B)log2345 = log(2.345 × 1000) = log2.345 + 3 = a + 3 (C)

2.346

log0.02346 log log 2.346 2 2

100 b

    

(D)log234.6 = log(2.346 × 100) = log2.346 + 2 = b + 2 

10. (  )下列哪些三角函數的週期為 ? (A)ysin 2x (B)ysin21x (C)y 12sinx 

(D) 1sin 2 2 y  x  解答  AD  解析  利用圖形伸縮的概念,可得 (A)函數ysin 2x的週期為22  (B)函數 1 sin 2 yx的週期為 2 4 1 2  (C)函數 1sin 2 yx的週期為 2 (D)函數 1sin 2 2 y  x的週期為2 2 

11. (  )試求下列何者正確? (A)cos63°cos18° + sin63°sin18° = 22 (B)cos179°cos61° − sin179°sin61° = 1 2   (C)sin20°cos40° + cos20°sin40° = 3 2  (D)sin23°cos68° − sin68°cos23° = 2 2   (E)sin12°cos78° + cos12°sin78° = 1  解答  ABCDE 

解析  (A)cos63°cos18° + sin63°sin18° = cos(63° − 18°) = cos45° = 22

(B)cos179°cos61° − sin179°sin61° = cos(179° + 61°) = cos240° = cos(180° + 60°) = − cos60° =12

(C)sin20°cos40° + cos20°sin40° = sin(20° + 40°) = sin60° = 3

(14)

(D)sin23°cos68° − sin68°cos23° = sin23°cos68° − cos23°sin68° = sin(23° − 68°) = sin( − 45°) = − sin45° = 2

2 

(E)sin12°cos78° + cos12°sin78° = sin(12° + 78°) = sin90° = 1 

12. (  )選出所有正確的選項。 (A)函數ysinx的圖形對稱於原點 (B)函數ysinx sin

y  x的圖形,對稱於 y 軸 (C)函數y sinx 的週期是2  (D) 1 sinx1 

解答  ABD 

解析  (A)○ (B)○:ysinxy sinx的圖形,同時對稱於 x 軸及 y 軸 (C)╳:函數y sinx

週期是 π (D)○ 

13. (  )若4   2 ,則下列哪些選項恆成立? (A)sinθ < cosθ (B)tanθ < sinθ (C)cosθ < tanθ (D)cos2θ < sin2θ (E)tan 1tan

2 2

 

解答  CDE 

解析  (A)當4   2 時 ⇒ sinθ > cosθ (B)當4   2 時 ⇒ tanθ > 1,0 < sinθ < 1 ⇒ tanθ > sinθ (C)當4   2 時 ⇒ tanθ > 1,0 < cosθ < 1 ⇒ cosθ < tanθ (D) 2

2

 

⇒ sin2θ >

0,cos2θ < 0 ⇒ cos2θ < sin2θ (E) 2

2 tan 2 tan 1 tan 2     ,又 8 2 4      ⇒0 tan 1 2    ⇒ 2 0 1 tan 1 2     ,所以tan 2 tan 2   tan 1tan 2 2  14. (  )如圖所示,兩射線OA

OB

交於 O 點,若以 O 為始點,則下列選項中哪些向量的終點會 落在陰影區域內? (A)OA

 

2OB (B)43OA

 

13OB (C)3 1 4OA

 

3OB (D) 3 1 4OA

 

5OB (E) 3 1 4OA

 

5OB  解答  AB 

(15)

解析  (A)由平行四邊形法則(如圖)知,終點會落在陰影區內 (B)因為34OA

 

14OB的終點落在 AB上,所以當 3 4OA tOB

 

 的終點落在陰影區內時, 1 4 t (C)同(B)的解析 (D)同(B)的解析 (E)同(B)的解析  15. (  )設 0 < a < 1,關於函數 f(x) = ax,選出正確的選項: (A)f(2) > 1 (B)f(x)的圖形在 x 軸的 上方 (C)若 f(x) = f(2),則 x = 2 (D)f(x)的圖形凹口向上 (E)若 α < β,則 ( ) ( ) ( ) 2 2 f f f         解答  BCDE  解析  函數 f(x) = ax的圖形如下圖所示: (A)╳:由圖可知:f(2) < f(0) = 1 (B)○:f(x)的圖形在 x 軸的上方 (C)○:因為 f(x)的圖 形和 x 軸上方的水平線均恰有一個交點,所以當 f(x) = f(2)時,x = 2 (D)○:f(x)的圖形 凹口向上 (E)○:因為 f(x)的圖形凹口向上,所以當 α < β 時,點( , ( ) ( )) 2 2 f f      比 點( , ( )) 2 f 2     的位置要高,因此 ( ) ( ) ( ) 2 2 f f f      

(16)

解答  ABE  解析  如圖。 log log log a x y x a   log log log b x y x b   log log log c x y x c   y1時,分別與三個圖形交於( , 1)a 、( ,1)b 、( ,1)c , 由圖形可知,三個交點由左到右分別為( ,1)c 、( , 1)a 、( ,1)b , 其中點(1 ,1)介於( ,1)c 與( ,1)a 之間,故c  1 a b 17. (  )下圖是 Γ:y = asinbx 的部分圖形,其中 a > 0,b > 0,則下列哪些敘述正確? x y O 2 3 1 -2 -1 -3 3 - 6 - (A)a = 3 (B)b = 3  (C)Γ的圖形可經由 y = sinx 的圖形先垂直方向伸縮為 3 倍,再水平方向伸縮為16倍而得 (D)Γ的圖形可經由 y = sinx 的圖形先垂直方向伸縮為 3 倍,再水平方向伸縮為13倍而得  (E)Γ的圖形可經由 y = sinx 的圖形先水平方向伸縮為16倍,再垂直方向伸縮為 3 倍而得 解答  ACE  解析  (A)○:振幅為 y = sinx 的 3 倍,所以 a = 3(因為 a > 0) (B)╳:x 的係數為 b(b > 0)⇒ 週期為2b  3 ,所以 b = 6 (C)○:y = sinx3 垂直方向 伸縮為倍 y = 3sinx 16 水平方向 伸縮為倍 y = 3sin6x  (D)╳:因為 b = 6,所以不真 (E)○:y = sinx 1 6 水平方向 伸縮為倍 y = sin6x伸縮為倍垂直方向3 y = 3sin6x 

(17)

18. (  )已知

a b,

是對數函數ylogx圖形上一點,問:下列哪些選項中的點也會在ylogx的圖

形上? (A)

 

1,0  (B)

10 ,a b1

 (C)a1,1 b  (D)

a2,2b

  解答  ABD 

解析  (A)因為log1 0 ,所以(1,0)在ylogx的圖形上 (B)因為log10alog10 log a 1 b,所以

10 ,a b1

ylogx的圖形上 (C)因為log1a  loga   b 1 b,所以

1 ,1 b a     不在 log

yx的圖形上 (D)因為loga22loga 2loga2b

,所以

a2,2b

ylogx的圖形上 19. (  )設 G 為△ABC 的重心,則 (A)AG

  

13AB13AC (B) 1 1 3 3 AG

  

ABBC (C) 2 1 3 3 AG

  

ABBC (D) 1 1 3 3 AG

  

BCCA (E) 2 1 3 3 AG

  

BCCA  解答  AC  解析  (A)△ABC 中,AM

  

21AB21AC 2 2 1( 1 ) 1 1 3 3 2 2 3 3 AG

 

AMAB

   

ACABAC (B)由(A), 1 1 1 1( ) 2 1 3 3 3 3 3 3 AG

       

ABACABAB BC  ABBC (C)同(B)的解析 (D)由(B), 2 1 2 1 2 2 1 1 2 ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 AG

          

ABBCAC CB  BC  CABCBC  BCCA (E)同(D)的解析  20. (  )如下圖,下列何者為真?

(A)a > 1 (B)b > 1 (C)c > 1 (D)a > b (E)c > d 

(18)

解析  如圖。 log log log a x y x a   log log log b x y x b   log log log c x y x c   log log log d x y x d   y1時,分別與四個圖形交於( , 1)a 、( ,1)b 、( ,1)c 、( , 1)d ,由圖形可知, 四個交點由左到右分別為( ,1)c 、( , 1)d 、( ,1)a 、( , 1)b , 其中點(1 ,1)介於( ,1)d 與( ,1)a 之間,故 c < d < 1 < a < b  21. (  )如圖,Ax軸上,OA OB 2AOB120,選出正確的選項。 (A)OA

(2,0) (B)OB

 ( 3,1) (C)|OA

| 2  (D)OA OB

 

  (E)AB2 3  解答  ACE  解析  (A)因為A點在x軸上,且OA2,所以OA

 

2,0

(B)因為AOB120B點的坐標為

2cos120 ,2sin120   

1, 3

,所以OB

 

1, 3

(C)|OA

|OA2

(D)因為OA

OB

的方向不同,所以OA OB

 

(E)利用餘弦定理,得AB22222   2 2 2 cos120       4 4 2 2 2  1212, 因此,AB 12 2 3

(19)

(A)

    

AB BC    CD DE AE (B) 2 AC AF

  

  BC (C) AC CE CB CD   

   

  (D) AD CF

  

 AF (E)AD BE

  

 2AB  解答  ABCE  解析  設O點為正六邊形ABCDEF 的中心。 (A)○:

      

AB BC    CD DE AC CE AE (B)○:AC AF

     

 AC CD AD  2BC (C)○:AC CE

      

 CBAE EF AF CD (D)╳:AD CF

      

 2AO2OF2AO OF 2AF (E)○:AD BE

    

2AO2BO2AB 23. (  )以下關於函數 y = sin(2x − π)的敘述哪些正確? (A)圖形對稱於原點 (B)圖形對稱於直x4  (C)函數週期為 2π (D)函數值 y 的範圍為 − 1 ≤ y ≤ 1 (E)圖形可由函數 y = sin2x的圖形向右平移 π 單位而得  解答  ABD 

解析  (A)若點(a,b)在函數 y = sin(2x − π)的圖形上 ⇒ b = sin(2a − π),x = − a 代入 ⇒ sin( − 2a −

π) = − sin(2a + π) = − sin(2a − π) = − b,所以圖形對稱於原點 (B)設 f (x) = sin(2x − π) ⇒ − 1 ≤ f (x) ≤ 1,又 ( ) sin(2 ) sin( ) 1 4 4 2 f          ,故 4 x 為 y = f (x)圖形的對稱軸  (C)週期22 

(D) − 1 ≤ y ≤ 1 (E)函數 y = sin2x 的圖形向右平移 π 單位,得函數 y = sin[2(x − π)] = sin(2x − 2π)的圖形,此非函數 y = sin(2x − π)的圖形 

24. (  )關於 f (x) = 3sinx − 4cosx 的圖形,下列敘述何者正確? (A)y = f (x)的圖形可由 y = sinx 的圖形利用伸縮與平移得來 (B)y = f (x)的圖形對稱於 y 軸 (C)若 f (x) = 0,則tan 4 3

x

(D)方程式 f (x) = 6 有實數解 (E)存在實數 a 使 a + f (a) = 0 

(20)

解析   ( ) 5( sin3 4cos ) 5(cos sin sin cos ) 5sin( ) 5 5 f xxx   x  xx 其中sin 4 5   cos 3 5   , (A)y = f (x)的圖形可由 y = sinx 的圖形伸縮與平移而得 

(B)y軸,即 x = 0 ⇒ sin(x − α) = sin( − α) = − sinα 45非極值,所以 y = f (x)的圖形不會對 稱於 y 軸 (C)f (x) = 0 ⇒ 3sinx = 4cosx ⇒tan 4

3

x

(D)因為 − 5 ≤ f (x) = 5sin(x − α) ≤ 5,所以 f (x) = 6 沒有實數解 (E)取 − 5 ≤ − a ≤ 5,則 f

數據

Updating...

參考文獻

相關主題 :