行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
二次式變化之時間域邊界元素法於三維多領域彈動力問題
之研究(II)
計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC91-2211-E-009-042- 執行期間： 91 年 08 月 01 日至 92 年 07 月 31 日 執行單位： 國立交通大學土木工程學系 計畫主持人： 劉俊秀 報告類型： 精簡報告 處理方式： 本計畫可公開查詢中 華 民 國 92 年 12 月 16 日
行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
二次式變化之時間域邊界元素法於三維多領域彈動力問題之研究
(II)
Quadratic time domain BEM for 3-D multi-region elastodynamic
problems (II)
計畫編號：
NSC 91-2211-E-009-042
執行期限：91 年 8 月 1 日至 92 年 7 月 31 日
主持人：劉俊秀 交通大學土木工程系 教授
一、中文摘要 本文提出「兩個短時階內位移呈二次 式變化，同時段，曳引力呈線性變化」之 假設。在經此精確的模擬位移與曳引力後 可得到一系列濃縮褶積核心函數。引進所 謂次結構觀念，利用多領域交界處之力平 衡與位移諧和兩項關係，推導可求解多領 域暫態彈動力問題之數值式。文中皆使用 二次元素來切割邊界，並探討積分過程中 所衍生的相關問題。 關鍵詞：時間域邊界素法、濃縮褶積核心 函數、QL 方法、多領域 AbstractIn this paper, a time-domain multi-region boundary element method formulation is presented. Quadratic variation for displacement field in two consecutive time steps and linear variation for traction field in each time step are assumed in the BEM formulations. Then 3-D transient condensed convoluted kernel functions are derived. Next, sub-structure procedure is employed and two conditions at interface between each sub-region, one is equilibrium equation and the other is compatibility equation, are applied. Also, quadratic
element for spatial coordinates is employed in the numerical scheme. Sub-element is used while encountering singular integration and one must pay attention particularly to mesh or sub- domain pattern in the presented method.
Key words: Time-domain BEM, convoluted
kernel functions, QL method, Multi-region 二、目的 在時間域邊界元素法中，三維彈動力 問題的基本解存在δ函數(Dirac function) 以及它分別對時間作一次與二次微分後的 函數。因此本文作了「兩單位短時階內位 移呈現二次式變化，而此同時曳引力呈現 線性變化」的假設去推導出控制暫態彈動 力問題的邊界數值式。本文命之為 QL 方 法。顧名思義，就是將三維動力基本解之 核心與假設的時間形狀函數對時間作褶積 步驟（Reimann convolution integral）後所 產生的一系列濃縮褶積核心函數。此方法 最後多以參數 l t c ∆ = 1 β 來評估數值結果 之表現。由於有褶積之步驟，文獻中曾見 到不同的處理方式，本文亦提出來探討與 本方法不同之處，以供思考。 同時，以「次結構」的觀念發展「多 領域的式子」來處理不同材料性質的工程
問題與在離散化過程中，對遇到的困擾設 法提出解決之道乃本研究之目的。 三、結果與討論 利用二次元素（圖1.1）對邊界積分式 進行切割，以形狀函數Nc
( )
ξ1,ξ2 （附錄七） 模擬在第m 個元素上的位移及曳引力，可 近似如下： ( )∑
( ) = = ∆ 8 1 2 2 1, 2 , c nmc i c m i x n t N u u ξ ξ (1) ( )∑
( ) = = ∆ 8 1 2 2 1, 2 , c nmc i c m i x n t N t t ξ ξ (2) 其中 nmc i nmc i t u2 、 2 是當時刻為2n∆t時， 於元素中c節點上的位移量和曳引力值， 利用此兩近似之式，經元素切割後的積分 形式如下：( )
∑∑∑ ∫ ∫
{
[
]
= = = + − + − − + − + = K n M m c m c n K LBij n K LFij nmc i N i iju t G G N J d d c 1 1 8 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 ξ ξ ξ ( )[
]
∫ ∫
−+ + − + − + − − + + 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 ξ ξ d d J N G G t c m n K LBij n K LFij mc n i[
]
∫ ∫
−+ + − − + − + − 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ξ ξ d d J N F F u m c n K QBij n K QFij nmc i ( )∫ ∫
+[
]
}
− + − + − − − 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 ξ ξ d d J N F u c m n K QMij mc n i (3) ( )∑ ∑
{
∫ ∫
[
]
= = + − + − + + = M m c m c K LBij K LFij mc i N i iju t G G N J d d c 1 8 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 ξ ξ ξ[
]
∑
∫ ∫
= + − + − + − + − + + K n m c n K LBij n K LFij nmc i G G N J d d t 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 ξ ξ ( )[
]
+ + +∫ ∫
−+1−+ − + − 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 ξ ξ d d J N G G t m c n K LBij n K LFij mc n i[
]
∫ ∫
−+ + − + + − 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 ξ ξ d d J N F F u c m K QBij K LFij mc i[
]
∑
∫ ∫
= + − + − + − − K n m c n K QMij nmc i F N J d d u 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ξ ξ ( )[
]
+ +∫ ∫
+ − + − − + − + 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 ξ ξ d d J N F F u c m n K QBij n K QFij mc n i (4) 接下來持續把位於邊界上的每一點x 依次當成ξ點對上述兩式子作collocation 運算，依次會得到一組代數方程式，T=N △t時刻的全部代數方程式若寫成以矩陣 型態可表示如下：[ ]
{ }[ ]
{}∑
−(
[ ]
{ }[ ]
{})
= − + − + − − = 1 1 1 1 1 1 N n n N n n N n N N t G u F t G u F (5) 其中{u}、{t}為節點上的位移量與曳引力 值，在N△t時刻時，有一半是已知量而另 一半是未知量，若把上式未知的部分移至 等號左邊，經整理後的矩陣如下： [ ] { }N { }N [ ]N R y x A1 = + (6) 在上式中等號的右邊皆為已知，所以{ }
N x 就能順利求得。其中已知的邊界值與其所 對應在係數矩陣中的行數之值，這兩值相 乘後再相加的和就組成{ }
N y ，而[ ]
N R 在時 階每前進一步時就需要重新計算一遍，代 表的意義正是先前時間的歷史動力效應對 當前時階反應值的貢獻。 在計算過程中，對於非奇異元素之積 分，直接採用高斯點及對應之權值來積 分，因此只要增加高斯點即可增加精度。 對於奇異元素之積分，可引進新的插值點 視場點與源點相對距離狀況把原來的元素 在細分為4、5或6個次元素（圖1.2~1.4）， 於mapping後再以同於非奇異元素之方式 作積分，所得之值再加回至相對應之節 點。由於仍存在強奇異性的因素，[F]中對 角線次矩陣之值得採用如下的策略來解 決。為方便說明起見，在此假設奇異積分 發生在m=1之元素且α=1的節點上，對 角線3×3次矩陣部份，對靜力問題與暫態 動力問題而言，分別計算說明如下：∫
+ = 1 1 S st ij ij st ij c F N dS d (7)∫
+ = 1 1 S trans ij ij trans ij c F N dS d (8) 其中不連續項cij只與所處邊界的幾何形 狀有關連，兩式子中等號右邊第二項積分 是柯西的主值積分，又我們知道 trans ij F 具有 跟 st ij F 同樣的奇異性 2 1 r O ，因此上述兩 式結合後變成如下的式子：(
)
∫
− + = 1 1 S st ij trans ij st ij trans ij d F F N dS d (9) 其中 st ij d 可由利用著名的剛體運動之觀念 來計算，其數學上的意義代表線彈體位移變化維持常數，因此若假設線彈體在無形 變下（亦即無曳引力）以剛體運動移動一 位移u，則我們最初的邊界積分式中， ti=0，因此我們得到如下的關係： u dS N F dS N F u d M m S st ij S st ij st ij m + − =
∑ ∫
∑ ∑ ∫
= = = 2 8 1 8 2 1 α α α α (10) 兩端消去u後，則 st ij d 可順利被求出，其實 它就是矩陣內非對角線部份（非奇異元素） 同一列上的所有值變號後的和，而式子 （10）右邊第二項積分則不再是發散積分 的型態，可以直接以數值積分方式來處理。 所謂多領域，就是一區域是由數個不 同的材料特性之小區域所組成。在本文中 是利用次結構（sub-structure）的觀念來處 理多領域交界面處上的問題。因此在邊界 元素法的運算上，只是用交界面上所取的 點去運算，如此一來，邊界元素法運算上 的節點數可大量減少，其電腦運算時間可 能也為之縮短，最後再利用我們所建立的 交界面上所取的點和邊界上節點的關係， 去求得邊界上節點的未知值（位移和曳引 力）。 首先，考慮靜力問題：{ }
{ }
, =1,2, ,M m m m m STij j STij j F u G t m = L (11) 從式(11)出發，將其簡化後，圖2中的 m 區可寫成： m m m m m m oo oa o oo oa o m m m m m m ao aa a ao aa a F F u G G t F F u G G t = (12) m o u 、mt ：單一邊界(註：未與其他區域o 相鄰之線)上的位移和曳引力；部份(一半) 已知，部份(一半)未知。整理後，讓m o u 為 包含未知量之部份，m o t 為包含已知部份。 a m u 、mt ：交界面上的位移和曳引力，a 未知量。；其中{ }
m o u 為未知數，但{ }
m o t 為已知量，將式(12)其簡化後{ }
{ }
{ }
{ }
m m m m m m m m oo o oa a oo o oa a F u F u G t G t + = + (13){ }
{ }
{ }
{ }
m m m m m m m m ao o aa a ao o aa a F u F u G t G t + = + (14) 由式(13)並省略矩陣符號可推導得 1{ } m m m m m m m m o oo oo o oa a oa a u = F− G t + G t − F u (15) 將式(15)代入式(14)，可以得到 1 { } m m m m m m m m m m m m m m ao oo oo o oa a oa a aa a ao o aa a F F− G t + G t − F u + F u = G t + G t (16) 化簡上(16)式，可得到 1 1 1 { } { } { } m m m m m m m m m m aa ao oo oa a ao oo oa aa a m m m m m ao ao oo oo o F F F F u F F G G t G F F G t − − − − + − = −(17)
令 * 1 * 1 1 { } m m m m m a aa ao oo oa m m m m m a ao oo oa aa m m m m m m ao ao oo oo o F F F F F G F F G G B G F F G t − − − = − = − = − (18) 同理，(m+1)區亦可寫成： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m m m m m m oo oa o oo oa o m m m m m m ao aa a ao aa a F F u G G t F F u G G t + + + + + + + + + + + + = (19) 其中{ }
m 1 o u + 為未知數，但{ }
m1 o t + 為已知 量，將其簡化後{ }
{ }
{ }
{ }
1 1 1 1 1 1 1 1 m m m m m m m m oo o oa a oo o oa a F u F u G t G t + + + + + + + + + = + (20){ }
{ }
{ }
{ }
1 1 1 1 1 1 1 1 m m m m m m m m ao o aa a ao o aa a F u F u G t G t + + + + + + + + + = + (21) 由式(20)可得到 1 1 1{ 1 1 1 1 1 1 } m m m m m m m m o oo oo o oa a oa a u F G t G t F u + = + − + + + + + − + + (22) 同理將式(22)代入式(21)，簡化式(21)，可 得到 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 { } { } { } m m m m m m m m m m aa ao oo oa a ao oo oa aa a m m m m m ao ao oo oo o F F F F u F F G G t G F F G t + + + − + + + + − + + + + + + − + + − + − = −(23)
令1 * 1 1 1 1 1 1 * 1 1 1 1 1 1 { 1 1 1 1 1 } 1 m m m m m a aa ao oo oa m m m m m a ao oo oa aa m m m m m m ao ao oo oo o F F F F F G F F G G B G F F G t + + + + − + + + + − + + + + + + − + + = − = − = − (24) 其中m 1 B + 為已知數，因為m 1 o t + 為已知量。 式(17)可簡化如下： * * m m m m m a a a a F u + G t = B (25) 同理式(23)可簡化如下： 1 * 1 1 * 1 1 m m m m m a a a a F u G t B + + + + + = + (26) 再利用交界面上的二個條件，一為位移諧 和關係（m m1 a a u = +u ），另一為力平衡關 係（m m1 0 a a t + +t = ），式(26)可改寫成： 1 * 1 * 1 m m m m m a a a a F u G t B + − + = + (27) 將式(25)和(27)用矩陣形式表示如下： * * 1 * 1 * 1 m m m m a a a m m m m a a a F G u B F G t B + + + × = − (28) 因為上式只有m a t 、m a u 為未知數，且方程 式和未知數的數目相等，因而可求解出交 界面上的值m a t 、m a u 。再將求得的m a t 、m a u 代回(15)和式(22)去求邊界上的未知值 m o u 、m1 o u + 。 動力問題是從（6）式出發，故在此我 們再寫一次（6）式如下： [ ] { }N { }N [ ]N R y x A1 = + 將（6）簡化後，圖2中的 m 區可寫成：
∑
− = −+ −+ + − + − + − + − + − + − × − × = × − × 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N n n a m n o m n N aa m n N ao m n N oa m n N oo m n a m n o m n N aa m n N ao m n N oa m n N oo m N a m N o m aa m ao m oa m oo m N a m N o m aa m ao m oa m oo m t t G G G G u u F F F F u u F F F F t t G G G G (29) 將上式展開可得如下：[
]
∑
− = + − + − + − + − + − − = − − + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N n n a m n N oa m n o m n N oo m n a m n N oa m n o m n N oo m N a m oa m N o m oo m N a m oa m N o m oo m t G t G u F u F u F u F t G t G (30)[
]
∑
− = + − + − + − + − + − − = − − + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N n n a m n N aa m n o m n N ao m n a m n N aa m n o m n N ao m N a m aa m N o m ao m N a m aa m N o m ao m t G t G u F u F u F u F t G t G (31) 令[
]
∑
− = + − + − + − + − + − − = 1 1 1 1 1 1 N n n a m n N oa m n o m n N oo m n a m n N oa m n o m n N oo m N o m t G t G u F u F R (32)[
]
∑
− = + − + − + − + − + − − = 1 1 1 1 1 1 N n n a m n N aa m n o m n N ao m n a m n N aa m n o m n N ao m N a m t G t G u F u F R (33) 由(30)式移項可得：( )
[
N]
o m N a m oa m N a m oa m N o m oo m oo m N o m R u F t G t G F u = 1 −1 1 + 1 − 1 − (34) 再將(34)式代入(31)式，可得下式：( )
[
]
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − − − + − + − N a m N a m aa m N o m N a m oa m N a m oa m N o m oo m oo m ao m N a m aa m N o m ao m R u F R u F t G t G F F t G t G (35) 整理上式可得如下：( )
[
]
[
( )
]
( )
[
]
[
( )
]
{
N}
o m oo m ao m N a m N o m ao m oo m oo m ao m N a m aa m oa m oo m ao m N a m oa m oo m ao m aa m R F F R t G G F F u F F F F t G F F G 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − + − = − + − (36) 令( )
[
1 1 1 1 1]
* oa m oo m ao m aa m m G F F G G = − −( )
[
1 1 1 1 1]
* aa m oa m oo m ao m m F F F F F = − −( )
[
]
[
( )
]
{
N}
o m oo m ao m N a m N o m ao m oo m oo m ao m m R F F R t G G F F R*= 1 1 −1 1− 1 + − 1 1 −1 (37) (36)式可簡化如下： * * * R u F t G a m m m a m m + = (38) 同理，(m+1)區亦可寫成：∑
− = + + + − + + − + + − + + − + + + + − + + − + + − + + − + + + + + + + + + + + + + × − × = × − × 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N n n a m n o m n N aa m n N ao m n N oa m n N oo m n a m n o m n N aa m n N ao m n N oa m n N oo m N a m N o m aa m ao m oa m oo m N a m N o m aa m ao m oa m oo m t t G G G G u u F F F F u u F F F F t t G G G G (39) 將上式展開可得如下：[
]
∑
− = + + − + + + − + + + − + + + − + + + + + + + + + − − + = − − + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N n n a m n N oa m n o m n N oo m n a m n N oa m n o m n N oo m N a m oa m N o m oo m N a m oa m N o m oo m t G t G u F u F u F u F t G t G (40)[
]
∑
− = + + − + + + − + + + − + + + − + + + + + + + + + − − + = − − + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N n n a m n N aa m n o m n N ao m n a m n N aa m n o m n N ao m N a m aa m N o m ao m N a m aa m N o m ao m t G t G u F u F u F u F t G t G (41) 令[
]
∑
− = + + − + + + − + + + − + + + − + + = 1 + − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N n n a m n N oa m n o m n N oo m n a m n N oa m n o m n N oo m N o m t G t G u F u F R (42)[
]
∑
− = + + − + + + − + + + − + + + − + + = 1 + − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N n n a m n N aa m n o m n N ao m n a m n N aa m n o m n N ao m N a m t G t G u F u F R (43) 由(40)式移項可得：( )
[
N]
o m N a m oa m N a m oa m N o m oo m oo m N o m R u F t G t G F u 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + − + + + + + + + + = + − − (44) 再將(44)式代入(41)式，可得下式：( )
1 1 1[
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − + − − − + + + + + + + + − + + + + + + + + + N o m N a m oa m N a m oa m N o m oo m oo m ao m N a m N a m aa m N a m aa m N o m ao m R u F t G t G F F R u F t G t G (45) 整理上式可得如下：( )
[
]
[
( )
]
( )
[
]
[
( )
]
{
N}
o m oo m ao m N a m N o m ao m oo m oo m ao m N a m aa m oa m oo m ao m N a m oa m oo m ao m aa m R F F R t G G F F u F F F F t G F F G 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + − + + + + + + − + + + + + − + + + + − + + + − + − = − + − (46) 令(
)
[
1 1 1 1 1 1 1 1 1]
* 1 oa m oo m ao m aa m m G F F G G + + + − + + = −(
)
[
1 1 1 1 1 1 1 1 1]
* 1 aa m oa m oo m ao m m F F F F F + + − + + + = −( )
[
]
[
( )
]
{
N}
o m oo m ao m N a m N o m ao m oo m oo m ao m m R F F R t G G F F R* 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + − + + + + + + − + + = − + − (47) （46）式可簡化如下式： * 1 1 * 1 1 * 1 R u F t G aN m m m N a m m+ + + + + = + (48) 再利用交界面上的二個條件，一為位移諧 和關係（ a m a m u u = +1 ），另一為力平衡關係 （ + +1 =0 a m a m t t ），（48）可改寫成： * 1 * 1 * 1 R u F t G aN m m m N a m m+ + + = + − (49) 將（38）和（49）用矩陣形式表示如下： = × − + + +1 * * * 1 * 1 * * R R u t F G F G m m N a m N a m m m m m (50) 因為上式只有 N a m t 、 aN m u 為未知數，且方 程式和未知數的數目相等，因而可求解出 交界面上的值 N a m t 、 N a m u 。再將求得的 N a m t 、 N a m u 代回（34）和（44）式去求邊 界上的未知值 N o m u 、 N o m u 1 + 。 另外，有興趣的讀者可參閱文獻19 作者所提議解決時間褶積的步驟，基於名 為“Operational Quadrature Method”，乃數 學家Lubich所發展之技巧。善用此法可以 不必強制參數β須在某個範圍之內，避免 數值過早發散或產生numerical damping的 現象。但須說明的是，本文QL方法使數 值穩定之β範圍比起傳統上要大上許多， 介於0.1~0.8之間皆可有良好之結果。 最後，在切割時，若場域有非平滑處， 網格之佈滿須局部緊密，其餘部份則漸次 放大，若有至無限遠處，其處理方式可參 閱文獻17。而同一問題不同數目、不同順 序、不同形式的次結構，在節點編號、矩 陣運算時會有極大的困擾，故簡單、有系 統為佳。 四、計畫成果自評 本計參與研究人員獲得清晰之理論、 觀念以及寶貴之紮實訓練。在未來對於相 關之領域作更深、更廣的應用發展時有很 大之助益，例如從事大地波傳或土壤-結構 互制之研究。由於邊界元素法數值運算方 面相當複雜。因此，在程式發展方面一直 無法得到有效、合理成果，在這方面仍有 待加強 五、參考文獻 1.A.C.Eringen&E.S.Suhubi,”Elastodynamic s”, Vol.2: Linear Theory, New York: Academic Press, 1975.2.G.D.Manolis,”A Comparative Study on Three Boundary Element Method Approaches to Problems in Elastodynamics”, Int. J. Num. Meth. Engng. 19, 73-91, 1983.
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4.P.K.Banerjee & R. Butterfield, ’’Boundary Element Methods in Engineering’’, McGraw-Hill, London & NY, 1994.
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Element Methods in Elastodynamics’’, Unwin Hyman Ltd., U.K.,1988.
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11.J.Dominguez,”Boundary Elements in Dynamics”, Comput. Mech. Pub., Elsevier Applied Science, UK,1993.
12.M.Schanz, ”A Time Domain Boundary Element Formulation Based on Multistep Time Discretization”, BE XIX, U.K., 1997. 六、附圖：
ξ
η
1 2 3 4 5 6 7 8 zone m zone m+1 圖1.1 等參數二次元素 圖 1.2 四等分之次元素 圖 1.3 五等分之次元素 圖 1.4 六等分之次元素七、附錄： 等參數二次式邊界元素之形狀函數如下： N1(ξ,η)= 4 1 − (1-ξ) (1-η) (1+ξ+η) N2(ξ,η)= 2 1 (1-ξ2) (1-η) N3(ξ,η)= 4 1 − (1+ξ) (1-η) (1-ξ+η) N4(ξ,η)= 2 1 (1+ξ) (1-η2) N5(ξ,η)= 4 1 − (1+ξ) (1+η) (1-ξ-η) N6(ξ,η)= 2 1 (1-ξ2) (1+η) N7(ξ,η)= 4 1 − (1-ξ) (1+ η) (1+ξ-η) N8(ξ,η)= 2 1 (1-ξ) (1-η2)
