2-3 圓與直線的關係 重點一 圓的定義與方程式 例題

高中數學(3)習作甲 第 2 章 直線與圓 38

2-3 圓與直線的關係

重點一 圓的定義與方程式

例題 1（圓的標準式）

(1) A（1﹐6），C（－5﹐－2），以 AC 為直徑的圓方程式為 。（5 分）

(2) 設圓 C：2x²＋2y²－4x＋8y＋2＝0 的圓心（a﹐b），半徑 r，

則 a＋b＋r＝ 。（5 分）

解 (1)A，C 的中點 B 為圓心（－2﹐2），半徑為 r＝

2

AC

(2)圓 C：2x²＋2y²－4x＋8y＋2＝0  x²＋y²－2x＋4y＋1＝0

配方得（x－1）²＋（y＋2）²＝4 ∴圓心（a﹐b）＝（1﹐－2），半徑 r＝ 4 ＝2

 a＋b＋r＝1＋（－2）＋2＝1

例題 2（圓的一般式）

A（0﹐2）

(2)外心坐標為 。（5 分）

解 (1)令圓方程式為：x²＋y²＋dx＋ey＋f＝0，將 A（0﹐2），B（1﹐1），C（1﹐－1）

代入得

4 2 0

2 0

2 0

e f d e f d e f





＋ ＋ ＝

＋ ＋ ＋ ＝

＋ － ＋ ＝



2 0

4

d e f





＝

＝

＝－

∴外接圓方程式為 x²＋y²＋2x－4＝0 (2)x²＋y²＋2x－4＝0 （x＋1）²＋y²＝5

∴外心坐標為（－1﹐0）

例題 3

圓 C：x²＋y²－6x＋4y＋a＝0，半徑為 3，圓心在直線 y＝bx＋7 上，

則數對（a﹐b）＝ 。（10 分）

解 圓 C：（x－3）²＋（y＋2）²＝13－a，半徑為 13 a－ ＝3  a＝4 圓心（3﹐－2）代入直線得－2＝3b＋7  b＝－3

故數對（a﹐b）＝（4﹐－3）

高中數學(3)習作甲 第 2 章 直線與圓 39

例題 4（圓的判別式）

判斷下列二元二次方程式所表示的圖形：

(1) 3x²＋3y²－12x＋24y＋33＝0。（3 分）

(2) x²＋y²＋6x－8y＋25＝0。（3 分）

(3) x²＋y²＋2x－4y＋6＝0。（4 分）

解 (1)方程式同除以 3，得出方程式為 x²＋y²－4x＋8y＋11＝0 分別對 x，y 配方得出（x－2）²＋（y＋4）²＝9

方程式的圖形是一圓，圓心在（2﹐－4），半徑是 3 (2)方程式經配方得出（x＋3）²＋（y－4）²＝0

方程式的圖形是一點（－3﹐4）

(3)方程式經配方得出（x＋1）²＋（y－2）²＝－1 方程式沒有圖形

例題 5

若圓 C 通過點（3﹐2）及點（1﹐4），且其圓心在直線 2x－y＝0 上，

則 C 之圓心為 ，半徑為 。（10 分）

解 圓心（k﹐2k）到（3﹐2）與（1﹐4）等距離

 r＝ （ － ）＋（ － ） ＝

k

k

k

k

 k²－6k＋9＋4k²－8k＋4＝k²－2k＋1＋4k²－16k＋16

 4k＝4

∴k＝1，圓心為（1﹐2），半徑為 （－ ）＋（ － ） ＝21 3 ² 2 2 ²

重點二 圓與直線的關係

例題 6

設 k 是實數，已知直線 L：3x－y＋k＝0 與圓 C：x²＋y²＝10 相切，

則 k 值為 。（10 分）

解

L：y＝3x＋k，圓 C：x

將 L：y＝3x＋k 代入圓 C：x²＋y²＝10，得 x²＋（3x＋k）²＝10 整理得 10x²＋6kx＋（k²－10）＝0

∵直線 L 與圓 C 相切

∴判別式為 0，得（6k）²－4×10×（k²－10）＝0 整理得－4k²＋400＝0  k＝±10

高中數學(3)習作甲 第 2 章 直線與圓 40

例題 7

試就實數 m 的範圍討論直線 L：y＝mx＋2 與圓 C：x²＋y²＝1 的相交情形。（10 分）

解 已知 L：y＝mx＋2，圓 C：x²＋y²＝1

將 y＝mx＋2 代入 x²＋y²＝1，得 x²＋（mx＋2）²＝1 整理得（m²＋1）x²＋4mx＋3＝0

判別式為（4m）²－4×（m²＋1）×3 整理得判別式 D＝4（m²－3）

D＞0，直線 L 與圓 C 相交兩點  m＞ 3 或 m＜－ 3

D＝0，直線 L 與圓 C 相切  m＝± 3

D＜0，直線 L 與圓 C 不相交 － 3 ＜m＜ 3

重點三 圓的切線

例題 8（已知切點求切線）

若直線 y＝ax＋b 切圓 C：x²＋y²＋2x＋4y＋k＝0 於點（2﹐1），則 序組（a﹐b﹐k）＝ 。（10 分）

解 圓 C：（x＋1）²＋（y＋2）²＝5－k，圓心 A（－1﹐－2）

令 P 點為（2﹐1） ∵P∈C，將 P（2﹐1）代入圓 C 得 2²＋1²＋2×2＋4×1＋k＝0  k＝－13



m

－（－ ）

－（－）＝1，L：y＝ax＋b，其斜率為 a

∵

AP

P∈L  將 P（2﹐1）代入 L：y＝－x＋b 中

 1＝（－1）×2＋b  b＝3

由、、解出序組（a﹐b﹐k）＝（－1﹐3﹐－13）

例題 9（過圓外一點求切線）

(1) 試求過 A（0﹐2）且與圓 C：x²＋y²＝1 相切之切線方程式。（5 分）

(2) 試求過 B（1﹐0）且與圓 C：（x＋1）²＋y²＝1 相切之切線方程式。（5 分）

解 (1)設過 A（0﹐2）之直線 L：y＝m（x－0）＋2，將 L：y＝mx＋2 代入圓 C：x²＋y²＝1 整理得（m²＋1）x²＋4mx＋3＝0

∵直線 L 與圓 C 相切 ∴判別式為 0，得（4m）²－4×（m²＋1）×3＝0 整理得 4m²－12＝0  m＝± 3

故切線方程式為 y＝ 3 x＋2 及 y＝－ 3 x＋2

高中數學(3)習作甲 第 2 章 直線與圓 41

(2)設過 B（1﹐0）之直線 L：y＝m（x－1）

將 L：y＝m（x－1）代入圓 C：（x＋1）²＋y²＝1 整理得（m²＋1）x²＋2（1－m²）x＋m²＝0

∵直線 L 與圓 C 相切 ∴判別式為 0，得 4（1－m²）²－4×（m²＋1）×m²＝0 整理得 12m²－4＝0  m＝± 1

3 故切線方程式為 y＝ 1

3

x－

3及 y＝－ 1

3

x＋

例題 10（已知斜率求切線）

斜率為 2 與圓 C：x²＋y²＋2x－6y＋5＝0 相切且過第二象限的直線，其方程式 為 。（10 分）

解

x

設切線 L：y＝2x＋k，代入圓 C 方程式得（x＋1）²＋（2x＋k－3）²＝5 整理得 5x²＋（4k－10）x＋（k²－6k＋5）＝0

∵直線 L 與圓 C 相切 ∴判別式為 0 得（4k－10）²－4×5×（k²－6k＋5）＝0 整理得－4k²＋40k＝0  k＝0，10

∵切線 L 過第二象限 ∴L：y＝2x（不合）

故所求切線為 L：y＝2x＋10