1106 複數解答

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1106 複數 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.下列何者正確? (A)4  3i  1  5i (B)0   1  2i (C) 4 2i (D) 2 2 i   【龍騰自命題.】 解答 C ( )2.若 z  2  i,則|z 1| z   (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 | 1| | 2 1 | | 2 2 | |8 6 | ( )8 2 ( )6 2 2 2 5 5 5 5 5 i z i i i z i               ( )3.設  為 x5  1 之一個虛根,則(2   )(2  2)(2  3)(2  4)  (A)10 (B)11 (C)12 (D)13 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ x5 1 (x 1)(x4 x3 x2 x 1) ∴ 432 1  0 且 5 1 故原式  (2  )(2 4)(2 2)(2 3)  (5  2  2 4)(5  2 2 2 3)  25  10( 432 )  4( 432 )  25  10  4  11

( )4.設 z  i(2  i)(1  2i),則|z|  (A)3 (B)4 (C)5 (D)25

【龍騰自命題.】 解答 C ( )5.已知i 1,設 a 為複數,若方程式 x2  ax  4  7i  0 有一根為 2  i,則另一根為 (A)2  3i (B)  3  2i (C)2  i (D)2  3i 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 設 x2 ax 4 7i 0 之二根為 2 i、  由根與係數關係得 兩根積 (2 ) 4 7 1 i i       4 7 ( 4 7 )(2 ) 3 2 2 (2 )(2 ) i i i i i i i             ( )6.已知複數 z 與共軛複數 z 的和為 2 ,而1 z 的虛部為 1 2

 ,則複數z (A) 2i (B) 2i (C) 1 i (D) 1 i

【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 設z a biz a bi

 

2 2 1 z z abia bi  a   a 



2 1 1 1 1 1 1 1 1 bi bi z bi bi bi b               而1 z 之虛部,即 2 1 1 2 b b   2 2 1 0 1 b b b       故z  1 i ( )7.令i 1。若 1  i 為方程式 2x2  kx  6  2i  0 的一根,則 k  (A)  6 (B)  4 (C)  5  i (D)  10  2i 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 1  i 為 2x2 kx  6  2i  0 的根 ∴ 2(1  i)2 k(1 i)  6  2i  0

(2)

- 2 -  2(2i) k(1 i)  6  2i  0  k(1 i)  6  6i 6 6 6(1 ) 6 1 1 i i k i i            故選(A) ( )8.化複數 1 6 ( ) 3 i z i    為標準式可寫成 (A)1 3i (B) 1 3 4 4 i (C)8 i (D) 2 2i 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 6 6 6 2(cos sin ) 1 4 4 1 ( ) [ ] [ (cos sin )] 12 12 3 2(cos sin ) 2 6 6 i i z i i i              1 (cos sin ) 8 2 2 8 i i     

( )9.若複數 z  2(sin73  icos253),則 Arg(z)  (A)343 (B)73 (C)253 (D)326

【龍騰自命題.】 解答 A

解析 ∵ z  2(sin73 icos73)  2(cos17 isin17)  2[cos(  17)  isin(  17)]  2[cos(343)  isin(343)] ∴ Arg(z)  343 ( )10.設 z  a  bi,其中 a  1,而1 z 之虛部為 1 2,則 z  (A)1  i (B)i  1 (C)1  i (D)  1  i 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 1 1 1 2 1 1 bi z bi b      又 2 1 2 1 b b      2b  1  b 2 (b 1)2 0 ∴ b  1 故 z  1  i ( )11.設 a、b 為實數,且 2  3i 為 x2  ax  b  0 的根,則 b  (A)13 (B)4 (C)4 (D)13 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 另一根為 2  3i 兩根積:(2  3i)(2 3i) b ∴ b  13 ( )12.已知i 1,若方程式 2 3 0     x x a i 有一根 2i ,則a之值為 (A)1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 ∵ x 2 ix2   x a 3i 0之根  代入使等號成立

 

2

2 i 2 i a 3i 0        2 4 4i i 2 i a 3i 0        

1 a

0i 0 0i      得a1

( )13.使 z2   3  4i 之複數 z 為 (A)1  2i,  1  2i (B)1  3i,  1  3i (C)1 2i  , 1  2i (D) 2 2i, 2  2i 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 設 z a bi ∵ z2 3 4i ∴ (a bi)2 a2 b2 2abi  3 4i 即 2 2 3 2 4 a b ab          1 2 a b      或 1 2 a b        ∴ z  1  2i 或  1  2i

(3)

- 3 -

( )14.設 z  8i  6 的極式為 r(cos  isin),則下列何者正確? (A)r  2 (B)cos 4

5 (C)sin  4 5 (D)sin  3 5  【龍騰自命題.】 解答 C 解析 r | z |  10  z 6  8i  10( 3 4 5 5i   )  r(cos isin) 故 r  10,cos 3 5  ,sin4 5

( )15.若 z  sin10  icos10,則 Arg(z)  (A)10 (B)80 (C)170 (D)350

【龍騰自命題.】 解答 B

解析 z  sin10 icos10 sin(90 80)  icos(90 80)  cos80 isin80∴ Arg(z)  80 ( )16.試求 3 12 ( ) 2 i之值? (A)  1 (B)1 (C)  i (D)i 【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析 3 cos30 sin 30 2 i i   ∴ 3 12 12

( ) (cos30 sin 30 ) cos360 sin 360 1 2 i i i         ( )17.設z  2 i ,則 z  (A)1 (B) 3 (C) 5 (D) 5 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 z    2 i

 

2 2 12 5

( )18.已知i 1。若 z  cos78  isin78,則 z15  (A)  i (B)  1 (C)i (D)1

【100 年歷屆試題.】 解答 C

解析 z15 (cos78 isin78)15 cos(15  78)  isin(15  78)

 cos1170 isin1170 cos(3  360 90)  isin(3  360 90)  cos90 isin90 0  i i ( )19.設 i  1,則 i3  2i4  3i5  4i6  (A)0 (B)5  5i (C)2  2i (D)3  7i 【龍騰自命題.】 解答 C ( )20.化 4 3   z

i為極式為 (A)2 cos330

 isin 330

(B)2 cos300

 isin 300

(C) cos210 isin 210 (D) cos240 isin 240 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析



 

2

2 4 3 4 3 4 3 3 3 3 3 i i z i i i i i          

 

2

 

2 3 1 3 1 2 2i          (∵ 3 cos 2  ,sin 1 330 2      )

2 cos330 isin 330    

(4)

- 4 - ( )21.

 

2 6 3 1 2 8 i  i    (A) 2i (B)1 (C) 1 (D) 2i 【隨堂測驗.】 解答 B 解析 原式

 

2 6 6 1 2 2 8 i   i        

 

 

1 64 1 1 64       1 ( )22.設 z 為複數,若 z 1 2,且z1的主輻角為 240,則複數 z 為何? (A) 3i (B) 3i (C)1 3i (D)1 3i 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 利用極式可得

1 1 cos 240 sin 240 z   z  i  1 3 1 2 2 2 z   i       1 1 3 z i      3 z i    ( )23.設a為實數,若 2

3xai x  2i 6 0有實根,則a (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 【隨堂測驗.】 解答 D 解析 3x2ax   xi 2i 6 0  2

3xax 6 x2 i0 令x 2 0  x 2代入

 

2

 

3 2    a 2 6 0  12 2 a 6 0  2a6  a3 ( )24.已知i 1,試求 4 i 的平方根為 (A) 2 1

i (B)

 2 1

i (C)

2 1

i (D)

2 1

i

【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 x2  4i 4 0

 i

 

4 cos 270 isin 270

由複數n次方根: 2 270 2 270 4 cos sin 2 2 k k k z    i    ,k0,1

0 2 cos135 sin135 2 2 2 1 z   i     i  i

1 2 cos315 sin 315 2 2 2 1 z   i    i i 故其平方根為 2 1 i

( )25.設為 3 1 x  之一虛根,則 2 3 4 5 6 2       之值為 (A)1 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【隨堂測驗.】 解答 C 解析 312   1 0 原式

2

4

2

1 1   1  1              1 0 1 40 1 1   2

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