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(1)

營建操作實習講義(part-1)

細部設計階段重點說明

(2)

第一章 結構設計內容

一、基本結構設計考量(回顧)

二、載重參考資料

(一)設計應力(kg/cm

2

鋼筋:fy=2810(kg/cm2) fs=1410(kg/cm2

混凝土:(a)抗壓強度:fc=210(kg/cm2) fc =0.45 fc=94.5(kg/cm2) (b)抗檢強度:fu=0.29√fc=4.2(kg/cm2)(粱)

fu=0.53√fc=7.68(kg/cm2)(版、基腳)

短期容許應力為長期容許應力之 1.33 倍

(二)載重(T/m

2

RF:D.L. 五腳磚 0.05 1 ㎝水泥砂漿 0.01*2 0.02 五皮防水層連柏油 5*0.0035 0.0175

1/100 洩水坡面 0.025*2.4 0.060 12 ㎝ RC 版 0.12*2.4 0.288 1.5 ㎝水泥砂漿粉光 0.015*2 0.03 Σ=0.466≒0.47 L.L. 0.15

2,1F D.L. 磨石子 0.056 12 ㎝ RC 版(15 ㎝ for 1F) 0.288(0.36)

1.5 ㎝水泥砂漿粉光 0.030 Σ=0.374(0.446)

≒0.38(0.45)

L.L.(住宅) 0.25

(3)

版載重表(T/m

2

RF

2(1)(住宅) BF(實驗室)

D.L L.L T.L D.L L.L T.L D.L L.L T.L

樓版計算用 0.47 0.15 0.62 0.38(0.45) 0.25 0.63(0.70) 0.38 0.50 0.68

地震計算用 0.47 0.04 0.51 0.38(0.45) 0.06 0.44(0.51) 0.38 0.13 0.51

梁自重(已扣12 ㎝版厚;另加兩側粉光各 1 ㎝)

30*40:W=2.4(0.3+0.01*2)(0.4-0.12) =0.215(T/m)

30*45:W=2.4(0.32)(0.45-0.12) =0.253(T/m)

30*50:W=2.4(0.32)(0.50-0.12) =0.292(T/m)

40*80:W=2.4(0.42)(0.80-0.12) =0.685(T/m)

柱自重:

30*40: W=2.4(0.32)(0.42) =0.323(T/m)

地下室用10 ㎝ RC 牆: W=2.4(0.1)(3.5) =0.840(T/m)

窗台:1B 磚高 80 ㎝(外牆) W=0.46*0.8 =0.368(T/m)

頂樓:10 ㎝ RC 牆高 90 ㎝ W=2.4(0.1)(0.9)=0.216(T/m)

屋內隔間牆重不計

(4)

(三)梁柱之相對勁度及垂直之應力分析

3.1 T 形梁之相對勁度

(1)b≦ 1 / 4 梁之跨度(L)

(2)b≦該梁與兩側鄰梁間淨距和之一半+B

(3)b≦16t+B

b 在以上三者之中,取最小者 C1=b / B C2=t / D

Φ=1+(C1-1)* C23+〔3(1- C22* C2*(C1-1)〕÷

〔1+ C2(C1-1)〕

I=Φ*(BD2 / 12) K(相對勁度)=I / L

3.2 L 形梁之相對勁度

(5)

(1)b≦1 /1 2 梁之跨度(L)+B

(2)b≦1 / 2 梁之淨間距+B

(3)b≦6t+B

b 在以上三者之中,取最小者 C1=b / B C2=t / D

Φ=1+(C1-1)* C23+〔3(1- C22* C2*(C1-1)〕÷〔1+ C2(C1-1)〕

I=Φ*(BD2 / 12) K(相對勁度)=I / L

3.3 正方形或矩形梁及柱之相對勁度

I=Φ*(BD2 / 12) K(相對勁度)=I / L L 為梁之跨度或柱之高度

3.4 圓形柱之相對勁度

I=BD2 / 64 K(相對勁度)=I / L

(6)

(四)梁受垂直載重之應力分析

4.1 載重表

(7)

4.2 梁受垂直載重之應力分析

(8)
(9)
(10)
(11)

(五)柱軸重計算

5.1 柱軸重計算時,活載重之折減

計算柱之軸重時,其載重如未超過500kg/m,亦非公眾使用場所,柱所支承 樓地板之面積超過14m2時,活載重得依下式折減:

R=0.85*載重面積%≦23(1+D.L./L.L.)%≦60%

活載重超過500kg/m 時,活載重得以減少 20%。

(12)

活載重折減率 R=0.85 載重面積%

L.L.

60kg/m2

L.L.

150kg/m2

L.L.

200kg/m2

L.L.

250kg/m2

L.L.

300kg/m2

載重面積 m2

L.L.折減率

採用之L.L.

折減後之 L.L. kg/m2

≦14 0 100 60 150 200 250 300 15 12.75 87.25 52 131 175 218 262 16 13.60 86.40 52 130 173 216 259 17 14.45 85.55 51 128 171 214 257 18 15.30 84.70 51 127 169 212 254 19 16.15 83.85 50 126 168 210 252 20 17.00 83.00 50 125 166 208 249 21 17.85 82.15 49 123 164 205 246 22 18.70 81.30 49 122 163 203 244 23 19.55 80.45 48 121 161 201 241 24 20.40 79.60 48 120 159 199 239 25 21.25 78.75 47 118 158 197 236 26 22.10 77.90 47 117 156 195 234 27 22.95 77.05 46 116 154 193 231 28 23.80 76.20 46 114 152 191 229 29 24.65 75.35 45 113 151 188 226 30 25.50 74.50 45 112 149 186 224 31 36.35 73.65 44 111 147 184 221 32 27.20 72.80 44 109 146 182 218 33 28.05 71.95 43 108 144 180 216 34 28.90 71.10 43 107 142 178 213

(13)

活載重最大折減率及折減後之活載重

RMAX=23(1+D.L./L.L.)%≦60%

L.L.=60kg/m2 L.L.=150kg/m2 L.L.=200kg/m2 L.L.=250kg/m2 L.L.=300kg/m2 D.L

Kg/c

m RM

AX

L.L

L.L.

Kg/m

2

RM AX

L.L

L.L.

Kg/m

2

RM AX

L.L

L.L.

Kg/m

2

RMA X

L.L.

L.L.

Kg/m

2

RMX

L.L.

L.L.

Kg/m

2

480 60 40 24 60 40 60 60 40 80 60 40 100 59.80 40.20 121 470 60 40 24 60 40 60 60 40 80 60 40 100 59.03 40.97 123 460 60 40 24 60 40 60 60 40 80 60 40 100 58.27 41.73 125 450 60 40 24 60 40 60 60 40 80 60 40 100 57.50 42.50 128 440 60 40 24 60 40 60 60 40 80 60 40 100 56.73 43.27 130 430 60 40 24 60 40 60 60 40 80 60 40 100 55.97 44.03 132 420 60 40 24 60 40 60 60 40 80 60 40 100 55.20 44.80 134 410 60 40 24 60 40 60 60 40 80 60 40 100 54.43 45.57 137 400 60 40 24 60 40 60 60 40 80 59.80 40.20 101 53.67 46.33 139 390 60 40 24 60 40 60 60 40 80 58.88 41.12 103 52.9 47.10 140 380 60 40 24 60 40 60 60 40 80 57.96 42.04 105 52.13 47.87 144 370 60 40 24 60 40 60 60 40 80 57.04 42.96 107 51.37 48.63 146 360 60 40 24 60 40 60 60 40 80 57.12 43.88 110 50.60 49.40 148 350 60 40 24 60 40 60 60 40 80 55.20 44.80 112 49.83 50.17 151

(14)

5.2 柱軸重計算

1.每根柱所負擔樓地板面積之計算

以柱與柱間之跨度之一半繪出區域線求得每根柱所負擔之面積。

2.以此面積乘以 8-1 節之載重即為此柱所負擔樓版之重量。

3.以粱之單位長度重乘以此負擔面積內所有梁之總長度即為此柱所負擔之梁之 重量。

4.以柱之單位長度重乘以此柱之樓高度即為此柱之重量。

5.以牆壁之單位面積重乘以此負擔面積內所有牆壁之總長度與高度即為此柱負 擔之牆壁之重量。

(15)

若為磚牆,則該層柱所負擔之牆壁重量為上一層樓之牆壁之重量如上圖A,若 為鋼筋混凝土牆,則該層柱所負擔之牆壁重量為各該層高度至中央至上層高度 中央之牆壁重量,如上圖B。

(16)

5.3 柱軸重計算格式

柱 軸 重 計 算

重量計算 柱

別 柱 載 重 面 積 m2

累 積 載 重 面 積 m2

L.L.

折 減 率

採 用 之 L.L.

採 用 之 L.L.

t/ m2

D.L.

t/ m2 活 載 重 L(頓)

靜 載 重 D(頓)

1.4D+1.7L 0.75(1.4D+1.7L) 0.9D

C

版 梁 柱 牆

C

版 梁 柱 牆

(17)

(六)材料設計強度

6.1 材料設計強度

混凝土容許應力表(A.C.I.318-71)-㎏/㎝2

*若支承面四周均大於承載面,則承載面上之承載應力可增√A2/A1倍,但不得大 於2 倍,A1為承載面積,A2為支承面積。

*一般混凝土之 EC可假定為15000√fC ㎏/㎝2

6.2 鋼筋

1.鋼筋混凝土構造所用之鋼筋,除螺筋及鋼線網外,均須為竹節鋼筋,並符合中 國國家標準CNS-560-A21 或 CNS-3300-A102。

2.螺筋及鋼線網所用鋼線須符合中國國家標準 CNS-1468-G35。

3.鋼筋之降伏應力如超過 4200 ㎏/㎝2時,應以應變0.35%之應力為其降伏應力。

4.彈性模數 Es=2.04*106㎏/㎝2

6.3 規範

1.建築技術規則(民國 63 年 2 月 15 日內政部公佈實施)

(18)

6.4 載重表

1.靜載重

靜載重為建築物本身各部分之重量及固定於建築物構造上之重量,如牆壁、

隔牆、梁、柱、樓版及屋頂等,可移動隔牆不作為靜載重。

(1)材料重量

建築物構造之靜載重應予按時核計。建築物應用各種材料隻單位體積重量,

應不小於下表所列,不在表列之材料應按實計算重量。

材料名稱 重量㎏/m3 材料名稱 重量㎏/m3

鋼筋混凝土 2400 普通黏土 1600

水泥混凝土 2300 飽和黏土 1800

煤層混凝土 1450 乾 沙 1700

泡沫混凝土 1000 飽和濕沙 2000

石灰三合土 1750 乾 碎 石 1700

水泥砂漿 2000 飽和濕碎石 2100

紅 磚 1900 濕沙及碎石 2300

針葉樹木材 500 飛灰、火山灰 650

濶葉樹木材 650 礦物溶滓 1400

硬 木 800 浮 石 900 鋁 2700 砂 石 2000

銅 8900 花 崗 石 2500

黃銅、紫銅 8600 大 理 石 2700

生鐵 7200 鉛 11400

熟鐵 7650 鋅 8900

鋼 7850 玻 璃 2500

(2)屋面重量

屋面重量應按實計,並不得小於下表所列,不在表列之屋面應按實計算重量。

屋面名稱 重量㎏/m2

文化瓦(包括椓子、屋面板、油毛紙在內) 60

水泥瓦(包括椓子、屋面板、油毛紙在內) 45

石綿、平瓦(包括椓子、屋面板、油毛紙在內) 25

台灣瓦(包括椓子、板在內) 120

石綿浪版(包括屋面板、油毛紙在內) 27

石綿浪版(不包括屋面板、油毛紙) 15

白鐵皮平版(包括椓子、屋面板、油毛紙,以#28 為準) 18 白鐵皮浪版(包括椓子、屋面板、油毛紙,以#28 為準) 12

(19)

白鐵皮浪版(不包括椓子、屋面板、油毛紙) 7.5

單層瀝青防水 3.5

單層紅方磚(尺二磚) 26

五腳磚 50

鋁皮浪版 2.5

6 ㎜玻璃 16

(3)天花板重量

天花板名稱 重量㎏/m2

甘蔗板、吸音板、三夾板 15

耐火版、石綿平板(包括承吊梁、平頂鋼筋) 20

石灰版條 40

方格版(包括承吊梁、平頂鋼筋) 22

(4)地板面重量

地板面分實舖地板及空舖地板兩種,其重量應按實計算,並不得小於下表所列,

不在表列之地板面應按實計算重量。

地板名稱 重量㎏/m2

水泥砂漿粉光 20

磨石子、洗石子 24

大理石、片石、舖塊石 30

舖馬賽克 20

舖瀝青地磚、PVC 地磚 25

實舖

(以一公分厚 為準)

舖拼花地板 15

木地版(包括柵欄) 15

空舖

疊蓆(包括木板、柵欄) 35

(5)牆壁重量

牆壁重量,按牆壁本身及牆面粉刷與貼面,分別按實計算,並不得小於下表 所列,不在表列之牆壁,應按實計算重量。

牆壁名稱 重量㎏

/m2

牆壁名稱 重量㎏/m2

1B 紅磚 440 水泥砂將粉刷 20

20 ㎝ 250 貼面磚馬賽克 20

15 ㎝ 190 貼搗擺磨石子 20

混凝土空心磚

10 ㎝ 130 洗石子或斬石子 20

以 一 公 分

(20)

15 ㎝ 135 為準 貼塊石片 25 煤屑空心磚

10 ㎝ 100 魚鱗版牆 25

空心紅磚(一磚厚) 192 灰版條牆 50

白石磚牆(一磚厚) 440 甘蔗版牆 8

竹 笆 牆 84 夾板牆 6

2.活載重

(1)垂直載重中,不屬於靜載重者,均為活載重,活載重包括建築物室內人員、

家具、設備、貯藏物、活動空間等,工廠建築應包括機器設備及堆置材料等,

倉庫建築應包括貯藏物品、搬運車輛及吊裝設備等,積雪地區應包括雪載重。

(2)建築物構造之活載重,因樓地板之用途不同,不得小於下表所列,不在表 列之樓地板用途或使用情形與表列不同者應按實計算,並需詳列於結構計算 書中。

樓地板用途類別 載重㎏/m2

1 住宅、旅館、客房、病房 200

2 教室 250

3 辦公室、商店、餐廳、圖書閱覽室、醫院手術室。

固定座位之集會堂、電影院、戲院、歌廳及演藝場等。

300 4 博物館、健身房、保齡球館、太平間、市場。

無固定座位之集會堂、電影院、戲院、歌廳及演藝場等。

400 5 百貨商場、拍賣商場、舞廳、夜總會、運動場及看台、操

練場、工作場、車庫、臨接看台、太平梯與公共走廊。

500

6 倉庫、書庫 600

7 走廊、樓梯之活載重與室載重相同。但供公眾使用,人數眾多如教堂、集

會堂等之公共走廊、樓梯不得少於400 ㎏/m2

8 屋頂陽台之活載重得較室載重每平方公尺少50 ㎏,但供公眾使用人數眾 者,不得少於300 ㎏/m2

載重面積20m2以下 100

載重面積20~60m2 80

9 不作用途之平屋頂

載重面積60m2以上 60

(21)

3.載重表格式

層別

WD

WL

地震計算用

WTL=WD+WL

1.4 WD

1.7 WL

樓版計算用

WU=1.4 WD+1.7 WL

1.地震計算用之 WL為上一節之25%

2.樓版計算用之 WL為上一節之100%

3.構架計算用及柱,基礎設計用之活載重應按下述方法計算

(1)活載重如未超過 500 ㎏/m2,亦非公眾使用之場所,構材承受載重面積超過 14 m2時,活載重得依下式折減:

R=0.85*載重面積%≦23(1+D.L./L.L.)%≦60%

R 為活載重折減百分比

(2)活載重超過 500500 ㎏/m2時,僅柱及基礎之活載重得以減少20%

(22)

第二章 計算流程圖

(23)

第三章 設計工作項目

一、結構設計圖

1.結構平面圖

(24)

2.地下室之結構平面圖

(25)

3.構架立面圖(一)

(26)

4.構架立面圖(二)

(27)

5.X 向構架(A)(C)

(28)

6.X 向構架(A)(C)

(29)

7. X 向構架(B)

(30)

8. X 向構架(B)

(31)

9. Y 向構架(1)(4)

(32)

10.Y 向構架(1)(4)

(33)

11. Y 向構架(2)(3)

(34)

12. Y 向構架(2)(3)

(35)

營建操作實習講義(part-2)

初步設計階段之考量因素

一、樓版構架系統簡介

二、假設工程支撐結構分析(暫略)

(36)

一、樓版構架系統簡介

設計目標:需能提供安全性且具功能性之工作平台

影響選擇樓板系統之因素 1.成本

2.支撐樓板之牆柱間距限制

3.服務工作度(指勁度及振動控制) 4.未來更改使用用途之難易度 5.當然最重要仍是”安全”

樓板系統之類型

樓板系統之種類可依下列方式區分;

1. 以材料分類

• 樓板 – concrete

• 樑 – concrete or steel

2. 以板受力特性分類

• 單向板

• 雙向板

• 平板(flat slab)

3. 以建造方式分類

(37)

• 鋼樑支撐現場鑄板

• 鋼樑支撐預鑄板

• 現場鑄樑級板

• 預鑄樑支撐預鑄板

以下摘要柱及版尺寸初步設計時之經驗原則。其中版厚或樑深以 l/d 即所謂”跨 深比”表示且 d 為有效深度非總深度

單向版

定義:版僅在單方向橫跨於樑或牆之間

• 若版為簡支承(即單跨而已) l/d=24

• 若版為連續版(及兩跨以上) l/d=28

• 若為懸臂版 l/d=10

• 版亦可現場澆置於型鋼平板上,如下圖

(38)

• 版可跨於小樑上,而小樑由大樑支撐

• 版若為四面皆由柱支撐,但其長短邊比例大於 2(意即係長方形)仍視為單 向版(跨於短向)

• 若樑排列相當緊密,此樓板系統可視為肋形版(ribbed slab)

(39)

• 肋形版需耗費大量模板材料與工資

• 若版是由淺且寬之混凝土樑所支撐,稱為”帶樑”樓板系統(band bam)

• 帶樑版系統之模板間單,較為經濟

• 預鑄樓板系統可搭配單向版系統施作

(40)

• 預鑄 T 型樑亦為常見之系統(特別在停車場結構中)

雙向版

版之四面皆由樑或牆支撐

(41)

• 若為簡支承(即為單跨版) l/d=28

• 若為連續版 l/d=39

• 上述參考值假設版為正方形

• 若長短向尺寸比在 1:1 至 2:1 之間時可以雙向版及單向版之 l/d 值內插估 計之其中 l 為短向尺寸

• 若樑相當緊密,稱為鬆餅版(因鬆餅 waffle 之紋路關係)

• 鬆餅紋路之版需大量模板成本 版之支撐樑

上數為版之經驗值,至於版下方之樑其尺寸經驗如下所述

• 若為簡支樑(即為單跨或樑端點彎矩) l/d=12

• 連續樑則為 l/d=15

• 懸臂版樑 l/d=6

(42)

平板系統

當版下方沒有樑或牆支撐,而是直接由柱支撐時稱之

• 因為沒有柱所以模板成本相對減低

• 此系統最大重點是必須確保柱板接頭之強度足夠不致使版被柱”穿破”

• 因為沒有樑支撐,平板通常有較大之變形,也因此它們僅適用於較小之 樓板系統

平板系統可分為兩大類

1. 均勻板 (flat plate) : 均勻板之底部為完整之腹面,它的厚度各處均勻,並由 板柱接頭之貫穿深度決定之,此系統之模板工資便宜但材料較貴。

2. 平厚板 (flat slab) : 平厚版係在柱版結合處有加厚之版材。若加厚板材屬於

板之一部份稱為墜版,若為柱之一部份稱為柱頭。

(43)

• 經驗尺寸為 l/d=33(長向尺寸)

預力混凝土

預力泛指在混凝土中置放張力鋼索,並於混凝土硬化時加以伸展鋼索施加壓力 於混凝土介面

預力混凝土之應用廣泛,由於它的力學特性,通常可加大細長桿件之跨長,故 為樓板系統中不可或缺之一種實作方式

如何選擇一種適當的樓板系統

• 成本取決於工資之多寡,一般而言高工資區域使用簡易樓板型式較划算

• 使用較少材料不代表成本較低

• 平板系統可能因變形過大造成服務性功能不足,必須謹慎設計

• 下列為各種系統之適當跨具範圍

•單向板 一 up to 6 metres

(44)

•型鋼鈑鑄之單向板一 up to 3 metres

•雙向板一 up to 7.5 metres

•肋樑板一 up to 8 metres

•預力帶樑一 up to 10 metres

•均勻板一 up to 6 metres

•平厚板一 up to 8 metres

•預鑄長條板一 up to 12 metres

•預鑄 T 型樑板一 up to 15 metres

最後我們必須留意在業界常以 2 尺(60 公分)為一尺度模組,改我們應儘可能使得 樓板之尺寸為 2 尺之係數,如

3.6m 一 常用之短跨長 4.8 m 一 常用之跨長 5.4 m 一 常用之跨長 7.2 m 一 常用之長跨長

但欲保持 2 尺係數,常會因其他設計或施工考量而無法達成,所以這是視情形

而定的一個設計考量。

(45)

營建操作實習講義(part-3)

初步設計階段之分析工具

一、矩陣結構分析回顧

二、簡易近似結構分析方法回顧(暫略)

(46)

結構分析-位移法 1

構架分析-1

傾角撓度

結構分析-位移法 2

樑之撓曲變形

dθ

M M

ds = R dθ

R

ε = new length - original length original length

(R + y)dθ- Rdθ Rdθ ds’- ds

= ds =

neutral axis

y ds’ = (R+y)dθ

結構分析-位移法 3

(R + y)dθ- Rdθ

ε = Rdθ = R dθ+ y dθRdθ- Rdθ

R y

ds = R dθ

R 1 ds =

=

結構分析-位移法 4

ds = R dθ

R 1 ds =

θ

dy dx

x

y

θ

dy dx

ds

ds

結構分析-位移法 5

θ

dθ

dy dx

x

y

θ

dy dx

ds

ds

tan θ ~ dy dx d

ds sec 2θ

ds

d y dx

2 2

dx

= ds

結構分析-位移法 6

(47)

cosθ ~ dx ds

θ

dy dx

ds

sec 2θ dθ ds = d y

dx

2 2

dx ds

dθ = ds

d y dx

2

2 sec θ 3 1 = d y

dx

2

2 (1+tan θ)2 1

3 2

結構分析-位移法 7

dθ ds

θ

dy dx

ds

tan θ ~ dy dx

= R 1 = d y

dx

2 2

[

1+

( )

2

]

1

3

dy 2

dx

~ d y dx

2 2

ds = d y

dx

2

2 (1+tan 2θ) 1

3 2

結構分析-位移法 8

σ = Eε = R Ey

neutral axis

y σ dA

M = σy dA

A

= dA

R Ey

A 2

= dA

R E 2

y

A

R 1 ~ d y

dx

2 2

結構分析-位移法 9 結構分析-位移法 10

M = dA

R E 2

y

A

= R EI

R 1 ~ d y

dx

2 2

= EI d y dx

2 2

~ y ε

= Ey EσI

= Ey σ

σ = My I

樑之撓曲變形關係

σ = My I M = EId y

dx

2 2

正應力

a

b

look at isolated member ab

a

b

(48)

結構分析-位移法 13

a

b Mba

a

b

Apply rotation (at one end only) θato beam at x=0 Look at isolated beam restrained at both ends (+ ve convention including right hand screw rule)

b θa

Mab

Mba

x y

a

R1 R2

L

結構分析-位移法 14

Free body diagram

θa

Mab

M

x y

a

R1

x

M = EI d y dx

2

2 = -Mab+ R1x

dy

dx - Mabx + + C1

EI = R1x

2

2

C2 y

EI = R1x

6 Mabx 3

2

2

+ + C1x+

15

Moment equilibrium

Integrate w.r.t. x

-

結構分析-位移法

dy

dx - Mabx + + C1

EI = R1x

2

2

16

Look at boundary conditions

b θa

x y

a

L

@ x = 0 = θa

dx dy

C1= EIθa

結構分析-位移法

17

Also at same point

b θa

x y

a

L

@ x = 0 y = 0

C2= 0

C2

EI y = R1x

6 Mabx 3

2

2

+ +C1x+ -

結構分析-位移法

y

EI = R1x

6 Mabx 3

2

2

+ + EIθax

dy

dx Mabx + + EIθa

EI = R1x

2

2

2 equations

Still need to solve for Maband R1 Need to look at other boundaries

18

-

-

結構分析-位移法

(49)

19

Look at other end point b

b θa

x y

a

L

@ x = L y = 0

0 = R1L

6 MabL 3

2

2

+ + EIθaL y

EI = R1x

6 Mabx 3

2

2

+ + EIθax -

-

結構分析-位移法

20

Also at point b

b θa

x y

a

L

@ x = L = 0dx dy

dy

dx Mabx + + EIθa

EI = R1x

2

2

MabL + + EIθa

0 = R1L

2

2

-

-

結構分析-位移法

2 more equations

can now solve for Maband R1

MabL + + EIθa (1)

0 = R1L

2

2

21

0 = R1L

6 MabL 3

2

2

+ + EIθaL (2)

(1) xL x- 1 and add to (2) 2

-

-

結構分析-位移法

22

0 = R1L

4 MabL 3

2

2

- (1b)

+ - EIθaL

2

0 = R1L

6 MabL 3

2

2

+ + EIθaL (2)

+

0 = 0 - R1L 12

3 EIθaL 2 +

= R1 6EIθa

L2 -

結構分析-位移法

0 = L

6 MabL 3

2

2

+6EIθa +EIθaL (2) L2

Back substitute into (2)

x

Mab = 4EIθa L -

Look at moment equilibrium at point B

b θa

Mab

Mba

x y

a

R1 R2

L

Mba = 4EIθa

L

- Mab+ R1L = 6EIθa L2

- + L

(50)

25

Mba = 4EIθa L

6EIθa L

- + = 2EIθa

L

= R2 -

Also from equilibrium

=

R1 6EIθa L2 - Thus

結構分析-位移法

26

2EIθa L 4EIθa

L

-6EIθa

L2

6EIθa L2

結構分析-位移法

27

b θb

x y

a

L

Now apply rotation at other end θbto beam at x=L

Mab

Mba

R1 R2

結構分析-位移法

28

-2EIθb L

- 4EIθb L

6EIθb L2 -6EIθb

L2

結構分析-位移法

結構分析-位移法 29

構架分析-2

側移

結構分析-位移法 30

將傾角撓度關係加上側移因素後

a

b

looking at an isolated member ab a

b

(51)

31

Mab

Mba R1

R2

a

δa b

Let’s now apply sway instead of rotation at point b

x y

L

結構分析-位移法

32

Mab R1

a M

Free body diagram

M = EI d y dx

2

2 = - Mab+ R1x

Moment equilibrium

x

結構分析-位移法

33

M = EI d y dx

2

2 = - Mab+ R1x

dy

dx - Mabx + + C1

EI = R1x

2

2

y

EI = R1x

6 Mabx 3

2

2

+ + C1x+

Integrate w.r.t. x

- C2

結構分析-位移法

34

dy

dx - Mabx + + C1

EI = R1x

2

2

δa

EI = R1x

6 Mabx 3

2

2

+ + C1x +

- C2

Look at boundary conditions @ x = 0 = 0 dy dx

C1= 0

@ x = 0 y = δa

C2= EIδa

結構分析-位移法

dy

dx - Mabx +

EI = R1x

2

2

δa EI 2 equations

Still need to solve for Maband R1 Need to look at other boundaries y

EI = R1x

6 Mabx 3

2

2

+ +

-

a

δa b

x y

Look at other end point b @ x = L y = 0

L

δa 0 = R1L EI

6 MabL 3

2

2

+ +

y - EI =

(52)

37

a

δa b

x y

Also at point b @ x = L = 0

L

dy dx

dy

dx - MabL +

EI = R1L

2

2

= 0

結構分析-位移法

2 more equations

can now solve for Maband R1

MabL + (1)

0 = R1L

2

2

38

0 = R1L

6 MabL 3

2

2

+ + EIδa (2)

(1) xL x- 1 and add to (2) 2

-

-

結構分析-位移法

39

0 = R1L

4 MabL 3

2

2

(1b) + -

0 = R1L

6 MabL 3

2

2

+ + EIδa (2)

+

0 = 0 - R1L 12

3

+

=

R1 12EIδa L3 -

EIδa

結構分析-位移法

40

0 = L

4 MabL 3

2

2

+12EIδa (1b) L3

Back substitute into (1b)

x

Mab = 6EIδa L -

2

結構分析-位移法

41

Look at moment equilibrium at point B Mab

Mba

R1

R2

a

δa b

x y

L

Mba = - Mab+ R1L = 6EIδa L2

- 12EIδa L3

+ L

結構分析-位移法

42

Mba = 6EIδa L2

= R2 -

Also from equilibrium

=

R1 12EIδa L3 -

結構分析-位移法

(53)

43

6EIδa L

- 12EIδa

L3

12EIδa L3

6EIδa L2

2

結構分析-位移法

44

Mab

Mba

R1 R2

a

b

δb

x y

L

Now apply displacement at other end δbto beam at x=L

結構分析-位移法

45

-12EIδa L3 12EIδa

L3

- 6EIδa L

- 6EIδa L2

2

結構分析-位移法 結構分析-位移法 46

Now apply both displacements and rotations at both ends θa,δa,θb, δb.

What do we have? Stiffness Matrix for 2D beam element.

Ma

Mb R1

R2

4EI/L 6EI/L 2EI/L -6EI/L 6EI/L 12EI/L 6EI/L -12EI/L 2EI/L 6EI/L 4EI/L -6EI/L -6EI/L -12EI/L -6EI/L 12EI/L

=

θa δa θb δb

2 2

2 3 2 3

2 2

2 3 2 3

Stiffness Matrix for 2D beam element with terms rearranged so that we start with reactions and then moments in force vector and sway and then rotations in displacements vector.

Ma

Mb R1

R2

12EI/L 6EI/L -12EI/L 6EI/L 6EI/L 4EI/L -6EI/L 2EI/L

=

θa δa

θb δb

2 2

2 2

3 3

6EI/L 2EI/L -6EI/L 4EI/L2 2 -12EI/L -6EI/L 12EI/L -6EI/L3 2 3 2

Another way of displaying matrix is as follows:

Ma

Mb R1

R2

12 6L -12 6L 6L 4L -6L 2L

= θa

δa

θb δb

6L 2L -6L 4L -12 -6L 12 -6L

2

EI 2

L

pivot line Matrix symmetric about pivot line

3

2

2

Pivot line elements + ve and > 0

參考文獻

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