0228 數學第三冊解答

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(1)

0228 數學第三冊 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.已知 f (x)  3x,若 f (a) 2 且 f (b) 4,則 f (a b) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【093 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ f (a)  2  3a 2 又 f (b)  4  3b 4 ∴ f (a b)  3a b 3a 3b 2 4 8

( )2.設 a  log102,b  log103,若以 a、b 表示 log1015,則 log1015  (A)a b

1 (B)a b  1 (C)  a b 1 (D)a b  1 【092 年歷屆試題.】 解答 C 解析 10 10 10 10 10

3 10

log 15

log

log 3 log 10 log 2

1

1

2

b

a

a

b

      

( )3.設 S 為一試驗之樣本空間,集合 A、B 皆為 S 中的事件,且 P (A)為事件 A 發生的機率。下列敘述何者錯誤? (A)若 A 與 B 為互斥事件,則 P (A B) P (A) P (B)恆成立 (B)P (B A) P (B) P (A)恆成立 (C)P (S A)  1  P (A)恆成立 (D)P (A B) P (A) P (B) P (A B)恆成立 【098 年歷屆試題】 解答 B 解析 (A)若 A 與 B 為互斥事件,則 P (A B)  0 故 P (A B) P (A) P (B) P (A B) P (A) P (B) (B)舉反例: 設 S 為擲一公正硬幣之樣本空間,A 為正面的事件,B 為反面的事件

(

)

( )

1

2

P B

A

P B

( )

( )

1

1

0

2

2

P B

P A

  

P(B A) P (B) P (A) 故 P(B A) P (B) P (A)不一定成立 (C)P (S A) P (A' )  1  P(A) (D)排容原理恆成立 ( )4.設「  」表示四則運算中的乘號,若 22x  1 23x 5 2x  4,試求 x (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【094 年歷屆試題.】 解答 D( )6.中山高中一、二、三年級學生人數的比例分別為 40%、32 %、28%,而一、二、三年級男生人數占該年級的比例分別為 50%、60%、40%, 現從全校學生中任意選取 1 人,則此人為女生的機率為何? (A)43.2% (B)45.4 % (C)47.8% (D)49.6%【099 年歷屆試題.】 解答 D 解析 原式  2(2x)2 (2x)3 5 24 2x ∵ 2x恆為正數 等號兩邊同除以 2x,得 2 2x (2x)2 80  (2x)2 2 2x 80 0 (2x 10)(2x 8) 0  2x 8 或 2x 10(不合) ∴ x  3 ( )5.有一籃球隊共有 12 位選手,其前鋒、中鋒、後衛的人數分別為 4 人、3 人、5 人,現在要選 5 位選手上場比賽,一般籃球比賽中,每隊的前鋒、中鋒、 後衛人數分別為 2 人、1 人、2 人,問共有幾種不同選法? (A)120 (B)154 (C)180 (D)225 解析 由題意,樹狀圖如下: 由、、知所求機率  40%  50%  32%  40%  28%  60%  49.6% 故選(D)【099 年歷屆試題.】 解答 C 解析 42 13 52

4!

3!

5!

180

2! 2!

1! 2!

2!3!

C

C

C

故選(C) ( )7.若 log3x  log3y  2,則

1

1

x

y

之最小值為何?(A)0 (B)

1

3

(C)

2

3

(D)1 【095 年歷屆試題.】 解答 C

解析 log3x  log3y  2  log3xy  2  xy  32 9

1

1

2

1

x

 

y

xy

1

1

1

2

2

9

3

x

 

y

1

1

x

y

之最小值為

2

3

( )8.某遊樂場舉辦摸彩活動,摸彩箱中有 0 號球、1 號球、2 號球各 3 個,每 一球被取出之機率均相同。遊客由摸彩箱中同時取出 3 球,若取出的 3 個球為 1 個 1 號球、2 個 0 號球時,則此遊客可以免費入場。求一遊客經由此摸彩活動得 以免費入場的機率為何? (A)

3

560

(B)

3

28

(C)

2

9

(D)

1

3

【100 年歷屆試題】 解答 B 解析 設 S 為由摸彩箱中 9 個球同時取 3 球的樣本空間,A 為取出 1 個 1 號球、2 個 0 號球的事件 則 n (S)

C

93

9!

84

3!6!

9 個球取 3 個 n (A)

C

13 

C

32 3 個 1 號球取 1 個 3 個 0 號球取 2 個

3!

3!

9

1! 2!

2!1!

因此所求

( )

( )

9

3

( )

84

28

n A

P A

n S

(2)

( )9.設 r 為有理數,且

5

4( 40

3

5

)

2

2

r

,則 r (A)

8

3

(B)

10

3

(C)8(D)10 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 4 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 3

5

3

5

3

5

5 5

5

4( 40

)

4( 8 5

)

4(2 5

)

4(

)

4(

)

2

2

2

2

2

 

8 8 3 3

5

4

5

4

 

8

3

r

故選(A) ( )10.已知甲、乙、丙三人搭同一班次火車,此班火車有 5 節車廂。若每人選 擇搭乘各車廂的機率均為

1

5

,則此三人分別在不同車廂的機率為何? (A)

1

25

(B)

2

25

(C)

12

25

(D)

24

25

【102 年歷屆試題】 解答 C 解析 設 S 為三人選擇車廂的樣本空間,A 為三人分別在不同車廂的事件, 則 n(S)  5  5  5  125 5 3

( )

5 4 3

60

n A

P

   

所求

( )

( )

60

12

( )

125

25

n A

P A

n S

( )11.已知 a 0,b 0,a 1。若 a5 b3,則 log ab (A)

5

3

(B)

3

5

(C)

3

5

(D)

5

3

【102 年歷屆試題.】 解答 D 解析 5 3 5 5 3 3 3 3

a

b

a

b

a

b

log

5

3

a

b

( )12.某校全體新生測量身高結果近似常態分配,如圖。若身高的平均數 為 170 公分,標準差 為 4 公分,且全體新生中身高小於 166 公分的人數約為 120 人,則此校新生人數與下列何者最接近? (A)375 (B)750 (C)1125 (D)1500 【102 年歷屆試題.】 解析 設全校新生約有 x 人, ∵ 166  170  4  ∴ 小於 166 公分的人數為 以下的人數 即

1

(1 68%)

16

2

100

x

  

x

16

120

750

100

x

x

故新生約有 750 人 ( )13.設

x

2

y

4與

x

2

y

5的展開式中所有項的係數和分別為

a

b

, 則

b

a

(A)

2

(B)

1

(C)

1

2

(D)

2

【106 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (1)令

x

1

y

1

代入

x

2

y

4:

  

4 4

1 2 1

 

 

1

1

x

2

y

4的展開式中所有項係數和為

1

(2)令

x

1

y

1

代入

x

2

y

5:

  

5 5

1 2 1

 

 

1

 

1

x

2

y

5的展開式中所有項係數和為

1

由(1)和(2)可知:

a

1

b

 

1

1

1

1

b

a

 

( )14.已知

33

位遊客在科學教育館參觀,他們的年齡及人數分布如表。若這 群遊客年齡的中位數為

32

歲,則這群遊客中哪個年齡的人數最多?

年齡(歲)

8

12

32

54

60

62

人數(人)

7

a

1

b

5

1

(A)

8

(B)

12

(C)54 (D)

60

【104 年歷屆試題.】 解答 C 解析 有

33

位遊客且其年齡的中位數為

32

歲 ∵

32

歲的遊客只有

1

位,而

33 1

16

2

∴ 小(大)於

32

歲的遊客均有

16

位 即

7

 

a

16

a

9

5 1 16

  

b

b

10

54

歲的人數最多 ( )15.設

1

1

2

70

a

  

 

 

1

1

4

2500

b

  

 

 

1

1

8

216000

c

  

 

 

,則

a

b

c

三個數的大小關係為何? (A)

b

 

c

a

(B)

c

 

b

a

(C)

c

 

a

b

(D)

a

 

b

c

【103 年歷屆試題.】

(3)

解答 A 解析 ∵

1

1

4

2500

b

  

 

 

 2 2

1

1

2

50

b

 

 

 

 2 2

1

1

2

50

b

 

 

 

1

1

2

50

b

  

 

 

1

1

8

216000

c

  

 

 

 3 3

1

1

2

60

c

 

 

 

 3 3

1

1

2

60

c

 

 

 

1

1

2

60

c

  

 

 

1

1

1

50

60

70

1

1

1

2

2

2

b c a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

x

y

  

 

 

為遞減函數 ∴

b

 

c

a

( )16.設 x、y 為正實數,若 2log(x 2y) logx logy,則

x

y

之值為何? (A)1

(B)2 (C)3 (D)4

【098 年歷屆試題.】

解答 D

解析 2log(x 2y) logx logy

log(x 2y)2 logxy (x 2y)2 xy x2 5xy 4y2 0 (x y)(x 4y)  0  x y 或 x 4y 由題意知:x、y 為正實數 當 x y 時,x 2y  y  0(不合,真數恆正) ∴ x 4y,故

x

4

y

4

y

y

( )17.設 1 2

1

2

a

  

 

 

, 1 3

1

3

b

  

 

 

, 1 6

1

6

c

  

 

 

,則

a

b

c

大小順序為何? (A)

a

 

c

b

(B)

a

 

b

c

(C)

c

 

a

b

(D)

b

 

c

a

【106 年歷屆試題.】 解答 C 解析 6 1 1 6 3 2 2 6

1

1

1

1

2

2

2

8

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 1 1 6 2 3 3 6

1

1

1

1

3

3

3

9

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 1 1 6 1 6 6 2

1

1

1

1

6

6

6

6

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

6

a

6

c

6 

b

 

a

c

( )18.已知

m

n

為整數,若

m

log

500

5

n

log

500

2

1

,則

m

 

n

(A)

7

(B)

8

(C)

9

(D)10 【104 年歷屆試題.】 解答 A 解析 1 2 500 500 500 500

log

5

log

2

log

5

m

log

(2 )

n

m

n

2 2

500 500 500

log

5

log

2

log

(5

2 )

m

n

m

n

1 log

500

500

log

500

(5

3

2 )

2 , 則

5

2

2

 

5

3

2

2 n m

3

m

n

4

m n

   

3 4

7

( )19.從

1

2

3

4

5

6

7

8

這八個數字中,任取

3

個相異數字, 若每個數字被取中的機會均相等,則取出之

3

個數字中,最大的數字大於

6

的機 率為何? (A)

5

14

(B)

5

12

(C)

7

12

(D)

9

14

【104 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設任取

3

個相異數字的樣本空間為

S

最大數字為

7

的事件為

A

最大數字為

8

的事件為

B

( )

83

8 7 6

56

3!

 

n S

C

6 2

6 5

( )

15

2!

n A

C

7 2

7 6

( )

21

2

n B

C

所求

( )

( )

15

21

9

56

56

14

P A

P B

〈另解〉 設任取

3

個相異數字的樣本空間為

S

3

個數字

6

的事件為

A

8 3

8 7 6

( )

56

3!

 

n S

C

6 3

6 5 4

( )

20

3!

 

n A

C

( )

20

5

( )

( )

56

14

n A

P A

n S

所求

P

(3

個數字中,最大的數

6)

 

1

P

(3

個數字中,最大的數

6)

 

1

P

(3

個數字

6)

1

( ) 1

5

9

14

14

 

P A

 

( )20.將

6

顆相同紅球分給三個人且全部分完,若每人至少分到一顆紅球,則 共有多少種分法? (A)

6

(B)10 (C)

20

(D)

27

【104 年歷屆試題.】 解答 B 解析 每一個人先給一顆紅球, 再將剩下的三顆紅球任意分給三人,

(4)

則方法數為 33 3 3 13 53

=

5 4 3

=10

3!

 

 

H

C

C

種 ( )21.已知四個正數

a

b

c

d

為一等比數列,若

a b

 

20

65

   

a b c

d

,則

a

(A)

5

(B)

6

(C)

7

(D)

8

【104 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設等比數列的公比為

r

r

0

) 則

b

ar

c

ar

2,

d

ar

3

20

 

a b

a ar

20

a

(1

 

r

)

20

a b

  

c

d

65

20

  

c

d

65

c

 

d

45

ar

2

ar

3

45

 2

(1

 

)

45

ar

r

: 2

(1

)

45

(1

)

20

ar

r

a

r

 2

9

4

r

3

2

 

r

(負不合)

3

2

r

代回 :

(1

3

)

20

2

a

a

8

( )22.若同時擲兩粒公正的骰子,則下列何者正確? (A)點數和等於

5

的機率 大於點數和等於

8

的機率 (B)點數和等於

6

的機率大於點數和等於

7

的機率 (C)點數和等於

7

的機率大於點數和等於

9

的機率 (D)點數和等於

9

的機率大於 點數和等於

8

的機率 【105 年歷屆試題.】 解答 C 解析 設同時擲兩粒骰子的樣本空間為

S

,點數和等於

k

的機率為

P

k (如:

P

5為點數和等於

5

的機率)

 

6 6

36

n S

  

擲兩粒骰子:

點數和

5

6

7

8

9

方法數

4

5

6

5

4

5

4

36

P

6

5

36

P

7

6

36

P

8

5

36

P

9

4

36

P

(A)

P

5

P

8 (B)

P

6

P

7 (C)

P

7

P

9 (D)

P

9

P

8 ( )23.連續投擲一公正硬幣四次,觀察其出現正反面的情形。已知

E

為第二次 投擲出現正面的事件,

F

為第三次投擲出現正面的事件,

G

為四次投擲中至少 出現兩次正面的事件。若

P A

 

表示事件

A

發生的機率,則下列敘述何者正確? (A)

 

1

8

P E

(B)

1

8

P E

G

(C)

|

1

4

P F E

(D)

 

11

16

P G

【105 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設樣本空間為

S

,則

n S

 

2

4

16

(A)

E

:第二次出現正面的事件

 

3

2

8

n E

 

 

 

16

8

1

2

n E

P E

n S

(B)∵

G

表示至少出現兩次正面的事件 ∴

G

表示只有一次正面或沒有正面的事件 

E

G

:只有第二次出現正面,其餘皆為反面的事件

1

n E

G

 

16

1

n E

G

P E

G

n S

(C)

F

:第三次出現正面的事件 

F

E

:第二、三次均出現正面的事件

2

2

4

n F

E

 

4

1

|

8

2

n F

E

P F E

n E

 

(D)設

G

0為沒有出現正面的事件,

 

0

1

n G

,則

 

 

 

0 0

1

16

n G

P G

n S

G

1為出現一次正面的事件,

 

1

4

n G

,則

 

 

 

1 1

4

16

n G

P G

n S

P G

 

 

1

P G

 

 

1

P G

 

0

P G

 

1

1

4

11

1

16

16

16

 

( )24.設

a

b

c

三數成等比數列,且滿足

a b c

  

9

及 2 2 2

189

a

b

c

,則等比中項

b

(A)

6

(B)

2

(C)

1

2

(D)

6

【106 年歷屆試題.】 解答 A 解析 〈法一〉 ∵

a

b

c

成等比數列 ∴

b

2

ac

2 2 2

189

a

b

c

a

2

c

2

189

b

2

9

a b c

  

a c

  

9

b

a c

 

2

 

9

b

2 

a

2

2

ac

c

2

81 18

b b

2

2 2

a

c

2

ac

81 18b b

2 

2

189 b

2

2

b

81 18b b

2 

18

b

 

108

b

 

6

〈法二〉 設等比數列

a

b

c

的公比為

r

b

ar

c

ar

2

9

a b c

  

a

ar

ar

2

9

2

1

9

a

 

r

r

(5)

2 2 2

189

a

b

c

a

2

 

ar

2

 

ar

2 2

189

2 2 2 2 4

189

a

a r

a r

 2

2 4

1

189

a

r

r

2 2 4 2

1

189

9

1

a

r

r

a

r

r

 



2 2 2 2

1

1

21

1

a

r

r

r

r

a

r

r

 

 

 

2

1

21

a

 

r

r

a

ar

ar

2

21

2

ar

 

12

ar

 

6

b

ar

b

 

6

( )25.將

0

1

2

3

5

五個數字全取,排成一列,可得

4

的倍數的五位 數共有多少個?(註:凡是末兩位數是

4

的倍數者即為

4

的倍數) (A)

18

(B)

20

(C)

24

(D)

36

【103 年歷屆試題.】 解答 A 解析 末兩位數是

4

的倍數為

12

20

32

52

(1)□□□

12

: 把

0

3

5

排入前三位,因為

0

不可排首位,所以先排

0

在首位之外的位置, 再排

3

5

, 有

2 2! 4

 

種 (2)□□□

20

: 把

1

3

5

排入前三位, 有

3! 6

種 (3)□□□

32

: 把

0

1

5

排入前三位,因為

0

不可排首位,所以先排

0

在首位之外的位置, 再排

1

5

, 有

2 2! 4

 

種 (4)□□□

52

: 把

0

1

3

排入前三位,因為

0

不可排首位,所以先排

0

在首位之外的位置, 再排

1

3

, 有

2 2! 4

 

種 由(1)、(2)、(3)、(4)可知, 共有

4 6 4 4 18

   

數據

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參考文獻

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