必歐-沙伐定律的相對論性之推導
黃光照
臺北市立第一女子高級中學壹、前言
電 流 產 生 磁 場 的 規 律 ， 是 由 法 國 兩 位 物 理 學 家 必 歐 和 沙 伐(Biot-Savart)， 研 究 分 析 很 多 實 驗 的 資 料 總 結 出 來 的 ， 稱 必 歐-沙 伐 定 律 。 我 們 知 道 靜 電 場 是 靜 止 電 荷 造 成 的 場 ， 磁 場 是 運 動 電 荷 產 生 的 場，然 而 靜 止 和 運 動 是 相 對 的 概 念。靜 止 於 一 慣 性 坐 標 系 內 的 電 荷 造 成 的 是 電 場，而 相 對 該 坐 標 系 作 等 速 度 運 動 的 另 一 慣 性 坐 標 系，卻 觀 察 到 了 磁 場，這 說 明 了 必 歐-沙 伐 定 律應 能 運 用 相對 論 的 勞 倫茲 變 換 推 導出 來 。貳、線性算符
ix
的變換
如 圖 1 所 示 ， 若坐 標 系 S (O x y z)以速度v
相 對 於 坐 標 系S (O x y z )沿 著 Ox 軸 正 方 向 作 等 速 直 線 運 動，三 對 坐 標 軸 分 別 平 行，且 t = t =0 時，原點 O 與 O 重合，根據光 速 不 變 原 理 和 相 對 性 原 理 可 導 出 勞 倫 茲 坐 標 變 換 ： 圖 1、 勞 倫茲 坐 標 變 換 o o p(x,y,z,t) vt y y x x (x,y,z,t)2
(
)
(
)
x
x vt
y
y
z
z
v
t
t
x
c
2(
)
(
)
x
x
vt
y
y
z z
v
t
t
x
c
··· (1) 其 中 2 1/2 2(1
v
)
c
因x x x t( , ) ，tt x t( , ) ，根 據 偏 微 分 的 性 質 可 導 出 線 性 算 符 ix
的 變 換 關 係 如 下： 2(
)
(
)
x
t
v
x
x x
t x
x
c
t
y
y
z
z
x
t
v
t
x
t
t
t
t
x
··· (2)參、電流面密度
j
和電荷體密度
的相對論性變換
根 據 電 荷 守 恆 定 律 和 線 性 算 符 ix
的 變 換 式(2)可 導 出j
和
的 相 對 論 性 變 換 。 電 荷 守 恆 定 律 為 ：0
t
j
[註1] ··· (3a) 或j
xj
yj
z0
x
y
z
t
··· (3b) 由 相 對 性 原 理 知 電 荷 守 恆 定 律 在 系 S 中也應有相同的形式 0 t j ··· (4a)
或j
xj
yj
z0
x
y
z
t
··· (4b)
稍 後 會 證 明(3a)與(4a)具 有 相同 的 物 理 形式 所 代 表 的物 理 意 義 是電 荷 在 相 對論 性 的 轉 換下具 有 不 變 量 。 將(2)式代 入 (3b)式可 得 ： 2
(
)
y z(
)
0
xj
j
v
j
v
x
c
t
y
z
t
x
即 2
[ (
)]
y z[ (
)] 0
x xj
j
v
j
v
j
x
y
z
t
c
將 上 式 與(4b)式 對比 ， 可 得 ：(
)
x xj
j
v
··· (5a) y yj
j
··· (5b) z z j j ··· (5c) 2(
v
j
x)
c
··· (5d) 同 理 ， 寫 出
和
j
的 逆 變 換 式(
)
x xj
j
v
··· (6a) y yj
j
··· (6b) z zj
j
··· (6c) 2(
v
j
x)
c
··· (6d) 現 在 證 明 電 荷 在 相 對 論 性 的 轉 換 下 具 有 不 變 性 。 假 設 靜 止 在 系 S 內有一無限小的體 積dV
dx dy dz
，其 內 充 滿 著 電 荷 體 密 度
，因 電 荷 係 靜 止，故
j
0
，得
。 設 在 系 S 內的觀察者測得電荷q
dV
dx dy dz
， 而 在 系 S 內 的 觀 察者 測 得 電 荷q
dV
dxdydz
。 又dx
1
dx
(長 度 收 縮 )、dy dy、dz dz
並 將
式 代 入q
， 得q
(
1
dx dy dz
)
q
。肆、電磁場向量
E、
B的相對論性變換
先 寫 出 系 S 中 的 Maxwell 方 程 0 0 0E
B
j
t
··· (7)∙
0 ··· (8) 的 三 維 分 量 形 式 ， 又 0 01
2c
， 得 0 21
y x z xB
E
B
j
y
z
c
t
··· (9a) 0 21
y x z yE
B
B
j
z
x
c
t
··· (9b) 0 21
y x z zB
B
E
j
x
y
c
t
··· (9c) 0 y xE
zE
E
x
y
z
··· (9d) 由 相 對 性 原 理 在 系 S 中也應有： 0 21
y x z xB
E
B
j
y
z
c
t
··· (1 0 a) 0 21
y x z yE
B
B
j
z
x
c
t
··· (10b) 0 21
y x z zB
B
E
j
x
y
c
t
··· (10c) 0 y xE
zE
E
x
y
z
··· (10d) 將 變 換 式(2)及 式(6b)代 入(9b)式 ， 得 0 2 21
(
)
(
)
x z y yB
v
B
v
E
j
z
x
c
t
c
t
x
整 理 後 得 0 2 2
1
[ (
)]
[ (
)]
x z y y z yB
v
B
E
E
vB
j
z
x
c
c
t
將 上 式 與(10b)式比 較 有 2(
)
(
)
x x z z y y y zB
B
v
B
B
E
c
E
E
vB
··· (I) 將 變 換 式(2)和 式(6c)代 入(9c)式 ， 得 0 2 21
(
)
x(
)
y z zB
v
B
v
E
j
x
c
t
y
c
t
x
整 理 後 得 0 2 21
[ (
)]
x[ (
)]
y z z y zB
v
B
E
E
vB
j
x
c
y
c
t
將 上 式 與(10c)式 比 較 有 2(
)
(
)
x x y y z z z yB
B
v
B
B
E
c
E
E
vB
··· (II) 將 變 換 式(2)和 式(6a)代 入(9a)式 ， 得 0 21
(
)
(
)
y z x xB
B
v
E
j
v
y
z
c
t
x
兩 邊 乘 以並整理得 2 2 2 0 2 2(
)
y x x z xB
E
E
B
v
j
v
y
z
c
x
c
t
··· (11) 將 變 換 式(2)及(6d)式 代 入(9d)式 有 2 2 0(
)
y z(
)
x xE
E
v
v
E
j
x
c
t
y
z
c
兩 邊 乘 以
v
2c
並 整 理 得 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 0(
)
y z x x xE
E
E
E
v
v
v
v
v
v
j
c
y
c
z
c
x
c
t
c
c
··· (12) 將(11)式 +(12)式， 並 注 意 到 2 2 1 2(1
v
)
c
， 0 01
2c
有 0 2 2 21
[ (
)]
[ (
)]
x z y y z xE
v
v
B
E
B
E
j
y
c
z
c
c
t
將 上 式 與(10a)式 比 較 ， 可 得 2 2(
)
(
)
x x y y z z z yE
E
v
B
B
E
c
v
B
B
E
c
··· (III) 由(I)、(II)和 (III)式 ， 我 們 已完 全 得 到 了電 磁 場 的 變換 公 式 如 下：(
)
(
)
x x y y z z z yE
E
E
E
vB
E
E
vB
2 2(
)
(
)
x x y y z z z yB
B
v
B
B
E
c
v
B
B
E
c
··· (IV) 其 逆 變 換 為(
)
(
)
x x y y z z z yE
E
E
E
vB
E
E
vB
2 2(
)
(
)
x x y y z z z yB
B
v
B
B
E
c
v
B
B
E
c
··· (V)伍、
運動電荷的電磁場
設 有 一 個 帶 正 電 的 點 電 荷 q 靜 止 在 慣 性 系 S 的原點 O 處，系 S 相對於慣性系 S 以 速 度v
沿 x 軸 方 向運 動，三 對坐 標 軸 分 別平 行，且 t = t =0 時，原點 O 與 O 重合，如圖 2 所 示 。 圖2、 系 S相對系 S 以v
向 右 運 動 系 S 內的觀察者認為空間只有靜電場，t 時刻系 S 內空間任一點 P 處的電場、磁場 為 3 04
q
E
r
r
，B
0
即 3 04
xqx
E
r
，
3 04
yqy
E
r
，
3 04
zqz
E
r
；
B
x
B
y
B
z
0
系 S 內 的觀 察 者認 為 點 電荷 q 以速 度v
沿 x 軸 方 向 運動 ， 除 產 生電 場 外 ， 還產 生 磁 場 。 利 用(V)式 電磁 場 的 相 對論 變 換 ， 得 系 S 的E、B： 3 0 3 0 3 04
4
4
x x y y z zqx
E
E
r
qy
E
E
r
qz
E
E
r
2 3 0 2 3 00
4
4
x y zB
v
qz
B
c
r
v
qy
B
c
r
注 意 到r
(
x
2
y
2
z
2 1/2)
[ (
2x vt
)
2
y
2
z
2 1/2]
P y y (x,y,z) O O x x z z vt q 2 2 2 2 3/2 0 2 2 2 2 3/2 0 2 2 2 2 3/2 0
(
)
4
[ (
)
]
4
[ (
)
]
4
[ (
)
]
x y zq x vt
E
x vt
y
z
qy
E
x vt
y
z
qz
E
x vt
y
z
2 20
x y z z yB
v
B
E
c
v
B
E
c
··· (VI) 由 此 可 見 ， 系 S 中 觀 察 到 以等 速 度v
運 動 的 電 荷q 產 生 的場 為 兩部 分 ： 第 一 部 分 是 運 動 電 荷 q 造 成的 電 場 x y zE E i
E j E k
它 與 靜 電 場 是 不 一 樣 的，沒 有 中 心 對 稱 性，如 圖 3 所 示，描 述場 的 電 力 線密 集 於 電 荷 運 動 的 垂 直 方 向 ， 且 密 集 程 度 與 電 荷 q 運動 速 度 密切 相 關 。 第二 部 分 是 運動 電 荷 q 造 成 的 磁 場 ， 將(VI)式 的磁 場 公 式寫 成 向 量 式為 21
B
v E
c
··· (13) 圖 3、 等 速運 動 點 電 荷 q 所 生 的 電場 、 磁 場 當 電 荷 低 速 運 動 時 ，
1 由 (VI)式 得 q 磁 力 線 電 力 線2 2 2 3/2 0 2 2 2 3/2 3 2 0 0 0 2 2 2 3/2 0
(
)
4
[(
)
]
=
4
[(
)
]
4
4
4
[(
)
]
x y r zq x vt
E
x vt
y
z
qy
q
q
E
E
r
e
x vt
y
z
r
r
qz
E
x vt
y
z
··· (14) 其 中e
rr
r
r
r
。 將(14)式 代 入(13)式 ， 得 0 2 2 2 04
r4
rq
q
B
v e
v e
c r
r
··· (15) B 垂 直 於v
與e
r組 成 的 平 面，磁 力 線 是 以 運 動 方 向 為 軸 的 一 組 同 心 圓，如 圖 3 所 示。陸、電流源所生的磁場
如 圖 4 所示 ， 以 I 表示 電 流源 上 的 電 流， 以dl
表 示 該 段 電 流 源 向 量 ， 其 長 度 為dl
、 方 向 為 電 流 的 方 向 ，A 表 示其 截 面 積 。以 n 表 示 電流 源 中 的 載子(如 金 屬 導線 中 的 自 由電 子)的數 量 密 度，則 其 中 的 載子 總 數 為 nAdl。以 q 表 示 每個 載 子的 電 量，並設 想 它 們 都以 漂 移 速 度v
運 動 。 由(15)式 並根 據 疊 加 原理 ， 距 離 電流 源r
處 之 P 點 的總 磁 場B為 2 2A
A
4
4
o o r rq
d B n dl
v e
qn dlv e
r
r
又I
dQ
qn vdt
A
qn v
A
dt
dt
， 且dl
方 向 與v
相同 ， 所 以 24
o rI
d B
dl e
r
上 式 即 所 謂 的 必 歐-沙 伐 定 律。圖 4、 電 流源 激 發 的 磁場
柒、
結論
本 文 在 推 導 電 磁 場 相 對 論 性 的 變 換 時，運 用 了 微 積 分 的 連 鎖 律 和 勞 倫 茲 變 換 推 導 出 線 性 算 符 ix
的 變 換。其 次，再 根 據 相 對 論 性 原 理，即 普 遍 的 物 理 規 律 在 不 同 的 慣 性 坐 標 系 中 應 有 相 同 的 形 式，經 由 電 荷 守 恆 定 律、線 性 算 符 的 變 換 式 和 電 荷 是 一 相 對 論 性 的 不 變 量， 進 一 步 導 出 了 電 流 面 密 度
j
和 電 荷 體 密 度
的 相 對 論 性 變 換 。 最 後 再 配 合 Maxwell 方 程 得 出 電 磁 場 的 相 對 論 性 的 變 換。在 此 變 換 公 式 中 得 知 電 磁 場 是 一 個 統 一 的 整 體，而 在 相 對 於 靜 止 的 電 場 源 做 等 速 運 動 的 慣 性 坐 標 系 中 便 自 然 而 然 地 出 現 磁 場 。 因 此 必 歐-沙 伐 定 律 是 能 從 靜 電 場 的 庫 倫 定 律 運 用 相 對 論 的 勞 倫 茲 變 換 推 導 出 來，磁 場 力 是 電 場 力 的 一 種 相 對 論 性 效 應 。備
註
註1：在電 荷 守 恆下，電 流 面密 度
j
與 電 荷 體 密 度
的 關 係：假 設 在 空 間 中 有 電 荷 在 流 動， 取 一 個 封 閉 曲 面 A 如 圖 5 所 示，這 時 候 A 裡 面 的 電荷 量 就 等 於 VV
d
，其 中 的V 是 封 閉 面 積 A 所 包 圍的 體 積，所 以 這 裡面 的 電 荷 量隨 時 間 的 改變 量 為 VV
d
t
。 磁 力 線 P I圖 5、 電 流面 密 度 j與 電 荷 體 密 度 的關係 另 一 方 面 ， 電 荷 的 流 進 或 流 出 ， 造 成 該 區 域 的 電 荷 量 隨 時 間 的 改 變 量 為 。 由 於 電 荷 守 恆 ， 因 此 dV j nda t ˆ A V
