初中數學課題的學與教

1

「小學與中學數學科

學與教的銜接」研討會

經驗分享（二） ：

初中數學課題的學與教

數學教育組

2010 年 6 月

學與教的銜接



學校行政上的配合



教學內容上的銜接



教學手法上的配合

學校行政

3

一、學校行政上的配合

整體的規畫



針對性（哪些學生？哪些課題？）



人手（負責及分工）

 科任教師？另一專責人士？



時間及時段

 暑期？開學初期？每一課題的開始 ？平時放學？星期六？

 一次過？持續性？



抽離式？按能力分班？不按能力分班但在班內分組？



資源的存檔：評估、工作紙

各有好處！

校本！

目標為本課程 數學科學習綱要 1995 數學課程指引 小一至小六 2000

二、教學內容上的銜接



課程內容 + 學生表現  教學內容



背景：香港數學課程的發展

過

渡

到

5

二、教學內容上的銜接



了解中學課程的起步點和小學課程內容的 深度及廣度，可以幫助學生順利過渡。



小學學習過程 ELPS：具體  抽象



因應學生的能力及智力發展，編排合適的教學次序。



（初中教科書中的教學編排：1999 課程 vs. 1985 課程）

經驗 （E） 語言 （L） 圖像 （P） 符號 （S）

Liebeck (1984)

初中教科書中的教學編排



1999 課程 vs. 1985 課程



一般的舊中一教科書（85 課程）

 Ch 1 (N) Fundamental Arithmetic

 Ch 2 (A) Numbers and Counting

 Ch 3 (A) Introduction to Algebra

 Ch 4 (G) Fundamental Geometry

 Ch 5 (N) Percentages

 Ch 6 (N+G) Simple Areas and Volumes

 Ch 7 (G) Congruence and Similarity

 Ch 8 (G) More About Geometrical Constructions

 Ch 9 (A) Directed Numbers

 Ch10 (G) Introduction to Coordinates

 Ch11 (A) Algebraic Expressions

課題內容 分佈平均，

學生可以 有較多時 間理解較 深的課題

7

二、教學內容上的銜接



了解小學課程的內容及深度



沒有學的課題（單利息、移項）

二、教學內容上的銜接



了解小學課程的內容及深度



沒有學的課題



有學的課題但學生未掌握（分數的運算、拆括號）

9

二、教學內容上的銜接



了解小學課程的內容及深度



沒有學的課題



有學的課題但學生未掌握



增潤課題（量角器的運用、角度、旋轉對稱）

二、教學內容上的銜接



了解中學課程的起步點和小學課程內容的深度 及廣度，可以幫助學生順利過渡。



了解小學課程的內容及深度。



分辨「沒有學的課題」 、「有學的課題但學生未掌 握」及「增潤課題」



按不同情況而調配教學時間，如有學但學生未 掌握的課題，就須進行補底工作。



如善用基本能力學生評估網上題目庫

11

學生評估部分



www.hkbca.edu.hk

學生評估部分

13

學生評估部分

學生評估部分



網上學與教支援 Web-based L&T Support (WLTS)



cd1.edb.hkedcity.net/cd/eap_web/bcalt/tr

捷徑 / 快速：

www.edb.gov.hk/cd 按入 Assessment

選取相關的網址

15

全港小六學生的表現



www.systemassessment.edu.hk

各範疇的總體表現

17

二、教學內容上的銜接



分數運算與中學數學學習的關係

1 ? 1  

y x

ii) 分式運算

3 2 2

1

a

a 

2 21 

= a

iii) 指數運算

3 ? 1 2

1  

計算

 

3

4 3

5 26 1

a a

a

a a a













 

^log

^{1 2 log}

^log

^log

log x  x   x  x  x

解 i) 解方程

3 1 2 2

4 5

3 x   x  

解

二、教學內容上的銜接



代數符號與數字符號的運用



ab = a × b 但 23 = 2 × 10 + 3



x 由一未知數變得更廣的意義

) 3 2

( ) 2 (

0 )

3 2

( ) 2 (

x x

x x















未知數

變數

19

代數思考方法

3 Habits of thinking critical to the developing power in algebraic thinking

1. Doing-undoing (the capacity not only able to use a process to get to a goal, but also to understand the process well enough to work backward from the answer to the starting point)

2. Building rules to represent functions (the capacity to

recognize patterns and organize data to represent situations in which input is related to output by well-defined functional

rules)

3. Abstracting from computations (the capacity to think about computations independently of particular numbers that are used)

Mark Driscoll (1999) Fostering Algebraic Thinking

學生在小學已學習的數學知識



增潤項目 – 數型

數一數下面正方形數的圓形數目，及寫出第5個正方形圓形的數目

第一個 第二個 第三個 第四個

正方形數

21

數型

數型

學生答案：

學生答案：

(2n)+6

(2+n)3–n

(n+2)2+2

23

二、教學內容上的銜接

 代數符號與數字符號的運用

 ab = a × b 但 23 = 2 × 10 + 3

 括號的運用

 運算的次序：大、中及小括號

 分配性質：小學生對 乘法分配律 的概念很陌生，而且

2 (3+4)=2 3+2 4 而且 a (b + c) = ab + ac 但是 f (a + b)  f (a) + f (b) a (b+c) = ab + ac 但是 (b+c)^a  b^a + c^a

 x 由一未知數變得更廣的意義

 等號的多重意義

2 2

2

2

) (

1 3

) 3 2

( ) 2 (

0 )

3 2

( ) 2 (

b ab

a b

a x

x x

x x



























未知數

變數 會否太深？

三、教學手法上的配合



學生在小學智性發展未成熟



如何發展初中學生的抽象思維？

（如何由具體過渡到抽象？）



由實物到？



由學生的生活經驗出發到？



由多動手到？

25

先觀察



sin

60 +cos

60 =1



sin

45 +cos

45 =1



sin

30 +cos

30 =1



再歸納 sin

 +cos

=1



再考查



sin

15 + cos

15 = ?

• sin  = b/c

• cos  =a/c

• tan  = b/a

• tan  = sin  /cos 

• sin

 +cos

 =1

•

(a+b)

=a

+2ab+b

•

(a  b)

=a

 2ab+b

•

a

 b

=(a  b)(a+b)

•

a

a

= a

•

(a

)

= a

探究和推測不同情況對數據的集中趨勢所產生的影響，例如：

‧剔除數據中的某個項目；

‧在整組數據每項中加入一個共同常數；

‧把整組數據每一項乘以一個共同常數；

‧在該組數據中加入「零」項

給予實際數字 /數據，由此作出歸納

27

因式分解 x

+5x + 6

‧實物操作

=

(x+2 ) (x+3)

x x

x 1

1 1

= (x+3) (x+2)

幾何簡介

- ^{製作立體模型及}

探究他們的性質 - 繪畫簡單立體的 平面圖像

- 繪畫立體圖形的 橫切面

立 體 平 面 圖 像 摺 紙 圖 樣

四 面 體

立 方 體

三 邊 菱 柱

29

續立體圖形

• 探討及判斷一立體的 摺紙圖樣

• 從平面圖形想像對應

的立體圖形

三、教學手法上的配合



由具體到抽象

 由實物到實際數字、個案、實物、圖像（不同形式的數學語言）互 相穿梭

 由學生的生活經驗出發到現實生活

 由多動手到手與腦互相穿梭



如何銜接

 在課堂中安排多些不同類型的活動，避免長時間由老師單向講授

 分組活動時，分配每個組員的角色

 詳細給予家課時的指引（如做家課的要求、交家課的日期等）

 學期初時可以多做一些只須填寫答案的題目，然後逐步增加需要列 式計算的題目的份量，讓學生慢慢適應

31

參考資料：



課程文件、課程的比對及教學資源



www.edb.gov.hk/cd/maths



基本能力（學生評估）及有關學與教資料



www.hkbca.edu.hk



cd1.edb.hkedcity.net/cd/eap_web/bcalt/tr



cd1.edb.hkedcity.net/cd/eap_web/bca/chi/BCA_c3.htm



全港性系統評估



www.systemassessment.edu.hk



M. Driscoll (1999). Fostering Algebraic Thinking- A

Guide for Teachers Grades 6-10. Heinemann: USA.

謝謝！



不要忘記

我們與那些符號是老朋友 但

我們的學生只是第一次接觸它們，

對他們而言，數學符號彷彿是外星 語言、怪物……

正如

我們第一次學法文、日文……等

一樣困難