1023 數學 式的運算解答

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1023 數學 式的運算 班級 姓名 座號

一、單選題 (20 題 每題 4 分 共 80 分)

( )1.設 f (x)  x2  2x  5,g(x)  a(x  1)(x  2)  b(x  2)(x  3)  c(x  5)(x  1),若不論 x 為任意實數,恆使 f (x)  g(x),求 a  b  c  (A)  2 (B)2 (C)  1 (D)1 【龍騰自命題.】 解答 D ( )2.設 2 2 2 1 ( 1) 1 ( 1) x a b x x x       ,則 a  b  (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 【龍騰自命題.】 解答 B ( )3.若 1 ( 2) 2 A B x x  x x,求 A  B  (A)0 (B)1 (C) 1 2 (D) 1 2  【龍騰自命題.】 解答 A ( )4.設

 

5 4 3 2 100 318 228 311 256 88 f xxxxxx ,則f

 

4  (A) 308 (B)88 (C) 488 (D) 518 【隨堂測驗.】 解答 C 解析 利用綜合除法: 100 318 228 311 256 88 4 400  328 400 356 400 100 82 100 89 100 + 488 ∴ f

 

4 488 ( )5.設

  

2

3 2 1       f x a x b x c ,若f

 

2  f

 

3  f

 

4 5,則a b c   (A)11 (B) 9 (C) 8 (D) 7 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 ∵ f x

 

之次數,即degf x

 

2,但卻有相異三個x2、3、4,均使f x

 

之值等於5 ∴ 由多項式恆等定理知 f x

 

5 3 0 3 2 0 2 1 5 6 a a b b c c                     故a      b c 3

 

2 6 7 ( )6.若 4 3 2 2 4 2 2 x x x px q x x       能化簡為 x 之二次式,則 p  q 之值為 (A)  3 (B)  1 (C)3 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 x2 x  2  (x 2)(x  1) ∵ 能化為 x 的二次式 ∴ (x 2)、(x 1)為 x4 4x3 2x2 px q 之因式 16 32 8 2 0 1 4 2 0 p q p q              得 p 5,q  2,故 p q  3 ( )7.多項式 f (x)以 x  1 除之餘 2,以 x  2 除之餘  7,若以(x  1)(x  2)除 f (x)得餘式為 r(x),則 r(2)  (A)2 (B)5 (C)7 (D)9 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 令 r(x) ax b f (x) (x 1)(x  2)  p(x) (ax b) 又 f (1) 2,f (  2)  7 2 2 7 a b a b         得 a 3,b  1,故 r(2)  3  2  (  1)  5

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( )8.求方程式 x2  2|x|  15  0 之兩根的平方和為 (A)14 (B)18 (C)15 (D)10 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ x2 |x|2 ∴ x2 2|x|  15  0  |x|2 2|x|  15  0  (|x| 5)(|x|  3)  0  |x|  3 或  5(不合) 即|x|  3  x  ± 3,兩根的平方和為 32 (  3)2 18 ( )9.設 4 12的整數部分為 a,小數部分為 b,則 1 1 ab b (A)  1 (B)1 (C)0 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 4 12 42 3  1 3 2 ( 3 1) 整數 a  2,小數b 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 3 1 3 ab b          ( )10.以 2x1除4x33x 之商式為 (A)4x22x4 (B)2x2 x 2 (C) 2 5 5 2 2 4   x x (D)2x2 x 2 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 利用綜合除法: 4 0 3 0 1 2 2  1 2 2 4 2 4 2 2 1 2 故商式為2x2 x 2,餘式為2 ( )11.設 1 5 2 x  , 1 5 2 y  ,則 x 2  y2  (A)3 (B)9 (C)14 (D)18 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 1 1 ( 5 2) ( 5 2) 2 5 5 2 5 2 ( 5 2)( 5 2) x y           1 1 1 5 2 5 2 x y     2 2 2 2 ( ) 2 (2 5) 2 1 18 xyxyxy    ( )12.已知 m、n 為實數,Q(x)為二次多項式。若 x4  mx3  x2  5x  n  (x2  3x  2)Q(x),則 2m  n  (A)  6 (B)  2 (C)4 (D)8 【102 年歷屆試題.】 解答 D 解析 令 f (x) x4 mx3 x2 5x n ∵ f (x) (x2 3x 2)Q(x) (x 1)(x 2)Q(x) ∴ x 1 與 x 2 均為 f (x)的因式 f (1) 0,f (2)  0 f (1)  1  m  1  5  n  0   m n  5…… f (2)  16  8m  4  10  n  0   8m n  2……    7m  7  m  1 m  1 代入  1  n  5  n  6

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故 2m n  2  1  6  8 ( )13.設、為 2x2  5x  1  0 的兩根,且,則  (A) 17 2 (B) 5 2 (C) 17 (D)5 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 2x2 5x  1  0 的解為 x  5 25 8 5 17 2 2 4        ∵  ∴  5 17 4   , 5 17 4     5 17 4   5 17 4   17 2 ( )14.方程式 x3  3x2  2  0 的所有實根之和為 (A)  1 (B)  2 (C)  3 (D)  4 【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 利用綜合除法: 1  3  0  2  1  1  2  2 1  2  2  0 ∴ x3 3x2 2  (x 1)(x2 2x  2)  (x 1)[x  (  1  3)][x  (  1  3)] 故實根之和為   1 ( 1 3)  ( 1 3) 3 ( )15.設 11 6 2 T,若T 的整數部分為a,則a (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 1 【隨堂測驗.】 解答 B 解析 T  11 2 18  9 2  3 2    

3 2

2 2

 1

2 2

故整數部分a1,小數部分為2 2 ( )16.設方程式 2 2 6 0 2 2 4 x x x x x        ,則 x 有幾組解? (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析 將等式左右同乘以(x 2)(x  2)得 x(x  2)  2(x  2)  (x  6)  0  x2 2x 2x 4 x 6 0 x2 x 2 0 (x 2)(x 1) 0 ∴ x  2(不合)或  1 ( )17.設分式 10 1 ( 1)(2 1) 1 2 1 x x x x x          ,則    之值為 (A)  1 (B)  2 (C)1 (D)2 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 將右式通分得 10 1 (2 1) ( 1) ( 1)(2 1) ( 1)(2 1) x x x x x x x            得 10x  1  (2x  1)  (x  1) 令 x  1 得  9  3    3 令 1 2 x 得6 3 2    4

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故  3  4  1 ( )18.已知 f (x)  (2x3  4x2  x  1)(3x2  5x  2),則下列敘述何者有誤? (A)deg f (x)  5 (B)f(0)  2 (C)展開式中,x2項係數為 6 (D) 展開式中,各項係數和為 8 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 f (x) (2x3 4x2 x 1)(3x2 5x  2) (A)deg f (x)  3  2  5 (B)f (0)  1  2  2 (C)x2項係數 4  2  1  (5)  1  3  6 (D)各項係數和 f (1)  (2  4  1  1)(3  5  2)  0 ( )19.化簡 1 2 2 2 4 x x  x  (A)1 (B)1 (C) 1 2x (D) 1 2x 【龍騰自命題.】 解答 D ( )20.若 1 3    a a ,設  2 2 m a a ,na3a ,則3 m n (A)30 (B) 25 (C) 24 (D) 21 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 a a 1 a 1 3 a     

2 2 2 1 1 2 0 2 3 2 7 maa  aa   a a   a

3

3 3 1 1 1 3 naa  aa   a a  a a     33 3 1 3 18m n  7 1825

二、填充題 (5 題 每題 4 分 共 20 分)

1.x2  ax  6  0 有一根為 3,又 a、b 為 2x2  5x  c  0 之兩根,則 a  b  c  ____________。 【龍騰自命題】 解答 1 2 解析 設另一根為 k 3 2 3 6 1 k a k k a              又 5 2 2 a b c ab         得 3 2 b  ,c  3,則 1 2 a  b c 2.已知f x 除以

 

x3

的商式為x22x5,餘式為 7 ,則f

 

3____________。 【隨堂講義-綜合練習】 解答 7 解析 f x

 

除以

x3

的餘式為f

 

3 ,故f

 

3 7 3.解方程式 x2  5x  6  0,x  ____________。 【龍騰自命題】 解答 2,3 4.若

2

6   x x

 

3 2 7     f x x ax x b 的因式,則a b ____________。   【隨堂講義-綜合練習】

(5)

解答 6 解析 ∵ x2  x 6

x3



x2

x2 x 6 f x

 

的因式 x3與x2均為f x

 

的因式  f

 

 3 0, f

 

2 0 而 f

   

  3 33  a

 

3 2   7

 

3 b 9a b 6

 

3 2 2 2  2    7 2 4  6 f a b a b 故9a b  6 0,4a b  6 0  a0,b6 因此a b 6 5.設 f (x)除以 x  3,x  4 的餘式分別為 10 和4,則 f (x)除以 x2  x  12 的餘式為____________。 【龍騰自命題】 解答 2x  4 解析 設 x2 x 12 除 f (x)的餘式為 ax b 即 f (x) (x2 x 12)q(x) ax b  (3) 0 (3) 3 10 ( 4) 0 ( 4) 4 4 f q a b f q a b                  a 2,b 4,故餘式為 2x  4

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