0228 數學第三冊解答

0228 數學第三冊 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.已知 f (x)  3x_{，若 f (a)}  _{2 且 f (b)}  _{4，則 f (a}  _b)  _{(A)2 (B)4 (C)6 (D)8} 【093 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ f (a)  2  3a ₂ 又 f (b)  4  3b ₄ ∴ f (a  b)  3a  b ₃a ₃b ₂  ₄  ₈

（ ）2.設 a  log102，b  log103，若以 a、b 表示 log1015，則 log1015  (A)a  b 

1 (B)a  b  1 (C)  a  b  1 (D)a  b  1 【092 年歷屆試題.】 解答 C 解析 10 10 10 10 10

3 10

log 15

log

log 3 log 10 log 2

1

1

2

b

a

a

b











      

（ ）3.設 S 為一試驗之樣本空間，集合 A、B 皆為 S 中的事件，且 P (A)為事件 A 發生的機率。下列敘述何者錯誤？ (A)若 A 與 B 為互斥事件，則 P (A  B)  P (A)  P (B)恆成立 (B)P (B  A)  P (B)  P (A)恆成立 (C)P (S  A)  1  P (A)恆成立 (D)P (A  B)  P (A)  P (B)  P (A  B)恆成立 【098 年歷屆試題】 解答 B 解析 (A)若 A 與 B 為互斥事件，則 P (A  B)  0 故 P (A  B)  P (A)  P (B)  P (A  B)  P (A)  P (B) (B)舉反例： 設 S 為擲一公正硬幣之樣本空間，A 為正面的事件，B 為反面的事件 則

(

)

( )

1

2

P B



A



P B



，

( )

( )

1

1

0

2

2

P B



P A

  

 P(B  A)  P (B)  P (A) 故 P(B  A)  P (B)  P (A)不一定成立 (C)P (S  A)  P (A' )  1  P(A) (D)排容原理恆成立 （ ）4.設「  」表示四則運算中的乘號，若 22x  1 23x ₅  ₂x  4_{，試求 x}  _(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【094 年歷屆試題.】 解答 D（ ）6.中山高中一、二、三年級學生人數的比例分別為 40％、32 ％、28％，而一、二、三年級男生人數占該年級的比例分別為 50％、60％、40％， 現從全校學生中任意選取 1 人，則此人為女生的機率為何？ (A)43.2％ (B)45.4 ％ (C)47.8％ (D)49.6％【099 年歷屆試題.】 解答 D 解析 原式  2(2x₎2_{ (2}x₎3_{ 5  2}4_{ 2}x ∵ 2x_恆為正數 等號兩邊同除以 2x_{，得 2}  ₂x ₍₂x₎2 ₈₀  (2x₎2 ₂  ₂x ₈₀  ₀  ₍₂x ₁₀₎₍₂x ₈₎  ₀  2x _{8 或 2}x _{10（不合）} ∴ x  3 （ ）5.有一籃球隊共有 12 位選手，其前鋒、中鋒、後衛的人數分別為 4 人、3 人、5 人，現在要選 5 位選手上場比賽，一般籃球比賽中，每隊的前鋒、中鋒、 後衛人數分別為 2 人、1 人、2 人，問共有幾種不同選法？ (A)120 (B)154 (C)180 (D)225 解析 由題意，樹狀圖如下： 由、、知所求機率  40％  50％  32％  40％  28％  60％  49.6％ 故選(D)【099 年歷屆試題.】 解答 C 解析 4_{2 1}3 5₂

4!

3!

5!

180

2! 2!

1! 2!

2!3!

C



C



C









故選(C) （ ）7.若 log3x  log3y  2，則

1

1

x



y

之最小值為何？(A)0 (B)

1

3

(C)

2

3

(D)1 【095 年歷屆試題.】 解答 C

解析 log3x  log3y  2  log3xy  2  xy  32 9

又

1

1

2

1

x

 

y

xy



1

1

1

2

2

9

3

x

 

y



∴

1

1

x



y

之最小值為

2

3

（ ）8.某遊樂場舉辦摸彩活動，摸彩箱中有 0 號球、1 號球、2 號球各 3 個，每 一球被取出之機率均相同。遊客由摸彩箱中同時取出 3 球，若取出的 3 個球為 1 個 1 號球、2 個 0 號球時，則此遊客可以免費入場。求一遊客經由此摸彩活動得 以免費入場的機率為何？ (A)

3

560

(B)

3

28

(C)

2

9

(D)

1

3

【100 年歷屆試題】 解答 B 解析 設 S 為由摸彩箱中 9 個球同時取 3 球的樣本空間，A 為取出 1 個 1 號球、2 個 0 號球的事件 則 n (S) 

C

9₃

9!

84

3!6!





9 個球取 3 個 n (A) 

C

₁3 

C

3₂ 3 個 1 號球取 1 個 3 個 0 號球取 2 個

3!

3!

9

1! 2!

2!1!







因此所求

( )

( )

9

3

( )

84

28

n A

P A

n S







（ ）9.設 r 為有理數，且

₅

_{4( 40}

3

5

₎

2

2

r

_

_

，則 r (A)

8

3

(B)

10

3

(C)8(D)10 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 4 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 3

5

3

5

3

5

5 5

5

4( 40

)

4( 8 5

)

4(2 5

)

4(

)

4(

)

2

2

2

2

2





 









8 8 3 3

5

4

5

4

 



∴

8

3

r



故選(A) （ ）10.已知甲、乙、丙三人搭同一班次火車，此班火車有 5 節車廂。若每人選 擇搭乘各車廂的機率均為

1

5

，則此三人分別在不同車廂的機率為何？ (A)

1

25

(B)

2

25

(C)

12

25

(D)

24

25

【102 年歷屆試題】 解答 C 解析 設 S 為三人選擇車廂的樣本空間，A 為三人分別在不同車廂的事件， 則 n(S)  5  5  5  125 5 3

( )

5 4 3

60

n A



P

   

所求

( )

( )

60

12

( )

125

25

n A

P A

n S







（ ）11.已知 a  0，b  0，a  1。若 a5 _b3_{，則 log} ab (A)

5

3



(B)

3

5



(C)

3

5

(D)

5

3

【102 年歷屆試題.】 解答 D 解析 5 3 5 5 3 3 3 3

a



b



a



b



a



b

故

log

5

3

a

b



（ ）12.某校全體新生測量身高結果近似常態分配，如圖。若身高的平均數 為 170 公分，標準差 為 4 公分，且全體新生中身高小於 166 公分的人數約為 120 人，則此校新生人數與下列何者最接近？ (A)375 (B)750 (C)1125 (D)1500 【102 年歷屆試題.】 解析 設全校新生約有 x 人， ∵ 166  170  4  ∴ 小於 166 公分的人數為 以下的人數 即

1

(1 68%)

16

2

100

x

  



x

則

16

120

750

100

x





x



故新生約有 750 人 （ ）13.設



x



2

y



4與



x



2

y



5的展開式中所有項的係數和分別為

a

、

b

， 則

b

a



(A)



2

(B)



1

(C)

1

2

(D)

2

【106 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (1)令

x



1

、

y



1

代入



x



2

y



4：



  

4 4

1 2 1

 

 

1



1

則



x



2

y



4的展開式中所有項係數和為

1

(2)令

x



1

、

y



1

代入



x



2

y



5：



  

5 5

1 2 1

 

 

1

 

1

則



x



2

y



5的展開式中所有項係數和為



1

由(1)和(2)可知：

a



1

，

b

 

1

故

1

1

1

b

a





 

（ ）14.已知

33

位遊客在科學教育館參觀，他們的年齡及人數分布如表。若這 群遊客年齡的中位數為

32

歲，則這群遊客中哪個年齡的人數最多？

年齡（歲）

8

12

32

54

60

62

人數（人）

7

a

₁

_b

₅

₁

(A)

8

(B)

12

(C)54 (D)

60

【104 年歷屆試題.】 解答 C 解析 有

33

位遊客且其年齡的中位數為

32

歲 ∵

32

歲的遊客只有

1

位，而

33 1

16

2



_

∴ 小（大）於

32

歲的遊客均有

16

位 即

7

 

a

16



a



9

5 1 16

  

b



b



10

故

54

歲的人數最多 （ ）15.設

1

1

2

70

a

  

 

 

，

1

1

4

2500

b

  

 

 

，

1

1

8

216000

c

  

 

 

，則

a

、

b

、

c

三個數的大小關係為何？ (A)

b

 

c

a

(B)

c

 

b

a

(C)

c

 

a

b

(D)

a

 

b

c

【103 年歷屆試題.】

解答 A 解析 ∵

1

1

4

2500

b

  

 

 

 2 2

1

1

2

50

b



_{ }



_

_





 







 













 2 2

1

1

2

50

b



_{ }



_

_





 







 













∴

1

1

2

50

b

  

 

 

∵

1

1

8

216000

c

  

 

 

 3 3

1

1

2

60

c



_{ }



_

_





 







 













 3 3

1

1

2

60

c



_{ }



_

_





 







 













∴

1

1

2

60

c

  

 

 

而

1

1

1

50



60



70



1

1

1

2

2

2

b c a

 

_

 

_

 

 

 

 

 

 

 

∵

1

2

x

y

  

 

 

為遞減函數 ∴

b

 

c

a

（ ）16.設 x、y 為正實數，若 2log(x  2y)  logx  logy，則

x

y

之值為何？ (A)1

(B)2 (C)3 (D)4

【098 年歷屆試題.】

解答 D

解析 2log(x  2y)  logx  logy

 log(x  2y)2 _logxy  _(x  _2y)2 _xy  _x2 _5xy  _4y2 ₀  (x  y)(x  4y)  0  x  y 或 x  4y 由題意知：x、y 為正實數 當 x  y 時，x  2y  y  0（不合，真數恆正） ∴ x  4y，故

x

4

y

4

y



y



（ ）17.設 1 2

1

2

a

  

 

 

， 1 3

1

3

b

  

 

 

， 1 6

1

6

c

  

 

 

，則

a

、

b

、

c

大小順序為何？ (A)

a

 

c

b

(B)

a

 

b

c

(C)

c

 

a

b

(D)

b

 

c

a

【106 年歷屆試題.】 解答 C 解析 6 1 1 6 3 2 2 6

1

1

1

1

2

2

2

8

a





_{ }



_{ }

_{ }







_{ }



_{ }



_{ }





_{ }



_{ }

_{ }





6 1 1 6 2 3 3 6

1

1

1

1

3

3

3

9

b





_{ }



_{ }

_{ }







_{ }



_{ }



_{ }





_{ }



_{ }

_{ }





6 1 1 6 1 6 6 2

1

1

1

1

6

6

6

6

c





_{ }



_{ }

_{ }







_{ }



_{ }



_{ }





_{ }



_{ }

_{ }





則

b

6



a

6



c

6 

b

 

a

c

（ ）18.已知

m

、

n

為整數，若

m

log

₅₀₀

5



n

log

₅₀₀

2



1

，則

m

 

n

(A)

7

(B)

8

(C)

9

(D)10 【104 年歷屆試題.】 解答 A 解析 1 2 500 500 500 500

log

5



log

2



log

5

m



log

(2 )

n

m

n

2 2

500 500 500

log

5

log

2

log

(5

2 )



m



n



m



n 而

1 log



₅₀₀

500



log

₅₀₀

(5

3



2 )

2 ， 則

₅



₂

2

 

₅

3

₂

2 n m _

3



m

，

n



4

故

m n

   

3 4

7

（ ）19.從

1

﹐

2

﹐

3

﹐

4

﹐

5

﹐

6

﹐

7

﹐

8

這八個數字中，任取

3

個相異數字， 若每個數字被取中的機會均相等，則取出之

3

個數字中，最大的數字大於

6

的機 率為何？ (A)

5

14

(B)

5

12

(C)

7

12

(D)

9

14

【104 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設任取

3

個相異數字的樣本空間為

S

最大數字為

7

的事件為

A

最大數字為

8

的事件為

B

則

( )

8₃

8 7 6

56

3!

 







n S

C

6 2

6 5

( )

15

2!









n A

C

7 2

7 6

( )

21

2









n B

C

所求

( )

( )

15

21

9

56

56

14



P A



P B







〈另解〉 設任取

3

個相異數字的樣本空間為

S

而

3

個數字



6

的事件為

A

8 3

8 7 6

( )

56

3!

 







n S

C

6 3

6 5 4

( )

20

3!

 







n A

C

( )

20

5

( )

( )

56

14



n A





P A

n S

所求



P

(3

個數字中，最大的數



6)

 

1

P

(3

個數字中，最大的數



6)

 

1

P

(3

個數字



6)

1

( ) 1

5

9

14

14

 

P A

 



（ ）20.將

6

顆相同紅球分給三個人且全部分完，若每人至少分到一顆紅球，則 共有多少種分法？ (A)

6

(B)10 (C)

20

(D)

27

【104 年歷屆試題.】 解答 B 解析 每一個人先給一顆紅球， 再將剩下的三顆紅球任意分給三人，

則方法數為 3₃ 3 3 1₃ 5₃

=

5 4 3

=10

3!

 

 





H

C

C

種 （ ）21.已知四個正數

a

、

b

、

c

、

d

為一等比數列，若

a b

 

20

，

65

   

a b c

d

，則

a



(A)

5

(B)

6

(C)

7

(D)

8

【104 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設等比數列的公比為

r

（

r



0

） 則

b



ar

，

c



ar

2，

d



ar

3

20

 

a b



a ar





20



a

(1

 

r

)

20



a b

  

c

d

65



20

  

c

d

65



c

 

d

45



_ar

2



_ar

3



₄₅

 2

(1

 

)

45

ar

r

： 2

(1

)

45

(1

)

20



_



ar

r

a

r

 2

9

4



r



3

2

 

r

（負不合）

3

2



r

代回 ：

(1

3

)

20

2





a



a



8

（ ）22.若同時擲兩粒公正的骰子，則下列何者正確？ (A)點數和等於

5

的機率 大於點數和等於

8

的機率 (B)點數和等於

6

的機率大於點數和等於

7

的機率 (C)點數和等於

7

的機率大於點數和等於

9

的機率 (D)點數和等於

9

的機率大於 點數和等於

8

的機率 【105 年歷屆試題.】 解答 C 解析 設同時擲兩粒骰子的樣本空間為

S

，點數和等於

k

的機率為

P

_k （如：

P

₅為點數和等於

5

的機率）

 

6 6

36

n S

  

擲兩粒骰子：

點數和

5

6

7

8

9

方法數

4

5

6

5

4

則 ₅

4

36

P



， ₆

5

36

P



， ₇

6

36

P



， ₈

5

36

P



， ₉

4

36

P



(A)

P

₅



P

₈ (B)

P

₆



P

₇ (C)

P

₇



P

₉ (D)

P

₉



P

₈ （ ）23.連續投擲一公正硬幣四次，觀察其出現正反面的情形。已知

E

為第二次 投擲出現正面的事件，

F

為第三次投擲出現正面的事件，

G

為四次投擲中至少 出現兩次正面的事件。若

P A

 

表示事件

A

發生的機率，則下列敘述何者正確？ (A)

 

1

8

P E



(B)





1

8

P E



G





(C)



|



1

4

P F E



(D)

 

11

16

P G



【105 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設樣本空間為

S

，則

n S

 



2

4



16

(A)

E

：第二次出現正面的事件

 

3

2

8

n E





則

 

 

 

16

8

1

2

n E

P E

n S







(B)∵

G

表示至少出現兩次正面的事件 ∴

G



表示只有一次正面或沒有正面的事件 

E



G



：只有第二次出現正面，其餘皆為反面的事件





1

n E



G





則









 

16

1

n E

G

P E

G

n S













(C)

F

：第三次出現正面的事件 

F



E

：第二、三次均出現正面的事件





2

2

4

n F



E





則









 

4

1

|

8

2

n F

E

P F E

n E





 

(D)設

G

₀為沒有出現正面的事件，

 

0

1

n G



，則

 

 

 

0 0

1

16

n G

P G

n S





設

G

₁為出現一次正面的事件，

 

1

4

n G



，則

 

 

 

1 1

4

16

n G

P G

n S





則

P G

 

 

1

P G

 



 

1

P G

 

0



P G

 

1

1

4

11

1

16

16

16

 





（ ）24.設

a

、

b

、

c

三數成等比數列，且滿足

a b c

  

9

及 2 2 2

189

a



b



c



，則等比中項

b



(A)



6

(B)



2

(C)

1

2

(D)

6

【106 年歷屆試題.】 解答 A 解析 〈法一〉 ∵

a

、

b

、

c

成等比數列 ∴

b

2



ac

2 2 2

189

a



b



c





a

2



c

2



189



b

2

9

a b c

  



a c

  

9

b





a c



 

2

 

9

b



2 

_a

2



₂

_ac



_c

2



_{81 18}



_{b b}



2 _



2 2



a



c



2

ac



81 18b b





2 



2



189 b





2

2

b



81 18b b





2 

18

b

 

108



b

 

6

〈法二〉 設等比數列

a

、

b

、

c

的公比為

r

則

b



ar

，

c



ar

2

9

a b c

  



_a



_ar



_ar

2



₉





2



1

9

a

 

r

r



2 2 2

189

a



b



c





_a

2



 

_ar

2



 

_ar

2 2



₁₈₉

_ 2 2 2 2 4

189

a



a r



a r



 2



2 4



1

189

a



r



r



：









2 2 4 2

1

₁₈₉

9

1

a

r

r

a

r

r







 













2 2 2 2

1

1

21

1

a

r

r

r

r

a

r

r

 

 



 







2

1

21

a

 

r

r





_a



_ar



_ar

2



₂₁



：

2

ar

 

12



ar

 

6

∵

b



ar

∴

b

 

6

（ ）25.將

0

、

1

、

2

、

3

、

5

五個數字全取，排成一列，可得

4

的倍數的五位 數共有多少個？（註：凡是末兩位數是

4

的倍數者即為

4

的倍數） (A)

18

(B)

20

(C)

24

(D)

36

【103 年歷屆試題.】 解答 A 解析 末兩位數是

4

的倍數為

12

、

20

、

32

、

52

(1)□□□

12

： 把

0

、

3

、

5

排入前三位，因為

0

不可排首位，所以先排

0

在首位之外的位置， 再排

3

、

5

， 有

2 2! 4

 

種 (2)□□□

20

： 把

1

、

3

、

5

排入前三位， 有

3! 6



種 (3)□□□

32

： 把

0

、

1

、

5

排入前三位，因為

0

不可排首位，所以先排

0

在首位之外的位置， 再排

1

、

5

， 有

2 2! 4

 

種 (4)□□□

52

： 把

0

、

1

、

3

排入前三位，因為

0

不可排首位，所以先排

0

在首位之外的位置， 再排

1

、

3

， 有

2 2! 4

 

種 由(1)、(2)、(3)、(4)可知， 共有

4 6 4 4 18

   

種