99 年數學統測試題B
(
D
) 1. 設
3x42x2 1 (a1)x4 (b 1)x3 (c 1)x2(d3)x (e 4), 則
a b c d e ? (A)1
(B)2 (C)3 (D)4。
解 析 : 令x 代入原式 3 2 1 (1 a 1) (b 1) (c 1) (d 3) (e 4) a b c d e 。4(
B
) 2. 已知平面上三點
A(2,1),
B(1,3)及
C(4, )k,若線段
AB及
AC垂直,則
k? (A)1 (B)2
(C)3 (D)4。
解 析 : 3 1 2 1 2 AB m , 1 1 4 2 2 AC k k m ∵ AB AC mABmAC 1 1 ( 2) ( ) 1 2 k k ∴1 1 k 。2(
D
) 3. 設集合
A
a b c d, , ,
,集合
B
x y z, ,
。若集合 A 之子集合個數有 p 個,集合 B 之子集合
個數有 q 個,則
p q ? (A)2 (B)4 (C)6 (D)8。
解 析 : 集合 A 有 4 個元素 p2416;集合 B 有 3 個元素 q23 ,故8 p q 。8(
D
) 4. 求
30 1(3
2)
kk
? (A)1320 (B)1325 (C)1330 (D)1335。
解 析 : 30 1 (3 2) k k
1 4 7 88 30 (1 88) 1335 2 。(
A
) 5. 設 m , n 為正奇數,則
(sin
)
2(cos
)
22
n
m
? (A)0 (B)1 (C)2 (D)3。
解 析 : m , n 為正奇數 sinm , cos0 0 2 n ,故原式0202 。0(
C
) 6. 設
A( 1, 2),
B(2,6)為坐標平面上兩點,且 C 為線段
AB上一點,使得
2AC3BC。求 A
與 C 兩點間之距離為何? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。
解 析 : 2AC3BC AC BC: 3: 2,如圖,即 3 5 AC AB, 又AB ( 1 2) 2(2 6) 2 ,故得5 3 3 5 AC AB 。(
D
) 7. 若點
A(sec , tan )
在第四象限內,則角度 為第幾象限角? (A)一 (B)二 (C)三 (D)
四。
解 析 :∵點 (sec , tan )A 在第四象限內 sec 0 tan 0 在第一或第四象限內 在第二或第四象限內 ∴ 為第四象限角。(
B
) 8. 設
0
, 若
sin
cos
2, 則
1
1
sin
cos
? (A)
2(B)
2 2(C)
3 2(D)
4 2
。
解 析 : (sincos ) 2( 2)2 1 2sin cos 2 sin cos 1
2 故得 1 1 cos sin 2 2 2 1
sin cos sin cos
2 。 ~1~ A ( 1 , 2 ) C B ( 2 , 6 ) 3 : 2
(
B
) 9. 若ABC 中,
sin A:
sin B:
sin C1:
3:2,則
sinAcosBsinC? (A)1 (B)2 (C)3
(D)4。
解 析 : sin A : sin B : sin C a : b : c 1: 3 :2 ,A 30 ,B 60 C 90
故得 sinAcosBsinCsin 30 cos 60 sin 90 1 1 1 2
2 2
。
(
C
)10. 若ABC 中,
BC6,
AC2 3,且
A 60,則
ABC 之面積為何? (A)
2 3(B)
4 3
(C)
6 3(D)
8 3。
解 析 : 由正弦定理知: sin sin a b A B 6 2 3 sin 60sin B 1 sin 2 B 或150 (不合∵此時C 30 A C 180 ) ∴ C 180 ABC 為直角,故ABC 面積60 30 90 1 2 3 6 6 3 2 。(
B
)11. 設
f (x)為 x 之多項式,且
f (x)除以
(x1)2之餘式為
1 x,則
f(x)除以
x1之餘式為何?
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4。
解 析 : 由餘式定理可知: (1)f 為 ( )f x 除以x 之餘式1 由除法定理可設 f x( ) ( x1)2q x( ) ( x ,故得1) f(1) (1 1) 2q(1) (1 1) 2 。(
A
)12. 已 知
x0,
y0且
2x y 20, 求
x y 6之 最 小 值 為 何 ? (A)16 (B)17 (C)18
(D)19。
解 析 : 圖示可行解區域得二頂點坐標為 (0, 20) , (10,0) 目標函數為 ( , )f x y x y 6 ( , )x y ( 0 , 2 0 ) 2 6 f x y ( , ) ( 1 0 , 0 ) 1 6 ∴ ( , )f x y 的最小值為 16。(
C
)13. 已知直線
L1: 3x4y 3 0,
L2: 2x3y13 0,
L x y3: 1 0,求
L2和
L3之交點到直線
1 L之距離為何? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。
解 析 : 解 2 3 13 0 1 0 x y x y 得L 和2 L 交點為 (2, 3)3 點 (2, 3) 到直線L1:3x4y 的距離:3 0 | 6 12 3|2 2 15 3 5 3 ( 4) d 。(
C
)14. 解方程式
16x4x 2 0,則
x? (A)
1
8
(B)
1
4
(C)
1
2
(D)1。
解 析 : 原式 (4 )x 24x (42 0 x1)(4x 2) 0 ∵ 4x ∴ 40 x 41 0 x 2 0 2 1 2 x ∴2 1 2 x 。(
B
)15. 求
log4 8 log 9 243? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。
解 析 : 原式 2 2 3 5 2 2 2 3 log 2 log 3 2 3 3 5 2 log 2 2 log 3 2 2 。3 54 4 2
(
B
)16. 設
x x f( )3,若
f a( ) 1且
f b( ) 2,則
f(a )b ? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。
解 析 : f a( ) 1 ( ) 3 1f a a ; ( ) 2f b ( ) 3f b b2 ∴ f a b( ) 3 (a b )3a3b 。1 2 2(
A
)17. 設某生之考試成績,國文、英文及數學三科分別為 76、81 與 90。若三科權數分別為 3、2
及 x,且加權平均分數為 80 分,則
x? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。
~2~ y x ( 1 0 , 0 ) O 2x y 2 0 ( 0 , 2 0 )解 析 : 3 76 2 81 90 80 3 2 x W x x 。1
(
A
)18. 擲一公正骰子三次。已知第一次擲出 6 點,求三次投擲中至少有二次擲出 6 點的機率為
何? (A)
11
36
(B)
13
36
(C)
17
36
(D)
19
36
。
解 析 : 設事件 A:表示第一次擲出 6 點 設事件 B:表示三次投擲中至少有二次擲出 6 點 則A
(6,1,1),(6,1,2),(6,1,3), ,(6,6,6)
, A B
(6,6,1),(6,6,2), ,(6,6,5),(6,1,6),(6,2,6), ,(6,5,6),(6,6,6)
( ) 1 6 6 36 n A , (n A B ) 1 5 2 1 1 1 11 (含 2 個 6 點及 3 個 6 點的情形) ∴ ( | ) ( ) 11 ( ) 36 n A B P B A n A 。(
D
)19. 求
(2x y )6的展開式中,
x y2 4項之係數為何? (A)24 (B)30 (C)36 (D)60。
解 析 : 6 (2x y ) 展開式中的「一般項」為 6(2 )6 r r r C x y 6(2)6 r 6 r r r C x y ∵求 2 4 x y 的係數 r ∴4 2 4 x y 的係數 6 6 4 4(2) 60 C 。(
C
)20. 有一排椅子,共有 5 個座位。今有甲、乙、丙、丁、戊共 5 人,各選一個位子坐,但甲、乙、
丙三人必需相鄰,試問共有幾種坐法? (A)24 (B)30 (C)36 (D)60。
解 析 : 甲乙丙:將甲、乙、丙三人視為一體 甲乙丙丁戊:先排 3! 甲、乙、丙三人可互換位置 3! 共計 3! 3! 36 。(
D
)21. 設直線 L 與圓:
x2y26x4y12相切於點
( 6, 2),則點
(1,1)到直線 L 的距離為何?
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5。
解 析 :∵ ( 6,2) 在圓上 ∴由切線公式得 6 2 6 ( 6) 4 2 12 2 2 x y x y :3L x4y26 0 點 (1,1) 到直線 L 的距離: | 3 4 26 |2 2 255 5 3 ( 4) d 。(
A
)22. 設 , 為行列式方程式
22
4 6
1
2 4
0
2 5 7
x
x
的兩個根,則
? (A)
1
2
(B)
1
2
(C)
3
2
(D)
5
2
。
解 析 : 2 2 4 6 1 2 4 0 2 5 7 x x 2 ( 1) 1 2 3 2 1 2 4 0 2 5 7 x x 2 1 2 3 2 0 1 0 2 5 7 x x ( ) 2 3 21 2 0 5 7 2 5 x x 2x2 x 1 0 由根與係數關係知: 1 2 。(
D
)23. 求無窮等比級數
1
1
1
3 1 3
3 3 3 3
? (A)
3
4
(B) 3
3
(C) 5 3
12
(D) 3
2
。
~3~解 析 : 1 3 1 a , 1 1 3 3 1 3 3 1 r | | 1r ,由公式 1 a S r 1 3 3 1 1 2 1 3 S 。
(
A
)24. 設向量
a (cos 75 cos15 ,sin 75 sin15 ),則向量的長度
| a | ? (A)
3(B)2 (C)
5
(D)
6。
解 析 : 解一 (不須利用sin15 , sin 75 之值即可求出)
作圖如右,O A (cos 75 ,sin 75 ) ,
A B (cos15 ,sin15 ) ,|O A | | A B | 1 ,
則a O A A B O B (cos75 cos15 ,sin 75 sin15 )
OAB120 ,利用餘弦定理: |a |2| O B | 12 2 12 2 1 1 cos120 ,故 |3 a | 3。 解二 (利用sin15 6 2 4 ,sin 75 6 2 4 ) 1 6 2 sin15 cos75 4 6 2 2 8 2 12 ( 6 2) 6 2 AB |a | 2 2
(cos 75 cos15 ) (sin 75 sin15 )
2 2 2 2
(cos 75 2cos75 cos15 cos 15 ) (sin 75 2sin 75 sin15 sin 15 )
2 2 2 2 6 2 6 2 6 2 6 2
(sin 75 cos 75 ) (sin 15 cos 15 ) 2( )
4 4 4 4 1 1 1 3 。