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1106 複數 姓名 座號
一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)
( )1.下列何者正確? (A)4 3i 1 5i (B)0 1 2i (C) 4 2i (D) 2 2 i 【龍騰自命題.】 解答 C ( )2.若 z 2 i,則|z 1| z (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 | 1| | 2 1 | | 2 2 | |8 6 | ( )8 2 ( )6 2 2 2 5 5 5 5 5 i z i i i z i ( )3.設 為 x5 1 之一個虛根,則(2 )(2 2)(2 3)(2 4) (A)10 (B)11 (C)12 (D)13 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ x5 1 (x 1)(x4 x3 x2 x 1) ∴ 432 1 0 且 5 1 故原式 (2 )(2 4)(2 2)(2 3) (5 2 2 4)(5 2 2 2 3) 25 10( 432 ) 4( 432 ) 25 10 4 11( )4.設 z i(2 i)(1 2i),則|z| (A)3 (B)4 (C)5 (D)25
【龍騰自命題.】 解答 C ( )5.已知i 1,設 a 為複數,若方程式 x2 ax 4 7i 0 有一根為 2 i,則另一根為 (A)2 3i (B) 3 2i (C)2 i (D)2 3i 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 設 x2 ax 4 7i 0 之二根為 2 i、 由根與係數關係得 兩根積 (2 ) 4 7 1 i i 4 7 ( 4 7 )(2 ) 3 2 2 (2 )(2 ) i i i i i i i ( )6.已知複數 z 與共軛複數 z 的和為 2 ,而1 z 的虛部為 1 2
,則複數z (A) 2i (B) 2i (C) 1 i (D) 1 i
【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 設z a bi,z a bi
2 2 1 z z abi a bi a a
2 1 1 1 1 1 1 1 1 bi bi z bi bi bi b 而1 z 之虛部,即 2 1 1 2 b b 2 2 1 0 1 b b b 故z 1 i ( )7.令i 1。若 1 i 為方程式 2x2 kx 6 2i 0 的一根,則 k (A) 6 (B) 4 (C) 5 i (D) 10 2i 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 1 i 為 2x2 kx 6 2i 0 的根 ∴ 2(1 i)2 k(1 i) 6 2i 0- 2 - 2(2i) k(1 i) 6 2i 0 k(1 i) 6 6i 6 6 6(1 ) 6 1 1 i i k i i 故選(A) ( )8.化複數 1 6 ( ) 3 i z i 為標準式可寫成 (A)1 3i (B) 1 3 4 4 i (C)8 i (D) 2 2i 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 6 6 6 2(cos sin ) 1 4 4 1 ( ) [ ] [ (cos sin )] 12 12 3 2(cos sin ) 2 6 6 i i z i i i 1 (cos sin ) 8 2 2 8 i i
( )9.若複數 z 2(sin73 icos253),則 Arg(z) (A)343 (B)73 (C)253 (D)326
【龍騰自命題.】 解答 A
解析 ∵ z 2(sin73 icos73) 2(cos17 isin17) 2[cos( 17) isin( 17)] 2[cos(343) isin(343)] ∴ Arg(z) 343 ( )10.設 z a bi,其中 a 1,而1 z 之虛部為 1 2,則 z (A)1 i (B)i 1 (C)1 i (D) 1 i 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 1 1 1 2 1 1 bi z bi b 又 2 1 2 1 b b 2b 1 b 2 (b 1)2 0 ∴ b 1 故 z 1 i ( )11.設 a、b 為實數,且 2 3i 為 x2 ax b 0 的根,則 b (A)13 (B)4 (C)4 (D)13 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 另一根為 2 3i 兩根積:(2 3i)(2 3i) b ∴ b 13 ( )12.已知i 1,若方程式 2 3 0 x x a i 有一根 2i ,則a之值為 (A)1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 ∵ x 2 i為x2 x a 3i 0之根 代入使等號成立
2
2 i 2 i a 3i 0 2 4 4i i 2 i a 3i 0
1 a
0i 0 0i 得a1( )13.使 z2 3 4i 之複數 z 為 (A)1 2i, 1 2i (B)1 3i, 1 3i (C)1 2i , 1 2i (D) 2 2i, 2 2i 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 設 z a bi ∵ z2 3 4i ∴ (a bi)2 a2 b2 2abi 3 4i 即 2 2 3 2 4 a b ab 1 2 a b 或 1 2 a b ∴ z 1 2i 或 1 2i
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( )14.設 z 8i 6 的極式為 r(cos isin),則下列何者正確? (A)r 2 (B)cos 4
5 (C)sin 4 5 (D)sin 3 5 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 r | z | 10 z 6 8i 10( 3 4 5 5i ) r(cos isin) 故 r 10,cos 3 5 ,sin4 5
( )15.若 z sin10 icos10,則 Arg(z) (A)10 (B)80 (C)170 (D)350
【龍騰自命題.】 解答 B
解析 z sin10 icos10 sin(90 80) icos(90 80) cos80 isin80 ∴ Arg(z) 80 ( )16.試求 3 12 ( ) 2 i 之值? (A) 1 (B)1 (C) i (D)i 【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析 3 cos30 sin 30 2 i i ∴ 3 12 12
( ) (cos30 sin 30 ) cos360 sin 360 1 2 i i i ( )17.設z 2 i ,則 z (A)1 (B) 3 (C) 5 (D) 5 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 z 2 i
2 2 12 5( )18.已知i 1。若 z cos78 isin78,則 z15 (A) i (B) 1 (C)i (D)1
【100 年歷屆試題.】 解答 C
解析 z15 (cos78 isin78)15 cos(15 78) isin(15 78)
cos1170 isin1170 cos(3 360 90) isin(3 360 90) cos90 isin90 0 i i ( )19.設 i 1,則 i3 2i4 3i5 4i6 (A)0 (B)5 5i (C)2 2i (D)3 7i 【龍騰自命題.】 解答 C ( )20.化 4 3 z
i為極式為 (A)2 cos330
isin 330
(B)2 cos300
isin 300
(C) cos210 isin 210 (D) cos240 isin 240 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析
2
2 4 3 4 3 4 3 3 3 3 3 i i z i i i i i
2
2 3 1 3 1 2 2i (∵ 3 cos 2 ,sin 1 330 2 )
2 cos330 isin 330 - 4 - ( )21.