應用改良的最大最小螞蟻系統於旅行推銷員問題
徐嘉吟、黃士滔 國立高雄應用科技大學 工業工程與管理系 E-mail: shihtao@cc.kuas.edu.tw摘 要
螞蟻演算法為近年來被廣泛討論的一種啟發式演算法，也成功應用於求解許多複雜的組合最佳化問題 上，自 1991 年 Dorigo 提出第一個螞蟻系統（ant system, AS）至今，已有多位學者針對第一個模型衍生出 多種不同的改良方法，來提升求解品質。本研究提出改良的最大最小螞蟻系統（modified max-min ant system, MMMAS）來求解旅行推銷員問題，除在費洛蒙更新規則上作改良，並採用螞蟻系統（ant system, AS）、螞 蟻群落系統（ant colony system, ACS）、最大最小螞蟻系統（max-min ant system, MMAS）和最優最差螞蟻 系統（best-worst ant system, BWAS）之文獻例題最佳解來比較改良的最大最小螞蟻系統之求解品質；然後 利用電腦產生亂數座標位置，模擬測試改良的最大最小螞蟻系統較之傳統最大最小螞蟻系統的求解效率。 研究結果發現 MMMAS 在與螞蟻系統相較之下，皆優於其他螞蟻系統，在與傳統最大最小螞蟻系統比較求 解效率上，改良的最大最小螞蟻系統的表現，不論是在運算效率，甚至在求解的品質上，均來的更好。關鍵詞：螞蟻系統、最大最小螞蟻系統、旅行推銷員問題、改良的最大最小螞蟻系統。
1. 前 言
旅行推銷員問題（traveling salesman problem, TSP）為組合最佳化最具代表性的問題之一，在學術研究 及實際應用上，其應用範圍相當廣泛，例如生產排程、運輸排程、生物工程及電子工程等問題，皆可轉換 成旅行推銷員問題來求解[1]。旅行推銷員問題目前已被證實為 NP-hard（non-deterministic polynomial hard） 的問題[2]，這類問題只要輸入的資料量一多，就無法在可用的時間內求得最佳解對於解決此類問題的方法 大致上可分為兩種，其一為需要耗費大量運算時間而確實地找出最佳解的確切解法（exact algorithm），其二 為以較短運算時間只求近似最佳解的近似解法，目前一般皆以近似解法在有效的時間內來求取近似解 （approximate algorithm）。近似解法求解雖然無法保証求得最佳解，但求解速度較快，可以在短時間內，求 得接近最佳解之解。因此，如何發展一套有效率之近似解法，尋求良好的解來替代最佳解，在未來將會愈 來愈受到重視。
螞蟻演算法（ant algorithm）最初是由 Dorigo et al. [3]所提出，稱之為螞蟻系統（ant system, AS）。此 演算法是藉由模擬自然界螞蟻搬運食物或物品所發展出的一套法則。
螞蟻系統發展至今已有多位學者提出改良之模型，其目的在於研究出最優良的螞蟻模型來求解相關 NP-hard 問題。本研究希望能藉由歷年來文獻的參考及研究過程，嘗試提出改良的最大最小螞蟻系統來求解 旅行推銷員問題，除在費洛蒙更新規則上作修改，也與傳統最大最小螞蟻系統作比較，以期能建構出一較 佳模型。
2. 文獻探討
2.1 旅行推銷員問題
旅行推銷員問題，最早是由 Hassler Whitney 於 1934 年在普林斯頓大學（Princeton University）的一個 研 討 會 中 所 提 出 的 [4] 。 旅 行 推 銷 員 問 題 是 一 個 被 廣 泛 討 論 和 研 究 的 組 合 最 佳 化 問 題 （ combinatorial optimization problem, COP）[5]，且是相當具有代表性的一個知名難題，旅行推銷員問題的特點在於，問題 的定義雖然簡單，但欲求得解答卻是相當困難。旅行推銷員問題是一種最佳化路線之排序問題，簡單來說， 一個地區有若干個城市，城市之間皆有道路可以彼此相連，推銷員由任一個城市出發，途中須經過所有城 市並且不會重複經過，旅行完各個城市之後將回到原出發城市。此模型所追求的即為旅行推銷員的最短路 徑，其基本定義為一網路 G，是由 N 個節點（node, N）與 E 條節線（edge, E）所組成，標示為 G=（N , E）。 從某一城市 作為出發起點，連結到下一城市
i
j
，每一個城市只能被連結一次，然後從最後被連結的城市連 回起始城市，如此將 N 個城市全部連結完成。以 N 個城市的旅行推銷員問題為例，若從已選定的起點出發， 至返回原出發的城市中，存在著 (N−1)! 2 種可能的路徑選擇，問題的目標即從所有可能組合中，找到最短 巡迴路徑。旅行推銷員問題一直是電腦科學研究領域所欲解決的問題，若能設計出有效的解決方法，將可 被廣泛地應用在網路、運輸、商業及工程等方面。近年來旅行推銷員問題常應用在網路、工程、商業及運 輸等方面，茲列舉部分國內外對旅行推銷員問題之研究如下： 林仲文[6]以分散搜尋法為基本架構，利用門檻接受法以隨機編碼之方式以達到節省求解時間之效果， 並以文獻例題證明此演算法之效益。 Walshaw[7]應用配對的觀念與鏈結型交換法發展出一個多層次步驟來求解旅行推銷員問題，該研究並利 用 30 個極大型的旅行推銷員問題進行測試，結果顯示除了 pla85900 與 pla33810 外，與最佳解間的差距皆 小於 0.9%，但求解時間較長。 2.2 最大最小螞蟻系統相關文獻Stützle and Hoos[8]所發表的最大最小螞蟻系統已被運用在各種不同領域上，茲整理部分國內外對最大 最小螞蟻系統相關研究如下：
李志宇、史浩山[9]提出 MAX-MIN 螞蟻系統（MMAS）無線感測器網路的資料融合演算法。該演算法 採用定向擴散的機制進行興趣散佈，利用 MMAS 演算法構造一個最小史坦爾樹（Steiner tree），將源節點的 資料發送到構造好的最小史坦爾樹上，經過融合後傳輸到中心（sink）節點，可降低網路中傳輸的資料量， 與代克思托演算法（Dijkstra's algorithm）比較，運用 NS2 平台仿真，結果顯示該演算法降低了網路能耗， 增加了網路生存時間。 Zhang et al.[10]運 用 蟻 群 系 統 結 合 分 等 螞 蟻 系 統 和 最 大 最 小 蟻 群 系 統 於 同 時 送 取 貨 車 輛 路 徑 問 題 (VRPSPD)，並建立混合整數規劃模型 VRPSPD。其研究結果顯示該模型可提高車輛負荷率和擺脫總距離增 加所造成的負載和最大容量的限制。 郗建國、郝會霞[11]運用螞蟻系統解決車輛路徑問題，但該演算法搜索時間長，易出現停滯現象。使用 精英螞蟻概念調整並構造出最大－最小蟻群系統，研究結果驗證該演算法能更快地收斂到全局最優解。
3. 研究方法
3.1 最大最小螞蟻系統 最大最小螞蟻系統為利用電腦仿效自然界螞蟻外出覓食，並將找尋食物的路徑有效分類進而找出最短 路徑的行為，應用於求解近似解的一種人工智慧啟發式解法。應用最大最小螞蟻系統求解重要方式分述如下，方程式部份參考 Stützle and Hoos[8]。 3.1.1 轉換機率規則 螞蟻演算法基本上是一種機率的尋優求解法，在人工螞蟻進行尋優路徑時，利用轉換機率進行下一 節點的選擇，而考慮的因素為費洛蒙濃度與路徑長度轉換為機率值來決定，如式(1) [3]。
[
] [
]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k i ij ij k i k iu iu ij u N t t if j N t t P t otherwise α β α β τ η τ η ∈ ⎧ ⎡⎣ ⎤⎦ ×⎡⎣ ⎤⎦ ⎪ ∈ ⎪ × = ⎨ ⎪ ⎪⎩∑
(1) 各個參數所代表的意義為： ( ) k ij P t ：螞蟻 k 在第 t 次循環時從城市 i 行走至城市 j 的機率值。 k i N ：螞蟻 k 在城市 i 時，可選擇的尚未經過的城市集合。 ( ) ij t τ ：在第 t 次循環時，路徑( , )i j 上的費洛蒙濃度。 ( ) ij t η ：在第 t 次循環時，從城市 i 行走到城市 j 的能見度，為城市 i 與 j 距離的倒數。 在此代表期望值，通常設為節線( , )i j 距離長度的倒數， ( ) 1 ( ) ij ij t d t η = 。d
ij為節點 i 到 j 的距離如下： 2 = ( - ) ( ) ij i j i j d x x − y −y 2 。而α、β（α為費洛蒙濃度權重、β為能見度權重）為影響費洛蒙濃度(τij( )t ) 與螞蟻行進路線決策（η
ij( )
t
）之重要參數，當α值比β 大很多時，容易在求解過程產生停滯，限入區域 解。 3.1.2 費洛蒙更新 當所有的螞蟻都建構完一條路徑之後，只有一隻螞蟻在每次循環後更新費洛蒙濃度，其更新規則如 式(2)與(3)[8]。 ( 1) ( ) best ij t ij t ij τ + =ρτ + Δτ (2) 其中ρ為費洛蒙蒸發係數(
0< <ρ 1)
。ρ值是可自定的，ρ值若太小（接近 0），將會無法收斂；若ρ 值太大(接近 1)，將會提早收斂。 best ij τ Δ 為至今最優的螞蟻才被允許釋放費洛蒙，計算方式如式(3)。 1 ( ) best ij best f S τ Δ = (3) best ij τ Δ 其代表的為此循環最佳解之路徑倒數，或為到目前為止最佳解之路徑倒數， 表示循環最 佳解或是全局最佳解的值。 ( best f S ) 3.1.3 費洛蒙限制 由於費洛蒙濃度增減的緣故，導至陷入區域最佳解，也為避免在搜尋的過程產生停滯現象，在每次 求 解 後 ， 其 費 洛 蒙 之 更 新 給 予 一 範 圍(
τmin,τmax)
， 將 每 條 路 徑 之 費 落 蒙 濃 度 控 制 在 此 一 範 圍 內 。 當 max ( ) ij t3.2 改良的最大最小螞蟻系統 本研究為加快搜索速度，發現螞蟻系統在費洛蒙更新方式是針對所有的路徑進行更新，而在最大最小 螞蟻系統上是針對目前最佳解作更新，容易會有過早收斂的現象，故改進費洛蒙更新方式，改進方式如下： 一、費洛蒙更新公式以螞蟻系統為主，使全部螞蟻皆循環，僅針對 上做修改，所以每次循環後，先 計算每條路徑長度的平均值（ ），若路徑長度（ ）大於平均路徑長度則費洛蒙減少，路徑長度小於平 均路徑長度的則費洛蒙增加，如此一來，可快速減少螞蟻去找尋較差之路徑。二、每條路徑上節線 距 離長度費洛蒙的增加或減少的濃度都要不一樣，為實現每條路徑節線( , 距離的長度對路徑總長度的貢獻 程度，故將公式修改成如(4)[3]。 ( ) k ij t τ Δ avg C k C ( , )i j ) i j 1 ( 1) ( ) ( ) m k ij ij ij k t t τ ρτ τ = + = +
∑
Δ t (4) 其中 表示第 k 隻螞蟻在第 t 次循環中留在路徑 上的費洛蒙，而 則修改成如公式(5)(修 改自 Maniezzo[12])。 ( ) k ij t τ Δ ( , )i j Δτijk( )t ( ) ( ) ( ) k ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 avg k ij k avg k avg k k k avg ij k ij C t C t d t i j C t C t C t C t C t t C t d t τ ⎧⎡⎣ − ⎤⎦× ⎪ > ⎪ ⎪ − ⎪ Δ =⎨ < × ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ 若第 隻螞蟻經過 且 若第 隻螞蟻經過 且 其它 i j C t C t (5) 其中 為第 k 隻螞蟻在 t 次循環中所走過的路徑長度， 為 m 隻螞蟻在 t 次循環所走過的平均 路徑長度， 為在 t 次循環從城市 i 到城市 j 的距離。 ( ) k C t Cavg( )t ( ) ij d t4. 實證分析與結果
本文採用 TSP 問題作為實驗題目，將傳統最大最小螞蟻系統與改進的最大最小螞蟻系統進行比較。傳 統的最大最小螞蟻系統參數設定如下：螞蟻數量 m=50、費洛蒙濃度權重α
=1、能見度權重β
=4、費洛蒙 蒸發係數ρ=0.1，費洛蒙濃度上下限設定分別為τmax =10、τmin =0.01；改進的最大最小螞蟻系統參數設定 如下：螞蟻數量 m=25、費洛蒙濃度權重α
=2、能見度權重β
=4、費洛蒙蒸發係ρ=0.5，費洛蒙濃度上下 限設定則為 max 1 gb T τ ρ = , max min 2n τ τ = ，城市數取 n=10、20、30、40、60、70、80、100、150。求得之結果與 執行時間分別為表 1 與表 2。表中之 Avg 表演算程式 10 次，執行結果之平均，而 Best 表演算程式 10 次， 執行結果中最佳的解。表 1 MMMAS 與 MMAS 距離（公尺）測試結果
10 20 30 40 60 70 80 100 150
MMMAS MMAS MMMAS MMAS MMMAS MMAS MMMAS MMAS MMMAS MMAS MMMAS MMAS MMMAS MMAS MMMAS MMAS MMMAS MMAS
1 268.95 268.95 374.03 374.03 484.18 484.36 501.02 501.76 640.44 678.84 673.07 682.71 702.71 721.12 794.48 817.8 982.08 1035.7 2 269.41 271.42 372.55 375.91 484.58 485.19 502.18 511.85 633.72 670.31 675.95 678.83 717.29 721.12 787.3 808.44 969.26 1033.9 3 268.95 269.12 376.83 376.28 478.4 479.93 501.02 502.28 632.6 678.72 672.94 681.3 702.71 729.43 806.87 811.93 1002.2 1032.2 4 268.95 268.95 374.24 372.55 479.52 481.6 502.74 503.8 632.73 678.01 674.35 685.72 712.03 721.12 787.3 815.96 1004.8 1032.1 5 268.95 279.1 372.55 374.03 478.4 479.27 503.18 501.02 632.73 669.38 662.36 679.56 709.11 725.89 799.04 809.17 961.05 1028.1 6 268.95 274.39 372.55 375.3 482.93 482.07 501.02 501.02 632.98 673.39 677.29 682.1 703.29 724.09 801.73 809.91 985.67 1040.7 7 269.12 268.95 373.27 372.55 482.18 481.18 502.91 504.15 639.11 675.1 673.9 679.06 709.5 728.37 801.73 808.44 1000.9 1032.3 8 268.95 268.95 374.03 374.71 478.4 484.39 502.8 503.8 640.44 677.38 672.94 682.93 705.87 723.15 792.3 817.8 974.36 1029.8 9 268.95 268.95 372.55 373.09 481.3 483.84 501.02 505.81 632.73 678.69 672.94 680.05 709.11 728.93 798.37 810.48 965.26 1035.3 10 269.41 279.1 373.59 375.04 478.4 480.12 503.93 501.94 632.73 672.99 662.36 682.71 703.42 722.79 787.3 817.25 993.71 1039.1 Avg. 269.06 271.79 373.62 374.35 480.83 482.2 502.18 503.74 635.02 675.28 671.81 681.5 707.5 724.6 795.64 812.72 983.92 1033.9 Best 268.95 268.95 372.55 372.55 478.4 479.27 501.02 501.02 632.6 669.38 662.36 678.83 702.71 721.12 787.3 808.44 961.05 1028.1 城市 數 運算 次數 表 2 MMMAS 與 MMAS 運算時間（秒）測試結果 10 20 30 40 60 70 80 100 150
MMMAS MMAS MMMAS MMAS MMMAS MMAS MMMAS MMAS MMMAS MMAS MMMAS MMAS MMMAS MMAS MMMAS MMAS MMMAS MMAS
1 34 48 80 129 95 231 194 471 234 627 342 752 396 1020 519 1332 840 1947 2 29 52 77 125 95 243 195 420 236 660 346 835 383 1033 520 1328 993 1951 3 29 31 60 131 96 240 195 459 229 667 368 791 370 1041 526 1367 887 1910 4 30 42 61 176 96 245 196 467 224 621 370 818 368 1039 533 1302 956 1903 5 31 35 78 162 96 251 195 462 226 642 359 821 365 1035 533 1339 960 1900 6 30 39 77 137 95 233 195 469 231 629 342 819 398 1041 518 1324 989 1898 7 31 39 78 170 98 241 196 463 229 665 347 820 373 1034 527 1332 991 1920 8 31 41 69 145 95 239 196 463 231 651 351 794 368 1038 523 1341 1001 1939 9 29 42 80 128 96 240 194 467 226 663 366 802 370 1029 530 1359 1017 1911 10 32 36 78 162 96 244 196 473 226 658 346 793 368 1035 521 1339 951 1938 Avg. 30.6 40.5 73.8 146.5 95.8 240.7 195.2 461.4 229.2 648.3 353.7 804.5 375.9 1034.5 525 1336.3 958.5 1921.7 Best 29 31 60 125 95 231 194 420 224 621 342 752 365 1020 518 1302 840 1898 城市 數 運算 次數
實驗結果如表 3 與圖 1 分別表示改良的最大最小螞蟻系統（MMMAS）與最大最小螞蟻系統（MMAS） 求解比較結果。由表 3 可知，整體相對誤差率（Eo%）介於 0%~-6.52%之間，本研究改良的最大最小螞蟻 系統（MMMAS）在城市數 30、60、70、80、100 與 150 個的表現均優於最大最小螞蟻系統（MMAS），相 對誤差率（Eo%）在-0.18%以下，其中尤以 60 與 150 個城市數最佳，於城市數為 10、20 與 40 得到相同的 距離值，由此可知，本研究改良的最大最小螞蟻系統求解表現較最大最小螞蟻系統（MMAS）更佳。 表 3 不同的城市數 MMMAS 與 MMAS 最小總距離（公尺）之比較
城市數 MMMAS(公尺) MMAS(公尺) Eo(%)
10 268.95 268.95 0 20 372.55 372.55 0 30 478.4 479.27 -0.18 40 501.02 501.02 0 60 632.6 669.38 -5.49 70 662.36 678.83 -2.43 80 702.71 721.12 -2.55 100 787.3 808.44 -2.61 150 961.05 1028.11 -6.52 MMMAS與MMAS最小總距離(公尺)之比較 0 200 400 600 800 1000 1200 10 20 30 40 60 70 80 100 150 城市數 距離( 公尺) MMAS MMMAS 圖 1 不同城市數 MMMAS 與 MMAS 最小總距離(公尺)之比較 由表 4 與圖 2 分別表示改良的最大最小螞蟻系統與最大最小螞蟻系統平均運算時間（秒）之比較結果。 由表 4 可知，整體相對誤差率（Eo%）介於-6.45161%~-64.2157%之間，改良的最大最小螞蟻系統（MMMAS） 在求解所需要的平均運算時間的表現均優於傳統最大最小螞蟻系統（MMAS），由此可知，本研究改良的最 大最小螞蟻系統求解效率較傳統的最大最小螞蟻系統（MMAS）更佳。由圖 2 可知當城市數量增加時，求 解所需要的平均運算時間大致成指數性的增加，亦可從圖 2 得知 MMMAS 求解效率較 MMAS 有大幅度改 善。
表 4 不同的城市數 MMMAS 與 MMAS 平均運算時間(秒)之比較
城市數 MMMAS(秒) MMAS(秒) Eo(%)
10 29 31 -6.45161 20 60 125 -52 30 95 231 -58.8745 40 194 420 -53.8095 60 224 621 -63.9291 70 342 752 -54.5213 80 365 1020 -64.2157 100 518 1302 -60.2151 150 840 1898 -55.7429 MMMAS與MMAS平均運算時間(秒)之比較 0 500 1000 1500 2000 2500 10 20 30 40 60 70 80 100 150 城市數 平均運 算時 間( 秒) MMAS MMMAS 圖 2 不同城市數 MMMAS 與 MMAS 平均運算時間(秒)之比較
5. 結論與建議
5.1 結 論 一、改良的最大最小螞蟻系統之費洛蒙更新規則，可避免過早收斂現象，有效提高全區搜索能力使其加 快搜尋最佳解的速度，在求解不同城市數量時，能有效的縮短平均運算時間，提升求解效率。 二、利用電腦產生亂數座標位置，模擬測試改良的最大最小螞蟻系統，並比較傳統最大最小螞蟻系統， 整體相對誤差率（Eo%）介於 0%~-6.52%之間，本研究改良的最大最小螞蟻系統在城市數 30、60、70、 80、100 與 150 個的表現均優於最大最小螞蟻系統（MMAS），相對誤差率在-0.18%以下，其中尤以 60 與 150 個城市數最佳，於城市數為 10、20 與 40 得到相同的距離值，由此可知，本研究改良的最大最 小螞蟻系統求解表現較傳統的最大最小螞蟻系統為佳。 三、改良的最大最小螞蟻系統（MMMAS）在求解所需要的平均運算時間的表現均優於最大最小螞蟻系統 （MMAS），整體相對誤差率（Eo%）介於-6.45161%~-64.2157%之間，由此可知，本研究改良的最大 最小螞蟻系統求解效率較傳統的最大最小螞蟻系統（MMAS）更佳。5.2 建 議 本研究提供下列幾點建議，以供未來後續研究之參考： 一、本研究改良的最大最小螞蟻系統，較其他改良式螞蟻系統為優，因此建議未來對螞蟻理論有興趣之 學者，可以與其他演算法做結合從費落蒙更新著手，以期望有更好之螞蟻系統模型誕生。 二、至今，螞蟻系統已被廣泛應用於組合最佳化問題上，例如二次指派問題、車輛路徑問題、生產排程… 等相關議題，在未來或許也能將本研究改良的最大最小螞蟻系統應用於上述相關議題上。
參考文獻
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