108年公務人員高等考試三級考試試題類科：統計科目：抽樣方法考試時間：

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108年公務人員高等考試三級考試試題

類科：統計科目：抽樣方法

考試時間： 2 小時座號：

※注意： 可以使用電子計算器，須詳列解答過程。

不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。

本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。

代號：21670 頁次：3－1

註：本試題可能使用之標準常態值如下：

Z

₀_.₀₅

= 1 . 645

，

Z

₀_.₀₂₅

= 1 . 96

一、臺灣地區有 525 家 IC 設計公司，其中有 5 家公司規模特大。為了估計臺灣地區 IC 設計產業的總員工人數 Y，除了將 5 家特大 IC 設計公司調查其員工人數得 , ,…, 以外，另以簡單隨機抽樣法（不歸還）從剩餘的 520 家 IC 設計公司中抽出 20 家公司為樣本，調查其員工人數得 , ..., 。現欲採用下列兩種估計式以估計臺灣地區 IC 設計公司之總員工人數 Y：

y

1

y y

2 5

6 25

∑

=

²⁵= 1

1

25 ˆ 525

i

y

i

Y

, ∑ ∑

=

+

=

²⁵

6 5

1

2

20 ˆ 520

i i i

i

y

y Y

試證

Y

ˆ₁及

Y

ˆ₂ 是否皆為 Y 之不偏估計式。（6 分）

請分別寫出及之均方誤差（Mean Square Error；MSE）的定義。

（4 分）

ˆ1

Y Y

ˆ₂

又已知 5 家特大 IC 設計公司員工總人數為 5,062，而其他 520 家 IC 設計公司員工總人數為 60,320；其他 520 家 IC 設計公司之員工人數的平方和為 11,842,980。試利用上列資料求估計式及的均方誤差之值，並請說明估計 Y 時，那一個估計式較好？（4 分）

ˆ1

Y Y

ˆ₂

二、自來水公司想調查臺中市某區住戶在 108 年 1~3 月的用水情況，該區共有 N=20,000 戶，今以簡單隨機抽樣法調查了 n=800 戶，得到下列統計資料：

y

=22.5噸，

s = 36

噸，有 320 戶用水總量超過了規定的用量標準。

請估計該區住戶在 108 年 1~3 月的總用水量 Y 及其該估計之 95%的信賴區間。（6 分）

請估計該區在 108 年 1~3 月的總用水量超過了規定的用量標準的住戶數 T。（6 分）

又自來水公司想在 6 月份再做一次該區住戶用水總量的抽樣調查，若要求在 95%水準下估計的相對誤差不超過 10%，則應該抽多少樣本

（戶）才能達到上述之要求？（6 分）

(2)

代號：21670 頁次：3－2

三、若一母體共分為三層，其中各層母體大小分別為 =300， =600 與

=100。根據過去的調查結果知道這三層的母體標準差分別為

N

1

N

₂

N

3

σ

₁^=150，

σ

2^{=75 與}

σ

3^=100。

若調查總預算（C）只有 20,000 元，又固定成本（）為 2,000 元，每一層調查單位成本均相同為 50 元，即元，我們想以分層隨機抽樣法估計式

c

0 3

50

2

1

= c = c =

c

y

st估計母體平均數μ，試依紐曼配置（Neyman Allocation）

法，求滿足要求之總樣本大小 n 及各層所需之樣本大小（i = 1,2,3）分別

為若干？（10 分） ⁱ

n

若我們想以分層隨機抽樣法估計式

y

_st估計母體平均數μ的 95%的誤差界限不超過 B=20，試依紐曼配置法，求滿足要求之總樣本大小 n 及 各層所需之樣本大小（i = 1,2,3）分別為若干？（10 分）

n

_i

四、某市轄區有 N = 250 個里，共有 M = 16,800 戶。今電力公司營業處想估計該市每戶裝置冷氣機之平均台數

_μ

_Y，以簡單集體抽樣法自該市隨機抽出 10 個里進行調查，得如下調查資料：

里

（集體）

戶數

（

M

_i）

該里住戶裝置冷氣機之總台數（y_i）

里

（集體）

戶數

（

M

_i）

該里住戶裝置冷氣機之總台數（y_i）

1 150 480 6 120 216

2 72 252 7 50 240

3 80 440 8 100 230

4 90 162 9 71 213

5 125 200 10 42 252

註：上述調查資料經計算得∑ ，，，

，，在簡單集體抽樣法下，電力公司營

業處利用

900 M

10 1 i

i

=

514 , 91 M

10 1 i

2 i

=

∑

=

685 , 2 y

10 1

i i

=

∑

=

777 , 819 y

10 1 i

2 i

=

∑=

551 , 251 y

M

10 1

i i i

=

∑

=

∑

=

= 10= 1 i

i 1

i

M y

10

i

yC1 ，

_∑

=

¹⁰= 1 i

i

C2

y

n 1 M

y N

，

_∑

=

¹⁰= 1 i

i

C3

y

n

y 1

等 3 個估計式

（其中

i i

i

M

y = y

）來估計該市每戶裝置冷氣機之平均台數

^μ

^Y。則：

試以

y

_C1、

y

_C2、

y

_C3來估計該市每戶裝置冷氣機之平均台數

_μ

_Y，則

_μ

_Y估計值分別為何？（9 分）

若以估計式

y

_C1估計

_μ

_Y，則該估計在 95%的信賴度下，其最大可能估計誤差界限 B 為何？（9 分）

請根據上述調查資料，試分別求

y

_C1、

y

_C2、

y

_C3等 3 個估計式的估計變異數_V^ˆ₍_y

_ci

_), _i ₌₁_,₂_,₃之值為何 ? 並請說明哪一個估計式在估計

_μ

_Y時有較好的估計效率？（6 分）

(3)

代號：21670 頁次：3－3

五、某市政府之行政區按區域別分為南區與北區，該市人事長想了解該市職工去年上半年（1~6 月份）與今年上半年（1~6 月份）因生病請假時數之變動比率，分別自南、北兩區各以簡單隨機抽樣抽出 100 名職工進行調查，得相關統計資料如下：

區域別

職工總數 (

N

_i)(人)

樣本數 (

n

_i)(人)

去年上半年樣本平均數(

X

_i⁾

今年上半年樣本平均數(

Y

_i⁾

去年上半年樣本標準差(

S

_X_i)

今年上半年樣本標準差(

S

_Y_i)

去年與今年上半年樣本相關係數 (

ρ ^ˆ

_XY_i⁾

1（南區） 1,000 100 18.0 18.9 10.0 10.36 0.9841 2（北區） 1,500 100 7.5 4.8 5.45 3.50 0.5576

其中：

設

X

_i：去年上半年第

i

位職工因生病請假的時數；

Y

i：今年上半年第

i

位職工因生病請假的時數；

X

i：去年上半年因生病請假的樣本平均時數；

Y

i：今年上半年因生病請假的樣本平均時數；

S

Xi：去年上半年因生病請假時數的樣本標準差；

S

Yi：今年上半年因生病請假時數的樣本標準差；

XYi

ρ ^ˆ

：去年與今年上半年因生病請假的時數的樣本相關係數。

又已知去年上半年（1~6 月份）南區職工因生病請假的總時數τX₁

= 16 , 300

小時，北區職工因生病請假的總時數τX₂

= 13 , 800

小時。根據上述資料：

試估計該市南區職工去年上半年（1~6 月份）至今年上半年（1~6 月份）因生病請假的時數之變動比率 R 為何？又在 95%的信賴度下，其最大可能估計誤差界限 B 為何？（6 分）

對於之估計問題，若要求在 95%的信賴度下，其最大可能估計誤差界限 B 不超過 0.02，試問應抽出多少樣本才足夠？（6 分）

試以比率估計（ratio estimation）估計該市南區職工今年上半年（1~6 月份）因生病請假的平均時數μ 及該市北區職工今年上半年（1~6 月_Y₁ 份）因生病請假的平均時數μ 。（6 分） _Y₂

若視上述調查資料為分兩層（南區及北區），利用分層隨機抽樣法調查所得，請你幫忙該市人事長用層別比率估計式（ separate ratio estimator）估計該市 2,500 位職工今年上半年（1~6 月份）因生病請假的平均時數μ 。又其在 95%的信賴度下，其最大可能估計誤差界限 B_Y 為何？（6 分）

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