承受陀螺運動之旋轉圓盤之動態穩定性研究

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

承受陀螺運動之旋轉圓盤之動態穩定性研究 研究成果報告(精簡版)

計 畫 類 別 ： 個別型

計 畫 編 號 ： NSC 95-2221-E-011-011-

執 行 期 間 ： 95 年 08 月 01 日至 96 年 07 月 31 日 執 行 單 位 ： 國立臺灣科技大學機械工程系

計 畫 主 持 人 ： 楊條和

計畫參與人員： 碩士級-專任助理：盧宗彥、李倉誠

報 告 附 件 ： 出席國際會議研究心得報告及發表論文

處 理 方 式 ： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 96 年 10 月 22 日

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告

※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※

※ （承受陀螺運動之旋轉圓盤之動態穩定性研究） ※

※ Dynamic Stability of Rotating Disks ※

※ Subjected to Gyroscopic Motion ※

※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※

計畫類別：個別型計畫

計畫編號：NSC 95-2212-E-011-011

執行期間：95 年 8 月 1 日至 96 年 7 月 31 日

計畫主持人： 楊條和 國立台灣科技大學 機械系

本成果報告包括以下應繳交之附件：

□赴國外出差或研習心得報告一份

□赴大陸地區出差或研習心得報告一份

□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份

□國際合作研究計畫國外研究報告書一份

執行單位：國立台灣科技大學機械系

中 華 民 國 96 年 8 月 03 日

承受陀螺運動之旋轉圓盤之動態穩定性研究 Dynamic Stability of Rotating Disks

Subjected to Gyroscopic Motion

計畫編號：NSC 95-2212-E-011-011 執行期限：95 年 8 月 1 日至 96 年 7 月 31 日

主持人： 楊條和 國立台灣科技大學 機械系

計劃參與人員： 盧宗彥 國立台灣科技大學 機械系 李倉誠 國立台灣科技大學 機械系

一、中文摘要

旋轉結構物之轉軸常因周圍支撐結構 之振動而產生陀螺運動，此轉軸之運動在 某些情況下，有可能造成旋轉結構物之動 態不穩定，因此本計畫研究具陀螺運動之 旋轉圓盤的動態穩定性。假設圓盤以定轉 速繞其中心軸旋轉，而且中心軸以一週期 性變化的速度運動，文中首先推導旋轉圓 盤的運動方程式，藉由平面應力分析求得 圓盤起始應力。接著利用葛樂金（Galerkin method）方法得到離散化之系統運動方程 式，假設轉軸運動速度遠低於轉速，再利 用多尺度法擾動法求得系統在各種不同之 共振情況下之穩定邊界。數值結果顯示旋 轉圓盤只會出現和式組合共振，不會有差 式組合共振，而和式組合共振中，除了擾 動頻率接近兩自然頻率的平均值外，當擾 動頻率接近兩自然頻率的平均值加或減自 轉速率時，亦會產生共振現象。

關鍵詞：旋轉圓盤，陀螺運動，穩定邊界

Abstract

Rotating structures are usually subjected to gyroscopic motion due to the vibration of their supporting structures. This gyroscopic motion of the rotating axis may cause dynamic instability of the rotating structure under certain circumstances. Therefore, this project presents a study of the dynamic stability of the spinning disk subjected to a gyroscopic motion. Assume that the disk rotates about its axis with a constant angular speed, and the axis of the disk is precessing with a periodically varying speed. First, the equation of motion for the rotating disk is derived, and the initial stresses of the rotating disk are determined by the plane elasticity. Then, the Galerkin method is applied to obtain the discretized system equations. Finally, the method of multiple scales is used to obtain the stability boundaries of the disk if the precessional speed is much smaller than the spin rate of the disk. Numerical results show that the

rotating disk has only combination resonance of the summed type, and combination resonance of the difference type does not exist. Apart from the case where the perturbation frequency is near the average of two natural frequencies of the rotating desk, parametric resonance takes place also when the perturbation frequency is close to the average of two natural frequencies plus or minus the rotating speed.

Key words: gyroscopic motion, spinning disk, dynamic stability, perturbation method.

二、緣由與目的

在機械結構中，旋轉圓盤應用相當廣 泛，如電腦硬碟機之圓形磁碟、光碟片，

鋸床之圓形鋸片均屬旋轉圓盤。為防止旋 轉圓盤在高轉速情況下，因共振現象而影 響精確度、發出噪音、機件損壞等，以確 保機械的設計性能，必須預測出旋轉圓盤 振動之自然頻率，以便於找出可能發生共 振之處。設計者在設計時如何預估其在旋 轉時的動態特性以提高機械的性能，是極 為重要的。所以有關旋轉圓盤之振動與穩 定性的研究，在過去數十年間一直受到機 械設計者之關注。旋轉圓盤早期的研究在 於探討系統的自然頻率及模態，隨著科技 的日新月異與電腦之高速發展，對於各種 複雜的旋轉圓盤之動態特性研究正蓬勃發 展。研究內容亦不再侷限於自然頻率之分 析，探討系統之動態響應及穩定性才是往

後的研究主題。由於之前旋轉圓盤之研 究，通常均假設此種旋轉機構的轉速固定 不變。實際上圓盤在旋轉時會受外界的擾 動，轉速會隨時間而變動，此種現象通稱 之為不定轉速。不定轉速可分為兩種：一 為轉速的大小不定，另一為轉軸的方向不 定。

在不定轉速方面，Young 和 Wu [1]

於 2004 年研究不定轉速圓盤承受靜止邊 緣負荷之穩定性分析，文中得到定轉速圓 盤會隨著所承受的邊緣壓力增加、內外徑 比的減小，發散型不穩定區域及顫動型不 穩定區域都會加大，不定轉速旋轉圓盤之 和式共振發生在兩自然頻率皆為反射模態 或皆為非反射模態，而差式共振發生在一 自然模態為反射模態而另一自然頻率為非 反射模態時。 Young [2]與 Young 和 Liou [3]探討非定速旋轉之預扭樑與平板的動 態響應，以多尺度法解出系統之週期解及 不穩定區域邊界，並分析系統各參數變化 時對不穩定區域的影響，結果顯示，利用 定轉速時的自然頻率與自然模態可推測不 穩定區域的大小和位置。Young 與 Liou [4]

則在不定轉速之旋轉平板的振動問題上考 慮科氏效應，並率先用多尺度法解出多自 由度的陀螺系統(gyroscopic system )之參 數激振問題，研究結果顯示科氏效應在低 轉速時的影響不大。

在不定轉軸方面，Sisto [5, 6]分析轉 軸方向不定的葉片的動態穩定性，使用過

濾參數法( strained parameters ) 求解系統 之週期響應。Young 與 Liou [7]研究轉軸 方向不定之旋轉葉片之動態穩定性。文中 將旋轉葉片模擬為一殼塊，並利用漢米頓 原理及有限元素法推導其統御方程式，最 後用擾動法探討各種不同的葉片幾何外形 及運轉條件下系統的動態穩定性。

以上有關非自律系統旋轉結構物之 研究皆為線性的分析，在非線性的分析方 面，Young [8]探討一不定速旋轉圓板不穩 定時之非線性響應，文中使用旋轉座標並 利用葛樂金法及多尺度擾動法解出非線性 系統的振幅與線性系統的不穩定區域，並 分析各種參數變化時對系統響應的影響。

在上述文獻中，有關旋轉結構物的文 獻無論是線性或非線性的分析，大多假設 轉軸為固定不變，只有三篇文獻分別探討 不定轉軸之樑及殼塊之動態穩定性。因此 本文將探討承受陀螺運動之旋轉薄圓盤之 動態響應，其中進動角速度為時間之函 數，如果進動角速度具有近似週期性的變 化，則可用傅立葉級數表示之，此時系統 是線性的非自律系統，此系統在某些情況 下會有參數性不穩定現象。

三、研究方法

考慮一旋轉之同心圓板，圓板之內緣 為夾持邊界，外緣為自由邊界，並且繞其 中心軸以轉速 Ω_s 的定角速度旋轉，圓盤

轉軸以 Ω_g 的角速度作陀螺運動，(r,θ,z) 是原點在圓盤中心，跟隨圓盤以 Ω_s 等角 速旋轉的座標系統，如圖（一）所示。根 據板理論可以寫出承受陀螺運動之旋轉圓 盤統禦方程式

2

4 2

2

2

2 2

sin

2 cos 1 ( )

1 1

( ) 2 ( )

g g s

g s s rr

r

w w

D w h c h w r t

t t

r t h r w

r r r

w w

r r r

θθ θ

ρ ρ

σ

σ σ

θ θ

∂ ∂ ⎡

∇ + ∂ + ∂ = ⎣ Ω − Ω Ω

∂ ∂

⎤ ⎡

− Ω Ω Ω ⎦+ ⎢⎣ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ⎤

+ ∂ + ∂ ∂ ⎥⎦

&

(1) 其中參數 ρ 為質量密度， c 為圓盤的黏 滯阻尼係數，D 為圓盤抗彎強度，可表示 為

3

12(1 2) D Eh

= υ

− ^{，其中 E 為圓板的楊} 氏係數（ Young’s modulus ），υ 為鮑生 比 （ Poisson’s ratio ） ，

2 2 2 2 2

2

4 1 1

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∇ r r r r φ 為雙調和運算 子(biharmonic operator)。σ_rr、σ_θθ 及 σ_rθ 為圓板之徑向、周向正應力及剪應力。

上述運動方程式為非齊次、非線性之聯立 運動方程式。然而本文旨在探討此旋轉圓 盤之穩定性，此穩定性決定於對應的線性 齊次系統方程式，故在此僅考慮對應的線 性齊次運動方程式

2 2

4 2

2 2

2

2 2

1 1 1

( ) 2 ( )

g rr

rr

rr r

w w w

D w h c h w h

t t r

w w w w

r r r r ^θθ r ^θ r r

ρ ρ σ

σ σ σ σ

θ θ

∂ ∂ ⎡ ∂

∇ + ∂ + ∂ = Ω + ⎢⎣ ∂ +

⎤

∂

∂∂ + ∂ ∂∂ + ∂∂ + ∂∂ ∂∂ ⎦⎥

(2) 邊界條件

在r = a， _{( , , ) 0,} ^{( , , )}=₀

∂

= ∂

r t a t w

a

w θ θ (3)

在r = b，V_rr(b,θ,t)=0,M_rr(b,θ,t)=0 (4) 其中 V_rr 為有效剪應力， M_rr 為彎曲力 矩，分別表示如下：

2 1

( ) ^r

rr

V D w M

r r

θθ

∂ ∂

= − ∇ +

∂ ∂

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

− ∂

= ²₂ 1 1₂ ²₂

υ θw

r r w r r D w M_rr

而M_rθ 為扭轉力矩，表示如下：

1 ) ( ) 1

( υ θ

θ ∂

∂

∂

− ∂

−

= w

r D r

M_r

利用葛樂金方法(Galerkin method)，可 得離散系統之方程式，並將離散化旋轉圓 盤之運動方程式無因次化可得:

}

2

2

2 { }

1 1

cos 2

2 2

sin 2

e r

s s

r r

g s

g

s

M C K K

K M K t

K t

α

′′ ⎡ ⎤ ′ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤ + Ω + + Ω

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ +Ω ⎨⎩ ⎣ ⎦−⎣ ⎦− ⎣ ⎦ Ω

⎡ ⎤

−⎣ ⎦ Ω =

u u u

u 0

(5) 式中(´)表示對無因次化時間τ =t/µ的微 分，這裡Ω = Ω_s µ _s，µ= ρ_{hb /}⁴ _D，

/ 2 _s

c h

α= ρ Ω 。在此[ ]M 為系統的質量矩 陣，[ ]C 為系統的阻尼矩陣，[K^e]為彈性 勁度矩陣，[K^r]為幾何勁度矩陣，[K^g]為 圓盤進動所產生的陀螺矩陣，u為所有

Amn、B_mn所組成之行矩陣。

將上式中之阻尼及非自律項拿掉，則可改 寫成如下形式：

[ ]⁰

M ′′ ⎡ ⎤Kt

⎡ ⎤ + =

⎣ ⎦u ⎣ ⎦u (6) 其中 ^{t e 2 r}

K K s K

⎡ ⎤ ⎡= ⎤+ Ω ⎡ ⎤

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦，接下來求系統之 頻率，令q=xe^λτ，故可得以下方程式

M Kt

λ⎡ ⎤ =⎣ ⎦x ⎡⎣ ⎤⎦x (7) 上式中λ 與 x 分別代表系統的特徵值和特 徵向量。

本文假設轉軸的陀螺運動為一週期函 數，則圓盤進動速度可用傅立葉級數表示 之

( ) ^{K ik t}

g k

k K

t f e ^β

=−

Ω =

∑

(8)

其中 β 是擾動頻率。將時間變數轉換成無 因次時間τ = Ω ,並利用模態分析法將所_st 得之離散化過後之運動方程式部分歸一 化，則可改寫成

[ ]

2_s ξ′′ ξ 2α ξ2_s ′ Ω + Λ = − Ω

[ ]

2 1 1 2

cos sin 2

2 2

r r g

g^⎧ I ⎡K ⎤ ⎡K ⎤ τ g⎡K ⎤ τ ξ^⎫

+Ω ⎨⎩ − ⎣ ⎦+ ⎣ ⎦ + Ω ⎣ ⎦ ⎬⎭

) ) )

(9) 式中(´)代表對τ 的導數。（9）式代表部 分非耦合化之離散系統方程式，其為聯立 之變係數二階微分方程式,式中方程式左 邊為一J 個非耦合2 2× 區塊的二階聯立微 分方程式，而方程式右邊為J×J 個耦合的 2 2× 區塊，其中J =(M +1)N。假設進動 速 度Ω_g 遠 小 於 圓 盤 之 轉 速 Ω ，即 _s

/ 0

g s

Ω Ω << ，故傅立葉級數的每一項係

數也都遠小於 Ω 。令_s

2 2 K

s

ε = f

Ω ，故（9）

式可改寫成

ˆ2 2

m m m m

ς^′′+ω ς = − εας^′

( )

2 11 12

1

ˆ 1

2

N

mn mn n mn n

n

f h h

ε δ ς η

=

+ ⎡ − +

⎢⎣

∑

( ^{11 12} )

1

1 cos 2

2

N

mn n mn n s

n

h ς h η t

=

+

∑

+ Ω

( ^{11 12} )

1

sin 2

N

mn n mn n s

n

g ς g η t

=

+ + Ω ⎥⎤

∑

⎦

1, 2,...,

m= J

ˆ2 2

m m m m

η^′′+ω η = − εαη^′

( )

2 21 22

1

ˆ 1

2

N

mn mn n mn n

n

f h h

ε δ ς η

=

+ ⎡⎢⎣ −

∑

+

( ^{21 22} )

1

1 cos 2

2

N

mn n mn n s

n

h ς h η t

=

+

∑

+ Ω

( ^{21 22} )

1

sin 2

N

mn n mn n s

n

g ς g η t

=

+

∑

+ Ω ⎥⎤⎦ 1, 2,...,

m= J

(10) 式 中 ˆω_m =ω_m/Ω ， ˆ_s f = f / f_K ， 且 令

α ε

α = ^~ 使得阻尼項與擾動項同時出現同 階的方程式中，ω_m為 [ ]^{Λ 之第 m 個元}

素，h ，_mn^ij g_mn^ij 分別為⎡⎣K)^r⎤⎦

，⎡⎣K)^g⎤⎦

之第 m n− 個區塊之第 i− 個元素，j δ 為克羅 內克函數（Kronecker delta function）。（10）

式為部分非耦合化之離散系統方程式，為 變係數二階微分方程式，如果 ε <<0，則 可利用多尺度擾動法求得（10）式之響應 近似解，從而決定系統之穩定邊界。

利用多尺度法擾動法可判斷出不同變 動頻率下之穩定性，經歸納得以下特性：

Ι 非共振情形:.

由於通解中含有 e^{iω Tˆm 0} ，故特解中 含有 e^iωˆmT0 因數的項會使ς_m1 與 η_m1 隨

時間進行而變大，此種項稱為發散項

（secular term），必須將這些項自方程式 中除去。故可解出

[ 1 ]

m mexp

A =a − %αT

[ 1 ]

m mexp

B =b − %αT

其中 a 、_m b 為待定係數，必須滿足起始_m 條件，所以振幅 A 、_m B 會隨時間增加而_m 減小。故當擾動頻率β^ˆ_k +β^ˆ_l遠離 ˆω_p +ωˆ_q及

ˆ_p ˆ_q 2

ω +ω ± 時，系統為穩定。

之動態特性 接近

變動頻率βˆ_m ωˆ_p ωˆ_q

. +

ΙΙ

ˆ ˆ ˆ ˆ (1) 擾動頻率 β β_k+ _l接近 ω_p+ω_q 時:

假設 ˆβ β ω_k+ˆ_l= ˆ_p+ω εσˆ_q+ (11)

ˆ

2 0 0 0

0 2ˆ 0 0

ˆ

0 0 2 0

0 0 0 2ˆ

p p

p p

q q

q q

a b a b ω

λ ω ω

ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 11 2 12 11 12

2 21 2 22 21 22

11 1

1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2ˆ 2 1

2 2 2

1 1 1

ˆ 2ˆ 2 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ

2 2 2

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ

2 2

p klk pp klk pp kl pq pq klpq

klkpp p klk pp klpq kl pq pq

kl qp qp klqp

i f h f h f f h f f h

f h i f h f f h f f h

f f h f f h

ω α δ δ δ

δ ω α δ δ

δ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− + ⎜⎝− ⎟⎠ − ⎜⎝ − ⎟⎠ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− − + ⎜⎝− ⎟⎠ − ⎜⎝ − ⎟⎠

⎛ ⎞

− ⎜⎝ − ⎟⎠

%

%

( )

( )

2 2 11 2 12

21 22 2 21 2 22

ˆ 1 ˆ

ˆ

2 2 1

2

1ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ 2ˆ 2 ˆ 11

2 2 2

p p

q

q klk qq klkqq

q

klqp kl qp qp klkqq q klk qq

a b

i f h f h a

b

f f h f f h f h i f h

ω σ α δ δ

δ δ ω σ α δ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ − + + ⎛− ⎞ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎥

⎢ − ⎜ − ⎟ − + + ⎜− ⎟⎥

⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥

⎣ ⎦

%

%

(12)

ˆ ˆ ˆ ˆ

(2) 擾動頻率β β_k+ _l接近 2 ω ω_p+ _q+ 時:

假設 ˆβ β ω_k+ˆ_l= ˆ_p+ωˆ_q+ +2 εσ (13)

ˆ

2 0 0 0

0 2ˆ 0 0

0 0 2ˆ 0

ˆ

0 0 0 2

p p

p p

q q

q q

a b a b ω

λ ω ω

ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )

11 11 12 12

21 21 22 22

11 11 12 12

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

2 0

2 4 2 4

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ

0 2ˆ

2 4 2 4

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ 2ˆ 0

2 4 2 4

ˆ ˆ 2

p kl pq pq kl pq pq

p kl pq pq kl pq pq

k l pq pq kl pq pq q

k l

i i

i f f g h f f g h

i i

i f f g h f f g h

i i

f f g h f f g h i

f f ig ω α

ω α

ω σ α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⎜⎝ + ⎟⎠ ⎜⎝ + ⎟⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⎜⎝ + ⎟⎠ ⎜⎝ + ⎟⎠

⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ − +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

%

%

%

( )

21 1 21 ˆ ˆ 22 1 22 0 2ˆ

4 2 4

p p q q

pq pq kl pq pq q

a b a b

h f f ig h ω σ αi

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎥

⎢ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ − + ⎥

⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥

⎣ % ⎦

(14)