96指考數學甲

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九十六學年度指定科目考試試題

數學甲

作答注意事項

考試時間：80 分鐘

作答方式：第壹部分請用

2B 鉛筆在答案卡之「解答欄」內劃記。修正時應以橡皮擦拭，請勿

在答案卡上使用修正液。

第貳部分作答於「非選擇題答案卷」，請在規定之欄位以較粗的黑色或藍色原子

筆、鋼珠筆或中性筆作答，並標明題號。

第壹部分作答示例：請仔細閱讀下面的例子。

（ 一 ）

單選 題及 多選 題： 只用

1，2，3，4，5 等五個格子，而不需要用到

，以及

6，7，8，9，0 等格子。

例：若第

1 題為單選題，選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而正確的答案為 7，亦即

選項(3)時，考生要在答案卡第 1 列 劃記（注意不是 7），如：

例：若第

5 題為多選題，正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第 5 列

的 與 劃記，如：

（二）選填題的題號是

A，B，C，…，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的

格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是

50 7 

時，則考生必須分別在答案卡的

第 20 列的 與第 21 列的 劃記，如：

3 1 3

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   7  20 21 50

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   解 答 欄

第 壹 部 分 ： 選 擇 題

(

單 選 題 、 多 選 題 及 選 填 題 共 佔

7 9 分

)

一 、 單 選 題

_{( 1 8 分 )}

說明：第

1 至 3 題為單選題，每題選出一個最適當的選項，劃記在答案卡之「解答欄」。每題

答對得

6 分，答錯或劃記多於一個選項者倒扣 1.5 分，倒扣到本大題之實得分數為零

為止。未作答者，不給分亦不倒扣分數。

1. 設 cos2 sin2 7 7 z  i  ， 試 問 複 數 1 z 的絕對值為以下哪一選項？ ( 1) 2sin 7  ( 2) sin2 7  ( 3) 2 sin2 7  ( 4) 2(1 cos2 ) 7   ( 5) 1 cos2 7   2. 試 問下 列有 關極 限 2 1 3 3 1 lim 1 x x x x      的 敘 述 何 者 正 確 ？ ( 1) 極限 不存 在 ( 2) 極限 為 0 ( 3) 極限 為 1 ( 4) 極限 為 5 ( 5) 極限 為 2

3. 設a a a1, , , ,2 3  a10是 一 等 比 數 列 ， 其 首 項a1 且公 比1 r 。坐標平面上有一質點 M 自1 原 點 (0 , 0) 出 發 ， 依 以 下 規 則 連 續 移 動 十 次 ： 第 一 次 移 動 往 右 log a 單 位 ， 第 二 次 移1 動 向 上 log a 單 位 ， 第 三 次 移 動 往 右2 log a 單 位 ， 第 四 次 移 動 向 上3 log a 單 位 ， 依 此 類4 推 直 到 第 十 次 ； 即 第 2k 次的移動是往右1 loga2k1單 位 ， 接 著 第 2k 次 的 移 動 是 向 上 2 loga 單 位 。 已 知 經 過 這 十 次 的 移 動 後 ， 該 質 點 M 停 在 點k 15 (5 5log 2 , 5 log 2) 2   的 位 置 上 ， 試 問 首 項a 與公 比 r 組成 的序 對1 ( , )a r 為以 下哪 一選 項？1 ( 1)



2 , 2



( 2 )



2 2 , 5



( 3)



2 , 2



( 4 )



5 , 5



( 5)



5 , 2



二 、 多 選 題

( 4 0 分 )

說明：第

4 至 8 題，每題各有 5 個選項，其中至少有一個是正確的。選出正確選項，

劃記在答案卡之「解答欄」。每題

8 分，各選項獨立計分，每答對一個選項，

可得

1.6 分，每答錯一個選項，倒扣 1.6 分，完全答對得 8 分；整題未作答者，

不給分亦不倒扣分數。在備答選項以外之區域劃記，一律倒扣

1.6 分。倒扣到本

大題之實得分數為零為止。

4. 某 校高 三共 有 3 00 位學 生， 數學 科第 一次 段考 、第二 次 段 考成 績分 別以X 、 Y 表 示 ， 且 每 位 學 生 的 成 績 用0至 10 0 評 分。 若這 兩 次 段考 數學 科 成 績的 相關 係數 為 0 . 01 6 ， 試 問 下 列 哪 些 選 項 是 正 確 的 ？ ( 1) X 與 Y 的 相 關 情 形 可 以 用 散 佈 圖 表 示 ( 2 ) 這 兩 次 段 考 的 數 學 成 績 適 合 用 直 線 X  a bY 表 示 X與 Y 的 相 關 情 形( a b, 為 常 數， 0 b ) ( 3) X  與5 Y  的相關係數仍為0.0165 ( 4) 10X 與 10Y 的 相關 係數 仍為 0. 0 16 ( 5 ) 若 ' X X X X S   、 ' Y Y Y Y S   ， 其 中 X 、Y 分 別 為 X 、Y 的 平 均 數 ，S 、X S 分 別為 X 、Y Y 的標準差，則 X 與 '' Y 的相關係數仍為0.016

5. 設 P x 是一個五次實係數多項式。若 ( )( ) P x 除以 x 的餘式是2，且商 ( )3 Q x 是一個係 數 均 為 正 數 的 多 項 式 ， 試 問 下 列 哪 些 選 項 是 正 確 的 ？ ( 1) ( ) 0P x  與 ( ) 0Q x  有共同的實根 ( 2) 3 是 P x( ) 2 唯一的實根 ( 3) P x 不能 被( ) x 整除4 ( 4) ( ) 0P x  一定有小於3的實根 ( 5) P x 除以( )



x3

 

x3



的 餘 式 也 是2 6. 設 a 是不 為零 的實 數， 且以 下的 三 元 一次 方 程 組有 解： 3 5 2 3 5 4 3 2 1 2 3 x y y z x z a y z    _     _{ }    _{ }        試 問 下 列 哪 些 選 項 是 正 確 的 ？ ( 1) a2 ( 2) 原方 程組 有唯 一解 ( 3) 方程 組 3 5 2 3 2 x y x z a    _    _{ }  有 無窮 多解 ( 4) 方程 組 2 1 2 3 x z a y z  _{ }     _{ }  有 唯一 解 ( 5) 方程 組 3 5 2 3 5 4 3 x y y z    _     _{ }  有 無窮 多解

7. 有 關矩 陣 1 0 0 1 A_{ } _    與 矩 陣 1 3 2 2 3 1 2 2 B               ， 試 問 下 列 哪 些 選 項 是 正 確 的 ？ ( 1) AB BA ( 2) _{A B BA}2 _ 2 ( 3) _{A B}11 3_{B A}6 5 ( 4) _AB12 _A7 ( 5) _(ABA)15_{AB A}15 8. 考 慮坐 標平 面上 函數 _{y x} 3_{2x 的圖形(3} x_{為 任 意 實 數) ， 試問 下列 哪些 選項 是正 確} 的 ？ ( 1) 圖形 有最 高點 ， 也 有最 低點 ( 2) 圖形 有 水 平切 線 ( 3) 圖形 與 任 一水 平直 線 恰 有一 交點 ( 4) 若 ( , )a b 在圖形上，則 (  a, b 6) 也 在 圖 形 上 ( 5) 圖形 與三 直線 x0 ,x1,y 所圍成的區域之面積大於40

三 、 選 填 題

( 2 1 分 )

說明：

A 至 C 各題為選填題，劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號 (9–18)內。

每一題完全答對得

7 分，答錯不倒扣；未完全答對不給分。

A . 某 公司 共有 6個 工廠 ，各 工廠 的產 量都 一樣 ，且 所生 產的 產品 都放 進 同 一倉 庫中 。由 過 去 的 經 驗 知 道 ， 第 k 個 工 廠 的 產 品 不 良 率 為 50 k ， 其 中 k1,2,3,4,5,6 ， 為 了 檢 驗 倉 庫 中 這 一 批 產 品 的 品 質 ， 從 倉 庫 中 任 意 抽 出 一 件 ， 若 為 不 良 品 ， 則 此 不 良 品 是 來 自 第 五 個 工 廠 的 機 率 為 。 ( 化 成 最 簡 分 數 ) B . 在 坐 標 平 面 上 ， 一 圓 通 過 點 ( 2 , 7) ， 且 與 直 線 4x3y14 0 相 切於 點 ( 1, 6) ， 若 此 圓 的 方 程 式 為 _x2_y2_{ax by c   ，則 a  ， b  ， c  。0} C . 張 師 傅 想 為 公 司 設 計 底 面 為 正 方 形 且 沒 有 蓋 子 的 一 個 長 方 體 紙 盒 ， 裡 面 白 色 ， 外 面 灰 色 。 在 灰 色 部 分 的 面 積 為4 32 平方 公分 的限 制之 下， 為 了 使紙 盒的 容量 達 到 最大 ， 他 應 將 此 無 蓋 長 方 體 紙 盒 的 底 面 每 邊 邊 長 設 計 為 公分 。

─ ─ ─ ─ ─ ─ ─以下第貳部分的非選擇題，必須作答於答案卷 ─ ─ ─ ─ ─ ─

12 1 3 14 15 17 18 10 11 9 16

第 貳 部 分 ： 非 選 擇 題

(

佔

2 1 分

)

說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題

號

(一、二)與子題號((1)、(2))，同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。

每題配分標於題前。

一. 設 _{f x( )x}3_6x2_{ x 30， 且 a b 是方程式, f x( ) 0 的兩正根。} ( 1 ) ( 3 分) 求 解三 次方 程式 f x( ) 0 。 ( 2 ) ( 8 分) 若 ABC 中 ， AC a BC b ,  , _ACB120o_{， 且 D E 是 AB 上兩點，滿足,} , BD BC AE AC ， 試 求 CDE 的 面 積 。 二. 設 ABC 的 三 頂 點 坐 標 分 別 為 ( 2 , 7 , 15)A  、 (1 ,16 , 3)B 、C(10 , 7 , 3)。 ( 1 ) ( 5 分) 試 求通 過 A 、 B 、 C 三 點的 平面 方 程 式。 ( 2 ) ( 5 分) 試 求 ABC 的 外 心 坐 標 。