• 沒有找到結果。

大學基礎代數

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "大學基礎代數"

Copied!
203
0
0

加載中.... (立即查看全文)

全文

(1)

大學基礎代數

李華介

國立台灣師範大學數學系

(2)
(3)

前言

在大學數學系的課程中代數學是一門必修的課程, 不過一般同學覺得它既抽象又難 以理解. 本講義希望用能比較簡單的方法介紹大學應該知道的代數理論, 讓大家免 除對代數的恐懼. 在使用本講義之前請注意下列事項:

(1) 本講義不是甚麼萬靈丹, 若平時不努力考前想隨便讀讀此講義就能融會貫 通那是 “不可能的”.

(2) 本講義並不是為了提升同學們對代數的興趣而寫, 因此內容並不會生動有 趣. 如果同學對於一些代數的歷史典故有興趣, 建議查詢其他的參考書籍.

(3) 本講義只觸及基礎的代數知識, 因此並不適合對代數有興趣而想多了解更 進階理論的同學. 若要學習更多進階的代數理論, 建議查詢其他的參考書 籍﹝或將來我寫的進階代數講義﹞.

(4) 本講義雖然主要以中文撰寫, 不過當涉及定義或專有名詞時, 為免翻譯的 困擾將以英文取代. 因此將以中英夾雜較不傳統的方式顯現, 若有不便請 見諒.

v

(4)
(5)

Contents

前言 v

Part I. GROUP

Chapter 1. 初級 Group 的性質 3

§1.1. Group 的基本定義 3

§1.2. 由 Group 的定義所得的性質 5

§1.3. Subgroup 7

§1.4. 一些特殊的 subgroup 9

§1.5. 製造更多的 subgroups 11

Chapter 2. 中級 Group 的性質 13

§2.1. 分類 13

§2.2. Lagrange’s Theorem 14

§2.3. 元素的 order 16

§2.4. Normal Subgroups 和 Quotient Groups 17

§2.5. Group Homomorphisms 20

§2.6. 三個 Isomorphism 定理 23

§2.7. Correspondence Theorem 27

Chapter 3. 一些常見的 Groups 31

§3.1. Cyclic Groups 31

§3.2. Direct Product 33

§3.3. Finite Abelian Groups 38

§3.4. The Symmetric Group 46

vii

(6)

Chapter 4. 進階 Group 的性質 67

§4.1. Group Action 67

§4.2. Cauchy’s Theorem 70

§4.3. p-Group 72

§4.4. First Sylow’s Theorem 75

§4.5. Second Sylow’s Theorem 78

§4.6. Third Sylow’s Theorem 80

§4.7. Sylow 定理的應用 83

Part II. RING

Chapter 5. 初級 Ring 的性質 89

§5.1. Ring 的基本定義 89

§5.2. 由 Ring 的定義所得的性質 90

§5.3. Zero Divisor 和 Unit 92

§5.4. Subring 94

§5.5. 一些 Noncommutative Ring 96

Chapter 6. 中級 Ring 的性質 101

§6.1. Ideals 和 Quotient Rings 101

§6.2. Subring 和 Ideal 的基本性質 103

§6.3. Ring Homomorphism 和 Correspondence 定理 106

§6.4. 三個 Ring Isomorphism 定理 109

§6.5. 在 Commutative Ring with 1 中特殊的 Ideals 112

Chapter 7. 一些常見的 Rings 119

§7.1. The Ring of Integers 119

§7.2. Ring of Polynomials over a Field 123

§7.3. Polynomials over the Integers 130

§7.4. Quotient Field of an Integral Domain 139

Chapter 8. Integral Domain 上的分解性質 143

§8.1. Divisor 143

§8.2. Euclidean Domain 147

§8.3. Principle Ideal Domain 148

§8.4. Unique Factorization Domain 152

(7)

Contents ix

Part III. FIELD

Chapter 9. 初級 Field 的性質 165

§9.1. Field 的基本性質 165

§9.2. Field 的 Characteristic 167

§9.3. 線性代數的應用 171

§9.4. Extension Field 175

Chapter 10. 中級 Field 的性質 179

§10.1. Algebraic Elements 179

§10.2. Algebraic Closure 183

§10.3. Roots of Polynomials 186

§10.4. Finite Fields 189

(8)
(9)

Part I

GROUP

(10)
(11)

Chapter 1

初級 Group 的性質

在本章中我們將介紹 group 的定義及其基本性質, 我們也會介紹一些重要常見的 group 的例子.

1.1. Group 的基本定義

任意給一集合 S 若要在這集合內的元素之間給一個運算「∗」怎樣的運算才算是好 的運算呢?首先我們很自然的會希望集合中任兩元素運算後仍然在原集合內:也 就是說若 a, b ∈ S 則 a ∗ b ∈ S. 這個性質就是所謂的封閉性 closed. 比方說在負整 數中的乘法運算就不是 closed, 而在正整數中的乘法運算就是 closed.

好了!既然我們要求運算有封閉性, a 和 b 運算後仍然在 S 我們自然可以再和 S 中的元素再運算. 一般來說我們定義元素間的運算是兩個、兩個來定義的. 如何 讓三個元素或更多的元素運算在一起呢? 換句話說:該如何定 a ∗ b ∗ c 呢?我們可 以先讓 a 和 b 運算然後再和 c 運算;即(a ∗ b) ∗ c;或是先運算 b 和 c 再和 a 運算:

即 a ∗ (b ∗ c). 若這兩種運算的結果得到不同的結果那你將遭遇到天大的麻煩. 因為 當你要更多元素運算在一起時你得小心翼翼的注意哪些元素要先運算. 甚至當你要 算 a ∗ a ∗ a 時到底要算 a ∗ (a ∗ a) 或 (a ∗ a) ∗ a 都會讓你搞昏頭. 為了省卻這些複 雜性我們可以進一步要求:a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c. 這樣一來當你要運算 a ∗ b ∗ c ∗ d 時你可以算 a ∗ (b ∗ (c ∗ d)), (a ∗ b) ∗ (c ∗ d) 或 ((a ∗ b) ∗ c) ∗ d 都沒關係, 你都會得到 同樣的結果. a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c 這個性質我們稱之為結合率 associative law.

一般來說給定一集合要定義一個符合上面兩個性質的運算 (尤其是結合率) 並不 是容易的事. (當然除了一些很簡單的運算, 比方說:定義每個元素運算後都取相同 值.) 符合這兩個性質的集合與其運算我們稱之為 semigroup. 在本課程中我們將不 會討論 semigroup. 畢竟它的條件太少, 很難依此得到有趣的性質. 在一般我們有興 趣的代數體系中通常都有一個很特別的元素稱為 identity. 這個元素我們通常會用 e 來表示, 它擁有的特殊性質是對集合中任意的元素 a, a ∗ e 和 e ∗ a 的值都還是 a.

3

(12)

有了 e 這一個重要的元素外, 我們進而要求在集合中任意給定一個元素 a, 我 們都能在集合中找到一個元素 b 使得 a ∗ b = b ∗ a = e. 這個元素我們稱之為 a 的 inverse. 要注意的是 e 是一個固定的元素它和任意的元素 a 運算後還是 a, 而這裡 的 b 是隨 a 而變的, 不同的 a 會有不同的 b 為其 inverse. 為了強調這一點我們通 常用 a−1 來表示 a 的 inverse.

一個集合若有一個運算擁有前面所提的這四個性質我們稱這個集合及其運算為 一個 group. 我們正式將這個定義寫下:

Definition 1.1.1. 一個集合 G 若元素間有一個運算 ∗ 且符合下列性質則稱為一個 group.

(GP1): 若 a, b ∈ G 則 a ∗ b ∈ G.

(GP2): 若 a, b, c ∈ G 則 (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).

(GP3): 在 G 中存在一個元素 e 使得 G 中所有元素 g 都有 g ∗ e = e ∗ g = g.

(GP4): 對 G 任一元素 g 都可在 G 中找到某一元素 g0使得 g ∗ g0 = g0∗ g = e.

Remark 1.1.2. 要注意我們不能說一個集合是一個 group, 嚴格來說還必須指出在 哪種運算下才是 group. 所以我們不能說整數 Z 是一個 group, 而必須說整數在加 法的運算下是個 group. 不過在以後我們談到 group 時因為已經假設有運算在其中 所以我們往往會省略地說 G 是一個 group. 而且除非在具體的例子中我們將統一 用 「·」 來表示運算.

我們簡單的看看哪些熟悉的東西是 group. 前面提到 Z 在加法的運算下是 group, 其中 0 是其 identity, 而任意的整數 n, −n 是其 inverse. 不過若考慮 Z 在乘法的運 算下它就不再是一個 group. 雖然 1 是乘法的 identity 不過並不是所有的整數都有 乘法的 inverse, 例如 2 就沒法在 Z 中找到一個數使得 2 乘以它以後會是 1. 當然 了你很快的會反應說:有理數 Q 在乘法下是一個 group. 可惜不是, 因為 0 ∈ Q 不 過 0 沒有乘法 inverse. 但如果我們考慮非 0 的有理數所成的集合, 則在乘法的運 算下它就是一個 group. 要說明這件事很簡單但別忘了我們不只要說明所有非 0 的 有理數有乘法反元素, 我們還要注意其他的性質. 在這裡 (GP1) 中 closed 的性質 還是被保持著, 因為兩個非 0 的有理數相乘還是一個不等於 0 的有理數.

要特別注意的是, 一些我們熟悉的例子往往都有 a · b = b · a 的性質, 不過在 group 的定義中並沒有這項要求. 以後我們將會看到很多不符合這性質的 group. 不過若 一個 group 有上述這個性質我們就多給它一個名字稱之為 abelian group;而不符 合這性質的 group 就稱為 nonabelian group.

Definition 1.1.3. 若 G 是一個 group 且對任意的 a, b ∈ G 我們都有 a · b = b · a, 則稱 G 為一個 abelian group.

Group 的定義也沒有對元素的個數有所要求. 事實上有很多重要的 group 它只 有有限多個元素. 我們也對這類的 group 給特殊的名字.

(13)

1.2. 由 Group 的定義所得的性質 5

Definition 1.1.4. 若 G 是一個 group 且只有有限多個元素, 則我們稱 G 為一個 finite group;若 G 中元素的個數為 n, 則我們稱 G 是一個 order n 的 group. 通常 用 |G| = n 來表示.

事實上在大學的基礎代數中我們只討論 finite group.

1.2. 由 Group 的定義所得的性質

在 Group 的定義中既然我們對其有些特殊的要求, 當然很自然的想看看能否因為 這些要求推得一些性質. 簡單的來說我們檢驗一個集合是否為一個 group 只需檢 查其是否符合 (GP1) 到 (GP4) 這四項要求, 然而會不會因為符合了這四項要求而 讓 group 有其他更多更有用的共通性質呢?答案是有的. 事實上這四項要求就讓 group 有很豐富的結構性質. 將來我們會更進一步的討論這些衍生出來的重要性質.

在這一節我們只討論幾項直接用定義得到的基本性質.

首先我們注意到在 group 的定義中 (GP3) 的性質提到存在一個 identity, 而我 們也提到用 e 來表示它. 有警覺性的同學馬上會注意到 something is wrong. 甚麼 問題呢?我們並不知道 identity 是否唯一怎們可以這麼快就給它一個代號. 還好, 雖然在 (GP3) 並沒有提及唯一性, 不過以下我們可以發現它的唯一性會自動成立.

在數學中證明一個東西的存在性及唯一性是非常重要的課題, 將來大家會不時 的碰到這一類的問題. 一般的同學在碰到存在唯一的證明時往往分不清楚哪個是證 明存在哪個是證明唯一, 所以我們將很小心的談論這類的問題.

(GP3)的性質很明顯的就是所謂的存在性. 怎樣用它來得到唯一性呢?一般的 直覺證明唯一就是說找不到另外一個元素符合這個性質, 但這是很難直接證明的.

所以幾乎在證明唯一性時我們都用反證法, 也就是說假設找到兩個相異的東西有這 個性質我們要證明這是矛盾的. 矛盾這個辭的由來相信大家都知道:有個人在賣矛 和盾. 他一下子說他的矛無堅不催可以刺穿所有的盾牌;一下子又說他的盾堅固無 比沒有矛可以刺穿它. 所以有人就問說那你的矛刺你的盾後會怎樣呢?我們就用這 以子之矛攻子之盾的方法來證明矛盾. 也就是如果 e 和 e0 是 G 中兩個相異的元素 且都符合 identity 的性質, 那麼 e · e0 會是什麼呢?

Proposition 1.2.1. 若 G 是一個 group, 則 G 中只有唯一的元素會符合 identity 的性質.

Proof. 假設 e 和 e0 是 G 中兩個相異的元素且都符合 identity 的性質, 則考慮 e · e0. 因為 e 是 identity 所以 e · e0 = e0. 另一方面由於 e0 也是 identity 所以 e · e0= e. 因 此我們得 e = e0, 此和原假設 e 6= e0 矛盾, 故 G 中僅有一個元素會是 identity. ¤ 注意在以上的証明中 e 是乘在左邊而 e0 是在右邊, 也就是說在 (GP3) 中 identity 的性質若只要求對所有的 a ∈ G 要符合 e · a = a (或只要求 a · e = a) 則 identity 的唯一性並不一定會對. 所以要謹記 identity 必須要符合 e · a = a 且 a · e = a.

(14)

我們很自然會問:那給定 G 中的任一元素 a, 其 inverse 是否也唯一呢?用類 似的方法, 我們有以下之結果:

Proposition 1.2.2. 若 G 是一個 group, 則給定 G 中任一元素 a, 在 G 中只有唯 一的元素 b 會符合 a · b = b · a = e.

Proof. 假設 G 中有兩相異元素 b 和 b0 符合 a 的 inverse 之條件. 也就是 a·b = b·a = e 且 a · b0 = b0· a = e. 則

b = b · e = b · (a · b0) = (b · a) · b0 = e · b0 = b0

此與 b 6= b0 矛盾, 故得証. ¤

注意以上之證明我們用到 (GP2) 及 (GP3), 另外 inverse 必須是乘在兩邊都會 成 identity. 如果我們對 inverse 的條件只要求 a · b = e (或只要求 b · a = e) 那麼 inverse 的唯一性定不一定會成立. 所以要謹記若 b 為 a 之 inverse, 則必須符合 a · b = e 且 b · a = e.

在此再次強調由於 Proposition 1.2.2, 給定一元素 a 我們將記 a−1 為其 inverse.

事實上 group 有比以上兩個 Propositions 更強的性質:

Theorem 1.2.3. 若 G 是一個 group, 給定 G 中任意元素 a 和 b, 則方程式 a · x = b 在 G 中有解且其解唯一. 同理, 方程式 y · a = b 在 G 中也有唯一解.

Proof. 這就是一個證明存在及唯一的典型例子.

要證明存在性, 我們只要在 G 中真的找到一個元素 c 使得 a · c = b. 很容易就 知道若令 c = a−1· b, 則由於 a−1 ∈ G 且 b ∈ G, 由 (GP1) 我們知 c ∈ G. 然而,

a · c = a · (a−1· b) = (a · a−1) · b = b 故知 c 是 a · x = b 在 G 中的一個解.

好了, 我們找到一個解了如何證明唯一呢?一個同學經常犯的錯誤是說:因為 a−1 是唯一的所以解 a−1· b 是唯一的. 這裡出錯的原因是:要證明唯一性就是要你 說明為何此解一定是 a−1· b. 上述的證法並沒有真正回答這個問題. 前面提過要直 接證明唯一性是頗困難的, 我們還是用反證法比較好.

假設 c 和 c0 是 G 中方程式 a · x = b 的兩個相異的解, 則由 a · c = a · c0 我們可得 a−1 · (a · c) = a−1 · (a · c0). 由於 a−1 · (a · c) = (a−1 · a) · c = c 及 a−1· (a · c0) = (a−1· a) · c0= c0 我們得 c = c0. 此與 c 6= c0 矛盾, 故得証. ¤ Remark 1.2.4. 前面提過, 若我們不知道 G 是否是一個 group 時若要說 G 中的 某一元素 a 是 G 的 identity, 我們必需驗證對所有的 g ∈ G 皆有 g · a = a · g = g.

不過若已知 G 是一個 group, 那麼 Theorem 1.2.3 告訴我們說: 如果要說明 a 是 G 的 identity, 我們只要在 G 中找到一個元素 b 使得 a · b = b (或 b · a = b) 就好. 不 必驗證 G 中所有的元素 g 都要滿足 g · a = a · g = g.

(15)

1.3. Subgroup 7

利用 Theorem 1.2.3 我們很快的有以下的很基本但也很重要的等式:

Corollary 1.2.5. 若 G 是一個 group, 給定 G 中任意元素 a 和 b, 則 (a−1)−1 = a and (a · b)−1= b−1· a−1.

Proof. 由於 (a−1)−1 須符合 a−1 · x = e, 然而已知 x = a 符合此方程式, 故由 Theorem 1.2.3 的唯一性知 (a−1)−1= a.

同理 (a · b)−1 須符合 (a · b) · x = e, 然而已知 x = b−1· a−1 符合此方程式, 故由 Theorem 1.2.3 的唯一性知 (a · b)−1= b−1· a−1. ¤

1.3. Subgroup

上一節提到 group 的基本性質幾乎是由定義直接推得, 我們若想得到更豐富的性質, 則不得不引進特殊的技巧來處理. 當然一開始最直接的想法就是如果一個 group 不 是很容易被掌握, 我們是不是可以考慮其內部的子集合來幫助我們了解它. 當然了 我們知道一般的子集合幫不了我們什麼忙, 因為 group 本身的運算才是我們關注的 重點. 所以我們有興趣的是那些在原本 group 的運算下也是 group 的子集合. 這樣 的子集合我們稱之為 subgroup. 以後我們將會學到如何利用 subgroup 來進一步了 解原先的 group. 在本節中我們先了解一些 subgroup 的特性.

首先我們還是給 subgroup 一個正式的定義.

Definition 1.3.1. 給定一個 group G, 如果 G 中的一個非空的子集 H 在 G 的運 算之下也是一個 group, 則稱 H 為 G 的一個 subgroup.

要注意的是, 我們強調要在 G 原本的運算下才可以. 例如在整數的加法運算 下所有的偶數所成的子集合就是其 subgroup;然而集合 {1, −1} 雖然是整數的一 個子集合而且在乘法的運算下是一個 group, 不過它卻不是整數這個 group 的一個 subgroup.

給定一個 group G, 我們很容易找到兩個 subgroup: 一個就是 G 本身, 另一個就 是僅由 identity 一個元素所成的子集合. 這兩個 subgroup 對我們來說沒有什麼用處, 所以稱之為 trivial subgroups, 其他的 subgroup 則稱之為 nontrivial proper subgroups.

要注意的是將來我們會看到有些 group 並沒有 nontrivial proper subgroups.

介紹完基本定義, 我們自然想知道如何判定一個 group 之子集合 H 是否為 G 的 subgroup? 當然就是前面 group 的定義 (GP1) 到 (GP4) 都要符合. 首先注意 在 subgroup 的定義中並沒有要求 H 的 identity 就是 G 的 identity. 不過若給定 H 中一元素 a, H 的 identity 必須符合 a · x = x · a = a. 由 Theorem 1.2.3, 知道在 G 中只有唯一的元素符合 a · x = a (或 x · a = a), 而 G 中的 identity 又符合這等 式, 所以 H 的 identity 非得是 G 中的 identity. 同理在 (GP4) 中要求對任意 H 中 之元素 a 都可以在 H 中找到 a 的 inverse. 再由 Theorem 1.2.3 我們可得 a 在 H

(16)

中的 inverse 恰就是 a 在 G 中的 inverse. 由這些觀察我們用比較數學的方法再重 寫 subgroup 的定義.

Definition 1.3.2. 給定一個 group G, 如果 G 中的一個非空的子集 H 在 G 的運 算之下符合:

(SGP1): 若 a, b ∈ H 則 a · b ∈ H.

(SGP2): 若 a, b, c ∈ H 則 (a · b) · c = a · (b · c).

(SGP3): G 的 identity e 必須屬於 H.

(SGP4): 對 H 中任一元素 h 其在 G 中的 inverse h−1 必須也屬於 H.

則稱 H 為 G 的一個 subgroup.

其實要檢查 H 是否為 G 之 subgroup 我們不必全部檢查 (SGP1) 到 (SGP4) 這 四項. 事實上 G 中的元素都符合 (GP2), 而 H 中的元素必定在 G, 所以 H 中的 元素自然符合 (SGP2). 另外 (SGP3) 也是可以省略的. 這是因為既然 H 是非空 的, 我們可以在 H 中任找一元素 a. 而 (SGP4) 告訴我們若 a ∈ H 則 a−1 ∈ H 又 (SGP1) 告訴我們若 a ∈ H 且 a−1 ∈ H 則 e = a · a−1 ∈ H, 故 (SGP3) 可由 (SGP1) 及 (SGP4) 推得. 總結以上討論, 我們有:

Lemma 1.3.3. 給定一個 group G, H 為 G 中的一個非空的子集. 則 H 是 G 的 subgroup 若且為若 H 在 G 的運算之下符合以下兩點:

(1) 若 a, b ∈ H 則 a · b ∈ H.

(2) 若 a ∈ H 則 a−1 ∈ H.

有許多書將以上驗證 subgroup 的方法用更簡明的方式表示. 在實際狀況下它並 沒有比較好用; 只是大部分的同學都覺得它比較好記憶所以我們還是介紹一下吧!

Lemma 1.3.4. 給定一個 group G, 且 H 為 G 中的一個非空的子集. 則 H 是 G 的 subgroup 若且為若在 G 的運算之下給定任意的 a, b ∈ H, 皆有 a · b−1 ∈ H.

Proof. (先證明 trivial 的一邊) ⇒: 若 H 是 G 的 subgroup, 則給定任意的 a, b ∈ H, 因 b ∈ H, 由 (SGP4) 我們可得 b−1 ∈ H. 又因 a ∈ H 及 b−1∈ H, 再由 (SGP1) 我 們可得 a · b−1∈ H. 故得證.

(再證明較難的一邊) ⇐: 我們主要的策略是找到 H 中特殊的 a 和 b 來證明 H 符合 (SGP1) 到 (SGP4) 這四個性質. 雖然 Lemma 1.3.3 告訴我們只要驗證 (SGP1) 及 (SGP4) 就可, 不過由於技術性上的困難我們得先證明 (SGP3) 再利用它來證明 (SGP4) 及 (SGP1). 也就是說我們先證明 e ∈ H: 這其實不難, 因為已知 H 是非空 的故任取 a ∈ H, 知因 a ∈ H 故當 b = a 時, b ∈ H. 故由假設知

e = a · a−1= a · b−1∈ H.

(17)

1.4. 一些特殊的 subgroup 9

現在既然知道 e ∈ H, 則對任意的 b ∈ H 我們可令 a = e ∈ H, 再由假設的條件 a · b−1∈ H 可得

a · b−1= e · b−1= b−1∈ H.

這證明了 (GP4). 接下來給定任意的 c, d ∈ H, 由前已知 d−1 ∈ H. 故可令 a = c 和 b = d−1, 我們有 a, b ∈ H. 所以由假設知 a · b−1 ∈ H. 也就是說 a · b−1 = c · (d−1)−1 = c · d ∈ H. 這證明了 (SGP1), 故知 H 是 G 的一個

subgroup. ¤

注意: 如果 H 中的元素符合若 a, b ∈ H 則 a−1· b ∈ H, 那麼我們也可用同樣的 方法證明 H 是 G 的一個 subgroup.

前面提過以後我們將會專注於 finite group 的 case. 當我們碰到 finite group 時 要檢查其中的子集合是否為 subgroup 時所要檢查的項目就更少了. 事實上我們有 以下的定理:

Proposition 1.3.5. 給定一個 “finite” group G, 且 H 為 G 中的一個非空的子集.

則 H 是 G 的 subgroup 若且為若在 G 的運算之下 H 是 closed.

Proof. 我們僅要證明當 H 在 G 的運算下是 closed 則 H 是 G 的 subgroup. 然 而利用 Lemma 1.3.3, 因為已知 H 在 G 的運算下是 closed, 所以要證明H 是 G 的 subgroup 我們只要證明給定任何的 a ∈ H 皆有 a−1 ∈ H 就可. 若 a ∈ H, 因 H 在 G 的運算下是 closed, 故 a2 = a · a ∈ H, a3 = a · a2 ∈ H, .... 這樣一直下 去我們可得對任一的 n ∈ N, 皆有 an ∈ H. 然而 G 只有有限多個元素, 而 H 是 G 的一個子集合, 所以 H 必只有有限多個元素. 換句話說 {a, a2, a3, . . . an, . . . } 這 些 H 的元素一定不可能兩兩相異. 所以可以找到兩個相異的整數 m 和 n 使得 an= am. 不失ㄧ般性, 我們假設 m > n. 等式兩邊同乘 (an)−1, 我們得 am−n = e.

如果 m − n = 1, 這表示 a = e, 所以 a−1 = e = a ∈ H. 如果 m − n > 1, 則 m − n − 1 ∈ N. 故知 am−n−1∈ H. 再由 am−n= e 知 am−n−1· a = a · am−n−1 = e.

故得 a−1= am−n−1 ∈ H. ¤

1.4. 一些特殊的 subgroup

前面提及我們希望利用一個 group 的 subgroup 來幫我們了解這一個 group. 給定 一個 group 除了 trivial subgroup 外到底要怎樣找到其他的 subgroup 呢?當然了有 些 group 是沒有 nontrivial proper subgroup 的(以後我們會介紹), 在這一節我們希 望介紹一些可能找到 nontrivial proper subgroup 的方法.

當 G 是一個 group 給定 a ∈ G, 我們希望用 a 來產生一個 subgroup. 很自然的我 們知道 a2, a3, . . . , an, . . . 都要在這個 subgroup 中, 還有 a−1, (a2)−1, . . . , (an)−1, . . . 也要在其中, 最後別忘了 e 也要在裡面. 由 Corollary 1.2.5, 我們知 (an)−1 = (a−1)n, 所以我們很自然的會定義以下的集合:

hai := {an| n ∈ N} ∪ {(a−1)m| m ∈ N} ∪ {e}.

(18)

很容易由 Lemma 1.3.3 (或 Lemma 1.3.4) 知道 hai 會是 G 的一個 subgroup. 我們 稱 hai 為 the cyclic subgroup of G generated by a. 當然了, 如果我們選到 a = e 則 hai = {e} 這一個 trivial subgroup. 另一方面如果我們可以找到一個 a 使得 hai = G, 那麼我們就稱 G 為一個 cyclic group. 要注意的是並不是所有的 group G 都可以 找到 a ∈ G 使得 hai = G.

Example 1.4.1. 我們給一個有些同學會搞混的例子. 會搞混的原因是前面提過, 為 了簡便的因素我們都用 「·」 來表示 group 的運算, 所以 a2 = a · a 表示 a 和 a 運 算兩次, a3 表示運算三次... 依此類推. 現在我們考慮 Z 以加法形成的 group. 那麼 h2i 應該是怎樣的 subgroup 呢? 它應該是由 2, 4 = 2 + 2, 6 = 2 + 2 + 2, ...(千萬別 搞錯, 不是由 2, 4 = 22, 8 = 23,...) 以及 −2, −4, −6, ... 等所組成. 換句話說在此 group 中以 2 所形成的 cyclic subgroup 即是由所有偶數所組成的. 另外大家很容 易看出來 −2 也可產生同樣的 subgroup. 大家也可很容易看出 1 所產生的 cyclic subgroup 就是 Z 本身所以我們知道 Z 所形成的加法群是一個 cyclic group.

大家應該都還記得, 在一般的 group 中, a·b 不見得等於 b·a. 不過因 a·e = e·a = a 所以 identity 總是和所有元素可交換的. 至於給定一元素, 有哪些元素可以和它交 換是一個很有趣的話題. 給定 a ∈ G, 我們可以考慮

C(a) = {g ∈ G | g · a = a · g}.

這個集合就是搜集 G 中可以和 a 交換的元素. 我們稱之為 the centralizer of a. 給 定任意的 a ∈ G, 事實上 C(a) 會是 G 的一個 subgroup. 例如 the centralizer of identity C(e) 就是 G 本身.

Proposition 1.4.2. 若 G 是一個 group 且 a ∈ G, 則 C(a) 是 G 的一個 subgroup.

Proof. 由 Lemma 1.3.3, 我們要證明: 若 g1, g2 ∈ C(a) 則 g1 · g2 ∈ C(a) 還有 g1−1∈ C(a). 事實上 g1, g2 ∈ C(a) 告訴我們 g1· a = a · g1 及 g2· a = a · g2. 因此

(g1· g2) · a = g1· (g2· a) = g1· (a · g2) = (g1· a) · g2= (a · g1) · g2 = a · (g1· g2).

也就是說 g1· g2 ∈ C(a). 另一方面, 由於 g1· a = a · g1, 各乘上 g1−1在兩邊等式的右邊.

我們得到 (g1· a) · g1−1= a. 再乘以 g−11 於兩邊等式之左邊. 我們得 a · g−11 = g−11 · a.

也就是說 g1−1∈ C(a). ¤

另外一種常見的 subgroup 是考慮

Z(G) = {g ∈ G | g · x = x · g, ∀ x ∈ G}.

我們一般稱 Z(G) 為 G 的 center. 注意 C(a) 是和 G 中的特定元素 a 可交換的元 素所成的集合, 而 Z(G) 是和 G 中所有的元素可交換的元素所成的集合. 所以我們 很容易可證得

Z(G) = \

a∈G

C(a).

(19)

1.5. 製造更多的 subgroups 11

類似於證明 C(a) 是 G 的 subgroup 的方法我們也可以證明 Z(G) 也是 G 的 subgroup.

在這裡我們不再給證明不過等一下我們將會用另一種看法來說明 Z(G) 是 G 的 subgroup.

1.5. 製造更多的 subgroups

前一節中我們介紹了幾種 subgroup. 如果你已有了一些 subgroups 這一節中我們 將介紹一些簡單的利用這些 subgroups 製造出新的 subgroup 的方法.

Lemma 1.5.1. 若 H1, H2 是 G 的 subgroups, 則 H1∩ H2 也是 G 的 subgroup.

Proof. 我們先證明封閉性. 若 x, y ∈ H1 ∩ H2, 則利用 x, y ∈ H1 及 H1 是一個 subgroup, 我們有 x · y ∈ H1. 同理可得 x · y ∈ H2. 故 x · y ∈ H1∩ H2.

另外證明 inverse 存在. 若 x ∈ H1∩ H2, 則利用 x ∈ H1及 H1 是一個 subgroup, 我們有 x−1∈ H1. 同理可得 x−1 ∈ H2. 故 x−1∈ H1∩ H2. ¤ 注意從證明中不難發現若將此 Lemma 1.5.1 中的交集改成聯集則結果不一定成 立. 即 H1∪ H2 不一定會是 subgroup. 例如在整數 Z 所成的加法群中, 2Z 和 3Z 這兩個 subgroups 的聯集不是 subgroup. 很容易就知 2 ∈ 2Z ∪ 3Z 且 3 ∈ 2Z ∪ 3Z 但是 2 + 3 = 5 6∈ 2Z ∪ 3Z.

從 Lemma 1.5.1 的證明也不難看出不只兩個 subgroups 的交集是 subgroup, 其 實任意有限多個 subgroups 的交集也是 subgroup. 甚至無窮多個 subgroups 的交 集也是 subgroup. 所以我們可利用 C(a) 是 subgroup 得到 Z(G) = ∩a∈GC(a) 也是 一個 subgroup.

給定 G 中的任一元素 a 及一個 subgroup H, 我們可以考慮 a−1· H · a = {a−1· h · a | h ∈ H}

這個集合 (當然了若 G 是 abelian 則 H = a−1· H · a).

Lemma 1.5.2. 若 a ∈ G 且 H 是 G 的一個 subgroup, 則 a−1· H · a 也是 G 的 subgroup. 若又知 H 是 finite group, 則 |H| = |a−1· H · a|.

Proof. 若 x1, x2 ∈ a−1 · H · a, 表示存在 h1, h2 ∈ H 使得 x1 = a−1 · h1 · a 且 x2= a−1· h2· a. 故由結合率知

x1· x2= (a−1· h1· a) · (a−1· h2· a) = a−1· (h1· h2) · a.

又 h1· h2 ∈ H, 故 x1· x2 ∈ a−1Ha. 這證明了封閉性.

又若 x ∈ a−1· H · a, 則存在 h ∈ H 使得 x = a−1· h · a. 故

x−1 = (a−1· h · a)−1 = a−1· h−1· (a−1)−1= a−1· h−1· a.

再由 h−1∈ H 故得 x−1∈ a−1· H · a.

(20)

最後若 H 是 G 的一個 finite subgroup, 我們要證明 |H| = |a−1· H · a|. 一般 來說要證明兩個集合的元素個數是相同的, 我們只要在這兩個集合間找到一個 1-1 且 onto 的函數就可. 固定 a ∈ G, 我們考慮 f 是從 H 到 a−1· H · a 的函數, 定義 為: 對於所有 h ∈ H, f (h) = a−1· h · a. 由定義知 f (h) ∈ a−1· H · a. 我們現在檢查 f 是 1-1, 也就是若 h 6= h0 則要證明 f (h) 6= f (h0). (一般來說我們不容易直接證明 不等, 所以都會用反證法.) 如果 f (h) = f (h0), 即 a−1· h · a = a−1· h0· a, 馬上知 h = h0. 這和 h 6= h0 的假設矛盾, 故知 f (h) 6= f (h0). 最後證明 f 是 onto, 也就是 任取 a−1· H · a 中的元素 y, 我們要在 H 中找到一個 x 使得 f (x) = y. 不過由定 義, y ∈ a−1· H · a 表示存在 h ∈ H 使得 y = a−1· h · a, 故取 x = h, 則得 f (x) = y.

我們證得了 |H| = |a−1· H · a|. ¤

(21)

Chapter 2

中級 Group 的性質

這一章中我們將介紹一些更進一步的 group 的理論, 包括 Lagrange’s Theorem, Cauchy’s Theorem for abelian groups 以及三個 isomorphism theorems.

2.1. 分類

一般來說要將一個集合分類必須符合以下三個要素. 第一個就是, 自己和自己是同類 的; 另一要素是若甲和乙是同類的則乙也必須和甲是同類的; 最後一個要素是如果甲 和乙同類且乙和丙同類, 則甲必須和丙同類. 很多同學應該知道這樣的分類同類間 的關係稱之為 equivalence relation. 我們還是用數學的方法給 equivalence relation 正式的定義.

Definition 2.1.1. 若一集合 S 中我們用 a ∼ b 表示 a 和 b 是同類的, 則這樣的分 類若符合以下性質我們稱之為 equivalence relation:

(equiv1): 對所有 a ∈ S, 我們都有 a ∼ a (reflexivity).

(equiv2): 若 a ∼ b, 則 b ∼ a (symmetry).

(equiv3): 若 a ∼ b 且 b ∼ c, 則 a ∼ c (transitivity).

有些同學可能會覺得奇怪既然 (equiv2) 說: 若 a ∼ b 則 b ∼ a. 那麼再利用 (equiv3) 我們可得 a ∼ a. 為什麼還要強調 (equiv1) 呢? 主要原因是 (equiv1) 強調 是 S 中的任一元素 a 都須符合 a ∼ a. 如果我們只要求 (equiv2) 和 (equiv3), 那麼 如果 S 中有一元素 a 在 S 中找不到任何的元素 b 使得 a ∼ b, 那麼 a 就不一定滿足 a ∼ a 了. 因此會造成有的元素有可能沒有被分類到. 而符合 equivalence relation 的分類就確保每一個元素都會被分到某一類 (不過有可能某一類中只有一個元素).

到底用 equivalence relation 分類有什麼好處呢? 首先當然是如前所說由 (equiv1) 可得每一個元素都會被分到某一類. 另外由 (equiv2) 和 (equiv3) 知兩個不同類的 集合不會有交集; 這是因為如果 b 在 A 類且在 B 類中, 則在 A 類中的任一元素 a 因和 b 是同類的故 a ∼ b 而 B 類中的任一元素 c 因也和 b 同類故 b ∼ c. 故由 13

(22)

(equiv2) 和 (equiv3) 知 a ∼ c. 也就是說 A 中的所有元素和 B 中的所有元素都同 類. 這和 A 與 B 是不同類的假設相矛盾。

這樣的分類到底有什麼好處呢? 它可以幫我們計算一個有限集合的個數. 事實 上我們有以下的 Lemma.

Lemma 2.1.2. 假設 S 是一個有限集合, 且用一個 equivalence relation 將其分成 C1, . . . , Cn 等不同的類別. 若 |S| 及 |Ci| 表示這些集合的元素的個數, 則

|S| = Xn i=1

|Ci|.

Proof. 由前面說明已知利用 (equiv2) 和 (equiv3) 可得: 當 i 6= j 時, Ci∩ Cj = ∅.

也就是說這些 Ci 是兩兩不相交的. 再加上由 (equiv1) 知每個 S 中的元素都會落 在某個 Ci 中, 所以 S 的元素的個數剛好是這些 C1, . . . , Cn的元素個數之和. ¤ 這個 Lemma 2.1.2 和 group 會有什麼關係呢? 若 H 是 group G 的一個 subgroup, 我們可以利用 H 對 G 中的元素定義一種分類的方法. 當然我們希望這種分類法是 一個 equivalence relation, 因此可以用 Lemma 2.1.2 來算出 G 的個數.

怎樣利用 H 來定一個 equivalence relation 呢? 我們定 a ∼ b 如果 a−1·b ∈ H. 也 就是說如果 a−1· b ∈ H, 則我們就說 a 和 b 是同類的. 這樣的分類會符合 equivalence relation 的三要素嗎? 我們一個一個來檢查:

首先, 給訂任一 G 中的元素 a, 由於 a−1· a = e, 且 H 是 subgroup 所以 e ∈ H.

因此 a−1· a ∈ H. 也就是說 a ∼ a. 這證明了 (equiv1).

再來, 如果 a ∼ b, 也就是說 a−1· b ∈ H. 則因 H 是 subgroup, 由 a−1· b ∈ H 可得

(a−1· b)−1 = b−1· (a−1)−1 = b−1· a ∈ H.

也就是說 b ∼ a. 這證明了 (equiv2).

最後, 若 a ∼ b 且 b ∼ c, 則 a−1· b ∈ H 且 b−1· c ∈ H. 再由 subgroup 的封閉 性 (SGP1), 我們可得

(a−1· b) · (b−1· c) = a−1· c ∈ H.

換句話說 a ∼ c, 所以我們證了 (equiv3).

既然這個分類法是一個 equivalence relation. 由 Lemma 2.1.2, 如果 G 是一個 finite group, 我們只要想辦法算出這種分類法之下每一類的個數, 就可以算出 G 的 個數.

2.2. Lagrange’s Theorem

Lagrange 的定理告訴我們一個 finite group 和它的 subgroup 之間各數的關係. 我 們想利用上一節的結果來計算, 所以必須要知道若用上節提到的分類法, 那麼每一 類的元素個數有多少.

(23)

2.2. Lagrange’s Theorem 15

Lemma 2.2.1. 如果 G 是一個 group, H 是其 subgroup. 若利用 a−1· b ∈ H 則 a 和 b 同類 (a ∼ b) 的方法來將 G 分類, 則和 a 同類的元素所成的集合為

a · H = {a · h | h ∈ H}.

倘若 H 是一個 finite subgroup, 則和 a 同類的元素的個數和 H 的元素個數一 樣多.

Proof. 若 a 和 b 同類, 則表示 a ∼ b. 故 a−1· b = h 且 h ∈ H. 所以 b = a · h ∈ a · H.

反之, 若 b ∈ a · H, 則表示在 H 中可找到一元素 h 使得 b = a · h. 故 a−1· b = h ∈ H.

也就是說 a 和 b 同類.

前面提過要證明兩個集合有相同的元素個數最好的方法就是在兩集合中找到 1-1 且 onto 的函數. 因為和 a 同類的元素所成的集合是 a · H, 所以我們只要找到 一個函數從 H 送到 a · H 且證明這個函數是 1-1 且 onto 就可. 給定任一 h ∈ H, 我們可以定義 f (h) = a · h. 這樣一來 f : H → a · H 就是一個從 H 到 a · H 的函 數. 給定任一 y ∈ a · H, 由定義知必可找到一 h ∈ H 使得 y = a · h. 因此我們得 f (h) = y, 也就是說 f 是 onto. 假設 h 6= h0 是 H 中任兩個相異元素, 則 f (h) = a · h 和 f (h0) = a · h0 是 a · H 中兩相異元素. 這是因為如果 a · h = a · h0, 則兩邊同乘 a−1, 可得 h = h0 而與當初假設 h 6= h0 矛盾. 這證明了 f 是一對一的, 也因此證得

了 H 和 a · H 有相同的元素個數. ¤

現在如果 G 是一個 finite group 且 H 是其 subgroup, 其中 G 的 order 為 n, H 的 order 為 m. 如果用我們一直討論的分類方法利用 H 可將 G 分成 k 類, 由 Lemma 2.2.1 知每一類共有 m 個元素, 再由 Lemma 2.1.2 知 G 的個數 n = m · k.

所以我們證得了以下 Lagrange’s Theorem.

Theorem 2.2.2 (Lagrange). 若 G 是一個 finite group 且 H 是其 subgroup, 其中 G 的 order 為 n, H 的 order 為 m, 則 m | n.

這裡要注意的是: 一般同學們最常犯的錯是以為 Lagrange’s Theorem 的逆命題 是對的. 其實不然! 也就是說若 G 的 order 為 n, 且 m | n, 並不表示一定存在一個 G 的 subgroup H 使得 H 的 order 為 m. 另外要注意的是: Lagrange’s Theorem 只 適用於 G 是一個 finite group. 若 G 的個數是無窮大時, 我們無從得知 H 個數的 訊息. 此時 H 的 order 有可能為 ∞, 或是任何的正整數.

Lagrange’s Theorem 有許多的應用我們先介紹一個特殊的狀況的應用, 更一般 的狀況我們留到下一節討論.

Corollary 2.2.3. 若 G 是一個 finite group 且其 order 為 p, 其中 p 為一個質數.

則 G 為一個 cyclic group, 而且 G 中的任一元素除了 identity 以外皆可 generates G.

(24)

Proof. 我們複習一下: G 是一個 cyclic group 且 a generates G 表示 a 產生的 cyclic group hai 就是 G. 今若 a 不是 identity, 則 hai 的 order 必不等於 1, 因為已知 hai 中必有 e 和 a 這兩個元素. 但由 Lagrange’s Theorem (2.2.2) 知 |hai| 一定是 |G| = p 的一個因數. 但是 p 是個質數, 其因數只有 1 及 p. 故可得 |hai| = p. 既然 hai 是

G 的 subgroup 且它們的個數又相等, 故得 hai = G. ¤

2.3. 元素的 order

前面定義過一個 group 的 order 為其元素的個數. 而一個 group 中的元素 a, 其產 生的 cyclic group hai 的 order 就稱為此元素 a 的 order. 我們記為 ord(a). 若 G 為一個 group 且 a ∈ G, 由 Lagrange’s Theorem 知 ord(a) | |G|. 因此若我們知 G 中 元素的 order 或多或少就可知道 G 的 order 的一些訊息, 反之亦然.

以下的 Lemma 給我們一個明確的方法來計算一個元素的 order.

Lemma 2.3.1. 令 a 為一個 group G 中的元素, e 為 G 的 identity. 假設 n ∈ N 是 最小的正整數使得 an= e, 則 ord(a) = n.

Proof. 我們要證明當 n 是最小的正整數使得 an= e 則 hai 有 n 個元素. 事實上 我們要證明 hai = {e, a, a2, . . . , an−1}. 首先回顧 hai 中的元素都是 ak, k ∈ Z 這種 形式. 利用整數的餘數定理: 當 n > 1 時, 可以找到整數 h 和 r 使得 k = h · n + r, 其中 0 ≤ r < n. 因此

ak= ah·n+r = (an)h· ar= e · ar = ar.

換句話說我們利用 an= e 得到 hai 中的元素可表為 ar, 0 ≤ r < n 這種形式, 也就 是說 hai = {e, a, a2, . . . , an−1}. 但這並不表示 hai 有 n 個元素, 除非我們知道它 們都相異. 因此我們還得證明當 0 ≤ i < j < n 時, ai 6= aj. 別忘了我們尚未用到 n 是最小的這個性質. 如果 0 ≤ i < j < n 且 ai = aj, 則 aj−i = aj · a−i = e. 但 j − i ∈ N 且 n > j − i. 這和 n 是最小的正整數使得 an= e 矛盾. 故 aj 6= ai. 也就

是說 hai 的 order 為 n. ¤

假設 a 的 order 為 n. 由 n 是最小的正整數使得 an= e 這個性質知如果 m ∈ N 且 am = e, 則 m ≥ n. 事實上我們可得到 m 與 n 更好的關係式.

Lemma 2.3.2. 令 a 為 group G 中的一元素. 若 am = e, 則 ord(a) | m.

Proof. 假設 ord(a) = n. 利用整數的餘數定理, 存在整數 h 及 r, 其中 0 ≤ r < n 使得 m = n · h + r. 故得

am= an·h· ar= e · ar= ar.

也就是說 ar = e. 如果 r 6= 0, 則 r 是一個比 n 還小的正整數使得 ar = e. 此和 Lemma 2.3.1 相違背. 故知 r = 0; 換句話說 n 可整除 m. ¤

(25)

2.4. Normal Subgroups 和 Quotient Groups 17

當然了, 從若 am = e 則 n | m 這個性質我們可推得 n 是最小的正整數滿足 an= e. 所以整合 Lemma 2.3.1 及 Lemma 2.3.2, 當我們要說 ord(a) = n 時, 我們 只要驗證:

(1) an= e.

(2) 若 am= e 則 n | m.

下一個 Proposition 不但是一個很有用的定理, 而且其證明可以幫助我們了解前 面提到如何驗證一個元素的 order 的方法.

Proposition 2.3.3. 令 a 為 group G 中的一元素. 若 ord(a) = n, 則對於任意的 整數 i,

ord(ai) = n gcd(i, n).

Proof. 為了方便, 我們令 d = gcd(i, n). 欲證明 ord(ai) = n/d, 首先得證明 (ai)n/d = e. 事實上因為 d 是 i 的因數, i/d 是個整數. 再加上由假設 n 為 a 的 order, 故 an= e. 所以可得 (ai)n/d= (an)i/d= e.

接下來我們須證明, 若 (ai)m = e 則 (n/d) | m. 若 (ai)m = e, 即 ami = e. 故 由 Lemma 2.3.2, 我們可得 n | mi. 但因 d 是 n 和 i 的最大公因數. 我們有 n/d 和 i/d 皆為整數且互質. 故由 n | mi 可得 (n/d) | m(i/d). 再由 n/d 和 i/d 互質, 得 (n/d) | m.

¤ 讓我們回到 Lagrange’s Theorem 的應用. 若 G 是一個 finite group, 而 a ∈ G, 則 Lagrange’s Theorem (2.2.2) 告訴我們說: hai 的 order 整除 G 的 order. 也就是 說若 a 的 order 為 m, G 的 order 為 n, 則存在 r ∈ N 使得 n = m · r. 又因 a 的 order 為 m, 由 Lemma 2.3.1 知 am = e. 故 an = amr = (am)r= e. 因此我們有以 下重要的結果.

Corollary 2.3.4. 若 G 是一個 finite group, 且其 order 為 n. 令 a ∈ G 是 G 中一 元素. 則 an= e.

2.4. Normal Subgroups 和 Quotient Groups

當 H 是 G 的 subgroup 時, 前面介紹過我們可以用 a−1· b ∈ H 的方法將 G 分類.

如果我們將同類的元素收集起來看成一個元素, 那麼這個新的集合的元素就明顯比 G 少多了. 如果能在這個新集合上定義一個運算和原來 G 的運算有關, 那麼這個 小一點的集合或多或少能幫助我們了解一些有關 G 的性質. 怎樣來定這個運算呢?

給定 a ∈ G, 若 a 表示所有和 a 同類的元素所成的集合. 那麼要如何定 a · b 呢? 很 自然的我們會希望定成 a · b. 也就是說我們希望和 a 同類的元素乘以和 b 同類的 元素會和 a · b 同類. 一般來講這是不一定對的, 除非 H 有一些特性. 現在就讓我們 談談 H 要有怎樣的特性才能達到我們的希望.

(26)

首先若 a 和 a0同類, b 和 b0同類; 也就是說 a−1· a0= h1 ∈ H 且 b−1· b0 = h2∈ H.

則 a0· b0 = (a · h1) · (b · h2). 要怎樣才能保證 a · b 和 a0· b0 同類呢? 也就是說 (a · b)−1· (a0· b0) ∈ H?

事實上

(a · b)−1· (a0· b0) = (b−1· a−1) · (a · h1) · (b · h2) = (b−1· h1· b) · h2.

所以要求 a · b 和 a0· b0 同類, 也就是要求 (b−1· h1· b) · h2 ∈ H. 又因 h2 ∈ H, 這等 同於要求 b−1· h1· b ∈ H. 但是別忘了, 我們希望這是對於任意的 a ∼ a0 和 b ∼ b0 都對, 所以這裡 b 可以是 G 中任意的元素, 同樣的 h1 可以是 H 中的任意元素. 因 此我們很自然的有下列的定義:

Definition 2.4.1. 若 H 是 G 的一個 subgroup 且 H 滿足對所有的 a ∈ G 及 h ∈ H 都有 a−1· h · a ∈ H. 則稱 H 為 G 的一個 normal subgroup.

千萬要記得這裡我們要求對 G 中的所有元素都要符合這個性質. 如果將上面定 義的 a 用 a−1 替代, 則 normal 的條件會變成 (a−1)−1· h · a−1 = a · h · a−1 ∈ H. 有 的書用 a · h · a−1 ∈ H 這個定義, 其實都是一樣的. 我們以後會因問題的方便性兩 種替換選擇使用.

Remark 2.4.2. 對一個 group 我們若要提到其 normal 的性質, 則一定要確切的提 到是在哪一個 group 之下是 normal 的. 同學經常會把以下的幾種情況搞混, 我們 特別把它們列出來: 假設有三個 groups, N , H, G, 且 N ⊆ H ⊆ G.

(1) 如果已知 N 是 G 的 normal subgroup, 那麼 N 也會是 H 的 normal subgroup.

這是因為若 n ∈ N, h ∈ H, 則由於 h 也在 G 中, 所以由 N 在 G 中 normal 知 h−1· n · h ∈ N .

(2) 如果已知 N 在 H 中 normal, 那麼 N 不一定在 G 中 normal. 這是因為 G 中可能有元素不在 H 中. 所以我們不能擔保所有 g ∈ G 都會符合 g−1· n · g ∈ N . (3) 如果已知 H 在 G 中 normal, 那麼 N 不一定在 G 或 H 中 normal. 這是因 為雖然可由 n ∈ N 得到 n ∈ H. 不管如何, 利用 H 在 G 中 normal, 我們僅能得到 g−1· n · g ∈ H, 而不是在 N .

(4) 如果已知 N 在 H 中 normal 且 H 在 G 中normal, 那麼 N 還是不一定能 在 G 中 normal. 這利用和 (2), (3) 相同的解釋就可知.

有的書習慣用集合的方式來表示 normal. 也就是說 N 在 G normal 表示 ∀ a ∈ G, a−1·N ·a ⊆ N . 這和我們前面用元素來定義是一樣的. 還有的書定義 normal subgroup 是要求: ∀ a ∈ G, a−1· N · a = N . 這樣的定義看似條件比較強不過其實是一樣的.

主要的原因是既然對於所有的 a ∈ G, a−1· N · a ⊆ N . 所以在兩邊分別乘上 a 和 a−1

N = a · (a−1· N · a) · a−1⊆ a · N · a−1.

(27)

2.4. Normal Subgroups 和 Quotient Groups 19

也就是說 N = a · N · a−1, 同理得 a−1· N · a = N .

所以當你要證明一個 group N 是 G 的 normal subgroup 時, 你只要證明 a·N ·a−1 N 就好, 然而若你已知 N 在 G 中 normal 時, 那你當然可以用 a · N · a−1 = N 這 個等式了. 畢竟條件越強越好用啊!

若 N 是 G 的 normal subgroup, 則用元素的寫法我們可以寫成: 對於所有 g ∈ G, n ∈ N 都可找到 n0 ∈ N 使得 g · n = n0· g (或是找到 n00 ∈ N 使得 n · g = g · n00).

當然了若 G 是 abelian, 則當 n0 = n (或 n00= n) 時, 上面的等式都對. 也就是說:

Lemma 2.4.3. 當 G 是一個 abelian group 時, 所有的 subgroup 都是 normal subgroup.

現在回到我們考慮 normal subgroup 的真正目的. 我們想利用 G 來創造另一個 小一點的 group 來幫助我們了解 G. 給定一個 subgroup N 若我們考慮用前面的分 類方法用 N 將 G 分類然後將同類的元素所成的集合看成一個新的元素, 那麼從集合 的觀點來看這些新的元素所成的集合自然比原來 G 小. 例如前面在證明 Lagrange 定理時, 我們知道若 G 是 finite group 則可用 N 將 G 分成 |G|/|N | 類. 所以在這情 況下新的集合就只有 |G|/|N | 個元素了. 然而若 N 是 G 的 normal subgroup 時, 前面提到我們就可以給這一個新的集合一個運算. 也就是說若 a 是與 a 同類的元 素所成的集合, b 是與 b 同類的元素所成的集合, 則我們定 a · b = a · b. (再次強調 一定要是 normal subgroup 定出的運算才是 well defined. 否則和 a 同類的元素乘 以和 b 同類的元素不一定和 a · b 同類.) 我們將說明這一個運算給了這個新的集合 一個 group 的結構. 這個新的 group 我們稱之為 the quotient group of G by N (有 的書稱作 factor group), 記作: G/N .

(GP1): 若 a, b ∈ G/N , 則由於 a·b ∈ G 故 a · b ∈ G/N . 也就是說 a·b ∈ G/N . (GP2): 我們要證明 (a · b) · c = a · (b · c). 然而

(a · b) · c = a · b · c = (a · b) · c,

a · (b · c) = a · b · c = a · (b · c) 再加上 (a · b) · c = a · (b · c) 所以等式成立.

(GP3): 甚麼會是 G/N 的 identity 呢? 若 e 是 G 的 identity, 則對所有的 a ∈ G/N . 我們自然有 a · e = a · e = a. 同理 e · a = e · a = a. 所以 e 是 G/N 的 identity.

(GP4): 若 a ∈ G/N 甚麼會是 a 的 inverse 呢? 相信大家都可以猜到就是 a−1 了. 我們驗證 a · a−1 = a · a−1 = e. 同理 a−1· a = e. 所以 a−1 就是 a 的 inverse. 我們可以記作 (a)−1= a−1.

Example 2.4.4. Quotient group 的例子很多. 大家最常見的例子就是在整數用加 法所成的 group 中的 quotient group. 例如 5Z 就是 Z 的一個 normal subgroup (別 忘了 Z 是 abelian). 而 Z/5Z 就是 the quotient group of Z by 5Z. 到底 Z/5Z 是甚

(28)

麼呢? 比方說利用 5Z 來分類哪些整數和 1 同類呢? 照定義來看就是那些 n ∈ Z 使 得 1 · (n)−1∈ 5Z. 錯! 別忘了我們是看加法群你必須把上式的 · 改成 +, 而 n−1成 −n. 所以和 1 同類的就是那些整數符合 1 − n ∈ 5N. 也就是除以 5 餘 1 的整 數. 由此知 Z/5Z 可以用 {0, 1, 2, 3, 4} 來表示. 其中 0, 也就是所有 5 的倍數所成的 集合, 是其 identity. 這就是大家在基礎數論學的 congruence.

2.5. Group Homomorphisms

在數學中要描繪兩種東西間的關係最好的方法就是利用函數 function. 當然並不是 所有這兩東西間的函數都很重要. 例如我們只關心兩個 groups 間的 group 架構, 因 此我們只對某種特殊的函數有興趣. 這種函數我們稱之為 group homomorphism.

Definition 2.5.1. 當 G, G0 是 groups 而 φ : G → G0 是從 G 映射到 G0 的函數. 如 果 φ 滿足對於所有 a, b ∈ G 皆有 φ(a · b) = φ(a) · φ(b), 則稱此函數 φ 是一個 group homomorphism.

要注意的是: 因為 a, b ∈ G, 所以這裡 a·b 是在 G 中的乘法; 而 φ(a), φ(b) ∈ G0, 所 以 φ(a) · φ(b) 是在 G0中的乘法. 簡單地說: 一個從 G 到 G0 的 group homomorphism 就是一個函數它能保持 G 和 G0 元素間的運算. 以下的 Lemma 就是說明這個觀點 的一個很好的例子. 它告訴我們 group homomorphism 會把 identity 送到 identity, 把 inverse 送到 inverse.

Lemma 2.5.2. 設 G 和 G0 是 groups 且 e 和 e0 分別為其 identity. 若 φ 是一個 從 G 映到 G0 的 group homomorphism, 則:

(1) φ(e) = e0.

(2) 給定任意的 a ∈ G, φ(a−1) = φ(a)−1.

Proof. 由 Theorem 1.2.3 知: 要證明 φ(e) 是 G0 的 identity, 我們只要在 G0 中找 到一元素 b 使得 b · φ(e) = b 就可以 (再次強調我們不需證所有的 g ∈ G0 都會使得 g · φ(e) = g). 其實我們只要找 b = φ(e) ∈ G0 就好了. 這樣一來,

b · φ(e) = φ(e) · φ(e) = φ(e · e) = φ(e) = b.

所以得證 φ(e) 是 G0 的 identity.

同樣的要證明 φ(a−1) 是 φ(a) 的 inverse, 我們只要證 φ(a−1) · φ(a) = e0 就可.

然而

φ(a−1) · φ(a) = φ(a−1· a) = φ(e) = e0.

所以 φ(a−1) = φ(a)−1. ¤

一般的函數有兩個集合是很重要的: 一個是在對應域裡的值域(像); 另一個就是 定義域裡的解集合(送到 0 的元素所成的集合). 同樣的在 group homomorphism 中 這兩個集合也很重要. 一個稱為 image; 另一個稱為 kernel.

(29)

2.5. Group Homomorphisms 21

Definition 2.5.3. 若 φ : G → G0 是一個 group homomorphism, 則 im(φ) = {φ(a) ∈ G0| a ∈ G}

稱為 φ 的 image.

ker(φ) = {a ∈ G | φ(a) = e0}, 稱為 φ 的 kernel.

從定義可知 im(φ) 是 G0 的一個子集合, 而 ker(φ) 是 G 的子集合. 事實上它們 有很好的性質.

Lemma 2.5.4. 若 φ : G → G0 是一個 group homomorphism, 則 im(φ) 是 G0subgroup, 而 ker(φ) 是 G 的 normal subgroup.

Proof. 我們可以利用定義直接證 im(φ) 和 ker(φ) 分別是 G0 和 G 的 subgroup. 我 們這裡想直接利用 Lemma 1.3.4 來證.

若 φ(a), φ(b) ∈ im(φ), 其中 a, b ∈ G, 則利用 Lemma 2.5.2 我們知 φ(b)−1 = φ(b−1).

φ(a) · φ(b)−1= φ(a) · φ(b−1) = φ(a · b−1).

又因 a · b−1∈ G, 故 φ(a) · φ(b)−1 ∈ im(φ). 另外若 a, b ∈ ker(φ), 即 φ(a) = φ(b) = e0, 則

φ(a · b−1) = φ(a) · φ(b)−1= e0· e0= e0.

也就是說 a · b−1 ∈ ker(φ). 由以上二式知 im(φ) 和 ker(φ) 分別是 G0 和 G 的 subgroup.

最後我們證 ker(φ) 事實上是 G 的 normal subgroup. 也就是要證明: 對於所有 的 g ∈ G, 我們都有 g · ker(φ) · g−1⊆ ker(φ). 換句話說: 若 a ∈ ker(φ), 則我們要證 g · a · g−1 ∈ ker(φ). 然而

φ(g · a · g−1) = φ(g) · φ(a) · φ(g−1).

再利用 φ(a) = e0 及 φ(g−1) = φ(g)−1, 我們可得

φ(g · a · g−1) = φ(g) · e0· φ(g)−1 = e0.

故 g · a · g−1∈ ker(φ). ¤

Definition 2.5.5. 令 φ : G → G0 是一個 group homomorphism:

(1) 若 φ 是 onto, 則稱之為 epimorphism.

(2) 若 φ 1-1, 則稱之為 monomorphism.

(3) 若 φ 是 1-1 且 onto, 則稱之為 isomorphism.

當然了我們可以用 im(φ) 來判定 φ 是否為 epimorphism. 事實上若 im(φ) = G0, 則 φ 為 onto, 故為 epimorphism. 我們也可以用 ker(φ) 來判定 φ 是否為 monomorphism.

(30)

Lemma 2.5.6. 已知 φ : G → G0 是一個 group homomorphism, 則 φ 是一個 monomorphism 若且為若 ker(φ) = {e}.

Proof. 假設 φ 是 monomorphism (即 1-1). 若 g ∈ ker(φ), 則由 Lemma 2.5.2 知 φ(g) = φ(e) = e0. 但若 g 6= e, 則由 φ 是 1-1 知 φ(g) 6= φ(e). 故得 g = e, 也就是說 ker(φ) = {e}.

反之, 假設 ker(φ) = {e}. 若存在 g1 6= g2 使得 φ(g1) = φ(g2), 則 φ(g1· g−12 ) = φ(g1) · φ(g2)−1 = e0.

也就是說 g1· g−12 ∈ ker(φ). 但這代表 g1· g2−1= e, 即 g1= g2, 和當初假設 g1 6= g2 矛盾. 換句話說若 g1 6= g2 則 φ(g1) 6= φ(g2). 這告訴我們 φ 是 1-1 的. ¤ 這個定理告訴我們: 要檢查一個 group homomorphism 是否為 1-1, 只要檢查 其 kernel 是否為 identity 即可. 不過千萬要切記, 我們是在假設 φ 是一個 group homomorphism 的前題之下才有這個結果. 你不可以拿到一個函數馬上就檢查其 kernel 為 identity 然後就下斷語說它是 1-1. 除非你已先知其為一個 group homomorphism.

最簡單的反例就是若 f : R → R 是一個實數到實數的函數, 你不能因為 x = 0 是 f (x) = 0 的唯一解就說 f (x) 是 1-1.

有時候兩個 groups 的元素看起來是不一樣的不過它們在結構上是相同的. 在 代數的眼光中不應該把它們看成是不同的 groups. 不過怎樣來判定兩個 groups 結 構相同呢? 如果兩個 groups G 和 G0 間你可以找到一個 group homomorphism 是 isomorphism (即 1-1 且 onto), 則我們稱 G 和 G0 這兩個 group 是 isomorphic, 記 為: G ' G0. 意思是我們把它們看作是同樣的 group. 這樣的看法是合理的: 因為 1-1 和 onto 表示 G 和 G0 看成集合是一樣的, 在加上 group homomorphism 保持它 們 group 的結構, 所以我們把它們看作是一樣的 group.

這樣的看法在 finite group 之下大致上同學們就知道兩個 groups 若是 isomorphic 則它們的 order (元素個數) 要一樣. 不過要注意的是若兩個 groups 其 order 相 同不見得它們就 isomorphic. 不管如何若兩個 groups 其 order 不同則它們一定不 isomorphic.

當考慮 infinite group 情況複雜多了; 主要是此時我們無法算個數. 這時有很多 特殊現象發生, 例如一個 group 的 subgroup 可以和它 isomorphic. 我們有以下的 簡單例子:

Example 2.5.7. 考慮 Z 是一個加法之下的 group, 則所有偶數所成的集合 2Z 是 其 subgroup. 考慮 φ : Z → 2Z 是一個 group homomorphism 定義成: φ(n) = 2n.

很容易看出來 φ 是一個 isomorphism. 所以 Z 和 2Z 是 isomorphic.

其實我們可以證得 Z 中所有的 nontrivial subgroup 都和 Z isomorphic. 不過 我們別擔心太多 infinite group 因為前面已提過了, 在大學代數課中我們只要關心 finite group 就好了.

(31)

2.6. 三個 Isomorphism 定理 23

最後要強調的是: G 和 G0 是 isomorphic 表示在 G 和 G0 之間可以找到一個 isomorphism. 這並不表示 G 和 G0 間所有的 homomorphism 都是 isomorphism. 同 學們常常誤解這一點以致於當碰到要你證明 G 和 G0 不是 isomorphic 時, 有的同 學會在 G 和 G0 中找到一個 homomorphism 不是 1-1 及 onto 就斷言 G 和 G0 不是 isomorphism. 這是大錯特錯的!

2.6. 三個 Isomorphism 定理

給定 G 和 G0 要說明它們是 isomorphic 時, 若想真正找到它們之間一個具體的 isomorphism 一般來說並不容易. 在這一節中我們將介紹三個定理來幫助我們確認 G ' G0 而不必真正找到一個 isomorphism. 別害怕! 雖然是三個定理, 不過後兩個 定理可以利用第一個定理輕鬆推得. 所以大家務必要學好第一個 isomorphism 定理.

Theorem 2.6.1 (First Isomorphism Theorem). 若 φ : G → G0 是一個 group homomorphism, 則

G/ ker(φ) ' im(φ).

Proof. 首先我們回顧一下: 因 φ : G → G0 是一個 group homomorphism, 由 Lemma 2.5.4 知 im(φ) 是 G0 的 subgroup, 而 ker(φ) 是 G 的 normal subgroup. 所以要證得 這一個定理, 我們必須先在 G/ ker(φ) 這一個 quotient group 和 im(φ) 這個 group 之間找到一個函數. 再說明這個函數是 group homomorphism, 最後再驗證它是 1-1 且 onto.

G/ ker(φ) 和 im(φ) 長甚麼樣子我們都不知道, 如何能無中生有創造出一個函數 呢? 當然不可能無中生有! 我們可以用已經有的函數來創造它. 別忘了在假設中有 一個 φ, 我們可以利用 φ 製造以下的函數:

ψ : G/ ker(φ) → im(φ); a 7→ φ(a), ∀ a ∈ G/ ker(φ).

具體來說 ψ 是把和 a 同類的元素送到 φ(a) 這個值. 先別急著驗證 ψ 是一個 group homomorphism. 你確定 ψ 是一個‘好函數’ (well defined function) 嗎? 別忘了要成 為一個好函數必須有以下兩個要素:(1) 每一個定義域裡的元素都必須送到對應域裡;

(2) 不可以“一對多”: 也就是同一個元素不可以有兩種送法. 關於 (1) 我們的函數 ψ 是 O.K. 的. 因為每個定義域 (即 G/ ker(φ)) 裡的元素都是長 a 這個樣子, 其中 a ∈ G. 所以 ψ 把 a 送到 φ(a). 依定義 φ(a) 當然在對應域 im(φ) 內. 至於 (2) 就 需要驗證了. 這是因為 G/ ker(φ) 內的元素並沒有唯一的方法用 G 中的元素表示出 來. 也就是說在 G 中可以找到兩個不同的元素 a, b 使得 a 和 b 在 G/ ker(φ) 中是 相同的. 所以要說明 ψ 不是一對多, 我們必須說明 φ(a) = φ(b). 雖然 a 6= b, 不過由 a = b 知 a 和 b 在以 ker(φ) 這個 subgroup 的分類下是同類的. 別忘了 a 和 b 同類 表示 a−1· b ∈ ker(φ). 也就是說 φ(a−1· b) = e0. 再利用 φ 是 group homomorphism 的假設, 我們得

φ(a)−1· φ(b) = φ(a−1· b) = e0.

(32)

等式兩邊乘上 φ(a), 可得 φ(a) = φ(b). 所以我們製造的 ψ 是一個 well defined function.

接下來證 ψ 是一個 group homomorphism: 這不難, 只要記住 G/ ker(φ) 中的乘 法是定義成: a · b = a · b. 因此對任意的 a, b ∈ G/ ker(φ), 我們有

ψ(a · b) = ψ(a · b) = φ(a · b).

另一方面因為 φ 是 group homomorphism, 所以

φ(a · b) = φ(a) · φ(b) = ψ(a) · ψ(b).

結合以上二式, 我們可得 ψ(a · b) = ψ(a) · ψ(b).

證明 ψ 是 onto 純粹是定義: 給定任意元素 y ∈ im(φ), 依定義知存在 x ∈ G 使 得 y = φ(x). 因此我們可找 x ∈ G/ ker(φ) 代入 ψ 得 ψ(x) = φ(x) = y. 因此 ψ 是 onto.

既然 ψ 是 group homomorphism, 我們可以利用 Lemma 2.5.6: 也就是證明 ker(ψ) 是 G/ ker(φ) 的 identity. 別忘了 G/ ker(φ) 的 identity 是 e. 假設 x ∈ ker(ψ), 即 ψ(x) = e0, 其中 e0 是 G0的 identity. 但是由 ψ 的定義: ψ(x) = φ(x), 故知 x ∈ ker(φ).

然而 G 中元素用 ker(φ) 來分類的話 x 和 e 是同類的 (因 e−1· x = x ∈ ker(φ)). 故 在 G/ ker(φ) 中 x = e.

總結: 我們證得了 ψ 是一個從 G/ ker(φ) 到 im(φ) 的 isomorphism. 所以

G/ ker(φ) ' im(φ). ¤

當然了如果定理中的 φ 是 onto. 那麼我們知 im(φ) = G0. 因此我們有以下的引 理:

Corollary 2.6.2. 若 φ : G → G0 是一個 group epimorphism, 則 G/ ker(φ) ' G0.

First Isomorphism Theorem 告訴我們甚麼呢? 如果有一個 group G, 而 N 是其 normal subgroup. 則當我們要證明另一個 group G0 和 G/N 是 isomorphic 時. 我 們不必辛苦的去找 G/N 和 G0 間的 isomorphism. 我們只要去找到一個 G 到 G0 的 epimorphism, φ, 如果又剛好 ker(φ) = N . 那麼由 First Isomorphism Theorem 我們就可知 G/N ' G0 了.

讓我們就利用證明第二個 isomorphism 定理來說明 First Isomorphism Theorem 的妙用吧! 給定一 group G, 若 H, N 是 G 的 subgroups, 考慮以下之集合:

H · N = {h · n | h ∈ H, n ∈ N }.

因為 H 和 N 都在 G 中所以 H · N 當然是 G 的一個子集合. 不過它不一定是 G 的 subgroup 喔! 主要的問題出在封閉性. 在 H · N 中任取兩元素, h · n 和 h0· n0, 其中 h, h0 ∈ H, n, n0 ∈ N . 則 (h · n) · (h0· n0) 不一定可以寫成一個 H 中的元素乘上一個

參考文獻

相關文件

A finite group is nilpotent if and only if it’s a direct product of Sylow

既然每一個 finite abelian group 都可 寫成一些 abelian p-groups 的 direct product, 而每一個 abelian p-group 也都可寫 成一些 cyclic groups 的 direct

既然一個 finite normal extension 是一個 polynomial 的 splitting field, 我們可以利用 The Fundamental Theorem for Splitting Field (Theorem 3.1.6) 得到以下有關

另外因為 Gal(L/F ) 是 Gal(L/K) 的 normal subgroup, 所以由 Second Fundamental Theorem 4.1.8 知 F/K 也是 Galois extension, 而且 Gal(F/K) isomorphic to Gal(L/K)/Gal(L/F )

同樣的, 將 Theorem 2.6.5 中的 group 換成 ring 及 normal subgroup 換成 ideal, 我們有以下之第三 isomorphism 定理:.. Theorem 6.4.5 (Third

回顧一下 finite abelian group 的 fundamental theorem (Theorem 3.3.11) 是說任意的 finite abelian group 都可寫 成一些 cyclic groups 的 direct product.. 由於

在 abelian group 最好用的性質就是其每個 subgroup 都 是 normal subgroup, 所以每次碰到有關 abelian group 的性質時, 我們都可先找一個 nontrivial subgroup 再利用其為

由於 A 為方陣, 其 row 的個數和 column 的個數皆為 n, 此時很自然地可以將 Theorem 3.4.2 和 Theorem 3.4.6 相連結得到 invertible