1-4 外積、體積與行列式

(1)

Ch1 空間向量

1-4 外積、體積與行列式

製作老師：趙益男 / 基隆女中教師

發行公司：龍騰文化事業股份有限公司

(2)

課本頁次： 42

甲、空間向量的外積

行四邊形面積為 S﹒

1 2 3

( , , ) a  a a a

 

_b _ _{( , , )}_{b b b}₁ ₂ ₃

設與為空間中不平行的兩



a



_b

非零向量﹐其夾角為^﹐且由 ^與 ^{所張出的平}



b



a

 ^S

(3)

課本頁次： 42

甲、空間向量的外積



a

| | ^|



_b | sin

＝＝ | |



a |



_b | 1 cos ² 

＝ ^|



a ^{| |}²



_b ^|²  |



_a ^{| |}²



_b | ²cos²

S

＝ |



_a ^{| |}²



_b | ²  (



_a _·



_b ) ²



b



a

 ^S

(4)

＝ |



_a ^{| |}²



_b | ²  (



_a _·



_b ) ²

課本頁次： 42

甲、空間向量的外積

S



b



a

 ^S

2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3

(a a a )(b b b ) (a b a b a b )

       

2 2 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

(a b a b ) (a b a b ) (a b a b )

     

(5)

＝ |



_a ^{| |}²



_b | ²  (



_a _·



_b ) ²

課本頁次： 42

甲、空間向量的外積

S

2 2 2

2 3 3 1 1 2

a a a a a a

b b b b b b

  

即 S 為向量 的長度² ³ ³ ¹ ¹ ²

2 3 3 1 1 2

( a a , a a a, a )

b b b b b b

2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3

(a a a )(b b b ) (a b a b a b )

       

2 2 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

(a b a b ) (a b a b ) (a b a b )

     

(6)

課本頁次： 43 6

設與為空間任兩個向量



^a ^ ^{( , , )}^{a a a}₁ ₂ ₃ ﹐

1 2 3

( , , ) b  b b b



a  b 

 

² ³ ³ ¹ ¹ ²

2 3 3 1 1 2

( a a , a a a, a ) .

b b b b b b

外積的長度與方向﹐具有以下兩個重要

 

_a _ _b

外積與平行四邊形的面積



a 與的外積是一個向量﹐其定義為



_b

的幾何性質：

(7)

課本頁次： 43

向量的內積是一個實數﹐向量的外積是一個向量﹒

甲、空間向量的外積

(1)長度等於由與所張出之平行四邊形的|

 

a  b |

_

_a

_

_b (2) 外積和與

都垂直﹐即面積﹐即

 

^a ^ ^b^|

   

^a



^_a ^b ^{| |}^



_b ^a ^|| ^b ^{| sin .}^

(

  

a  b )  a _且₍

  

_a _ _b ₎ _ _b

注意：

(8)

課本頁次： 43

證明性質 (2)

(

  

a  b ) a  ² ³ ³ ¹ ¹ ² ₁ ₂ ₃

2 3 3 1 1 2

( a a a, a a, a ) ( , , ) a a a b b b b b b 

1( 2 3 3 2 ) 2 ( 3 1 1 3 ) 3( 1 2 2 1) a a b a b a a b a b a a b a b

     

1 2 3

a a b

1 3 2

a a b

2 3 1 2 1 3

a a

3 1 2 3 2 1

a a b a a b b a a b

     

 0

證

：

∴

(

  

a  b )  a

_﹐

_同理可證

(

  

a  b )  b

甲、空間向量的外積

(

  

a  b )  a _且₍

  

_a _ _b ₎ _ _b

∵

(9)

為了幫助記憶﹐可以使用下圖來幫忙：

課本頁次： 44

甲、空間向量的外積

(10)

課本頁次： 44

已知向量和 ﹐求



^a _ _{(1,1, 2)}



_b _ _{(1, 2, 1)}_{ }

(1) 和

 

a  b

 

_b _ _a

(2) 與所張出之平行四邊形的面積﹒



_a



_b

(1)

1 2 2 1 1

(3,3, , , 1

2 1 1 1 1 2 3)

a b  

         

 

2 1 1 1 1 2

, ,

1 2 2 ( 3, 3,3

1 1 )

b a     1 

    

  

 



例 1

解：

(11)

課本頁次： 44



^a _ _{(1,1, 2)}



_b _ _{(1, 2, 1)}_{ }

(1) 和

 

a  b

 

_b _ _a



_a



_b

例 1

解： (2)

| a b |



^a ^

 

^b ^



^{(3,3, 3)}



^ ₃² _{  }₃² ₍ ₃₎² _ _{3 3}

 

(12)

課本頁次： 44

(1, 2, 2)

a  

 ^

_b _ _{(2,1, 2)}

(1) 和

 

a  b

 

_b _ _a



_a



_b

(1)

練 1

解：

2 2 2 1 1 2

(6, 6

, ,

1 2 2 2 , 3)

a b    2 1 

   

  

 

 

1 2 2 2 2 1

, ,

2 2 2 1 1 2 ( 6,6,3)

b a  

       

 

(13)

課本頁次： 44

(1) 和

 

a  b

 

_b _ _a



_a



_b

練 1

解： (2)

| a b |

   

^{(6, 6, 3)}



₆² _{ }_{( 6)}² _{ }_{( 3)}² _ ₉

a  b   

 



^a ^ ^{(1, 2, 2)}^

^

_b _ _{(2,1, 2)}

(14)

課本頁次： 44

(1) 長度相同 , 即 a  b

   

_b _ _a

關於

(2) 方向相反 , 即

|

   

a  b | | b  a | 與

( )

b  a   a  b

   

(15)

課本頁次： 45

( ),

n  t a  b t R

  

1 0 0 2 2 1

, ,

1 1 1 4 4 1

t    

       (1, 2, 2) ( , 2 , 2 )

t t t t

 

已知和與均垂直

例 2 

n



_a _ _{(2, 1, 0)}_



_b _ _{(4, 1, 1)}_{ } ﹐

|



n | 6

_

_n

^

_n 解：

2 2 2

|



n | t  (2 )t  (2 )t  6 3 | | 6t 

2

  t

∴

為或



ⁿ ^{(2, 4, 4)} ^{( 2, 4, 4)}^{  }

且 ﹐求

(16)

課本頁次： 45

練 2

右圖是坐標空間中的一個長方體﹒已知三頂點

是一個正方形﹐求 E 點的坐標 ﹒ 解：

A (0,0,0)﹐B (2,2,1)﹐D (1,0,1) ﹐ 且 ABFE

(2, 2,1), (1, 0,1) AB



 AD





2 2 2

| AE

 

| | AB | 2  2  1 3

( ),

AE t AB AD t R

  

   2 1 1 2 2 2

, ,

0 1 1 1 1 0

t  

  

 

(2, 1, 2) (2 , , 2 )

t t t t

     

3 3

(17)

課本頁次： 45

練 2

右圖是坐標空間中的一個長方體﹒已知三頂點

是一個正方形﹐求 E 點的坐標 ﹒ 解：

A (0,0,0)﹐B (2,2,1)﹐D (1,0,1) ﹐ 且 ABFE

(2, 1, 2) (2 , , 2 ) AE t



    t t  t



^{2, 1, 2 ,}

 

^{2,1, 2}



AE



   或 

3



2 2 2

| AE



| (2 )t  ( )t  ( 2 )t  3 9t2  3 | | 3t    t 1

故

∴ E 點的坐標為

∵A (0,0,0)



^{2, 1, 2 ,}^{ }



^或



^^{2,1, 2}



(18)

18

﹐

( 4,3,0)

AB



  _AC

_

_ _{(4, 3,2)}_

3 0 0 4 4 3

, ,

3 2 2 4 4 3

AB AC    

     

 

1 | |

2 AB AC



 



課本頁次： 46

已知為空間中三點A(1, 1,1), ( 3,2,1), (5, 4,3) B  C ﹐ 

求△ ABC 的面積﹒

例 3

解：

∴△ABC 的面積 (6,8,0)



2 2 2

6 8 0 10

2 2 5

    

(19)

19

﹐

(1, 2,3)

AB



 _AC

_

_ _{(3, 2,1)} 2 3 3 1 1 2

, ,

2 1 1 3 3 2

AB AC  

   

 

 

1 | |

2 AB AC



 



課本頁次： 46

練 3

解：

∴△ABC 的面積

( 4,8, 4)

  

2 2 2

( 4) 8 ( 4) 4 6

2 2 2 6

   

  

已知為空間中三點A( 1, 1, 2), (0,1,1), (2,1, 1)   B C﹐ 

求△ ABC 的面積﹒

(20)

課本頁次： 46

乙、平行六面體的體積

設空間中由三個不共平面的向量與所張出

 

a b,



_c

之平行六面體的體積為 V﹐ 由與所張出之底



a

^

_b

面積為 S﹐ 對應的高為 h﹒

(1) 底面積 S

＝

|

 

a  b |

(2)



與夾角^c

  

_a _ _b

設為

| | os |

|



c c 

 高 h ＝

(21)

課本頁次： 46

乙、平行六面體的體積

(1) 底面積 S

＝

|

 

a  b |

(2)

_

與 ^|^|



^c ^{| o}^^c ^s^ ^|

夾角^c

  

_a _ _b

設為  高 h ＝

(3) 平行六面體之體積 V

| |

V   S h

 

a  b h

|

| a b | | c | cos |



 

 





|| a b | | c | cos |



  

  

| ( a b ) c |



  

 

(22)

,

 

a b



_c

空間中﹐由不共平面的三向量和所張出之 平行六面體的體積 V 為

(

  

a  b ) c

課本頁次： 47

乙、平行六面體的體積

(23)

課本頁次： 47

求由三向量



a  ﹐(2,2,1)



b  (2, 1,1)



_c _ _(1,3,1)﹐ ﹐ 所張出之平行六面體的體積﹒

| (

  

a  b ) c |

2 1 1 2 2 2

| , , (1,3,1) |

1 1 1 2 2 1



     

| (3,0, 6) (1,3,1) |

  

| 3 1 0 3 ( 6) 1|

      

 3

例 4

解：

| 3 |

 

(24)

課本頁次： 48

由三向量 ﹐



_a _ _{(1, 2, 1)}_

^

_b _ _{(2, 2,1)}



c﹐  ( 1, ,1)k ﹐ 所張出之平行六面體的體積為 6﹐ 求 k 的值﹒

6 | (



a 



b )



c |

2 1 1 1 1 2

| , , ( 1, ,1) |

2  1 1 2 2 2 k

 

   

 

| (4, 3, 2) ( 1, ,1) |k

    

| 4 ( 1) ( 3) k ( 2) 1|

         3k 6 6

   

 k = 0 或 k = −4

練 4

解：

1 2 1 1 2 1  2 2 1 2 2 1

| 3k 6 |

  

(25)

課本頁次： 48

若與共平面



^c

^{ }

_{a b}_, ﹐則對應的高 h 為 0



^體積

＝ 0

(

  

a  b ) c  0

三個向量會共平面

, , a b c

  

乙、平行六面體的體積

(

  

a  b ) c  0

當時﹐

反之﹐若

∴

, , a b c

  

_{三個向量有相同始點}

則

(26)

課本頁次： 49

◎ 丙、三階行列式

( 一 ) 三階行列式的展開 式

1 2 3

a a a b b b c c c

1 2 3 2 3 1 3 1 2 a b c1 3 2 a b c2 1 3 a b c3 2 1

a b c a b c a b c   

  

(27)

課本頁次： 49

求下列三階行列式的值：

(1) (2) 2 3 4

5 2 1 1 2 3



1 2 3 0 4 5 0 0 6

(1) 2 ( 2) 3 3 1 1 4 5 2 2 1 2 3 5 3 2 3 4

5 2 1 2

4 ( 2) 1

1 3



       

           

 10

例 5

解：

(28)

課本頁次： 49

(1) (2) 2 3 4

5 2 1 1 2 3



1 2 3 0 4 5 0 0 6

例 5

解：

 24

(2) 1 4 6 2 5 0 3 0 0 1 2 3

1 5 0 2 0 0 4 5

0

6 3 0 6

4 0



           

    

(29)

課本頁次： 50

(1) (2) 1 2 2

1 3 1 2 0 5

1 0 0 2 3 4 5 0 6

(1) 1 3 5 2 1 2 2 0 1 1 2 2

1 0 1 2 1 1 3 1

2

5 2 2 5

3 0



           

    

練 5

解：

 3

15 4 0 0 10 12

   

(30)

課本頁次： 50

練 5

解：

(2) 1 3 6 0 4 5 0 0 2 1 0 0

1 0 4 0 2 2 3 4

5

6 0 5 6

3 0



           

    

(1) (2) 1 2 2

1 3 1 2 0 5

1 0 0 2 3 4 5 0 6

18

18 0 0 0 0 0

    

(31)

課本頁次： 50

( 二 ) 三階行列式的性質

三階行列式具有下列性質 ( 其中性質 1~6 也是二階

行列式具有的性質 ) ： 1. 行列互換其值不變：

2

2 3

1

3

3 1

2

a b a

a c

b

c c b

3

2 2

3 1

3 1 2 1

a b c

a a

c b

b

c



◎ 丙、三階行列式

(32)

課本頁次： 50

2. 任意兩行 ( 列 ) 對調﹐其值變號：

2

2 3

1

3

3 1

2

a b a

a c

b

c c b

1 1 1 2

2

3 2

3 3

a b

a b b

c c c

a

 

1 2

2 2

3 3 3 1

1

b b b c

a c a

c a



1

1 2

2 2

3 3 3 1

b b b c

a

c a

c

a



（第一、二兩行對調）

（第一、三兩列對調）

◎ 丙、三階行列式

(33)

課本頁次： 50

3. 任一行 ( 列 ) 可以提出同一個數：

2 2 2

1 3

a b k k k a

b

c c

a b c

2 2 2

1 3

a b

a a

b c k

c

b c



1

1 2

2 3

1 2 3

3

b b

k k ka

c a

b c

1 2

2 3

1 2 3

3

b1 b

a a a

c

k b

c c



◎ 丙、三階行列式

(34)

課本頁次： 51

4. 兩行 ( 列 ) 成比例﹐其值為 0 ：

（第二、三兩行成比例）

（第一、三兩列成比例）

3 3

3

3 1

1

3 3

1 0

a b ka

kb kc

c c

a

b 

3 3

3 3 3

2 2 2

3

0

a b

ka kb c

c k

c 

◎ 丙、三階行列式

(35)

課本頁次： 51

5. 將一行 ( 列 ) 的 k 倍加到另一行 ( 列 )﹐ 其值不變：

1 2 3

a a a

b b b

c c c

1 2 3

1 2

1

1 3

1

ka k

a a a

b b b

c

b

c kc c





1 2 3

a a a

b b b

c c c

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3

ka k

a a a

b b b

c c c

a ka

  



◎ 丙、三階行列式

k

(36)

課本頁次： 51

6. 若某一行 ( 列 ) 之每個元素可分成兩行 ( 列 ) 元素的和﹐則此行列式可拆分為兩個行列式的和：

2 3 2 3 2 3

1 1

1

1 1

1

2 3 2 3 2 3

2 3 1 2 3 1 2 3

a a a a a

a a

b b

c

a

b b b b b b

c c

d d

e e

f c c c f c c



  



1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2

1 2 3 1 2 3 1 2

3 1 2 3 1 2

3 3

a a a a a a a a

b b b b b

a

c c c

d d d d d d

c c c c c

b

c

    

◎ 丙、三階行列式

(37)

課本頁次： 51

2 3

2 1

1

2 3

1

3

a a b b c c

a

c b



_{2 3} _{3 2}

 

_{2 3} ₃

  

1 b c b c 1 a 2 1 2 3 3 2

a b c a c c a b a b

     

2 3 2 3 2 3

2

1 1 1

3 2 3 2 3

b b a a a a

c c c c b

a b c

      b

◎ 丙、三階行列式

7. 三階行列式的降階法：

3 1 2 3

1 2 3 a b c1 a b c2 1 3 2b a b2 1 3 a b3 2c1

a b c  a c  c 

  

(38)

課本頁次： 51

2 3

2 1

1

2 3

1

3

a a b b c c

a

c

b ² ³ ² ³ ² ³

2

1 1 1

3 2 3 2 3

b b a a a a

c c c c b

a b c

      b

◎ 丙、三階行列式

（依第一行展開）

(39)

課本頁次： 51

2 3

2 1

1

2 3

1

3

a a b b c c

a

c

b ² ³ ² ³ ² ³

2

1 1 1

3 2 3 2 3

b b a a a a

c c c c b

a b c

      b

◎ 丙、三階行列式

1

2

2 3

3 1

1

a

b b c

a c b

a c

(40)

課本頁次： 51

2 3

2 1

1

2 3

1

3

a a b b c c

a

c

b ² ³ ² ³ ² ³

2

1 1 1

3 2 3 2 3

b b a a a a

c c c c b

a b c

      b

◎ 丙、三階行列式

2 3

2 1

1

2 3

1

3

a a b b c

a b

c c

(41)

課本頁次： 51

2 2

1 3

1

2

3

1 3

a a

b b

c

a

c c

b ¹ ³ ¹ ³

2

1 3

1 3 1 3

2 2

1 3

b b a a a a

c c c c

a c

b b

    b  

◎ 丙、三階行列式

（依第二行展開）

(42)

課本頁次： 51

1 2

3 3

1 2 3

a a b b c c

a b c

1 2 1 2 1 2

1

3 3 3

2 1 2 1 2

b b a a a a

c c c c b

a b c

      b

◎ 丙、三階行列式

（依第三行展開）

(43)

課本頁次： 51

1 2

2 2

3 3 3 1

1

b b b c

a c a

c a

2 3 1 3 1 2

2

1 2 3

3 1 3 1 2

b b b b b b

c c c c c

a a a

      c

◎ 丙、三階行列式

（依第一列展開）

(44)

課本頁次： 51

1 2

2 3

3 1

1

b b b

a a a c c c

2 3 1 3

1

1 2

2 3 1 3

2 3

1 2

a a a a a a

c c c c

b b

c c

    b  

◎ 丙、三階行列式

（依第二列展開）

(45)

課本頁次： 51

1 2 3

c

a a

b b

c b

c a

2 3 1 3 1 2

2

1 2 3

3 1 3 1 2

a a a a a a

b b b b b

c c c

      b

◎ 丙、三階行列式

（依第三列展開）

(46)

課本頁次： 53

(1) (2)

22 3 4 33 4 5 55 6 7

3 43 31 1 11 23 5 53 116

 

2 1 2 11 3 1 2 5 1 2

  0

例 6

(1) 解：

（兩行成比例）

(47)

課本頁次： 53

(1) (2)

22 3 4 33 4 5 55 6 7

3 43 31 1 11 23 5 53 116

 

例 6

解： (2)

10 100 ( 1) 2 1

     190

(48)

(1) (2)

4 20 17 9 45 24 5 25 29

15 2 8

7 1 5

19 3 13

  

(1) ^{20 17} ¹⁷

45 24 5 24

25 29

4 4

9 9

5

9 0

4

5 5 29

  ( 二行成比例 )

課本頁次： 54

練 6

解：

(49)

(1) (2)

4 20 17 9 45 24 5 25 29

15 2 8

7 1 5

19 3 13

  

(2) 15 2 8

7 1 5

19 3 13

  

1 0 2 7 1 5 2 0 2





( 依第二行展開 )

1 2 2 2

  =6

課本頁次： 54

練 6

解：

 3

( 2)

 

(50)

課本頁次： 54

證明：

2 2 2

1

1 ( )( )( )

1

a a

b b a b b c c a c c

   

2 2 2

1 1 1

a a b b c c

 ( 1)

2

2 2

1 0 0

a a

b a b a c a c a

  

 

2 2

( )( )

b a b a b a b a b a

c a c a c a

c a c a

 

  



 

 

( )( ) 1

b 1 b a

a c a

a c 

  

 

(b a)(c a)(c b)

     (a b )(b c)(c  a)

例 7

證：

(51)

課本頁次： 54

已知實數 x 滿足

2

1 1 1

5 3 0

25 9 x

x

  ﹐求 x 的值﹒

2

1 1 1 1

5 3 1 5 25 0

25 9 1 3 9 x x x

x

  



 x = 5 或− 3

(x 5) 8 (3 x) 0

     

練 7

(x 5)(5 ( 3))( 3 x) 0

      

解：

(52)

課本頁次： 55

( 三 ) 三階行列式的應用

設為平面上不共線的三點A a a( , ), ( , ), ( , )1 2 B b b C c c1 2 1 2 ﹒

得△ ABC 的面積為 ¹ ¹ ² ²

1 1 2 2

1 | | .

2

b a b a

c a c a

 

 

1 1 2 2 1 1 2 2

( , ), ( , ),

AB



 b  a b  a AC



 c  a c  a

由

1 1 2 2

b a b a

c a c a

 

  

(53)

課本頁次： 55

若為平面上不共線的三點A a a( , ), ( , ), ( , )₁ ₂ B b b C c c₁ ₂ ₁ ₂ ﹐ 則△ ABC 的面積為 

1 2

1 1

| 1 | .

2 1

a a b b c c

 

三角形的面積公式

(54)

課本頁次： 56

已知為平面上三點﹐求 A(2,5), (4,1), ( 1,3)B C 

△ ABC 的面積﹒

△ ABC 的面積

2 5 1 1 | 4 1 1 | 2 1 3 1





1 2 5 12 6 20 1

   2    1 8

2 16

   

例 8

解：

(55)

 k = −2 或 8

課本頁次： 56

已知 A(4,2),B(2,1),C(6,k) 為平面上三點﹐

且

△ ABC 的面積

4 2 1

1 | 2 1 1 | 5 2 6 k 1

 

1 4 12 2 4 4 6 5 2    k  k   



 ^{6 2}^ ^k ^¹⁰

練 8

△ ABC 的面積為 5﹐ 求 k 的值﹒

解：