99年數學統測試題B(含解答)

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(1)

99 年數學統測試題B

(

) 1. 設

3x42x2 1 (a1)x4 (b 1)x3 (c 1)x2(d3)x (e 4)

, 則

a b c d e    

?   (A)1

(B)2 (C)3 (D)4。

    解 析 : 令x 代入原式  3 2 1 (1    a     1) (b 1) (c 1) (d  3) (e 4) a b c d e     。4

(

) 2. 已知平面上三點

A(2,1)

B(1,3)

C(4, )k

,若線段

AB

AC

垂直,則

k

? (A)1 (B)2

(C)3 (D)4。

    解 析 : 3 1 2 1 2 AB m      , 1 1 4 2 2 AC k k m      ∵ AB AC mABmAC   1 1 ( 2) ( ) 1 2 k     k   ∴1 1 k 。2

(

) 3. 設集合

A

a b c d, , ,

,集合

B

x y z, ,

。若集合 A 之子集合個數有 p 個,集合 B 之子集合

個數有 q 個,則

p q 

? (A)2 (B)4 (C)6 (D)8。

    解 析 : 集合 A 有 4 個元素  p2416;集合 B 有 3 個元素  q23 ,故8 p q  。8

(

) 4. 求

30 1

(3

2)

k

k

? (A)1320 (B)1325 (C)1330 (D)1335。

    解 析 : 30 1 (3 2) k k   

1 4 7  88 30 (1 88) 1335 2    。

(

) 5. 設 m , n 為正奇數,則

(sin

)

2

(cos

)

2

2

n

m

 

 ? (A)0 (B)1 (C)2 (D)3。

    解 析 : m , n 為正奇數  sinm  , cos0 0 2 n ,故原式0202 。0

(

) 6. 設

A( 1, 2)

B(2,6)

為坐標平面上兩點,且 C 為線段

AB

上一點,使得

2AC3BC

。求 A

與 C 兩點間之距離為何? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。

    解 析 : 2AC3BCAC BC: 3: 2,如圖,即 3 5 ACAB, 又AB ( 1 2)  2(2 6) 2  ,故得5 3 3 5 ACAB 。

(

) 7. 若點

A(sec , tan )

 在第四象限內,則角度  為第幾象限角? (A)一 (B)二 (C)三 (D)

四。

    解 析 :∵點 (sec , tan )A   在第四象限內  sec 0 tan 0             在第一或第四象限內 在第二或第四象限內 ∴ 為第四象限角。

(

) 8. 設

0 

 

, 若

sin

cos

2

, 則

1

1

sin

cos

 ?   (A)

2

  (B)

2 2

  (C)

3 2

  (D)

4 2

   

解 析 : (sincos ) 2( 2)2  1 2sin cos  2 sin cos 1

2   故得 1 1 cos sin 2 2 2 1

sin cos sin cos

2            ~1~ A ( 1 , 2 )C B ( 2 , 6 ) 3 : 2

(2)

(

) 9. 若ABC 中,

sin A

:

sin B

:

sin C

1:

3

:2,則

sinAcosBsinC

? (A)1 (B)2 (C)3

(D)4。

   

解 析 : sin A : sin B : sin C  a : b : c  1: 3 :2    ,A 30    ,B 60   C 90

故得 sinAcosBsinCsin 30 cos 60 sin 90 1 1 1 2

2 2

    。

(

)10. 若ABC 中,

BC6

AC2 3

,且

 A 60

,則

ABC 之面積為何? (A)

2 3

 (B)

4 3

 (C)

6 3

 (D)

8 3

    解 析 : 由正弦定理知: sin sin a b AB  6 2 3 sin 60sin B  1 sin 2 B    或150 (不合∵此時C 30    A C 180 ) ∴ C 180        ABC 為直角,故ABC 面積60 30 90 1 2 3 6 6 3 2     。

(

)11. 設

f (x)

為 x 之多項式,且

f (x)

除以

(x1)2

之餘式為

1 x

,則

f(x)

除以

x1

之餘式為何?

 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。

    解 析 : 由餘式定理可知: (1)f 為 ( )f x 除以x 之餘式1 由除法定理可設 f x( ) ( x1)2q x( ) ( x ,故得1) f(1) (1 1)  2q(1) (1 1) 2   。

(

)12. 已 知

x0

y0

2x y 20

, 求

x y 6

之 最 小 值 為 何 ?   (A)16   (B)17   (C)18

(D)19。

    解 析 : 圖示可行解區域得二頂點坐標為 (0, 20) , (10,0) 目標函數為 ( , )f x y     x y 6 ( , )x y ( 0 , 2 0 ) 2 6 f x y ( , ) ( 1 0 , 0 ) 1 6 ∴ ( , )f x y 的最小值為 16。

(

)13. 已知直線

L1: 3x4y 3 0

L2: 2x3y13 0

L x y3:   1 0

,求

L2

L3

之交點到直線

1 L

之距離為何? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。

    解 析 : 解 2 3 13 0 1 0 x y x y          得L 和2 L 交點為 (2, 3)3   點 (2, 3) 到直線L1:3x4y  的距離:3 0 | 6 12 3|2 2 15 3 5 3 ( 4) d        。

(

)14. 解方程式

16x4x 2 0

,則

x

? (A)

1

8

 (B)

1

4

 (C)

1

2

 (D)1。

    解 析 : 原式  (4 )x 24x    (42 0 x1)(4x 2) 0 ∵ 4x   ∴ 40 x    41 0 x  2 0 2 1 2 x   ∴2 1 2 x 。

(

)15. 求

log4 8 log 9 243

? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。

    解 析 : 原式 2 2 3 5 2 2 2 3 log 2 log 3   2 3 3 5 2 log 2 2 log 3 2 2      。3 54 4 2

(

)16. 設

x x f( )3

,若

f a( ) 1

f b( ) 2

,則

f(a )b

? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。

    解 析 : f a( ) 1  ( ) 3 1f a a  ; ( ) 2f b   ( ) 3f b b2f a b( ) 3 (a b )3a3b    。1 2 2

(

)17. 設某生之考試成績,國文、英文及數學三科分別為 76、81 與 90。若三科權數分別為 3、2

及 x,且加權平均分數為 80 分,則

x

? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。

~2~ y x ( 1 0 , 0 ) O 2x y 2 0 ( 0 , 2 0 )

(3)

    解 析 : 3 76 2 81 90 80 3 2 x W x           x 。1

(

)18. 擲一公正骰子三次。已知第一次擲出 6 點,求三次投擲中至少有二次擲出 6 點的機率為

何? (A)

11

36

 (B)

13

36

 (C)

17

36

 (D)

19

36

    解 析 : 設事件 A:表示第一次擲出 6 點 設事件 B:表示三次投擲中至少有二次擲出 6 點A

(6,1,1),(6,1,2),(6,1,3), ,(6,6,6)

,  A B

(6,6,1),(6,6,2), ,(6,6,5),(6,1,6),(6,2,6), ,(6,5,6),(6,6,6)

( ) 1 6 6 36 n A      , (n A B ) 1 5 2 1 1 1 11       (含 2 個 6 點及 3 個 6 點的情形) ∴ ( | ) ( ) 11 ( ) 36 n A B P B A n A    。

(

)19. 求

(2x y )6

的展開式中,

x y2 4

項之係數為何? (A)24 (B)30 (C)36 (D)60。

    解 析 : 6 (2x y ) 展開式中的「一般項」為 6(2 )6 r r r C xy  6(2)6 r 6 r r r Cxy ∵求 2 4 x y 的係數 r  ∴4 2 4 x y 的係數 6 6 4 4(2) 60 C    。

(

)20. 有一排椅子,共有 5 個座位。今有甲、乙、丙、丁、戊共 5 人,各選一個位子坐,但甲、乙、

丙三人必需相鄰,試問共有幾種坐法? (A)24 (B)30 (C)36 (D)60。

    解 析 : 甲乙丙:將甲、乙、丙三人視為一體 甲乙丙丁戊:先排  3! 甲、乙、丙三人可互換位置  3!  共計 3! 3! 36  。

(

)21. 設直線 L 與圓:

x2y26x4y12

相切於點

( 6, 2)

,則點

(1,1)

到直線 L 的距離為何?

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5。

    解 析 :∵ ( 6,2) 在圓上 ∴由切線公式得 6 2 6 ( 6) 4 2 12 2 2 x y x y            :3L x4y26 0 點 (1,1) 到直線 L 的距離: | 3 4 26 |2 2 255 5 3 ( 4) d        。

(

)22. 設  ,  為行列式方程式

2

2

4 6

1

2 4

0

2 5 7

x

x

的兩個根,則  

 

? (A)

1

2

 (B)

1

2

 (C)

3

2

 (D)

5

2

    解 析 : 2 2 4 6 1 2 4 0 2 5 7 x x     2 ( 1) 1 2 3 2 1 2 4 0 2 5 7 x x       2 1 2 3 2 0 1 0 2 5 7 x x   ( ) 2 3 21 2 0 5 7 2 5 x x     2x2   x 1 0 由根與係數關係知: 1 2     。

(

)23. 求無窮等比級數

1

1

1

3 1 3

3 3 3 3

 ? (A)

3

4

 (B) 3

3

 (C) 5 3

12

 (D) 3

2

~3~

(4)

    解 析 : 1 3 1 a  , 1 1 3 3 1 3 3 1 r     | | 1r  ,由公式 1 a S r    1 3 3 1 1 2 1 3 S    。

(

)24. 設向量

a (cos 75 cos15 ,sin 75  sin15 )

,則向量的長度

| a | 

? (A)

3

 (B)2 (C)

5

 (D)

6

   

解 析 : 解一 (不須利用sin15 , sin 75 之值即可求出)

作圖如右,O A (cos 75 ,sin 75 )  ,

A B (cos15 ,sin15 )  ,|O A | | A B | 1 ,

aO AA BO B (cos75 cos15 ,sin 75  sin15 )

OAB120 ,利用餘弦定理: |a |2| O B | 12     2 12 2 1 1 cos120  ,故 |3 a | 3。 解二 (利用sin15 6 2 4    ,sin 75 6 2 4    ) 1 6 2 sin15 cos75 4 6 2        2 8 2 12 ( 6 2) 6 2 AB      |a | 2 2

(cos 75 cos15 ) (sin 75 sin15 )

       

2 2 2 2

(cos 75 2cos75 cos15 cos 15 ) (sin 75 2sin 75 sin15 sin 15 )

             

2 2 2 2 6 2 6 2 6 2 6 2

(sin 75 cos 75 ) (sin 15 cos 15 ) 2( )

4 4 4 4                 1 1 1 3     。

(

)25. 已知向量

a  ( 1, 2)

b (1, )x

,且向量

a

b

的夾角為

4

,則

x

? (A)1 (B)2 (C)3

(D)4。

    解 析 : ab        ( 1) 1 2 x 1 2x 又 |a | ( 1) 222  5, | b | 1 x 2 ab |a || b | cos 45  1 2 5 1 2 2 2 x x         2 4x 10(1x2)3x2 8x  3 0 x ,3 1 3  (代入驗算不合),故選(C)。 ~4~ A C B D 3 0 ° 6 0 ° 1 5 ° 1 5 ° 2 3 2 1 6 2  y x O A B 7 5 ° 1 1 a 1 5 °

數據

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參考文獻

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