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# 國立中山大學教育研究所 碩士論文

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### Abstract

The aim of this study is to develop and investigate the integration of the dynamic geometry software GeoGebra (GGB) into eleventh grade students’

learning of geometric concepts in high school. The researcher designed a set of mathematics activities using references from research based materials and suggestions from several high school mathematics teachers.

The curriculum includes four units: basic geometric and spatial concepts, theorem of three perpendicular lines and dihedral angle, understanding of polyhedron, and coordinate system in three dimensions. Research data including homework, learning feedback, questionnaire/ interviews and teaching log. After teaching the course, the researcher assessed and revised the course content using results from students’ acceptance levels and learning outcomes.

Data analyses on the try-out of four units yielded results as follows: In unit I, students' concept on space or surface structure were assisted by instruction using GGB software. In unit II, the provision of GGB activities increased students' imagination of graphic on space and the inference corners in relation graph (Pythagorean Theorem). In unit III, students showed understanding of spatial graphics and problem solving strategies for various kinds of questions. In unit IV, GGB instruction can help students to convert abstract thinking into concrete image thinking on space. Incidentally, GGB software also clarify prior learning error myth of students.

In all, teacher and students participating in this study gave a positive attitude to the integration of GGB into geometric learning. With the inclusion of GGB, students can translates abstract mathematical word problems into concrete images, and find appropriate solution.

Keywords: 11th grade Geometry Instructional Design, Dynamic Geometry, GeoGebra, Geometric investigation, Spatial concepts

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## 第一章 緒論

### 第一節 研究動機

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（2002）在研究中更進一步發現，學生在空間上有學習上的困難，並 不是學生自己的推想能力或是思考判斷力不足，而是因為對某些空間 概念與某些空間向量的知識背景了解不夠而導致；教師若仍用傳統的 教學法，那麼學生原有的想法不易被改變，常會有先入為主的觀點。

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### 貳、數學幾何概念

「空間幾何概念」所包含的課程內容有：空間中的基本幾何概念、三 垂線定理與二面角、空間中的多面體以及空間中的坐標表示，共有四 個課程。

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## 第二章 文獻探討

### 壹、電腦輔助教學的意義與其優勢

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 無（等級 0）：教學過程中沒有使用任何的資訊科技。

 分離（等級 1）：資訊科技被用來教學生如何使用資訊科技，與其 他課程沒有連結或連結很低。

 補充（等級 2）：師生偶爾使用資訊科技來教與學，被視為補充的 角色。

 支援（等級 3）：在大部分的學習活動中需要用到資訊科技，在教 學中視扮演支援的角色。

 整合（等級 4）：在日常的教學活動中，師生很自然地使用資訊科 技來教與學。資訊科技被視為是一項工具、一個方法或一種程序，

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2- 1 資訊科技融入教學與電腦輔助教學比較

2、培養運用科技與資訊的能力。

3、提昇教學品質。

1、輔助教師教學。

2、提昇教學品質。

1998）。邱貴發（1996）則認為電腦輔助學習的核心概念是指在某個 文化社會環境中，以領域知識為主幹，運用合適的學習理論及電腦科 技輔助該領域知識的學習。根據這些概念，學習理論和電腦科技都是 依據領域知識而選用的，使用電腦輔助學習的研究者應在充分了解文 化社會環境的前提下，把電腦科技和學習理念整合到領域知識的學習 過程中。

1960 年代後期，心理學家發現學習者的內在認知結構與建構知 識的過程才是學習成功的關鍵（余酈惠，2002），以下便從認知理論 談起。

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Mayer, 2008)，分別為選擇、組織與整合。

（2008）以教學教具觀點提出電腦輔助教學應有的特質：(1)能針對 數學課程中的各個主題能做適度的橫向連結、(2)具一般性、(3)具多 重表徵的呈現、(4)動態可操作、(5)具自動化功能、(6)使用的彈性、

(7)不排他。此外，根據 Burns & Bozeman (1981)，以後設分析方法 進行電腦輔助學習的調查研究顯示，電腦輔助教學比傳統教學優越，

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2001）。

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### 壹、動態幾何軟體簡介

 概念性的工具：作圖工具符合歐氏幾何作圖概念，在操作時受數 學思維所規範，因此也比較容易激發使用者的數學想法。

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 人機互動關係：透過動態幾何軟體內部自主性的計算所呈現的物 件軌跡，將會激發學習者自發性的思考其呈現原因。

 動態表徵：在動態的操作過程中，可將情境式的問題賦予其數學 意義。

### 貳、動態幾何軟體 GeoGebra 的介紹與優勢

GeoGebra 軟體是由任教於 Florida Atlantic University 的 Markus Hohenwarter 為數學教育所研發的數學軟體。其開發精神為 Markus 主張的KISS 原則( Keep it Simple and Short) ，目標在於整合代數與 幾何兩大系統（黃楷智，2011）。GeoGebra 名稱來自於 Geometry + Algebra，意即結合幾何( Geometry)與代數( Algebra) （林宜臻，2013）。

2-1 空間中平面上之垂線圖形展示

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2013）。此外，GeoGebra 的版面、操作工具也較 GSP 豐富，對於初 學者來說，也是相對好操作的。

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GeoGebra 是一套動態幾何系統，可用點、向量、線段、直線或 圓錐曲線等工具來繪圖，當數值改變時，相對應的函數或方程式圖形 也隨之改變；另一方面來看，可直接輸入方程式和坐標，由軟體進行 數字、向量、點坐標的運算，並可求出函數的微分與積分，還可用來 算方程式的根或函數的極值。這種可直接做代數運算的功能，讓 GeoGebra 成為可處理幾何圖形的電腦代數系統（黃楷智，2011）。

y 座標平面）之外，

y 軸

### 、

z 軸與原點），操作工 具列也因而增加許多功能，例如已知空間中三點畫出一平面、點對稱、

2- 2 GeoGebra 4.9 操作介面

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2-3 正立方體圖形展示

(1)它是一個免費的開放性軟體；(2)它是一個可互動的雙向軟體；(3) 它有一個 Wiki 論壇供大家開放討論；(4)它可以直接做代數運算的功 能，並且操作方便；(5)它可以做動態軌跡觀察（2D、3D 繪圖區）。

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### 壹、 GeoGebra 融入數學教學相關研究之分析

「傳統講述教學」對高中學生學習三角函數圖形單元之成效，並探討 學生經由 GeoGebra 輔助教學後的態度調查。研究方法為準實驗研究 法，採不等組前後測設計。經實驗教學與資料統計處理分析之後，結 果發現實驗組在數學學習成就與數學學習態度兩方面的表現皆優於 控制組。此外，實驗組學生對於採用電腦輔助教學持正向的態度，尤 其是高分群的學生明顯給予較多的肯定。

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（2009）認為，任何一種套裝軟體都可以彌補用傳統方式上課（黑板）

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2- 2 國內動態幾何軟體 GeoGebra 融入數學教學相關研究成果 動態幾何軟體GeoGebra 融入數學教學對學生學習過程的影響

（2008） 優於控制組 優於控制組 實驗組傾向 正向支持 姚念廷

（2009） 提昇 提昇

（2010） 提昇 提昇

（2011） 提昇 提昇

（2011） 提昇 提昇

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### 壹、高中二年級數學教材地位分析

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2-3 普通高級中學必修科目「數學」課程綱要─數學 III

1.直角三角形的 邊角關係

1.1 直角三角形的邊角關係（正 弦、餘弦）、平方關係、餘角 關係

2.廣義角與 極坐標

2.1 廣義角的正弦、餘弦、

2.3 直角坐標與極坐標的變換

2.1 cot, sec, csc 置於數學甲 I、

2.2 將弧度量融入廣義角的教 學，強化度與弧度的轉換練 習。由引進弧度所延伸出的 問題僅限於度度量與弧度 轉換練習，不要延伸到弧長 與扇形面積。

3.正弦定理、

3.1 正弦定理、餘弦定理

4.差角公式 4.1 差角、和角、倍角、半角公式4.1 不含和差化積、積化和差公

5.三角測量 5.1 三角函數值表 5.2 平面與立體測量

5.1 可使用計算器求出三角函 數值

1.直線方程式及 其圖形

1.1 點斜式

1.2 兩線關係（垂直、平行、相 交）、聯立方程式

2.線性規劃 2.1 二元一次不等式

2.2 線性規劃（目標函數為一次 式）

3.圓與直線的關

3.1 圓的方程式

3.2 圓與直線的相切、相割、不相 交的關係及其代數判定

3.2 不含兩圓的關係

1.平面向量的表 示法

1.1 幾何表示、坐標表示，加減 法、係數乘法

1.2 線性組合、平面上的直線參數

2.平面向量的內

2.1 內積與餘弦的關聯、正射影與 高、柯西不等式

2.2 直線的法向量、點到直線的距 離、兩向量垂直的判定 3.面積與二階行

列式

3.1 面積公式與二階行列式的定 義與性質、兩向量平行的判定 3.2 兩直線幾何關係的代數判定、

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2- 4 普通高級中學必修科目「數學」課程綱要─數學 IV

1.空間概念 1.1 空間中兩直線、兩平面、及直 線與平面的位置關係

1.1 僅作簡單的概念 性介紹

2.空間向量的坐標 表示法

2.1 空間坐標系：點坐標、距離公

2.2 空間向量的加減法、係數乘 法，線性組合

3.空間向量的內積 3.1 內積與餘弦的關聯、正射影與 高、柯西不等式、兩向量垂直 的判定

4.外積、體積與行 列式

4.1 外積與正弦的關聯、兩向量所 張出的平行四邊形面積 4.2 三向量所張出的平行六面體體

◎4.3 三階行列式的定義與性質 4.3 不含特殊技巧行列 二、間中的平面與直線 式題型

1.平面方程式 1.1 平面的法向量、兩平面的夾 角、點到平面的距離

2.空間直線方程式 2.1 直線的參數式、直線與平面的 關係

◎2.2 點到直線的距離、兩平行線 的距離、兩歪斜線的距離 3.三元一次聯立方

3.1 消去法

◎3.2 三平面幾何關係的代數判定

1.線性方程組與矩

1.1 高斯消去法（含矩陣的列運算） 1.1 重點在於矩陣三 角化的演算法 2.矩陣的運算 2.1 矩陣的加法、純量乘法、乘法

3.矩陣的應用 3.1 轉移矩陣、二階反方陣

◎4.平面上的線性 變 換 與 二 階 方陣

4.1 伸縮、旋轉、鏡射、推移

4.2 線性變換的面積比 4.2 此處面積指兩向量 所 張 出 的 平 行 四 邊形面積

2.橢圓 2.1 橢圓標準式（含平移與伸縮）

3.雙曲線 3.1 雙曲線標準式（含平移與伸縮）

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2-4 本研究之課程分析地位

### 貳、課程目標

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2- 5 本研究選擇單元之課程目標

(1)能了解直線與直線的關係，包含兩歪斜線。

(2)能了解直線與平面的關係，包含直線與平面垂直。

(1)能了解平面與平面的關係，包含兩平面夾角。

(2)能了解三垂線定理及其基本應用。

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## 第三章 研究方法

3-1 研究架構圖

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### 壹、課程內容規劃與設計

3- 1 四個幾何課程內容及目標

（預計教學時間：75分鐘）

（預計教學時間：75分鐘）

（預計教學時間：50分鐘）

（預計教學時間：50分鐘）

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（2012）在文獻中提過，動態幾何軟體所具備的三個基本功能：概念 性的工具、人機互動關係與動態表徵。在過程中，研究者也事先依據 文獻及相關參考資料先自行設計課程，自行模擬試做過一次之後，再 與3 位教師一起從中找出研究者設計時可能遇到的困難與缺失。經過 共同討論後提出修正建議，最後研究者就教師們所提供的建議再加以 修改，使課程的難易度、功能性更符合學生使用。

（一）林老師

（二）許老師

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（三 屬於 輔助 程內 留時 內容 度較 三

，讓學生可

，如此，學

、課程說明

，建議一 全部都是應

3-

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oGebra 準 以讓學生更

- 2 教學流

，再實施課 否則對於

、課程實施 理如圖3-

，許 概念」

2。

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（一）課前準備

1、確認每位學生都有電腦與相關設備可以使用。

2、規劃課程講義與課後練習作業。

3、製作搭配課程講義中隨堂例題的 GGB 操作檔案。

4、設計學習回饋單。

（二）課程實施

1、每人分配一台電腦，4 人分為一組，採隨機分組。（視教室情況而定）

2、教學者講解課程與數學概念知識，並且隨機抽組別提問討論內容。

3、學生自行上機操作並且討論隨堂例題，於討論結束後各組輪流做 分享。

4、例題講解完畢之後，教學者做總討論，並且發放作業，於下堂課 檢討。

（三）學生課後練習與學習回饋

1、課後練習：每堂課的課後練習約有 3～5 題不等，內容與該課堂的 學習概念相關，目的在於檢視學生對於新知的吸收程度。

2、學習回饋：主要是想透過學生的觀點來瞭解課程是否有需要改進 之處。

（四）課後練習檢討

1、教學者於每堂課開始前，與學生一起討論前一堂課的作業與難題。

2、透過師生互動，讓學生的學習更為精進。

（五）課堂分享

1、教學者於四堂教學活動結束之後，請學生彼此分享與討論上課的 想法與建議，將結果記錄下來以作為課程改進的參考依據。

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1、部分學生可能會對於上機不熟悉，因此教學者於第一堂課時須特 別留意大家操作電腦軟體的情形，必要時適時予以幫助。

2、少數學生數學程度較佳，相對於其他學生而言會有比較多的空白 時間，因此教學者須事先準備進階題，讓程度較佳的學生有多一 點的挑戰性。

3、多鼓勵學生討論與思考，並且將想法寫在學習單上與教學者分享。

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### 參、資料編碼

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