第1章 綜合演練 基礎題

高中數學(2)‧習作甲 第 1 章 數列與級數 14

第 1 章 綜合演練

基礎題

1. 試將下列數列寫成遞迴式：

(1)等差數列〈a_n〉的首項為 4，公差為－3。（5 分）

(2)等比數列〈an〉的首項為 3，公比為－4

3。（5 分）

解 (1) ¹

1

4

3 2

n n

a

a a n n

 

 ^－

＝

＝ ＋（－ ） ， 是正整數且

(2)

1

1

3

4 2

n 3 n

a

a a n n



   

  

 ^－

＝

＝ － ， 是正整數且

2. 已知數列 a，1，b，c，d，81 成等比數列，且 a＜0，則數對（a , b）＝ 。（10 分）

解 令公比為 r，由題意知

5

1 81

ar ar





L L L L L L L L L

＝

＝



 由

得 r⁴＝81  r＝3 或 r＝－3

∵a＜0 ∴r＜0  r＝3 不合，亦即 r＝－3 代入得 a＝－1

3， b＝ar²＝ 1

3

 

 

－ （－3）²＝－3 故數對（a , b）＝ 1

, 3 3

 

 

－ － 

3. 數列〈an〉的遞迴式為 ¹

1

5

4 _n 3 _n 0 1

a

a a n n

 

 ^＋

＝ ，

－ ＝ ， 是正整數且 ， 則一般項 an＝ 。（10 分）

解 ∵4an^＋1－3an＝0 ∴an^＋1＝3 4an

遞迴式得出 a1 ＝ 5 a2 ＝ 3

4a1

a₃ ＝ 3 4a2

M

×） an ＝ 3 4an^－1

a_n ＝ 5×

3 1

4

 n

  

－

高中數學(2)‧習作甲 第 1 章 數列與級數 15

故一般項 a_n＝5×

3 1

4

 n

  

－

4. 求下列各數列〈an〉的一般項 an：

(1)a₁＝1，a_n＝a_n^－₁＋（n－1），其中n ¥ ，n  2。（5 分）

(2)a1＝2，an＝an^－1＋2n，其中n ¥ ，n  2。（5 分）

解 (1) 由遞迴式得出 a1＝1 a₂－a₁＝1 a₃－a₂＝2 M

＋） a_n－a_n－1＝n－1

a_n＝1＋〔1＋2＋……＋（n－1）〕

＝1＋ 1 2 n n

（ －） ＝

2 2

2 n－ ＋n (2) 由遞迴式得出

a₁＝2¹ a2－a1＝2² a3－a2＝2³ M

＋） an－an^－1＝2ⁿ

an＝2¹＋2²＋2³＋……＋2ⁿ

＝2 2 1 2 1

（ －）n

－ ＝2（2ⁿ－1）

5. 在 4 與 12 之間依序插入 10 個數 a₂，a₃，……，a₁₁，使此 12 個數成等差數列，則：

(1)a8＝ 。（5 分）

(2)此 12 個數的總和為 。（5 分）

解 (1) 由題意知等差數列〈4，a₂，a₃，……，a₁₁，12〉之首項 a₁＝4，第 12 項 a₁₂＝12

 a₁₂＝a₁＋11d  12＝4＋11d  d＝ 8 11 故第 8 項 a8＝a1＋7d＝4＋7× 8

11＝100 11 (2) S12＝12

2 × 8

2 4 12 1 11

   

 

 ＋（ －） 

＝6×（8＋8）

＝96

6. 觀察右列 3×3 與 4×4 方格中的數字規律，如果在 10×10 的方格上，

仿右列規律填入數字，則所填入的 100 個數字之總和為 。

（10 分）

高中數學(2)‧習作甲 第 1 章 數列與級數 16

解

數字和 1 1＋4 1＋4＋9 1＋4＋9＋16

∥ ∥ ∥ ∥

1² 1²＋2² 1²＋2²＋3² 1²＋2²＋3²＋4²

∴所求為 1²＋2²＋3²＋……＋10²

＝10 10 1 2 10 1 6



（ ＋）（ ＋）

＝385

7. 圖(一)堆一層需一個積木，圖(二)堆兩層需 4 個積木，

圖(三)堆三層需 9 個積木，若依此原則不變，則堆 50 層需要 個積木。（10 分）

解 每層積木的個數為一個首項 a₁＝1，公差 d＝2 的等 差數列

∴S₅₀＝⁵⁰





2

 ＋（ －）

＝2500（個）

8. 試求下列各級數的和：

(1)

5

1

3

k



＝ 。（2 分） (2)

4

2 1

2

k



＝－

（ ＋ ）＝ 。（2 分）

(3)

10

2 1

2 1

k



＝

（ －） ＝ 。（3 分） (4)

20

1

1

k k k 2



解 (1)

5

1

3

k



＝3＋3＋3＋3＋3＝15 (2)

4

2 1

2

k



＝－

（ ＋ ）＝（2＋1）＋（2＋0）＋（2＋1）＋（2＋4）＋（2＋9）＋（2＋16）

＝43 (3)

10

2 1

2 1

k



＝

（ －） ＝

10 2 1

4 4 1

k

k k



（ － ＋）

＝4

10 2 1 k



＝

－4

10

1 k



＝

＋

10

1

1

k



＝4×10 11 21 6

  －4×10 11 2

 ＋10

＝1540－220＋10＝1330 (4)

20

1

1

k k k 2



1 3 ＋ 1

2 4 ＋ 1

3 5 ＋ 1

4 6 ＋……＋ 1

19 21 ＋ 1 20 22

＝1

2× 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 3 2 4 3 5 4 6 19 21 20 22

           

           

           

 － ＋ － ＋ － ＋ － ＋L L＋ － ＋ － 

＝1

2× 1 1 1 1 2 21 22

 

 

 ＋ － － ＝325 462

圖(一) 圖(二) 圖(三)

高中數學(2)‧習作甲 第 1 章 數列與級數 17

進階題

1. 用數學歸納法證明：1＋5＋9＋……＋（4n－3）＝2n²－n 對所有的自然數 n 恆成立。

（10 分）

證 (1) 當 n＝1 時，左式＝1，右式＝2‧1²－1＝1，原式成立

(2) 設n＝k 時，原式成立，即 1＋5＋9＋……＋（4k－3）＝2k²－k 則 n＝k＋1 時，

左式＝1＋5＋9＋……＋（4k－3）＋〔4（k＋1）－3〕

＝2k²－k＋4k＋1＝2k²＋3k＋1

＝2（k＋1）²－（k＋1）＝右式，原式也成立 由數學歸納法得知，對於所有自然數 n，原式都成立

2. 設p 為一質數，n 為自然數，f（n）＝3^2n＋1＋2^n＋2，則：

(1)對一切的自然數n，f（n）恆為 p 的倍數，則 p＝ 。（5 分）

(2)試用數學歸納法證明，於(1)中，您的答案是正確的。（5 分）

解 (1) 當 n＝1 時，f（1）＝3³＋2³＝35＝5×7 當 n＝2 時，f（2）＝3⁵＋2⁴＝259＝7×37

∵f（n）恆為 p 的倍數，又 p 為質數 ∴猜測 p＝7 (2) 證明“對一切的自然數n，f（n）恆為 p 的倍數”

當 n＝1 時，f（1）＝35 為 7 的倍數

∴n＝1 時成立

設 n＝k 時成立，即 f（k）為 7 的倍數  3^2k＋1＋2^k＋2＝7t（t ¥ ） 則 n＝k＋1 時

f（k＋1）＝3^{2（k＋1）＋1}＋2^{（k＋1）＋2}＝9‧3^2k＋1＋2‧2^k＋2

＝7‧3^2k＋1＋2（3^2k＋1＋2^k＋2）＝7‧3^2k＋1＋2‧7t

＝7（3^2k＋1＋2t）為 7 的倍數

∴n＝k＋1 時亦成立

故由數學歸納法原理知對一切的自然數 n，f（n）恆為 7 的倍數恆成立 ∴p＝7