1023 數學式的運算解答

(1)

1023 數學式的運算班級姓名座號

一、單選題 (20 題每題 4 分共 80 分)

（）1.設 f (x)  x2  2x  5，g(x)  a(x  1)(x  2)  b(x  2)(x  3)  c(x  5)(x  1)，若不論 x 為任意實數，恆使 f (x)  g(x)，求 a  b  c  (A)  2 (B)2 (C)  1 (D)1 【龍騰自命題.】解答 D （）2.設 2 2 2 1 ( 1) 1 ( 1) x a b x x x       ，則 a  b  (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 【龍騰自命題.】解答 B （）3.若 1 ( 2) 2 A B x x  x x ，求 A  B  (A)0 (B)1 (C) 1 2 (D) 1 2  【龍騰自命題.】解答 A （）4.設

 

5 4 3 2 100 318 228 311 256 88 f x  x  x  x  x  x ，則f

 

4  (A) 308 (B)88 (C) 488 (D) 518 【隨堂測驗.】解答 C 解析利用綜合除法： 100 318 228 311 256 88 4 400  328 400 356 400 100 82 100 89 100 + 488 ∴ f

 

4 488 （）5.設

  



2





3 2 1       f x a x b x c ，若f

 

2  f

 

3  f

 

4 5，則a b c   (A)11 (B) 9 (C) 8 (D) 7 【隨堂講義補充題.】解答 D 解析 ∵ f x

 

之次數，即degf x

 

2，但卻有相異三個x2、3、4，均使f x

 

之值等於5 ∴ 由多項式恆等定理知 f x

 

5 3 0 3 2 0 2 1 5 6 a a b b c c                 _{ }  _   故a      b c 3

 

2 6 7 （）6.若 4 3 2 2 4 2 2 x x x px q x x       能化簡為 x 之二次式，則 p  q 之值為 (A)  3 (B)  1 (C)3 (D)2 【龍騰自命題.】解答 C 解析 x2 x  2  (x  2)(x  1) ∵ 能化為 x 的二次式 ∴ (x  2)、(x  1)為 x4_4x3_2x2_px_{q 之因式} 16 32 8 2 0 1 4 2 0 p q p q              得 p  5，q  2，故 p  q  3 （）7.多項式 f (x)以 x  1 除之餘 2，以 x  2 除之餘  7，若以(x  1)(x  2)除 f (x)得餘式為 r(x)，則 r(2)  (A)2 (B)5 (C)7 (D)9 【龍騰自命題.】解答 B 解析令 r(x)  ax  b f (x)  (x  1)(x  2)  p(x)  (ax  b) 又 f (1)  2，f (  2)  7 2 2 7 a b a b     _ _{  }  得 a  3，b  1，故 r(2)  3  2  (  1)  5

(2)

（）8.求方程式 x2  2|x|  15  0 之兩根的平方和為 (A)14 (B)18 (C)15 (D)10 【龍騰自命題.】解答 B 解析 ∵ x2 |x|2 ∴ x2 2|x|  15  0  |x|2_ 2|x|  15  0  (|x|  5)(|x|  3)  0  |x|  3 或  5（不合） 即|x|  3  x  ± 3，兩根的平方和為 32 (  3)2 18 （）9.設 4 12的整數部分為 a，小數部分為 b，則 1 1 ab b (A)  1 (B)1 (C)0 (D)2 【龍騰自命題.】解答 A 解析 4 12 42 3  1 3 2 ( 3 1) 整數 a  2，小數b 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 3 1 3 ab b          （）10.以 2x1除4x33x 之商式為 (A)₄_x2₂_x₄_(B)₂_x2 _x ₂_(C) 2 5 5 2 2 4   x x (D)₂_x2 _x ₂ 【隨堂講義補充題.】解答 B 解析利用綜合除法： 4 0 3 0 1 2 2  1 2 2 4 2 4 2 2 1 2 故商式為₂_x2 _x ₂_，餘式為₂ （）11.設 1 5 2 x  ， 1 5 2 y  ，則 x 2  y2  (A)3 (B)9 (C)14 (D)18 【龍騰自命題.】解答 D 解析 1 1 ( 5 2) ( 5 2) 2 5 5 2 5 2 ( 5 2)( 5 2) x y           1 1 1 5 2 5 2 x y     2 2 2 2 ( ) 2 (2 5) 2 1 18 x y  xy  xy    （）12.已知 m、n 為實數，Q(x)為二次多項式。若 x4  mx3  x2  5x  n  (x2  3x  2)Q(x)，則 2m  n  (A)  6 (B)  2 (C)4 (D)8 【102 年歷屆試題.】解答 D 解析令 f (x)  x4 mx3 x2 5x  n ∵ f (x)  (x2_3x_2)Q(x)_(x_1)(x_2)Q(x) ∴ x  1 與 x  2 均為 f (x)的因式  f (1)  0，f (2)  0 f (1)  1  m  1  5  n  0   m  n  5…… f (2)  16  8m  4  10  n  0   8m  n  2……    7m  7  m  1 m  1 代入  1  n  5  n  6

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故 2m  n  2  1  6  8 （）13.設、為 2x2_{ 5x  1  0 的兩根，且}__，則__{ (A)} 17 2 (B) 5 2 (C) 17 (D)5 【龍騰自命題.】解答 A 解析 2x2 5x  1  0 的解為 x  5 25 8 5 17 2 2 4        ∵  ∴  5 17 4   ， 5 17 4     5 17 4   _ 5 17 4   _ 17 2 （）14.方程式 x3_{ 3x}2_{ 2  0 的所有實根之和為 (A)  1 (B)  2 (C)  3 (D)  4} 【課本練習題-自我評量.】解答 C 解析利用綜合除法： 1  3  0  2  1  1  2  2 1  2  2  0 ∴ x3_ 3x2 2  (x  1)(x2 2x  2)  (x  1)[x  (  1  3)][x  (  1  3)] 故實根之和為   1 ( 1 3)  ( 1 3) 3 （）15.設 11 6 2 T，若T 的整數部分為a，則a (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 1 【隨堂測驗.】解答 B 解析 T  11 2 18  9 2  3 2    



3 2





2 2



 1



2 2



故整數部分a1，小數部分為2 2 （）16.設方程式 2 ₂ 6 0 2 2 4 x x x x x        ，則 x 有幾組解？ (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【課本練習題-自我評量.】解答 B 解析將等式左右同乘以(x  2)(x  2)得 x(x  2)  2(x  2)  (x  6)  0  x2_2x_2x₄_x₆₀ _x2_x₂₀ _(x_2)(x₁₎₀ ∴ x  2（不合）或  1 （）17.設分式 10 1 ( 1)(2 1) 1 2 1 x x x x x          ，則    之值為 (A)  1 (B)  2 (C)1 (D)2 【課本練習題-自我評量.】解答 A 解析將右式通分得 10 1 (2 1) ( 1) ( 1)(2 1) ( 1)(2 1) x x x x x x x            得 10x  1  (2x  1)  (x  1) 令 x  1 得  9  3    3 令 1 2 x 得6 3 2    4

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故  3  4  1 （）18.已知 f (x)  (2x3  4x2  x  1)(3x2  5x  2)，則下列敘述何者有誤？ (A)deg f (x)  5 (B)f(0)  2 (C)展開式中，x2_{項係數為 6 (D)} 展開式中，各項係數和為 8 【龍騰自命題.】解答 D 解析 f (x)  (2x3 4x2 x  1)(3x2 5x  2) (A)deg f (x)  3  2  5 (B)f (0)  1  2  2 (C)x2項係數 4  2  1  (5)  1  3  6 (D)各項係數和 f (1)  (2  4  1  1)(3  5  2)  0 （）19.化簡 1 2 ₂ 2 4 x x  x  (A)1 (B)1 (C) 1 2x (D) 1 2x 【龍騰自命題.】解答 D （）20.若 1 3    a a ，設  2 2 m a a ，na3a ，則3 m n (A)30 (B) 25 (C) 24 (D) 21 【隨堂講義補充題.】解答 B 解析 a a 1 a 1 3 a     





2 2 2 1 1 2 0 2 3 2 7 ma a  aa   a a   a 





3





3 3 1 1 1 3 na a  aa   a a  a a     ₃3 _{3 1 3 18} 則m n  7 1825

二、填充題 (5 題每題 4 分共 20 分)

1.x2  ax  6  0 有一根為 3，又 a、b 為 2x2  5x  c  0 之兩根，則 a  b  c  ____________。【龍騰自命題】解答 1 2 解析設另一根為 k 3 2 3 6 1 k a k k a       _   _{ }  _{ }   又 5 2 2 a b c ab        _  得 3 2 b  ，c  3，則 1 2 a  b c 2.已知f x 除以

 



x3



的商式為_x2₂_x₅_{，餘式為 7 ，則}_f

 

₃ _{____________。} 【隨堂講義-綜合練習】解答 7 解析 f x

 

除以



x3



的餘式為f

 

3 ，故f

 

3 7 3.解方程式 x2  5x  6  0，x  ____________。【龍騰自命題】解答 2，3 4.若



2



6   x x 為

 

3 2 7     f x x ax x b 的因式，則a b ____________。   【隨堂講義-綜合練習】

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解答 6 解析 ∵ _x2  _x ₆



_x₃



_x₂



_且_x2 _x ₆_為 _{f x}

 

_的因式 ∴ x3與x2均為f x

 

的因式  f

 

 3 0， f

 

2 0 而 f

   

  3 33  a

 

3 2   7

 

3 b 9a b 6

 

3 2 2 2  2    7 2 4  6 f a b a b 故9a b  6 0，4a b  6 0  a0，b6 因此a b 6 5.設 f (x)除以 x  3，x  4 的餘式分別為 10 和4，則 f (x)除以 x2_{ x  12 的餘式為____________。} 【龍騰自命題】 解答 2x  4 解析設 x2_x_{12 除 f (x)的餘式為 ax}_b 即 f (x)  (x2 x  12)q(x)  ax  b  (3) 0 (3) 3 10 ( 4) 0 ( 4) 4 4 f q a b f q a b                  a  2，b  4，故餘式為 2x  4

1023 數學 式的運算解答

1023 數學 式的運算 班級 姓名 座號

一、單選題 (20 題 每題 4 分 共 80 分)

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