第九章齿轮机构及其设计

(1)

第九章齿轮机构及其设计

（一）教学要求

1、了解齿轮机构的特点，理解齿廓啮合基本定理，熟悉渐开线性质，了解共轭齿廓概念

2、理解基本参数的概念、掌握齿轮基本尺寸计算，理解齿轮的正确啮合条件、重合度的意义

3、了解齿轮加工的原理、根切原因、变位的目的，掌握变位齿轮传动的计算 4、掌握斜齿轮传动特点及尺寸计算，了解螺旋齿轮的传动

5、掌握蜗轮蜗杆传动的特点及尺寸计算，了解圆锥齿轮传动特点与参数

（二）教学的重点与难点

1、齿廓啮合基本定理，渐开线性质，共轭齿廓

2、周节、分度圆、模数，啮合过程，正确啮合条件，可分性，重合度的意义 3、展成原理，根切原因，变位齿轮的尺寸变化，无侧隙啮合方程

4、端面、法面参数的关系，当量齿数，正确啮合条件，重合度 5、正确啮合条件，蜗轮转向判断，蜗杆直径系数 q

（三）教学内容

§9—1 概述

齿轮机构：非圆齿轮机构；圆形齿轮机构。

圆形齿轮机构——平面齿轮机构（圆柱齿轮）；空间（用来传递两相交轴或交错轴）

平面齿轮机构：

直齿圆柱齿轮机构（直齿轮）——①外啮合；②内啮合；③齿轮齿条平行轴斜齿齿轮机构（斜一）：①外；②内；③齿轮齿条

空间：

圆锥齿轮机构——①直齿；②斜一；③曲线齿交错轴斜齿轮机构：（图 5-5）

蜗杆机构：两轴垂直交错

§9—2 齿廓啮合基本定律

传动比

2 1

12 W

i W ：①常数——圆齿轮；②f(t)——非圆齿轮

一、齿廓啮合基本定律

2

1 P

P V

V  （P——节点）

(2)

P O W P O

W₁ ₁ ₁  ₂  ₂

∴

P O

P O W i W

1 2 2 1

12  

节曲线：非圆齿轮—节曲线是非圆曲

圆齿轮—节圆（轮 1 的节圆是以 O1为圆心，O，P 为半径的圈，—每一瞬时，P 位置唯一确定。）

齿廓啮合基本定律：在啮合传动的任一瞬时，两轮齿廓曲线在相应接触点的公法线必须通过按给定传动比确定的该瞬时的节点。

——轮齿齿廓正确啮合的条件定传动比传动，定律描述：

设节圆半径r₁, r₂

1 2 1 2 2 1

12 r

r P O

P O W i W



 



（概念：节点，节圆，

r

₁

  O

₁

P

，

r

₂

  O

₂

P

）二、共轭齿廓，共轭曲线

（关于共轭齿廓的求法自己看书）

（凡满足齿廓啮合基本定律的一对齿轮的齿廓称—）

三、齿廓曲线的选择

满足定传动比的要求；考虑设计、制造等方面。

（对于定传动比的齿轮机构，通常采用渐开线、摆线、变态摆线）

§9—3 渐开线及渐开线齿廓

一、渐开线的形成及性质

1、形成（当一直线 n-n 沿一个圆的圆周作纯滚动时，直线上任一点 K 的轨迹）

AK——渐开线 基圆，rb

n-n：发生线

θK：渐开线 AK 段的展角 2、性质

（1）KN AN



（2）NK 为渐开线在 K 点的法线，NK 为曲半半径，渐开线上任一点的法线与基圆相切。

（3）渐开线离基圆愈远，曲半半径愈大，渐开线愈平直

（4）渐开线的形状决定于基圆的大小（图 5-12）

θK相同时，rb越大，曲半半径越大

rb→∞，渐开线→⊥N3K 的直线

（5）基圆内无渐开线（因渐开线从基圆开始向外展开）

(3)

3、渐开线方程压力角



_K NOK



ONK^中：

K b K

r r



 cos

K K b

K K b b b

K

K r

r r AN r

tg



N

















 ( )

即



_K tg



_K 



_K

θK称为角αK的渐开线函数 invαK表示θK

即



_K inv



_K tg



_K 



_K

渐开线方程











K K K

K

K b K

tg inv

r r





cos



二、渐开线齿廓满足齿廓啮合基本定律（或者说满足定传动比要求）



O₁N₁P^和



O₂N₂P

 



 



1 2 1 2 1 2 2 1 12

b b

r r r r P O

P O W

i W 常数式（1）

三、渐开线齿廓啮合的特点

1、渐开线齿廓啮合的啮合线是直线——N1N2啮合点的轨迹啮合线、公法线、两基圆的内公切线三线重合。

2、渐开线齿廓啮合的啮合角不变



：N1N2与节圆公切线之间的夹角



=渐开线在节点处啮合的压力角 3、渐开线齿廓啮合具有可分性。

式（1）表明，i12决定于基圆大小

（这一特点对渐开线齿轮的制造、安装都是十分有利的）。

§9—4 渐开线直齿圆柱齿轮的基本参数和几何尺寸

一、齿轮各总数分名称和基本参数齿数——Z，齿槽

1、齿顶圆 ra

2、齿根圆 rf

3、在任意圆上 rk

(4)

齿槽宽 ek

齿厚 SK

齿距 PK=eK+SK

ZPK



dk 

∴ P Z d_K ^K





定义 ^K



^K m  P 模数

4、分度圆，r，d，s，e，p(为确定一个齿轮各部分的几何尺寸，在齿轮上选择一个圆 作为计算的基准)

P=s+e

d=mz m 为标准植

5、齿顶高 ha：d 与 da之间 齿根高 hf：d 与 df之间 齿全高 h：h=ha+hf

6、基节

基节——基圆上的周节（齿距）Pb









d_b zP_b  d_Kcos _K  dcos  zPcos



cos P P_b 

二、标准齿轮的基本参数 1、模数 m

zp

 d 

∴

p z d ^ 

模数



m  p

或 p



m

∴d=mz 单位：mm（m 是决定齿轮尺寸的一个基本参数）

m 标准化。

2、分度圆压力角



分度圆和节圆有原则性的区别。分度圆是一个齿轮的几何参数，每个齿轮都有一个大小确定的分度圆，而节圆则是表示一对齿轮啮合特性的圆。对于单个齿轮而言，节圆无意义；

当一对齿轮啮合时，它们的节圆随中心距的变化而变化（可分性）。因此节圆和分度圆可以重合，也可以不重合。另外，分度圆压力角是一个大小确定的角，啮合角可以与之相等，也可不相等，但啮合角与节圆压力角始终相等。

K b K

r r



cos

(5)

) arccos(

K b

K r

 r



 cos cos mz 2 r

r

_b

 

（



是决定渐开线齿廓形状的一个基本参数）

GB1356-88 规定标准值



=20°

某些场合：



=14.5°、15°、22.5°、25°。

至此：分度圆就是齿轮上具有标准模数和标准压力角的圆。

3、齿数 z











2 cos r mz

mz d

b

表明：齿轮的大小和渐开线齿轮形状——

4、齿顶高系数

h

_a^*^{和顶隙系数}

c

^*

m

h h

_a



_a^*

m c h h_f ( _a^*  ^*)

标准值：

h

_a^*=1，

c

^*=0.25

非标准短齿：

h

_a^*=0.8，

c

^*=0.3 三、标准直齿轮的几何尺寸

标准齿轮：标准齿轮是指 m、



、

h

_a^*、

c

^*均取标准值，具有标准的齿顶高和齿根高，且分度圆齿厚等于齿槽宽的齿轮。

一个齿轮：

d=mz ha=

h

_a^*m

hf=(

h

_a^*+

c

^*)m

h=ha+hf=(2

h

_a^*+

c

^*)m

da=d+2ha=(z+2

h

_a^*)m

df=d-2hf=(z-2

h

_a^*-2

c

^*)m db=dcos



P=πm

m e

S 

2  1



一对标准齿轮：

(6)

) 2 (

) 1 2 (

1

1 2 1

2

d m z z

d

a    

①m、z 决定了分度圆的大小，而齿轮的大小主要取决于分度圆，因此 m、z 是决定齿轮 大小的主要参数

②轮齿的尺寸与 m，

h

_a^*，

c

^*有关与 z 无关

③至于齿形，

 cos  cos mz 2 r

r

_b

 

，与 m，z，



有关

可见，m 影响到齿轮的各部分尺寸，∴又把这种以模数为基础进行尺寸计算的齿轮称 m 制齿轮。

四、标准齿条 z→∞

1、p=пm 分度线：s=e

2、



=齿形角（20°）

3、尺寸计算：同标准齿轮一样五、任意圆上的齿厚（课后自己看书）

§9—5 渐开线直齿圆柱齿轮的传动

一、啮合过程

起始啮合点：从动轮的齿顶点与主动轮的齿根处某点接触，在啮合线上为从动轮的齿 顶圆与啮合线 N1N2的交点 B2。

终止啮合点：主动轮的齿顶点与从动轮的齿根处某点接触，在啮合线 N1N2上为主动轮 的齿顶圆与啮合线 N1N2的交点 B1。

2 1

B

——实际啮合线

2 1

N

——理论啮合线

轮 1EF 和轮 2DG——齿廓工作段，齿廓非工作段二、正确啮合条件

两对齿分别在 K，K’点啮合，根据啮合基本定律（也可根据渐开线齿廓啮合特点）

K 在 N1N2上 K’在 N1N2上 KK’——法向齿距在齿轮 1 上：KK’=Pb1

在齿轮 2 上：KK’=Pb2

∴Pb1=Pb2







 



dcos pcos mcos z

z

P_b  d^b   

∴

2 2 2

1 1 1

cos cos









m P

b b



(7)

∴m₁cos



₁m₂cos



₂(m，



不是连续值)

∴





₁ ₂

2

1 m m

m

三、无侧隙啮合条件齿侧间隙（侧隙）

进行运动设计时，需按无侧隙啮合。

1、满足的条件

P A P A

₁



₂

∵

A

₁

P  e

₁



2

P s

A  

∴e₁s₂





 cosd

d_b （见图 P175 5-19）

∴

  

_



_



 

 d cos P cos

z z P_b d^b

（其中

d

P    z 

——节圆齿距）

∵P_b₁P_b₂ (



₁ 



₂)

∴P₁ P₂ (Pe₁s₁)

∴s₁e₂或e₁s₂ 2、标准齿轮的安装

标准安装 ₁ ₁ ₂ ₂

2 m s e e

s     

s₁s₁ e₂ e₂ （能实现无侧隙啮合）





标准中心距：

2 ) ( ₁ ₂

2 1 2 1

z z r m r r r

a 











顶隙Ch_f h_a (h_a^*c^*)mh_a^*mc^*m→标准值非标准安装

a只有增大

(8)

由图可知：



 

 cos

cos cos

1 1 1

r r r^b



 

 cos

cos cos

2 2 2

r r r^b

∴



 

 

 

 

 

cos cos cos

) cos (

₁ ₂

2

1

r r r a

r a

∵aa,







,r₁r₁,r₂r₂,cc，有侧隙 3、传动比



 

 



1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

12 z

z r r r r r r W i W

b

b 常数

四、渐开线齿轮连续传动的条件

Pb

B

B₁ ₂  B₁B₂ P_b

Pb

B B₁ ₁ 

1、B₁B₂ P_b或 ¹ ²

 1 P

b

B B

重合度（重叠系数）



¹ ²

 1 P

b

B B



 ：齿轮传动的连续性条件重合度的定义还有其他形式：

渐开线性质：

B

₁

B

₂

 C  D 

（一对齿从开始跄合到终止啮合在基圆上转过的弧长）

CD（在节圆上转过的弧长）——作用弧



2——作用角

显然：

C  D 

所对的中心角也为



₂

∴









 

 









  cos

2 2 2

2 2 2 2

1 CD

r CD r r

r CD r

D C B

B _b _b ^b



 



_ _



 

 d cos P cos

z z P_b d^b

(9)

∴

节圆齿距

 作用弧

  P CD





2、复合度的意义

1



 ，始终只有一对齿啮合

 2



 ，始终只有二对齿啮合

P

b

B B

₁ ₂

25 . 1 







∴B₁B₂ 1.25P_b

显然：B₂A₂和A₁B₁有两对齿啮合，而A₁A₂只有一对齿啮合，在齿轮转过一个基节 Pb

的时间 T 内，有 25%的时间是两对齿啮合 75%的时间是一对齿啮合，这就是重合度的意义。

若



_

 1 . 64

，两对齿占 64%，一对占 36%。

重合度不仅是齿轮传动的连续性条件，而且是衡量齿轮水载能力和传动平稳性的重动平稳性的重要指标。

3、重合度的计算由上图看出：

)

( ₁

1 1

1 1 1 1 1

1PN B N Pr tg



r tg



r tg



tg





B _b _a _b _b _a

)

( ₂

2 2 2 2

2 N B N Pr tg



tg





PB _b _a

∴

 





_



cos

) (

)

( ₁ ₂ ₂

1 2 1

2 1

m

tg tg

r tg tg

r P

PB P B P

B

B _b _a _b _a

b b

 

 

 

 



 2 cos

1

mz

r

_b



 2 cos

1

2

mz

r

_b



 ( ) ( ) 

2 1

2 2 1

1

   

 ^z ^tg

^a

^ ^tg ^ ^ ^z ^tg

^a

^ ^tg ^

§9—6 渐开线齿廓的加工及根切

一、加工方法简介

铸造法、冲压法、挤压法切削法仿形法

展成法

二、仿形法→铁削法☆ 、拉削法

（铣削法加工）

圆盘铣刀、指状铣刀

圆盘铣刀的外形和齿轮的齿槽形状相同。铣齿时，将毛坯安装在机床工作台上，圆盘铣

(10)

刀绕其自身轴线旋转，而毛坯沿平行于齿轮轴线方向，作直线移动，

铣出一个齿槽后，将齿轮毛坯转过

z



360

，再铣第二个齿槽，依此类推。

仿形法加工特点：①无须专用机床；②加工精度低（生产效率低）

（∵齿轮齿廓的形状由基圆决定的，

cos  z

r

_b

 mz

，∴对 m，α相同的一套

齿轮，欲制造精确，需每一种齿数配一把齿刀，这是不可能的。为简化刀具数量，采用八把一套或十五把一套铣刀，其每把铣刀可切削齿数在一定范围内的齿轮。为保证加工出来的齿轮在啮合时不会被卡住，每一号铣刀的齿形都是按所加工的一组齿轮中齿的最少的那个齿轮的齿形制成的。因此，当用这把铣刀切削同组齿轮中其他齿数的齿轮时，齿形有误差。）

三、展成法（范成法、包络法）

1、展成原理：找共轭齿廓（一对渐开线齿廓是共轭齿廓，因此当刀刃齿廓是渐开线时，

加工出齿轮的齿廓也一定是渐开线）

2、展成加工方法：

（1）齿轮插刀切齿轮，图 P212，5-36a

刀坯坯刀

Z Z W iW 

展成运动；切削运动；辅助运动

（2）齿条插刀切制齿轮，P213，图 5-37a 坯

坯

刀 mzW

W r V

 2

 

刀具纹作切削运动，而坯不仅以 W^坯旋转，还要以 V^刀相对刀具作反方向的展成移动。

（3）滚刀切制齿轮，图 5-38b

3、特点：①被加工齿轮的模数和压力角相同。

②一把刀具可加工出任意齿数的齿轮。

四、标准齿条形刀具切制标准齿轮 1、刀具

刀具齿顶线（区别刀具顶刀线）

中线

被加工齿轮：

h

_a

 h

_a^*

m

要求：h_f h_a^*mc^*m ∴刀具比标准齿条在齿顶部高出c^*m一段 2、切制标准齿轮

将轮坯的外圆按被切齿轮的齿顶圆直径预先加工好。

将刀具的中线与轮坯的分度圆相切。（见图 5-29）P188

→齿轮和刀具有相同的模数和压力角

展成运动相当于无侧隙啮合。齿轮的齿厚=刀具的齿槽宽=

2  m

∴加工出的齿轮为标准齿轮。

四、渐开线齿廓的根切现象

(11)

1、根切：

危害：①切掉部分齿廓；

②削弱了齿根强度；

③严重时，切掉部分渐开线齿廓，降低重合度。

2、齿轮不发生根切的最少齿数 NM

m h^* 



²

sin

²

sin 2

sin mz

r PN

NM    

∴ ^*

sin

²

 2

m mz h

_a



∴ ²



*

sin zha

z 

∵

  20 

，

h

_a^*

 1

， ∴Z_min 17

§9—7 变位齿轮

一、变位目的 1、避免根切

2、改善小齿轮的寿命（大传动比时，使小齿轮齿厚增大，大齿轮齿厚减小，使一对齿轮的寿命相当）

3、凑中心距 a  a

a  a——外啮合a  a，无法安装；

a   a ,  

二、齿轮的变位

1、这种用改变刀具与轮坯径向相对位置来切制齿轮的方法称径向变位法。

变位齿轮

xm——移距或变位 x——移距系数或变位系数

规定：远离：x0， x0, x0 正变位零变位负变位切削变位齿轮：分度圆不变，节线变

变位齿轮和标准齿轮相比：m、α、r 齿距、rb、不变，齿廓由相同的基圆展成，齿厚、

齿顶高、齿根高变化。

齿廓由相同的基圆展成，P193

2、最小变位系数（变位齿轮不发生根切的现象的条件）

图：















² ²

*

s i n s i n 2

s i n MZ

r PN

MN

NM xm m h_a

(12)

∴ ^*

sin

²

 2 h Z x 

_a



∵ 



 



 



2

*

min sin

zha

Z

min 2 *

2 sin

Z h_a





∴

min min

*

min Z

Z h Z

x _a 



 （a）



  20

，

h

_a^*

 1

， Z_min 17

∴

17 17

min

x  Z



由式（a）得当Z Z_min，x_min 0，正变位，x  x_min

当Z Z_min，x_min 0， x x_min采用负变位也不会发生根切。

三、变位齿轮的尺寸变化及计算 1、分度圆上的齿厚

见图：刀具节线的齿槽宽比中线齿槽

2 KJ

，∴被切齿轮分度圆上的齿厚增加

2 KJ

。

在△IJK 中：

KJ  xmtg 

分度圆的齿厚：

  

m xmtg m KJ

S 2

2 2

2   



（了解）任意图的齿厚： 2r (inv



inv



) r

S r

S_K   ^k  _k _k  2、齿顶高和齿根高

齿根高

h

_f ：刀具加工节线到顶开线之间的距离对正变位：

见图：h_f (h_a^*mc^*m)xm(h_a^*c^*x)m

对负变位：x<0，

h

_f 比标准增加x_m

∴变位齿轮的齿根圆半径：

m x c h r h r

r_f   _f  ( _a^*  ^*  )

齿顶高

h

_a：∵变位齿轮的分度圆与相应标准齿轮的分度圆一样，

∴变位齿轮的齿顶高

h

_a仅决定于轮坯顶圆的大小。

为保证齿全高

h  ( zh

_a^*

 c

^*

) m

(13)

对正变位：∵h_f (h_a^* c^*x)m^，∴

h

_a

 ( h

_a^*

 x ) m

负变位：x0

m x h r h r

r

_a

 

_a

  (

_a^*

 )

§9—8 变位齿轮传动

正确啮合条件：m ₁ m₂，



₁ 



₂

连续性传动：

  1

，

[ ( ) ( )]

2 1

2 2 1

1 2

1

   

    Z tg  tg   Z tg  tg  P

B B

a a

b

无侧隙啮合条件：

1 2 2

1 e S e

S 或   

∴P₁S₁e₁S₁S₂ (a)

) (

2₁

1 1 1

1  











 r inv inv

r S r S

) (

2 ₂

2 2 2

2  











  r inv inv

r S r S

式中：

2 )

( 2

₁

1

 

tg x m

S  

^，

2 )

( 2

₂

2

 

tg x m

S  



cos

cos r

r

r_b    ，P_b Pcos



Pcos



, 2

, ₁ 2¹ ₂ mZ² mZ r

r m

P



 

将各式代入（a）式化简得（inv



 tg







）



tg inv

Z Z

x

inv x 



 



2 1

2

1 )

( 2

即：



tg



inv



Z

inv  X 



2 

——无侧隙啮合方程

X——变位系数和 Z_——齿数和

该表明：一对变位齿轮在无侧隙啮合时，

 

与X_之间的关系。

若X_=0，

   

，节圆与分度圆重合，

a   a

(14)

若X_ 0，

   

，节圆与分度圆不重合，

a   a

中心距：



 

 

 

 

 

 

 

cos cos cos

) cos cos (

cos cos

cos

2 1 2

1 2

1

r r r r r a

r a

中心距变动系数 y：

) cos 1 (cos ) 2

cos 1

(cos 

 











 ^



mZ

a a a a ym

∴ 1)

cos (cos

2 

 ^ 



y Z

齿高变动系数（图 5-35 P198） m x a m x x r r

a ₁ ₂( ₁ ₂)   _

ym

a a   

m y x a a

ym  (  )

 _

m y x h ym m x h

h

_a

 (

_a^*

 )    (

_a^*

   ) m

y c zh

h  (

_a^*



^*

  )

m y x h r h r

r

_a

 

_a

  (

_a^*

   )

0

x ，为保证顶隙为标准植，都必须将齿顶削去一段

 ym

作业：P528 5-13，5-14，5-16 二、变位齿轮传动的类型

零传动（x_ 0）正传动（x_ 0）负传动（x_ 0） 1、零传动

（1）标准齿轮传动：x_ 0，且x₁  x₂ 0

（零部位）

min

1 Z

Z  ，Z ₂ Z_min，

   

，

a   a

，y0，y0 分度圆与节圆重合。

（2）等变位齿轮传动：x_ 0，且x₁  x ₂ 0

(15)

min 1 min

*

1 Z

Z h Z

x _a 

 ，

m i n 2 m i n

*

2 Z

Z h Z

x _a 



∴ [2 _min ( ₁ ₂)]

min

* 2

1 Z Z Z

Z x h x

x_    ^a   （b）

0 x

∴Z_ Z₁Z₂ 2Z_min

（由无侧隙啮合方程得）



  

，

a   a

，

y  0

，

y  0

，分度圆与节圆重合小齿轮正变位，大齿轮负变位——寿命相当

优点：1、可以减小齿轮机构的尺寸和重量

2、中心距仍为标准中心距，可以成对地替换标准齿轮缺点：1、必须成对地设计、制造和使用

2、重合度为略有减小 2、正传动

0

5x_  x₁x₂  ，代入(b)式，得

允许Z₁ Z₂ 2Z_min



  

，

a   a

，

y  0

，

y  0

，分度圆小于节圆

优点：1、Z₁Z₂ 2Z_min齿轮机构的尺寸和重量可更小 2、在







的场合，只能用正传动来凑中心距缺点：1、必须成对地设计、制造和使用；2、重合度减小 3、负传动

0 5 ₁ ₂ 

 x x ，代入(b)得

min 2

1 Z 2Z

Z  



  

，

a   a

，

y  0

，

y  0

分度圆>节圆优点：1、重合度略有增加

2、在







的场合，可用它凑中心距缺点：必须成对地设计、制造和使用

§9—9 平行轴斜齿圆柱齿轮机构

一、斜齿轮齿廓曲面的形成和啮合特点 1、直齿轮：

(16)

基圆柱，发生面 S，KK∥基圆柱母线 NN→渐开线柱面（见 P203 图 5-37a）

啮合特点：①齿廓曲面的接触线∥NN

②受力突变，噪音较大。

2、斜齿轮：

基圆柱，发生面 S，KK 与 NN 有夹角



_b→渐开线螺旋面（见 5-38a）

基圆柱上的螺旋角



_b

渐开线螺旋面齿廓的特点：

①与基圆柱相切的平面与齿廓曲面的交线为斜直线（与 NN 交角



_b）

②端面（垂直于齿轮轴线的面）与齿廓曲面的交线为渐开线。

③与基圆柱同的圆柱面与渐开线螺旋面的交线为一螺旋线。

不同面→螺旋角不同斜齿轮的啮合特点：

（1）两斜齿齿廓的公法面既是两基圆柱的公切面，又是传动的啮合面

（2）两齿廓的接触线与轴线夹角



_b

（3）接触线 0→长→0，传动平稳☆

二、斜齿轮的基本参数

1、斜齿轮的切削加工：①仿形法；②已成法：滚齿

（用仿形法加工斜齿轮时，铣刀是沿螺旋齿的方向进刀的）

法面：垂直于分度圆柱面螺旋线的切线的平面。进刀方向⊥法面法面齿形与刀具相同→法面上的模数和压力角为标准值

端面：⊥轴线的面

计算斜齿轮端面参数与尺寸：

齿距：

P

_t

  mt

P

_n

  mn

P _n P_t cos



模数：∴

m 

_n

m

_t

cos 

压力角：

CE

tg AC BD

tg 

_t

 AB , 

_n



，

AC  AB cos 

∵BD=CE

∴

 cos   cos 

t

n

tg

BD AB CE

tg  AC  

齿顶高系数，顶隙系数：

at

an

h

h 

∴

h

_an^*

 m

_n

 h

_at^*

 m

_t,

c

_m^*

m

_n

 c

_t^*

m

_t

(m_n m₀cos



)

(17)









cos

*

n t

an at

c c

h h

螺旋角



：

PZ：螺旋线的导程（螺旋线绕同一周时它沿轴线方向前进的距离）

P

Z

tg    d

∴

Z b

b P

tg







d

t d d_b  cos



∴ tg tg t

d

tg



_b  d^b







cos



（1）

（上式表明，各圆柱面的螺旋角不等）

三、平行轴斜齿轮传动的正确啮合条件和重合度 1、正确啮合条件

（斜齿轮在端面内的啮合相当于直齿轮的啮合）

2

1 t

t m

m 

m

_n₁

 m

_n₂

2

1 t

t



 



_n₁ 



_n₂

2

1 b

b







₁ 



₂ 



₁ 



₂

（图 5-39）

2、重合度（两个端面参数（Z,m,



,

h

_a^*,

c

^*）完全相同的标准直齿轮和标准斜齿轮）

分度圆柱面的展开图





 CC btg 

S

₁ 纵向作用弧

总作用弧与 Pt的比值→总重合度



_

设



_→端面重合度（相当于相应的直齿轮的重合度）









 

 



















mt btg

P btg P

CC P

DC P

DC

t t

1 1

(18)

纵向重合度





m

n

b mt btg









_

 ^sin

四、斜齿轮的当量齿数

r r b

a ,  cos



当量齿轮：以



为分度圆半径，用斜齿轮的

m

_n和



_n分别为模数和压力角作一虚拟的 直齿轮，其齿形与斜齿轮的法面齿形最接近。这个齿轮称斜齿轮的当量齿轮，齿数 ZV称当量齿数。

由解析几何知：





²



² ₂

cos ) 1

(cos r

r r

b

a   



n

v m

Z





  2

∴ 



 



 



 cos 2

2 cos

2 2

Z m m

m r

Z m ^t

n n

n

v

  



 



²

2 cos cos

cos

m Z m

Z _n

n





 



 

五、平行轴斜齿轮的变位和几何尺寸计算

平行轴斜齿轮在端面内的几何尺寸关系与直齿轮相同。

1、尺寸计算一个

mt h d h d d

Z m d

at a

a t











2 *

2

一对：

( )

cos 2 ) 1 2 (

1

2 1 2

1 2

1

m Z Z

Z Z mt r

r

a 

_t



_t

  

ⁿ





改变螺旋角



可凑中心距，无须变位。

t an t

at zh

Z zh







²

* 2

*

min sin

cos

sin 

 <直齿轮最少齿数

2、变位

移距相同：x_tm_t x_nm_n

∴x _t x_ncos



为计算方便，平行轴斜齿轮几何尺寸计算公式见 P211表 5-3 六、平行轴斜齿轴传动的主要优缺点

1、优点：①重合度大，传动平稳，承载能力高

(19)

②Z_min比直齿轮小，机构更紧凑

③制造成本与直齿轮相同广泛应用于高速、重载传动中

2、缺点：有轴向力

轴向力F_x Fsin

 

8~15

§9—11 蜗杆机构

螺旋齿轮机构（若将一对斜齿轮安装成其轴线既不平行也不相交，就成为蜗杆机构。

两轮轴线之间的夹角称为轴角）。

1、



₁ 



₂

——轴的夹角

2、点接触，承载能力低

3、相对滑动速度大，轮齿易磨损。

（见听课笔记）

一、蜗杆蜗轮的形成

1、螺旋齿轮机构

大小,



90 Z1





 →蜗杆蜗轮（见图 5-48）

（径向尺寸小，轴向尺寸大）

2、啮合特点：

点接触



^改进

 

线接触（可传递较大的动力）

3、加工

蜗杆→车削（螺旋线）（轴平面内的齿形为直线齿廓的齿条）

蜗轮→与蜗杆相似的滚刀展成切制蜗轮

右旋蜗杆，头数是从端面上看蜗杆具有的齿数 Z1，蜗杆在轴剖面上的齿形为齿条。

蜗杆分度圆柱面上螺旋线的导程角



90



₁



₂

过齿形中线处的圆柱称蜗杆的中圆柱（分度圆柱），在中圆柱上轴向齿厚与齿槽相等二、蜗杆蜗轮机构的分类

按蜗杆形状分：圆柱蜗杆机构 ——普通、圆弧环面蜗杆机构

锥蜗杆机构

（最常用）阿基粘德圆柱蜗杆

按蜗杆齿廓曲线的形状渐开线圆柱蜗杆（梯形部分为渐开线）

延伸渐开线蜗杆锥面包络圆柱蜗杆三、蜗杆传动

1、主平面：通过蜗杆轴线并垂直于蜗轮轴线的平面

2、（对于阿基米德蜗杆蜗轮）在主平面内，蜗杆传动相当于齿轮齿条传动

(20)

3、正确啮合条件：

m m m_x₁  _t₂ 



_x₁  _t₂ 



2



 （螺旋线方向相同、旋向相同）

☆判定蜗杆、蜗轮的转向：

（将蜗杆的轴线与身体平行，右边高为右旋，左边高为左旋）

左右旋螺旋定则：首先看蜗杆的旋向，左旋伸左手，右旋伸右手，四指沿蜗杆运动方向，拇指的反向就是蜗轮圆周速度方向（旋向）

四、蜗杆传动的主要参数及尺寸计算

1、模数 m（GB10088-88，见附表 5-4）

2、压力角



20° 标准值



25° 动力传动中

  30 

12°、15°分度传动 3、头数 Z1

Z1=1，2，4，6 Z2=27~80

4、螺旋升角



（导程角）

（在分度圆柱面展开）

1 1 1 1 1 1

1 d

m Z d

P Z d

tg  P^Z  ^x  



 

∴

tg  m Z

d

₁

 

¹ (a)

5、直径系数 q 令

tg 

q Z m

d

₁ ₁



mq d ₁

2

2 mZ

d 

（蜗轮是由与蜗杆相似的滚刀展成切制加工而来的，由式（a）可看出，蜗杆中圆直径

d1不仅与 m 有关，还随

 tg

Z

₁

的数值变化。所以即使 m 相同，也会有

很多不同直径的蜗杆，也就要求具备很多刀具，为减少刀具的型号，将蜗杆 d1标准化，标准值在书末附表 5-6 列出。）

6、尺寸计算

(21)

（蜗杆、蜗轮的齿顶高、齿根高、齿全高、齿顶圆直径、齿根圆直径可用直齿轮公式计算），

2 . 0 , 1

^*

*

 c 

h

_a

标准中心距：

( )

2 ) 1 2 (

1

2 2

1

d m q Z

d

a    

1 2 1 2 2 1

12 d

d Z Z W

i  W  

五、特点

1、优点：①I 大，机构紧凑

②传动平稳、无噪音。

③反行程时可自锁，安全保护（起重机）

（即只能由蜗杆带动蜗轮，而不能由蜗轮带动蜗杆）

2、缺点：①轮齿间相对滑动速度较大，易磨损。

②效率低（最高 70%）

③成本较高蜗杆：钢，蜗轮：青铜

第九章 齿轮机构及其设计