1125 第二冊 解答

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班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.設x、 y 、k均為實數，若 1 2 4 3 0 x  x   y x y k ，則k之值為何？ (A) 3 (B)1 (C) 4 (D) 5 【103 年歷屆試題.】 解答 D 解析 從題意可知 1 0 2 4 0 3 0 x x y x y k              由 得x 1 1 x  代入 得2

 

   1 y 4 0  y2 1 x  、y2代入 得    1 3 2 k 0  k 5 （ ）2.設(x  2)為 f (x)  x4 _{ x}3 _{ 2x}2 _{ ax  2 的因式，則 a } (A)  9 (B)  1 (C)1 (D)9 【092 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ x  2 為 f (x)的因式  f (  2)  0  (  2)4 (  2)3 2  (  2)2 a  (  2)  2  0  16  8  8  2a  2  0 ∴ a  1

（ ）3.已知 cos60  4cos320  3cos20_{，則多項式 4x}3  3x 除

以 x  cos20的餘式為何？ (A)0 (B)1 2 (C) 3 2 (D)1 【096 年歷屆試題.】 解答 B 解析 令 f (x)  4x3 3x 由餘式定理知 f (x)除以 x  cos20的餘式為 3 1

(cos 20 ) 4cos 20 3cos 20 cos 60 2 f         （ ）4.設x、 y 、 z 為整數，且 2x y 3x  y 4 5 2x3y z 4，則 z 可為下列 何者？ (A) 0 (B) 3 (C) 5 (D)11 【106 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ x、y、z為整數 ∴ xy、x y 4、2x3yz也是整數 2x y 3x  y 4 5 2x3y z 4 而22 3 0 5 04  2 4 0 2 3 0 x y x y x y z     _{  }   _{  }   2 4 0 2 3 0 x y x y x y z               (1) 2 4 0 2 3 0 x y x y x y z               ：2x 4 2  x3 3 x 代入 ：3 y 2  y 1 3 x 、y 1代入 ：

 

2 3 3     1 z 0  z3 (2) 2 4 0 2 3 0 x y x y x y z                ：2x  4 2  2x2  x1 1 x 代入 ：1  y 2  y 3 1 x 、y 3代入 ：2 1 3     

 

3 z 0  7 z  由(1)和(2)可知：z3或7 故選(B) （ ）5.若 1 2 1 2 4 0 2 4 7 x x x    ，則 x  (A)  1 (B)0 (C)1 (D)2 【092 年歷屆試題.】 解答 A 解析 1 2 1 0 1 2 4 0 1 2 0 0 2 4 7 2 4 1 x x x x x x         （依第三行降階） ( 2)   1 ( 1) 0 ( 1) [2 ( 1)] 0 1 2 x x x x            ∴ x  1 《註》本題亦可由三階行列式直接展開來求 x 值 （ ）6.設 1 2 3 1 2 36 3 1 x x  的解為 a 與 b，則 a  b  (A)4 3 (B)4 (C)20 3 (D) 28 3 【093 年歷屆試題.】 解答 A 解析 1 2 3 1 2 36 3 1 x x   1  3x2 12  9  2x  2x  36  3x2 _4x  ₃₂  ₀ ∵ 其解為 a 與 b 由二次方程式根與係數關係知 ( 4) 4 3 3 a  b  

（ ）7.設 k 為自然數，若行列式 1 2 3 1 2 3 0 1 2 3 k k k     ，則 k  (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【094 年歷屆試題.】 解答 D 解析 1 2 3 6 2 3 1 2 3 0 6 2 3 0 1 2 3 6 2 3            k k k k k k k k 1  1  1 2 3 (6 ) 1 2 3 1 2 3 k k k      ( 1)  0 ( 1)   2 1 2 3 (6 ) 0 0 0 (6 ) 0 0 0 k k k k k         但已知 k 為自然數 ∴ k  6 （ ）8.設 a、b、c 為實數，若 2 2 2 1 1 12 1 a a b b c c  且 3 3 3 1 1 156 1 a a b b c c  ， 則 2 2 2 1 1 ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 ( 1) a a a b b b c c c        (A)13 (B)144 (C)168 (D)1872 【095 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 156 12 168 1 1 ( 1) 1 1 1 a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b c c c c c c c c c c                ( 1)   （ ）9.若 x2  x  1 為 x3  ax2  bx  2 的因式，則下列何者正

確？ (A)a  b (B)a2  b2  10 (C)a  b   2

(D)a  b  6 【101 年歷屆試題.】 解答 D 解析 先以 x2 x  1 去除 x3 ax2 bx  2： 1 ( 1) 1 1 1 1 2 1 1 1 ( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( ) (3 ) a a b a b a a a b a a                      餘式為(b  a)x  (3  a) ∵ x2_ x  1 為 x3 ax2 bx  2 的因式 ∴ 餘式為 0 即 b  a  0 且 3  a  0  a  3，b  3 (A) a  b (B) a2 b2 32 32 18 (C) a  b  3  3  0 (D) a  b  3  3  6 （ ）10.已知 m、n 為實數，Q(x)為二次多項式。若 x4 _{ mx}3 _ x2  5x  n  (x2  3x  2)Q(x)，則 2m  n  (A)  6 (B)  2 (C)4 (D)8 【102 年歷屆試題.】 解答 D 解析 令 f (x)  x4 _mx3 _x2 _5x  _n ∵ f (x)  (x2 3x  2)Q(x)  (x  1)(x  2)Q(x) ∴ x  1 與 x  2 均為 f (x)的因式  f (1)  0，f (2)  0 f (1)  1  m  1  5  n  0   m  n  5…… f (2)  16  8m  4  10  n  0   8m  n  2……     7m  7  m  1 m  1 代入  1  n  5  n  6 故 2m  n  2  1  6  8 （ ）11.已知 A 、 B 、 C 為常數，且對任意x均滿足







2 2 3 9 3 1 2 1 2 x x A B x x x x         





2 2 C x ，求 B 之值為 (A) 1 (B) 0 (C)1 (D) 2 【105 年歷屆試題.】 解答 D 解析 原式等號的兩側同乘以



x1



x2



2： 2 3x 9x3A x



2



2B x



1



x 2



C x



1





2

 

2







4 4 2 1 A x x B x x C x        





2



 



4 4 2 A B x A B C x A B C         則 3 4 9 4 2 3 A B A B C A B C     _{  }   _{   }   ：8A B 6  ：9A9  A1 1 A 代入 ：1 B 3  B2 （ ）12.設 k 為實數，若任意實數 x 均使 kx2  2x  k 恆為正數，

則 k 之範圍為何？ (A)k  1 (B)0  k  1 (C)  1  k  0 (D)k   1 【094 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ kx2 2x  k 恆為正數 2 2 0 0 ( 2) 4 0 4 4 0      _  _          k k k k k 0 0 ( 1)( 1) 0 1 1 k k k k k k      _  _         或 ∴ k 的範圍為 k  1 （ ）13.若行列式 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2  a b c a b c a b c ，則 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 2        a c a b c a c a b c a c a b c (A)4 (B) 2 (C) 2 (D) 4 【104 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ( 1)  2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2           a c a b c a c b c a c a b c a c b c a c a b c a c b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2      a c b a b c a c b a b c a c b a b c （ ）14.已知i 1，且 a、b 為實數，若1 3 1 i a bi i  _{ }  ，則 a  b  (A)  3 (B)  1 (C)1 (D)3 【091 年歷屆試題.】 解答 A 解析 由題目中 2 2 2 1 3 (1 3 )(1 ) 1 3 3 1 4 3 2 4 1 2 1 (1 )(1 ) 1 1 1 2 i i i i i i i i i a bi i i i i  _   _    _   _  _{    }      ∴ a  1，b  2 故得 a  b  3 （ ）15.已知i 1，且 a、b 均為實數。若1 3i為方程式 x3  3x2  ax  b  0 的一根，則 a  b  (A)  4 (B)  2 (C)8 (D)14 【098 年歷屆試題.】 解答 D 解析 1 3i為 x3 _3x2 _ax  _b  _{0 的一根，且 a、b 均為實數} 1 3   i也是 x3_ 3x2 ax  b  0 的根 而 2 [x (1 3 )][i x (1 3 )]i x 2x4 則 3 ₃ 2 ₍ 2 _{2 4)( )} 4 b x  x ax b x  x x 3 _{( 2 )} 2 _{(4 )} 4 2 b b x x x b        2 3 4 4 2 b b a            b  20，a  6 故 a  b  6  20  14 《另解》 1 3i為實係數方程式，x3 3x2 ax  b  0 之一根， 則1 3i為其另一根 設為方程式的第三根 則三根和 3 (1 3 ) (1 3 ) 3 5 1 i i              ∴ 3₃ 2    _{[ (1 3 )][}  _{(1 3 )][}  _{( 5)]} x x ax b x i x i x 3 2 3 6 20 x  x  x  a  6，b  20 故 a  b  6  20  14 （ ）16.設 a、b 為實數且i 1，若 2 3i為 2x2  ax  b  0 之一根，則 a  b  (A)1 (B)3 (C)6 (D)14 【095 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 3i為 2x2 ax  b  0 之一根 又 a、b 為實數  另一根為2 3i 由根與係數關係知 (2 3 ) (2 3 ) 2 (2 3 )(2 3 ) 2 a i i b i i              4 2 a    且7 2 b   a  8 且 b  14 ∴ a  b  6 （ ）17.已知i 1，a 為複數，若二次方程式 x2 _{ ax  4  7i}  0 有一根為 2  i，則另一根為何？ (A)2  3i (B)  3  2i (C)2  i (D)2  3i 【092 年歷屆試題.】 解答 B 解析 設另一根為，則(2  i)  4  7i 4 7 ( 4 7 )(2 ) 15 10 3 2 2 (2 )(2 ) 5 i i i i i i i i                   ∴ 另一根為  3  2i 《註》本題並非實係數二次方程式，故兩根不一定共軛 存在 （ ）18.令i 1。若 1  i 為方程式 2x2  kx  6  2i  0 的一 根，則 k  (A)  6 (B)  4 (C)  5  i (D)  10  2i 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 1  i 為 2x2 kx  6  2i  0 的根 ∴ 2(1  i)2 k(1  i)  6  2i  0

 2(2i)  k(1  i)  6  2i  0  k(1  i)  6  6i 6 6 6(1 ) 6 1 1 i i k i i            故選(A) （ ）19.設i 1，已知 1 3 2 i   且2    1  0，試求 (2  )(2  2)  (A)5 (B)7 (C) 3 3i (D) 6 3i 【097 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵  2 1  0（即 2 1）  ( 1)( 2 1)  0   3 1  0   3 1 ∴ (2 )(2  2)  4  2 2 2 3 4  2( 2)  3  4  2  (  1)  1  7 （ ）20.已知i 1，則下列何者為複數 4 4 3i 的一個平方 根？ (A) 6 2i (B) 6 2i (C) 6 2i (D) 3 2i 【093 年歷屆試題.】 解答 B 解析 4 4 3 8(1 3 ) 8(cos sin ) 2 2 3 3 i i  i       4 4 3i   的平方根為 2 2 3 3 8(cos sin ) 2 2 k k k z i         （其中 k  0, 1） 即 ₀ 8(cos sin ) 2 2( 3 1 ) 6 2 6 6 2 2 z   i    i   i 1 7 7 3 1 8(cos sin ) 2 2( ) 6 2 6 6 2 2 z   i     i    i ∴ 44 3i的平方根為 6 2i及 6 2i （ ）21.在坐標平面上，滿足不等式方程組 2 6 0 3 3 0 0 x y x y y             的 區域，其面積為何？ (A)22 5 (B) 32 5 (C) 42 5 (D)48 5 【098 年歷屆試題.】 解答 D 解析 滿足不等式方程組的區域如圖所示： 面積 1 [3 ( 1)] 24 48 2 5 5       （ ）22.下列何者為不等式|x  5|  |2  x|的解？ (A) 3 2 2 x    (B) 3 2 x  (C)  5  x  0 (D)x   5 【096 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ |x  5|  |2  x|  (x  5)2 ₍₂  _x)2 ₀  [(x  5)  (2  x)]  [(x  5)  (2  x)]  0  7(2x  3)  0 ∴ 3 2 x  （ ）23.求



3₃₂



3₉_{2 3}3 ₄



_{之值為何？ (A) 5} (B) 3 (C) 8 (D)11 【103 年歷屆試題.】 解答 A 解析 所求



  

2 2 3_{3 2}  3₃ 3_{3 2 2}    _    _  

 

3 3 3 3 2 3 8 5       （ ）24.下列何者為方程式(x  2)(x  3)(x  4)(x  5)  60 的正 整數解？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【097 年歷屆試題.】 解答 C 解析 (x  2)(x  3)(x  4)(x  5)  60  [(x  2)(x  4)][(x  3)(x  5)]  60  (x2 _2x  _8)(x2 _2x  ₁₅₎  ₆₀  ₀ 令 y  x2 _2x  _(y  _8)(y  ₁₅₎  ₆₀  ₀  _y2 23y  60  0  (y  3)(y  20)  0  y  3 或 y  20 (1)當 y  3  3  x2 _2x  _x2 _2x  ₃  ₀  (x  1)(x  3)  0 ∴ x  3 或 x  1 (2)當 y  20  20  x2 _2x  _x2 _2x  ₂₀  ₀ 2 84 2 2 21 1 21 2 2 x       

由(1)、(2)知方程式的正整數解為 3 （ ）25.試問 311_{除以 3}2  3  1 之餘數為何？ (A)1 (B)3 (C)9 (D)12 【096 年歷屆試題.】 解答 C 解析 311 32(39 1)  32 32[(33)3 13]  9  9(33 1)[(33)2 33 1]  9  9(3  1)(32 3  1)(36 33 1)  9  18(32 3  1)(36 33 1)  9 ∴ 311_{除以 3}2_ 3  1 之餘數為 9