# 聲波引致懸浮微粒聚結的理論研究及數值計算(2/2)

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### 中 華 民 國 92 年 10 月 30 日

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This second year project studies numerically the acoustic coagulation of small particles in a two-phase suspension flow. Two topics have been completed in the present work. (1) For the acoustic coagulation of particles in the traveling wave, we have solved the false mass conservation problem for the simulation using both the hydrodynamic interaction and the acoustic wake model in the last year. Although the agreement between the present calculations and the experiments is better than the calculations in the literatures, we still need to incorporate an empirical collision efficiency factor in the calculation, as that in the last year using orthokinetic interaction model. This indicates that the available models for the collision frequency function in the literatures have certain drawbacks, and further theoretical analyses are required. (2) For the acoustic coagulation of particles in the standing wave, we proposed a simplified theoretical model for the general dynamic equation of the continuous distribution function of particles. The log-normal distribution of particles is assumed, and a resulting partial differential equation is obtained from the integral-differential general dynamic equation. Numerical results of such partial differential equation agree nicely with the experiments. Thus the proposed simplified model can be applied for the parameter analyses and the design of the acoustic agglomerator.

Keywords：acoustic coagulation of small particles, traveling and standing wave, theoretical analysis, numerical calculation.

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### ∫

β  −   −   n v t( ; )0β( , ) ( ; )v v n v t dv (1) ∞ −

### ∫

   其中β( , )v v 代表體積為 v 的微粒和體積為 的微粒的碰撞頻率函數，v β( ,v v −v 代表體積為) v 以外的懸浮微粒和其他”適當”體積的微粒碰撞、而產生體積為 v 的懸浮微粒的碰撞頻率函 數。碰撞頻率函數方面，視不同機制有不同的表示式。就布朗擴散、正動力作用(orthokinetic interaction)、流力作用(hydrodynamic interaction)及聲波尾跡等模式(acoustic wake model)等的 碰撞頻率函數β β βBr, ok, hi及βho，我們在上年度報告中已加以詳述(請參考李雨，2002)。在 本節中，我們將取以下兩種狀況進行模擬：

β β= songEokβok+Ehiβhi (1a)

Song et al. (1994)所提出者，Ezekoye and Wibowo (1999)曾就 , ok hi E E Eho 0.5 ok hi E =E = 進行數值模擬。 聲波尾跡模式為Hoffman (1997)所提出者，他採用再填充機制(refill mechanism)將正動力作 用及流力作用以較含乎物理的方式結合，而非(1a)式的線性組合。在(1a)及(1b)式中， 2 2 0 2 | | ( , ) ( ) 2( ) 1 ( ) 1 ( ) v w ok ok v w vw v w v w U v w r r u r r 2 ω τ τ β β π ωτ ωτ − = = + = + + + , (2a) ( , ) ( )2 , (2b) hi v w rv rw Q β =β =π + 及 0 2 12 ( ) ( , ) 1 1 2 v v w w c ho ho ok U r l r l T u w L β β β π ⎛ + ⎞ = = + ⎝ − , (2c) ⎠ 其中 及rv rw分別為體積為 v 及 w 微粒的半徑，τv及τw分別為體積為 v 及 w 微粒的鬆馳時間 (relaxation time)，U0及ω 分別為旅波的速度振幅和角頻率；在史篤氏阻力的條件下，鬆馳

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) 時間 2 2/(9 p p pr g τ = ρ ρη ，下標 p 可代表(2a)式中的 v 或 w，η為載運流體的運動黏滯係數， p ρ 及ρg分別為微粒及流體的密度。又(2b)式中，按 Dianov et al. (1968)的分析，

2 2 2 2

### )

2 2 0 0 0 2 2 2 3 6 ( ) ( 2 v v w w v v w w v w 1 v v w w d d U U U Q r l r l r l r l r r r l r l L L η π πη π π ⎡ ⎤ = + + + − + − + ⎣ ⎦ 9 ) 6 Ld 2 0 2 3 ( )( 8 d v w v w w v v w U l l l q l q r r L ω + − − ) 其中 , 1 p g2 g p h l µ µ + = 2 2 1 p g g p p p h h q µ µ µ + + = , , 2 9 0 p p p p g p R r U h πωτ ω πρ ρ = = 0 p p U r R η = , , 1 1 2 2 P p τ ω µ + = 2 2 1 p p g τ ω ωτ µ + = , 及 為兩微粒間的距離，在本文中取 ，其中 N 為微粒的瞬時總顆數濃度。上述 各式中下標 p 可代表(2a)至(2c)式中的下標 v 或 w。另(2c)式中， 為聲波週期，L 為聚結體 積的長度，定義為兩倍微粒 v 和微粒 w 間相對速率(按正動力作用)和 的乘積。 d L Ld =N−1/ 3 c T c T (1)式中所示的微-積分方程式並無分析解，本研究中我們基本上採 Temkin(1994)的方法 進行計算，但在計算過程中加入了適當的判斷條件，並不對尚未聚結出的微粒種類進行計 算，因而大幅節省了計算時間(見黃國榮，2002)。在分析過程中，首先我們將(1)式無因次 化，再將無因次方程式的積分項離散化，也就是將(1)式所示的連續微粒顆數濃度分佈改採 離散形式分佈，最後可得一組非線性常微分聯立方程式組，在給定始起狀態的微粒濃度分 佈下，我們採用四階朗次-庫他(Runge-Kutta) 算則進行求解。在本年度作中，我們修正了去 年的一項程式錯誤，使模擬過程中的微粒總體積守恆。 (ii)駐波中的分析 在駐波中流體速度為時間及空間的函數，微粒數目濃度n v x t( ; , )滿足

### )

0 ( ; , ) 1 ( ; , ), ( ; , ) ( , ) ( ; , ) ( ; , ) 2 v n v x t n v x t D n v x t v v v n v x t n v v x t dv t β ∂ + ∇ ⋅ = ∇ ⋅ + V

    

⋅ , (3)

### (

0 ( ; , ) ( , ) ( ; , ) ( ; , ) , n v x t β v v n v x t dv n v x t ∞ −

### ∫

  − ∇ c 如將駐波前進方向定為x 軸，i 為其上的單位向量，則流場速度 0 2 sin sin u U kx ωt = = V i i (3a) 飄移速度(drifting velocity)按 Grinshpun et al. (2000)的分析可表示為

### )

0 2 sin 2 2 4 1 kx c U ε α , α = − + c i = i (3b) 擴散係數按Friedlander (1997)第二章為 1 2 1 2exp 3 3 3 KT KT l d D C A A A d d d l πµ πµ , ⎧ ⎡ ⎛ ⎞⎤⎫ = = + + ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ (3c) 其中2U k0, 及ω分別為駐波的速度振幅、波數及角頻率，K 為波士曼常數，T 為絕對温度，

### )

0 0 2U /Cs 2U / /k ε = = ω 為速度振幅與聲速C 的比值，s α ωτ= ，而τ ρ= pd2/(18 )µ 為微粒 的鬆馳時間，µ為載運流體的黏滯係數，ρp為微粒的密度，l 為氣體分子的平均自由徑；而 碰撞頻率函數β則可採用(2a)-(2c)所述各項模式。(3)式為一統御n v x t( ; , )的微積分方程式，

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### ( )

2 2 0 0 0 1 ( ; , ) ( , ; , ) ( ; , ) ( ; , ) 2 v uN N Dn v x t dv v v v x t n v x t n v v x t dvdv t x x β ∞ ∞ ∂ ∂ + =+ ∂ ∂ ∂

    

### )

0 0 0 ( , ) ( ; , ) ( ; , )v v n v x t n v x t dvdv cn v x t dv; , , x β ∞ ∞ ∞ − − ∂

  

### ∫

(5) 因為本文所欲模擬之實驗案例其初始粒徑為0.1µm 的量階，布朗擴散引致的微聚結效應相對 重要，因此(5)式中的碰撞頻率函數我們取 β =Ehoβhobr, (5a) 其中βho如(2c)式所示，我們採用 Hoffman(1997)的聲波尾跡模式來考慮聲波聚結，Eho為碰 撞效率，為一可調參數；βbr為布朗擴散引致的微聚結效應，按Friedlander (1977)，可表示 為

1/ 3 1/ 3

1/ 3 1/ 3

br i j i j i j

### ,

(5b) 其中參數 C 如(3c)式所示。按文獻中的實驗結果，n 隨 v 的變化大約呈對數常態分佈，因此我 們假設

### )

2 2 ln / ( ; , ) 1 exp ( , ) 2 (3ln ) 18ln g v v v v n v x t N x t v π σ σ ⎡ ⎤ = ⎢− ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , (6)

利用(6)式，我們可處理(5)式中的積分項，而導得一條統御 N(x,t) 的偏微分方程式，可以無 因次方式表示如下：

2

### )

2 2 2 1 1 2 2 3 4 sin sin 2 sin 2 N x N x N N I t A I A I N I t ε x x ε ∂ ∂ ∂ + =++ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂x (7) 其中 0 0 0 , , , , , 0 , g g v N v v N x kx t t v v v N ω v v = = = =  =  = v 0 N ,d0及v0分別為微粒的初始總數目濃度、最小直徑及最小體積， 2 1 0 3 k KT A d ω πµ = 及 2 0 0 0 2 2 4 N U d A ω = 為無因次參數， 1 1( , ,g v), 2 2( ,0 , ,g v), 3 3( ,0 , ,g v), 4 4( ,0 , ,g ), I = I Kn v σ I =I α Kn v σ I =I α Kn v σ I =I α Kn v σv 為含相關無因次參數α0,Kn v, g及σv的定積分，Kn=d0/l為富森數(Knudsen number)，及 2 0 0 pd0 /(18 ) α =ωτ =ωρ µ 。我們將利用IMSL 副程式來計算I I I 及1, ,2 3 I ，利用有限差分法解4 (7)式，再考慮微粒的總質量守恆，以所算出的瞬時總數目濃度來計算瞬時的微粒幾何平均 體積及直徑。配合實驗給予適當的初始條件，及採用週期性邊界條件，我們將在本文中模

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Riera & Gallego (1986)的實驗在目前現有文獻中相當完整，其相關實驗參數及結果如表 一所示，本文將針對該表中所示各案例進行模擬，以驗證本計劃中我們所發展的理論模式。 在圖五、六及七所顯示的不同案例中，如選取適當的 值(見各圖的說明)，本文的模擬結 果與實驗結果相符；且所耗用電腦計算量不大，因此本計劃所提出的理論模式可作為聲波 集塵器的一項初步不錯的研發及設計工具。圖五(a)、六及七乃比照 Riera & Gallego (1986) 的方式，以瞬時平均粒徑與初始粒徑比值 G 隨時間的演變來表示聲波聚結的效率，如改以 總微粒顆數來表示，微粒總顆數在聲波的作用下快速下降；如以圖五(b)為例，總顆數在一 秒後即下降四個量階，在二秒後下降至五個量階，在四秒後則下降六個量階。也就是說一 般而言，最重要的聚結發生在聲波作用的初期，這是因為聚結後微粒顆數濃度迅速下降、 而造成後續聚結效應變弱，所以理論模式首重聚結初期的正確性。圖六顯示聚結效果隨聲 波強度的增加而增加，圖七顯示聚結效果隨初始粒徑的下降而上升，後者之原因與初始總 顆數濃度隨初始粒徑的下降而上升(見表一)有密切的關係；因顆數濃度愈大，微粒碰撞聚結 的機率也愈大。圖八顯示聚結效果隨初始顆數濃度的增加而快速增加。更詳細的結果可參 考劉義賢(2003)。 ho E 參考文獻

1. Brandt, O., Freund, H., and Hiedemann, E., Kolloid zeitschrift, Vol. 77, pp. 103-115, 1936. 2. Dianov, D. B., A. A. Podol’skii and V. I. Turubarov, Soviet Physics – Acoustics, V.13, No.3,

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3. Ezekoye, O. A. and Y. W. Wibowo, J. Aerosol Sci., V.30, No.6, 1117-1138, (1999).

4. Friedlander, S. K., Smoke, dust and haze – Fundamentals of aerosol behavior, John Wiley & Sons (1977).

5. Hoffmann, T. L., Visualization of particle interaction and agglomeration in an acoustic field, PhD Dissertation, Pennsylvania State Univ. (1993).

6. Hoffmann, T. L., J. Aerosol Sci., 28, 919-936 (1997).

7. Grinshpun S. A., Y. N. Redcoborody, S. G. Kravchuk, V. I. Zadorozhnii and V. I. Zhdanow, International J. Multiphase Flow, 26, 1305-1324 (2000).

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8. Magill, J. S., Ph. Caperan, J. Somers, K. Richter, G. Rodriguze-Corral, E. Riera-Franco de Sarabia and J. A. Gallego-Juarez, J. Aerosol Sci., 22, Suppl.I, pp.S27-S30, (1991)

9. Mednikov, E. P., Acoustic coagulation and precipitation of aerosols, Consultants Bureau, New York (1965).

10. Riera-Franco De Sarabia, E. and J. A. Gallego-Juarez, J. Sound Vib., 110, 413-427 (1986). 11. Song, L., G. H. Koopmann and T. L. Hoffmann, ASME J. Vib. Acoustics, 116, 208-214

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12. Temkin, S., Phys. Fluids, 6, 2294 -2303 (1994).

13. 李雨, “聲波引致懸浮微粒聚結的理論研究及數值計算(1/2),” 國科會研究計劃報告, NSC 90-2212-E-002-199 (2002) 14. 黃家增, “聲波引致氣體中懸浮微粒的聚集研究,” 國立臺灣大學應用力學研究所碩士論 文 (2000). 15. 黃國榮, “聲波及布朗擴散對次微米微粒聚結效應的研究,” 國立臺灣大學應用力學研究 所碩士論文(2002). 16. 羅凱升, “兩項微粒聲波聚集模式的數值研究,” 國立臺灣大學應用力學研究所碩士論文 (2003). 17. 劉義賢, “駐波聲場中次微米微粒的聚集研究,” 國立臺灣大學應用力學研究所碩士論文 (2003). (b) (a) 圖一 初始懸浮微粒為對數常態分佈，N0=4.64×1012顆/m3，d0=0.766µm，ε=10-4 (誤差参數)， Vg=3.59×10-18m3，σ=1.2，聲波強度 138dB，聲波頻率 10KHz；在(1a)式所示之正動力加流 力作用下， (a)不同碰撞效率之無因次總顆數濃度n / N0隨時間的演變，(b)無因次微粒總體 積V/V0隨時間的演變。N0 及V0 為初始的總顆數濃度及微粒總體積。 (b) (a) 圖二 模擬條件與圖一同，但採用(1b)式所示之聲波尾跡效模式進行計算。

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(b) (a) 圖三 初始懸浮微粒為對數常態分佈，N0=1012顆/m3，d0=0.323µm，ε=10-5，Vg=2.68×10-19m3， σ=1.35，聲波強度 155dB，聲波頻率 9.4KHz，ρg=1115kg/m3；在(1a)式所示之正動力加流力 模式作用下，(a)不同碰撞效率之無因次總顆數濃度n / N0隨時間的演變，(b)無因次微粒總體 積V/V0隨時間的演變。N0 及V0 為初始的總顆數濃度及微粒總體積。 (a) 圖四 模擬條件與圖三同，但採用(1b)式所示之聲波尾跡效模式進行計算。 (b) (b) (a)

ho

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ho

，聲波頻率 20.4KHz。

ho

### =

0.1(R0 =0.1µm)、0.15(R0 =0.22µm)、 0.45(R0 =0.43µm)。

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