國立中山大學教育研究所 碩士論文
Institute of Education
National Sun Yat-sen University Master Thesis
動態幾何軟體 GeoGebra 融入 高二數學幾何教學設計與反思
The Design and Reflections on Activities Developed for the Integration of GeoGebra into 11th Grade Geometry Instruction
研究生：陳采姿
Tsai-Tz Chen 指導教授：梁淑坤 博士
Dr. Shuk-Kwan Leung
中華民國 104 年 6 月
June 2015
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謝誌
會想進教育所念書，其實是因為當時實習的時候，一度找不到對教書的 熱忱，一直想知道教育的本質究竟是什麼？猶豫許久之後，決定透過繼續進 修，希望能夠從中找到答案。
會選擇中山大學作為進修的學校是因為一來我可以回高雄陪陪我的家 人，其次是因為當初在選擇研究所時，意外地發現了梁淑坤教授的個人網站，
內容有許多豐富的數學教學題材與經驗分享，有趣的是我在教學團隊的名單 中發現了我一直很敬佩的小學老師，這讓我更是下定決心一定要考上中山教 研所並且向梁老師拜師學習。
在論文撰寫的過程中遇到了許多挫折，我知道這是每位研究生的必經之 路，但可能因為我個性的關性，常常愛鑽牛角尖，所以其實回想起來真的很 感謝梁老師一路以來的指導與包容，梁老師就像是媽媽一樣地照顧著我們，
畢業之後最不能忘記的就是那滷蛋的味道！此外，也非常感謝兩位口考教授 羅春光老師以及李旻憲老師，謝謝兩位老師的鼓勵與建議，使得論文的撰寫 能夠更加地完善。另外也謝謝一路走來幫助過我的各位老師與學生，謝謝你 們讓論文能夠順利地完成。
很開心當初能進到中山教研所進修，非常謝謝中山教研所的老師、學長 姐與同學們以及所辦辛苦的行政人員們，讓我能夠順利地完成學業，並且也 在修課的過程中，漸漸找到了我想知道的答案，也找回自己對教書的熱情。
我還要感謝的就是我的小學老師雅雲老師，沒有雅雲老師的鼓勵，我恐 怕還在猶豫是不是真的要繼續升學。也很謝謝青芬學姊在我剛入學徬徨無措 時，給了我非常多的指引與鼓勵。還有我的論文夥伴們祥雲、雲卿、永政，
謝謝你們一路的陪伴與協助，激發我許多撰寫論文的靈感。最後，特別要感 謝的就是一路支持我的家人與庭維，尤其是我的親姊姊倫佳，謝謝妳一直聽 我發牢騷，因為有妳的幫忙，論文才得以順利完成。
陳采姿 謹誌 2015 年 6 月
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摘要
本研究的目的在於發展與探討動態幾何軟體GeoGebra 融入高二學 生學習幾何概念的教學設計歷程，透過現職數學教師的建議與學生試 做後的觀點作為改進的參考依據，設計出一套適合高二學生學習「空 間幾何概念」的數學課程。
本課程包括四個單元：空間中的基本幾何概念、三垂線定理與二 面角、認識空間中的多面體與空間中的坐標表示。研究於進行期間資 料的蒐集包括課後作業、學習回饋、問卷訪談與教學手札。研究者針 對此軟體之功能及幾何概念教學的特質進行研發教學設計，於課程試 做後，將這些資料分別對於課程內容的設計、學生的接受程度與學習 轉變進行評估與修訂。
經分析後，四個單元的課程試做結果發現如下：在單元一中，藉 由GGB 軟體的輔助教學，對於學生在空間中點線面概念結構的理解是 有幫助的。在單元二中，GGB 課程的協助，增加了學生對於空間中圖 形的想像與邊角關係（畢氏定理）的推論。在單元三中，透過GGB 軟 體的教學協助，可以增加學生對於空間中圖形的理解以及對於各種題 型的解題策略。在單元四中， GGB 軟體教學有利於學生將空間中的抽 象思考轉化成為具體圖像思考，也順帶釐清先前的學習錯誤迷思。
整體而言，參與本研究的教師與學生對於GGB 融入數學學習大部 分都持正向肯定的態度。因此，善用學校的資訊設備，能夠讓上課更 為活潑，甚至可以培養學生學習將問題數學化，解決遇到的難題。透 過軟體輔助，學生較能把數學文字抽象問題具象化，進而思考更恰當 的解決方法。
關鍵詞：高二幾何教學設計、動態幾何環境、GeoGebra、幾何探索、
空間概念
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Abstract
The aim of this study is to develop and investigate the integration of the dynamic geometry software GeoGebra (GGB) into eleventh grade students’
learning of geometric concepts in high school. The researcher designed a set of mathematics activities using references from research based materials and suggestions from several high school mathematics teachers.
The curriculum includes four units: basic geometric and spatial concepts, theorem of three perpendicular lines and dihedral angle, understanding of polyhedron, and coordinate system in three dimensions. Research data including homework, learning feedback, questionnaire/ interviews and teaching log. After teaching the course, the researcher assessed and revised the course content using results from students’ acceptance levels and learning outcomes.
Data analyses on the try-out of four units yielded results as follows: In unit I, students' concept on space or surface structure were assisted by instruction using GGB software. In unit II, the provision of GGB activities increased students' imagination of graphic on space and the inference corners in relation graph (Pythagorean Theorem). In unit III, students showed understanding of spatial graphics and problem solving strategies for various kinds of questions. In unit IV, GGB instruction can help students to convert abstract thinking into concrete image thinking on space. Incidentally, GGB software also clarify prior learning error myth of students.
In all, teacher and students participating in this study gave a positive attitude to the integration of GGB into geometric learning. With the inclusion of GGB, students can translates abstract mathematical word problems into concrete images, and find appropriate solution.
Keywords: 11th grade Geometry Instructional Design, Dynamic Geometry, GeoGebra, Geometric investigation, Spatial concepts
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目錄
第一章 緒論 ... 1
第一節 研究動機 ... 1
第二節 研究目的與研究問題 ... 3
第三節 名詞釋義 ... 4
第二章 文獻探討 ... 7
第一節 電腦輔助教學於數學課室 ... 7
第二節 動態幾何軟體GeoGebra 的優勢探索 ... 13
第三節 GeoGebra 融入數學教學的相關研究 ... 18
第四節 GeoGebra 融入幾何教學之分析 ... 22
第三章 研究方法 ... 29
第一節 研究架構 ... 29
第二節 研究對象 ... 30
第三節 研究程序 ... 31
第四節 研究流程 ... 38
第五節 課程預試結果與省思 ... 39
第四章 研究結果與討論 ... 45
第一節 「空間中的基本幾何概念」課程試做 ... 46
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第二節 「三垂線定理與二面角」課程試做 ... 53
第三節 「空間中的多面體」課程試做 ... 60
第四節 「空間中的坐標表示」課程試做... 67
第五節 大班教學課程實施結果與討論 ... 72
第六節 課程設計的省思與修正 ... 83
第五章 結論與建議 ... 91
第一節 結論 ... 91
第二節 建議 ... 95
參考文獻 ... 98
附錄 ...102
附錄一、教材內容 ... 102
附錄二、學生課後作業練習 ... 110
附錄三、學生學習回饋單 ... 114
附錄四、學生學習心得問卷 ... 115
附錄五、教師教學手札 ... 117
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表目錄
表2-1 資訊科技融入教學與電腦輔助教學比較 ... ..9
表2-2 國內動態幾何軟體 GeoGebra 融入數學教學相關研究成果.20 表2-3 普通高級中學必修科目「數學」課程綱要─數學 III ... 24
表2-4 普通高級中學必修科目「數學」課程綱要─數學 IV ... 25
表2-5 本研究選擇單元之課程目標 ... 27
表3-1 四個幾何課程內容及目標...…...31
表3-2 各種原始資料編碼意義... ... 37
表4-1 學生對於課程一的學習印象………...75
表4-2 學生對於課程二的學習印象………...78
表4-3 學生對於課程三的學習印象………...80
表4-4 學生對於課程四的學習印象……….…...82
表4-5 試做學習者對於四個課程的學習滿意度………...83
表4-6 大班教學研究對象對於四個課程的排序………..….84
表4-7 「非講不可」的分類情形………...85
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圖目錄
圖2-1 空間中平面上之垂線圖形展示...14
圖2- 2 GeoGebra 4.9 操作介面...16
圖2-3 正立方體圖形展示...17
圖2-4 本研究之課程分析地位...26
圖3-1 研究架構圖...29
圖3-2 教學流程圖 ... ..33
圖3-3 研究流程圖 ... .38
圖4-1 空間中的兩歪斜線 ... 47
圖4-2 正立方體內嵌正四面體 ... 48
圖4-3 三面交於一點... 49
圖4-4 thisisshuyu ... 50
圖4-5 平面上的垂線... 55
圖4-6 平面上之不是垂線 ... 56
圖4-7 三垂線定理 ... 57
圖4-8 正六面體圖形... 59
圖4-9 正四面體內嵌正八面體 ... 58
圖4-10 三種常見的正多面體 ... 62
圖4- 11 特殊立體圖形 ... 62
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圖4-12 正立方體中的截面圖形 ... 64
圖4- 13 正立方體中求角度的餘弦值 ... 70
圖4-14 長方形摺紙問題 ... 71
圖4-15 八種三面交會分類情形 ... 74
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第一章 緒論
本章內容分別針對本研究之研究動機、研究目的與研究問題以及 名詞釋義共三個部分進行描述與探討。
第一節 研究動機
隨著資訊時代的來臨，教育部於 2008 年提出「教育部中小學資 訊教育白皮書」，以善用資訊科技、激發創意思考、共享數位資源、
保障數位機會為主軸，希望打造資訊校園。此外，教育部為了讓資訊 融入教育的資源更為豐富，每年特別舉辦「全國中小學資訊融入教學 創意競賽」，希望透過競賽，提昇國中小教師將資訊科技應用於各學 習領域教學的能力，並增進學生學習效果（教育部電子報，2011）。
現今的教學方式，除了透過教師寫板書、學生抄筆記的方式外，
更可以將資訊科技融入教學活動中。電腦、電子白板、校園網路等，
成為教學的基本設備，而時下流行的臉書（Facebook）、部落格，若 有技巧性地去使用，也能成為學生學習的另一種輔助工具。
然而，雖然有最新的資訊科技工具，但若是不會使用、或是不去 用它，那麼建置再多、再新的e 化教室也是徒然（余姿瑩，2013）。
教育部於 97 年起與各科學者合作，期待能以系統化發展高中各學科 資訊融入教學教材為目標，藉由分工規劃共同發展符合高中教學現場 需求之教材，促進教學資源分享及資訊融入教學（教育部，2009）。
此外，教育部（2014）也鼓勵各校提供及分享所屬教師教學資源與心 得，提供全國教師資訊融入各學科教學更豐富的教學資源，經由資訊
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融入學校的引領及協助，提昇學校資訊教育的水準。
以數學這個科目來說，在中小學裡早已成為最不受歡迎、最枯燥 乏味、最沒有成就感的科目（楊淑芬，1992）。如何讓學生重拾信心 與學習動力，是我們身為教育工作者必須要去思考的問題，尤其是對 於那些學習興趣低落的學生而言，我們更應該要想辦法幫助他們找到 適合的學習方法。美國數學教師協會NCTM ( 2000) 即指出，科技在 教師教學與學生學習數學上是必要的，它影響著教師的教學以及增強 學生的學習態度。
幾何是一門探討空間關係與邏輯推理的數學。幾何概念與表徵是 數學與其實世界溝通的重要方式且與數學其它領域緊密連結（左台益、
梁勇能，2001）。陳俊廷（2002）在「高中學生空間向量學習困難的 診斷測驗工具發展」研究中指出，目前國內的數學課程中，尤其是到 了高中二年級階段，因空間向量的課程出現，在此階段已非單純的平 面問題，而是較為複雜的空間問題。若學生在處理空間中問題時，無 法正確地將問題分類及統整，則不僅很難求出答案，甚至會陷入錯誤 的解題概念而不自知，造成學習上的困擾。例如現場教師們常覺得頭 痛的單元是「空間幾何概念」，每每教到這個單元時，以往傳統的板 書教學已不敷使用，教師們無不使出渾身解數，利用各個道具，例如 幾何模型、各式各樣的紙盒、氣球等等，為的就是要讓學生能夠具體 地學習空間幾何的概念，而非憑空想像。
在幾何學習活動中，學習者需在腦海中作用空間推理的思考過程，
而 空 間 視 覺 化 可 被 用 來 作 為 瞭 解 抽 象 幾 何 概 念 和 知 識 的 基 礎 (Yakimanskaya , 1991)，以減輕個體在工作記憶區的負擔。陳俊廷
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（2002）在研究中更進一步發現，學生在空間上有學習上的困難，並 不是學生自己的推想能力或是思考判斷力不足，而是因為對某些空間 概念與某些空間向量的知識背景了解不夠而導致；教師若仍用傳統的 教學法，那麼學生原有的想法不易被改變，常會有先入為主的觀點。
綜合以上所述，本研究嘗試以動態幾何軟體 GeoGebra 融入高中 幾何課程做教學活動設計，特別是針對空間幾何圖形作圖方面，希望 學生藉由軟體輔助學習的過程中，能夠將抽象的空間幾何概念思考轉 化成為具體的圖像思維，並且能夠增加學生在數學學習上的參與度。
第二節 研究目的與研究問題
壹、研究目的
本研究者的主旨在使用動態幾何軟體 GeoGebra 融入數學教學，
在設計的過程中再經研究者省思後得以修正課程。此外，研究者亦深 入學生的學習課堂中，觀察學生對於動態幾何軟體 GeoGebra 融入數 學教學的想法，並且以這些想法作為參考資料，使研究者進行分析實 施課程時在教學過程中的利弊得失。
因此本研究將使用動態幾何系統GeoGebra融入於高中二年級數 學「空間概念」單元實施課程教學設計，以期達到下列具體目的：
一、探究GeoGebra 融入高二數學幾何概念教學教材的適切性。
二、分析學生對於GeoGebra 融入數學教學後的接受程度。
三、探討執行實施 GeoGebra 融入數學教學試作後，研究者對於課程
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設計的省思與修訂建議。
貳、研究問題
根據上述研究動機與目的，本研究研擬的研究問題如下：
一、探究GeoGebra 融入高二數學幾何概念教學教材的適切性為何？
二、分析學生對於GeoGebra 融入數學教學後的接受程度為何？
三、探討執行實施GeoGebra 融入數學教學試作後，研究者對於課程 設計的省思與修訂建議為何？
第三節 名詞釋義
壹、動態幾何系統 GeoGebra
本研究使用的 GeoGebra 軟體是一種動態幾何系統軟體，其繪圖 的基本元素包括點、線、面、多邊形、向量、圓錐曲線與函數等，可 以提供學習者製作動態幾何物件的建構，讓幾何物件以動態呈現。相 較於其他需要付費的動態幾何系統軟體，GeoGebra 是免費的，對於 學生而言，不需要擔心軟體費用的問題。GeoGebra 的發展，目前已 開拓至版本 5.0，增加了 3D 操作的功能，使得數學課堂教學展現新 的契機，更能輔助學習者思考。此外，在本研究中研究者使用的版本 為可攜式的GeoGebra 4.9，於課堂使用上較為方便，學生放學後也可 以自行在家練習。
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貳、數學幾何概念
本研究的數學幾何概念是針對高二數學「空間幾何概念」的學習，
其內容是以教育部（2013）修訂的普通高級中學必修科目「數學」課 程綱要與南一版、龍騰版高中數學第四冊教材作為設計的依據。其中
「空間幾何概念」所包含的課程內容有：空間中的基本幾何概念、三 垂線定理與二面角、空間中的多面體以及空間中的坐標表示，共有四 個課程。
參、教材的適切性
本研究指的「適切性」，是指在四個課程的試做過程中，透過觀 察學生在課堂上與教學者的互動，瞭解 GeoGebra 軟體融入高二數學 幾 何 概 念 的 教 學 教 材 是 否 適 合 此 階 段 學 生 學 習 ， 並 且 加 以 探 討 GeoGebra 軟體輔助教學的優點與缺點。
肆、學生對於教學後的接受程度
本研究中學生接受程度，是指在四個課程的試做後，藉由學生上 課的反應（記錄於教師手札）與課後的回饋（包括學習回饋單與學習 心得問卷），瞭解學生對於GeoGebra 軟體融入數學教學後的看法，並 且加以探討學生使用GeoGebra 軟體學習的優點與缺點。
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第二章 文獻探討
本研究旨在探討以電腦動態幾何軟體 GeoGebra 輔助教學，對於 高二學生在空間幾何概念的學習中所產生的影響與轉變，並且進一步 探究學生對於 GeoGebra 融入數學教學後的接受程度，以作為未來教 學上的參考依據。本章共分四節來探討：第一節為電腦輔助教學於數 學課室、第二節為動態幾何軟體 GeoGebra 的優勢探索、第三節為 GeoGebra 融 入 數 學 教 學 的 相 關 研 究 、 第 四 節 為 動 態 幾 何 軟 體 GeoGebra 融入幾何教學之分析。
第一節 電腦輔助教學於數學課室
壹、電腦輔助教學的意義與其優勢
科技發展至今，電腦教學軟體的研究使用與網路的普及，使得現 今的教學方式趨向多元化。郭重吉（1997）在過去研究中指出，電腦 輔助教學是要建立一個適當的學習環境給學習者學習，因此，在設計 電腦輔助學習課程時，必須參考相關的學習理論與教學理論，方能設 計出真正有益於學生學習的電腦學習環境。而游惠美、孟瑛如（1998）
認為電腦輔助教學是在教學過程中，將電腦當做是一種幫助教師和學 生學習的工具，試圖改進教學的一種方法。簡而言之，在電腦輔助教 學中的軟體使用，其實是用來輔助一般正式教學的不足，而非用來完 全代替教師教學。
一般而言，大家普遍認為電腦輔助教學與資訊科技融入教學意義
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上是一樣的。然而，徐新逸（2003）將資訊科技融入教學分為狹義與 廣義兩種定義：狹義意指應用資訊科技的技術；而廣義則是應用系統 化教學設計的科學方式，以達成預設之教學目標，並且提供學習者有 意義的學習歷程，進而增進較佳的教與學之轉變。於此定義，電腦輔 助教學看起來是偏向狹義定義的範疇。而根據王全世（2000）的觀點，
資訊科技在教學中可分為五個等級，分別從等級0 至等級 4：
無（等級 0）：教學過程中沒有使用任何的資訊科技。
分離（等級 1）：資訊科技被用來教學生如何使用資訊科技，與其 他課程沒有連結或連結很低。
補充（等級 2）：師生偶爾使用資訊科技來教與學，被視為補充的 角色。
支援（等級 3）：在大部分的學習活動中需要用到資訊科技，在教 學中視扮演支援的角色。
整合（等級 4）：在日常的教學活動中，師生很自然地使用資訊科 技來教與學。資訊科技被視為是一項工具、一個方法或一種程序，
在任何時間、地點都可以用來尋找問題的解答。
等級3 與等級 4 看似相同，但是等級 4 在層次上略高一等，較注 重的是利用資訊科技來達到整合的效果，並且能夠順利解決問題，而 不只是輔助的角色。從上面的等級標準來看，電腦輔助教學充其量只 能到達等級 3，而資訊科技融入教學則可以達到等級 4 的最高境界。
由此可看出，電腦輔助教學與資訊科技融入教學在意義上仍然是有明 顯的差異性存在。表2-1 為資訊科技融入教學與電腦輔助教學比較。
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表2- 1 資訊科技融入教學與電腦輔助教學比較
比較項目 資訊科技融入教學 電腦輔助教學
概念與精神 強調融入與整合，代表的是整個 教學過程。
只是輔助工具，不能代表 整個教學過程。
資訊科技在 教學中的角色
不可缺少的工具，並可以延伸為
一個方法或一個程序。 輔助的媒體或工具。
涵蓋的範疇 較廣，包含電腦輔助教學。 較窄，為資訊科技融入教 學的一部分。
目的 1、培養學生資訊素養。
2、培養運用科技與資訊的能力。
3、提昇教學品質。
1、輔助教師教學。
2、提昇教學品質。
實施 較複雜、困難。 較簡單、容易。
資料來源：王全世（2000）。資訊科技融入教學之意義與內涵。
過去許多文獻指出，電腦輔助學習系統應建構在學習理論、學習 環境、學科內容及現代資訊科技上，再經過分析、規劃、設計、發展、
評估及修正等階段不斷反覆的回饋修正而成。有效的電腦輔助學習課 程軟體，首先要探討相關學習理論，同時分析建構學科內容，選擇適 當的編輯工具並充分運用資訊科技技術，再進行系統的整合（戴文雄，
1998）。邱貴發（1996）則認為電腦輔助學習的核心概念是指在某個 文化社會環境中，以領域知識為主幹，運用合適的學習理論及電腦科 技輔助該領域知識的學習。根據這些概念，學習理論和電腦科技都是 依據領域知識而選用的，使用電腦輔助學習的研究者應在充分了解文 化社會環境的前提下，把電腦科技和學習理念整合到領域知識的學習 過程中。
1960 年代後期，心理學家發現學習者的內在認知結構與建構知 識的過程才是學習成功的關鍵（余酈惠，2002），以下便從認知理論 談起。
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電腦輔助教學的方法與設計深受認知心理學之主要理論的影響 (Alessi & Trollip, 1991) 。 認 知 學 習 論 的 主 張 ， 將 學 習 視 為 演 繹 (deduction)的歷程（由普遍原則到特殊事例），認知心理學家們視學習 為個體對事物經由認識、辨別、理解，從而獲得新知識的歷程，在此 歷程中個體所學到的是所謂的認知結構（張春興，2011）。在這整個 學習的歷程中，學習者的角色必須由被動的訊息接受者變為主動而積 極的參與者，以建構自己的知識（沈中偉，1995）。
認知心理學家 Mayer 將電腦多媒體學習，定義為利用文字（包 含書寫印刷的視覺文字與口述的聽覺文字）或圖片（靜態圖片、動畫 及影片）的學習( Clark & Mayer, 2008)。Mayer (2002) 與多位專家以 Paivio (1990) 的雙碼理論( Dual-Coding Theory) 為基本，提出「多媒 體學習認知理論」( A Cognitive Theory of Multimedia Learning )，並做 了三種基本假設，分別為：雙通道假設、有限容量假設、主動學習假 設，並進一步提出訊息處理中必經的三個心理認知過程( Clark &
Mayer, 2008)，分別為選擇、組織與整合。
與傳統講述法相比，電腦輔助教學的優勢在於較能夠引起學生學 習的注意力，並且可以針對學生的個別差異做適性的調整。林保平
（2008）以教學教具觀點提出電腦輔助教學應有的特質：(1)能針對 數學課程中的各個主題能做適度的橫向連結、(2)具一般性、(3)具多 重表徵的呈現、(4)動態可操作、(5)具自動化功能、(6)使用的彈性、
(7)不排他。此外，根據 Burns & Bozeman (1981)，以後設分析方法 進行電腦輔助學習的調查研究顯示，電腦輔助教學比傳統教學優越，
但若混何使用，其效果會特別顯著( Dalton & Hannafin, 1988)。
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貳、電腦輔助教學應用於數學課堂
綜觀國內外文獻，許多研究專研於電腦輔助教學應用於數學領域 上的影響與成效，而且多數都認為使用電腦輔助教學不僅對於提昇學 生在數學學習上有所幫助，學生對於利用電腦輔助教學也大多抱持著 肯定的態度（林保平，2008）。
數學發現的過程是一個猜測、檢驗與改進的過程。在教學的過程 中，教師如何將抽象概念轉為具體思考是課堂的重要任務之一。以電 腦輔助教學而言，最常見的方式是使用電腦套裝軟體於輔助學生做觀 察式學習，在課堂上的數學概念操弄會使學生受到視覺化圖像變化的 刺 激 ， 進 而 協 助 學 生 在 觀 察 學 習 過 程 中 做 出 有 意 義 的 猜 測 (Hohenwarter et al, 2008)。
數學概念包括一系列有意義的情境，是由基本關係組成的不變性 以及用表徵形式呈現的符號( Vergnaud, 1987)，說明了數學的學習，
涵蓋了數值的、代數的、圖形的以及語意的各種表徵的交互應用 ( Kaput, 1992)。而電腦視窗環境可同時包含文字、圖形、靜態畫面、
動態畫面等訊息，透過適當的設計，將數學概念以這些形式來呈現，
使得數學概念的基本關係外顯出來，不同表徵間的變化情形用連結的 方式同時變化，並在視窗中展現多重表徵間的連結（左台益、蔡志仁，
2001）。
以幾何課程來說，幾何探索的過程中個體通常會透過圖像操作和 邏輯論述進行幾何思考。在過去的研究也指出幾何的本質同時包含了 圖形性與概念性的特徵，圖形性特徵是指視覺化可操作，概念性特徵
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是指可邏輯推理與論述( Fischbein, 1993)。而幾何活動是複雜的認知 過程，包含了構圖、視覺化與推理，發展視覺表徵與推理能力有利於 各種不同的認知歷程的交互作用( Duval, 1995)。
動態幾何環境如何影響學生進行幾何探索是目前一個重要的議 題。Battista (2007)在關於電腦環境的研究針對過去這 20 年來的研究 進行了整理與論述，尤其是在關於電腦環境對於幾何學習的研究上，
他認為在電腦環境中有兩個特徵需要特別去注意，第一是探索特定的 幾何圖形，其次是圖形的重構可以幫助幾何學習。雖然多數研究顯示 動態幾何環境能夠增進與支持重要的學習，但在目前的研究中不知道 增加幅度的影響，更不知道在動態幾何環境下學習與在紙筆環境下學 習時如何不同。因此，需要更多的比較研究，以量的去探究一般性，
而質的則是去探究歷程上的差異（許舜淵、胡政德，2014）。
在現代教育中教師所扮演的角色不再只是傳統的「知識講述者」， 而是帶領學生學習與觀察推演的「引導者」（游正祥，2011）。Bussi (1996) 認為教學活動的核心是產生在「數學討論」時，透過發現學 習的教學活動設計的目的，是將課程學習的經驗轉換為數學知識的建 構。然而，就傳統的輔助教材而言，學生的確是只能單向思考，對於 學生的啟發效果有限。不過，隨著科技的發展，近年來動態幾何系統 已被開發出來，例如：GSP、Cabri 3D、GeoGebra…等，值得特別注 意的是，利用動態幾何系統教學，教師必須跟著調整其數學信念及角 色扮演才能成功，若能將評量的方式加以修正，也有機會刺激學生去 探索數學知識（游正祥，2011）。
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第二節 動態幾何軟體 GeoGebra 的優勢探索
壹、動態幾何軟體簡介
電腦提供了強大的計算與繪圖能力，使個體可運用真實數據進行 模擬或建模的活動，並且直接操弄數學物件與關係，以連結真實經驗 與數學形式( Balacheff & Kaput, 1996 )。由於概念工具的操作及產生 的動態表徵均蘊含數學概念及思維策略，因此在此一環境下它迫使使 用者激發出數學想法。這種人與資訊科技的互動方式從人機主從關係 可能轉化成雙方各自具自主意識的雙向互動關係，且數學係為其共同 的溝通語言（左台益，2012）。
動態幾何軟體（如 Geometer Sketchpad、Cabri 或 GeoGebra 等）
所建構的學習環境，其工具本身內含數學概念，而且要有效地操作此 工具也需依數學概念與思維策略來執行動作。這種在電腦螢幕上呈現 的動態影像同時具有三種本質：虛擬實境的圖像元件、數學理論的幾 何圖形以及自電腦運算的動畫形式 （左台益，2012）。
左台益（2012）在過去文獻中，以 Donald 認知演化四個階段與 Shaffel 及 Kaput 的虛擬文化觀為基礎，說明動態幾何軟體作為虛擬 夥伴的意義，提供教學設計參考。文中指出，動態幾何軟體具備三個 基本功能：概念性的工具、人機互動關係與動態表徵。茲將整理如下：
概念性的工具：作圖工具符合歐氏幾何作圖概念，在操作時受數 學思維所規範，因此也比較容易激發使用者的數學想法。
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人機互動關係：透過動態幾何軟體內部自主性的計算所呈現的物 件軌跡，將會激發學習者自發性的思考其呈現原因。
動態表徵：在動態的操作過程中，可將情境式的問題賦予其數學 意義。
貳、動態幾何軟體 GeoGebra 的介紹與優勢
GeoGebra 軟體是由任教於 Florida Atlantic University 的 Markus Hohenwarter 為數學教育所研發的數學軟體。其開發精神為 Markus 主張的KISS 原則( Keep it Simple and Short) ，目標在於整合代數與 幾何兩大系統（黃楷智，2011）。GeoGebra 名稱來自於 Geometry + Algebra，意即結合幾何( Geometry)與代數( Algebra) （林宜臻，2013）。
利用繪圖工具在右側繪圖區畫出點、線、面時，左側代數區就會同時 呈現相對應的數值或方程式；反之亦然，當下方的指令列輸入代數方 程式或函數時，繪圖區就會呈現對應的幾何圖形，如圖2-1。
圖2-1 空間中平面上之垂線圖形展示
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動態幾何軟體在1993 年從國外引入臺灣，臺師大團隊發展 GSP、
清大全任重教授則是發展Cabri（余姿瑩，2013）。然而，這兩套軟體 都是商業軟體，一旦離開校園就會有版權爭議的問題，一般高中師生 想自由運用與學習恐怕會有其困難之處，若要自行購買正版軟體就會 是一種負擔。2002 年，開放性軟體 GeoGebra 問世，2006 年臺師大物 理系黃福坤教授將其翻譯成中文版，2008 年由臺師大數學系左台益 教授及其團隊成員進行軟體及手冊的翻譯（林宜臻，2013）。在翻譯 的過程中，他們發現 GeoGebra 的功能比起以前增加了很多，他們認 為 GeoGebra 是一個值得發展的動態數學軟體，也可以適時地運用在 中小學的數學教材中（左台益、胡政德，2009）。
於2008 年之後，國內才開始陸續有比較多人使用 GeoGebra 做研 究，在這之前，常見的動態幾何軟體仍是以 GSP 為主。動態幾何軟 體 GeoGebra 會開始受到重視的原因，除了軟體的功能會不斷推陳出 新之外，其取得方便為免費無版權的問題才是其最大優勢（余姿瑩，
2013）。此外，GeoGebra 的版面、操作工具也較 GSP 豐富，對於初 學者來說，也是相對好操作的。
動態幾何軟體 GeoGebra 目前在世界各地已迅速獲得教師之間和 世界各地研究人員普及使用，但在教學的運用上仍有其不足之處。例 如：對於電腦軟體操作不熟悉的學生，可能會不知所措，反而無法跟 上課程進度；對於剛開始接觸的教師可能因為擔心無法設計適當的教 材而不敢貿然使用。其實臺灣目前已經有很多開發完整的相關教材供 教師們參考使用，透過這些資源，教師們可以自行選擇課程與時間做 妥善的運用與安排（林宜臻，2013）。
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GeoGebra 是一套動態幾何系統，可用點、向量、線段、直線或 圓錐曲線等工具來繪圖，當數值改變時，相對應的函數或方程式圖形 也隨之改變；另一方面來看，可直接輸入方程式和坐標，由軟體進行 數字、向量、點坐標的運算，並可求出函數的微分與積分，還可用來 算方程式的根或函數的極值。這種可直接做代數運算的功能，讓 GeoGebra 成為可處理幾何圖形的電腦代數系統（黃楷智，2011）。
圖2-2 為本研究使用的可攜式版本 GeoGebra4.9 的操作介面，此 介面為新版具有的功能。點開「檢視」，內容新增了「試算表」與「3D 繪圖區」，畫面中除了既有的2D 平面繪圖區（x
、
y 座標平面）之外，亦增加了 3D 立體繪圖展示區（含 x 軸
、
y 軸、
z 軸與原點），操作工 具列也因而增加許多功能，例如已知空間中三點畫出一平面、點對稱、多面體會圖等空間中常用之需求。
圖2- 2 GeoGebra 4.9 操作介面
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圖 2-3 是利用新版的 GeoGebra 可攜式版本 4.9 畫出的正立方體 圖形。透過簡單的指令操作，教師可以在螢幕上快速畫出一個正立方 體，並且以繪圖工具做簡單的線段連接達到題目的要求，除了取代傳 統板書的不便性之外，也可以節省課堂進行的時間。
圖2-3 正立方體圖形展示
整體而言，動態幾何軟體GeoGebra 相較於其他軟體的優勢在於：
(1)它是一個免費的開放性軟體；(2)它是一個可互動的雙向軟體；(3) 它有一個 Wiki 論壇供大家開放討論；(4)它可以直接做代數運算的功 能，並且操作方便；(5)它可以做動態軌跡觀察（2D、3D 繪圖區）。
動態幾何軟體 GeoGebra 可以提供良好的機會將傳統的授課方式代換 成一個要求互動的課堂，給予教學現場的數學教師一個新工具的運用。
總而言之，運用 GeoGebra 上課之餘，不能僅止於觀看圖形的動態模 擬變化，宜同時讓學生操作GeoGebra 與觀察函數圖形變化，對於提 升學生學習的成效會更有幫助。
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第三節 GeoGebra 融入數學教學的相關研究
整理過去在動態幾何軟體 GeoGebra 融入數學教學的文獻中，研 究者發現，在學習成就方面的探討多是針對學科分數而言，例如：前、
後測或是段考成績；在學習態度方面則偏向引起學生課堂上的興趣為 主，較少顧及學生在動態幾何軟體 GeoGebra 融入教學的學習後，是 否能自主運用於課後練習，並且可以自行以動態幾何軟體 GeoGebra 解決日後所遇到的數學難題。學習態度良好雖然能夠提昇學生的學習 成就，但是身為教育工作者最大的目標是希望可以培養學生把問題數 學化，進而解決問題。
研究者根據搜尋臺灣碩博士論文加值系統所蒐集到的資料，將國 內相關研究於底下作簡單的介紹。
壹、 GeoGebra 融入數學教學相關研究之分析
洪慈徽（2008）在過去研究中，比較「GeoGebra 輔助教學」與
「傳統講述教學」對高中學生學習三角函數圖形單元之成效，並探討 學生經由 GeoGebra 輔助教學後的態度調查。研究方法為準實驗研究 法，採不等組前後測設計。經實驗教學與資料統計處理分析之後，結 果發現實驗組在數學學習成就與數學學習態度兩方面的表現皆優於 控制組。此外，實驗組學生對於採用電腦輔助教學持正向的態度，尤 其是高分群的學生明顯給予較多的肯定。
姚念廷（2009）的研究是以教材開發、實務探討為主要目的。藉 由數學輔助軟體 GSP、Cabri 3D 與 GeoGebra，根據教學經驗並且融 合教學與視覺思考，開發在三維空間中呈現的圓錐節痕教材。姚念廷
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（2009）認為，任何一種套裝軟體都可以彌補用傳統方式上課（黑板）
的盲點，要讓班上全部學生都瞭解上課的內容，也許沒辦法用其中一 種來詮釋。因此，善用學校擁有的數位媒體設備，讓上課更有趣，更 貼切生活，甚至培養學生把問題數學化，進而解決問題，是他努力完 成的目標。
彭建勛（2010）將高中課程「空間中的平面與直線」單元，在動 態幾何學習的環境下作教學，並且探討在此環境下學生的概念結構與 解題的表徵運用，以及比較動態環境的教學方式和一般傳統的教學方 式有何異同。研究方法運用問卷與半結構性的訪談，針對訪談資料進 行深度質性分析並比較不同的教學方法其學生運用表徵的差異。研究 結果發現學生在動態幾何環境學習後，較未介入動態幾何環境教學的 學生能夠在解題策略上出現動態圖形思考，進一步解決數學問題。因 此，彭建勛（2010）建議教學者在進行教學時，可以配合動態環境的 設計，讓學生在學習空間中平面與直線的代數方程式時，能操作空間 圖形與觀察其型態結構，以強化學生對被表徵物的理解。
楊舜傑（2011）以 GeoGebra 繪圖軟體製作多媒體套件結合現在 教育中所謂的問題導向學習法(Problem-Based Learning)的一個教學 策略，讓學生在幾何圖形的問題中，能將複雜的問題簡化，並培養學 生建立獨立思考與解決問題的能力。研究結果發現，以 GeoGebra 為 幾何教學的工具，不論是教學硬體方面甚至是教學方式，與傳統的教 學方式相比皆有一個相當大的突破，若可以將中學幾何相關課程與之 結合，對於學生學習上會有很大的幫助。
游正祥（2011）透過一項長期的教學實驗，探討教師如何將動態
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幾何系統融入學校正規課程的過程，並且探討在 GeoGebra 融入課程 的學習環境中，學生的學習態度、短期與長期的學習成效和傳統教學 方法的差異性。研究結果發現藉由學生操作GeoGebra 的圖像表徵所 得到的學習經驗比傳統教學更具學習遷移的效果，協助學生將學習經 驗應用於日後的學習，學生對於數學課程的學習較傳統的教學方式更 富有想像力，對於數學問題的解決，也較能結合文字、圖像的表徵，
思考更恰當的解決方法。
在這些的研究中可以大致整理成兩大類型的研究：一種是探討軟 體融入教學後對學生的學習成就或學習態度的影響；另一種則是研發 適當的教材搭配軟體輔助，希望藉以彌補用傳統方式上課（板書）的 缺點。研究者認為，若能適當地將動態幾何軟體 GeoGebra 融入數學 教學中，都會提昇學生的學習動機或學習態度，甚至學生的學習成就 都會有所幫助（表 2-2）。但是這些研究中多是探討動態幾何軟體 GeoGebra 融入數學教學時，學生於課堂學習後的表現（例如學習成 就、學習態度），卻可能忽略了學生在學習的歷程中所受到的轉變。
表2- 2 國內動態幾何軟體 GeoGebra 融入數學教學相關研究成果 動態幾何軟體GeoGebra 融入數學教學對學生學習過程的影響
學習成就 學習態度 學習興趣 解題能力 洪慈徽
（2008） 優於控制組 優於控制組 實驗組傾向 正向支持 姚念廷
（2009） 提昇 提昇
彭建勛
（2010） 提昇 提昇
楊舜傑
（2011） 提昇 提昇
游正祥
（2011） 提昇 提昇
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貳、GeoGebra 融入數學教學常見困境
研究者依據相關文獻探討，歸納出國內以動態幾何軟體 GGB 融 入數學教學之常見困境，整理如下。
一、教材設計若非教師本人設計，師生會無法融入其教學環境
國內目前已經有許多數學教師致力於投入設計GGB教材，許多相 關的教學內容或GGB研習資訊都可以在「台灣GGB中心」看得到。
然而，根據林宜臻（2013）的研究報告指出，國內目前以GGB融入教 學的高中教師並不多，其中有50.3%的教師是因為不知道如何有效使 用，即使有現成教材也會因為不熟悉軟體而作罷。而游正祥（2011）
再過去研究中也發現，如果教材不是老師自己製作的，老師無法感受 到作者建構的概念，上課時無法完整表達出作者的設計內涵，只能如 同錄音機一樣播放講解內容而已。
二、授課時數受限
以目前國內的教育環境而言，學生承受到家長的期待的壓力與學 生個人的自我期許，為了短期的學習成就，學生選擇了速成的公式解 或特殊解法，而不去追求知識的理論背景（游正祥，2012）。因此，
教師在教學上也不敢輕忽，為了每一次的大小考試努力地在追趕課程 進度，林宜臻（2013）的報告中也指出，有教師認為使用電腦教學會 耽誤教學進度，在時間不夠用的情況下，學生無法再學習運用其他新 軟體。如果只是偶一為之尚可接受，但是需要佔用太多時間，恐怕不 是非常理想，除非課程專門給數學科指定來上GeoGebra。
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三、資訊設備相關問題
翁瑞檡（2012）認為，想要利用科技融入教學，必須先克服電腦 設備的問題與學生是否能夠熟練操作。在林宜臻（2013）的研究報告 中有老師提到，學生若不能人人操作，會降低學習興趣，所以不建議 使用 GGB 融入教學。另外，學校硬體設備是否充足也是一大考量。
學校硬體設備不能充分讓老師均能使用，操作需借用教室，比較麻煩，
而且城鄉差距過大，僅少數都會型學校可行。
四、可能造成學生另類的學習障礙
林宜臻（2013）在過去研究報告中指出，有部分數學教師反對使 用 GGB 融入一般數學課堂教學，探究其原因發現，教師們認為學生 不適合在電腦教室上課，電腦教室的環境容易讓學生分心，在學生能 力無法理解的情況下，教師無法專注執行教學可能會導致上課秩序無 法掌控。另外，彭建勛（2010）也指出，在教學環境的設計上，是否 會因為未要求學生同時需注意 GGB 中幾何與代數表徵，增加學生需 要同時連結代數與幾何表徵而造成學習上的困難，引此造成學生另外 的學習障礙，會是一個值得探究的問題。
第四節 高中數學幾何教材之分析
本研究試圖將動態幾何軟體 GeoGebra 融入高中二年級的數學教 學中，研究者在本章節先針對數學學習領域目標，再就南一版與龍騰 版高中數學第四冊教材逐一分析探討，藉以找出高二課程中較適合以 動態幾何軟體GeoGebra 融入的單元。
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壹、高中二年級數學教材地位分析
本研究主要是以二年級課程為主軸，根據教育部於 2013 年公布 的高中課程102 微調課綱，其教材綱要整理如表 2-3、表 2-4。
經研究者參閱相關文獻後發現，幾乎所有高中單元幾乎都可以用 動態幾何軟體 GeoGebra 來協助學生學習，GeoGebra 不只扮演板書 數位化，除了將課程內容呈現，其設計也讓學生有動腦思考的時間與 空間（林宜臻，2013）。然而，尤其是到了高中二年級階段，因空間 向量的課程出現，在此階段已非單純的平面問題，而是較為複雜的空 間問題（陳俊廷，2002）。此外，空間向量的課程概念中，皆扣緊「空 間概念」做延伸，因此本研究選擇「空間概念」作為課程設計的主軸，
其中包含的課程主題為：空間中的基本幾何概念、三垂線定理與二面 角、空間中的多面體以及空間中的坐標表示。圖 2-4 為本研究的課程 分析地位圖。
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表2-3 普通高級中學必修科目「數學」課程綱要─數學 III
主題 子題 內容 備註
一、三角
1.直角三角形的 邊角關係
1.1 直角三角形的邊角關係（正 弦、餘弦）、平方關係、餘角 關係
2.廣義角與 極坐標
2.1 廣義角的正弦、餘弦、
正切、平方關係、補角 2.2 弧度，弧度量與度度量的互相
轉換
2.3 直角坐標與極坐標的變換
2.1 cot, sec, csc 置於數學甲 I、
數學乙I
2.2 將弧度量融入廣義角的教 學，強化度與弧度的轉換練 習。由引進弧度所延伸出的 問題僅限於度度量與弧度 轉換練習，不要延伸到弧長 與扇形面積。
3.正弦定理、
餘弦定理
3.1 正弦定理、餘弦定理
4.差角公式 4.1 差角、和角、倍角、半角公式4.1 不含和差化積、積化和差公 式
5.三角測量 5.1 三角函數值表 5.2 平面與立體測量
5.1 可使用計算器求出三角函 數值
二、直線與圓
1.直線方程式及 其圖形
1.1 點斜式
1.2 兩線關係（垂直、平行、相 交）、聯立方程式
2.線性規劃 2.1 二元一次不等式
2.2 線性規劃（目標函數為一次 式）
3.圓與直線的關 係
3.1 圓的方程式
3.2 圓與直線的相切、相割、不相 交的關係及其代數判定
3.2 不含兩圓的關係
三、平面向量
1.平面向量的表 示法
1.1 幾何表示、坐標表示，加減 法、係數乘法
1.2 線性組合、平面上的直線參數 式
2.平面向量的內 積
2.1 內積與餘弦的關聯、正射影與 高、柯西不等式
2.2 直線的法向量、點到直線的距 離、兩向量垂直的判定 3.面積與二階行
列式
3.1 面積公式與二階行列式的定 義與性質、兩向量平行的判定 3.2 兩直線幾何關係的代數判定、
二階克拉瑪公式
資料來源：教育部（2013）。普通高級中學必修科目「數學」課程綱要。
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表2- 4 普通高級中學必修科目「數學」課程綱要─數學 IV
主題 子題 內容 備註
一、空間向量
1.空間概念 1.1 空間中兩直線、兩平面、及直 線與平面的位置關係
1.1 僅作簡單的概念 性介紹
2.空間向量的坐標 表示法
2.1 空間坐標系：點坐標、距離公 式
2.2 空間向量的加減法、係數乘 法，線性組合
3.空間向量的內積 3.1 內積與餘弦的關聯、正射影與 高、柯西不等式、兩向量垂直 的判定
4.外積、體積與行 列式
4.1 外積與正弦的關聯、兩向量所 張出的平行四邊形面積 4.2 三向量所張出的平行六面體體
積
◎4.3 三階行列式的定義與性質 4.3 不含特殊技巧行列 二、空間中的平面與直線 式題型
1.平面方程式 1.1 平面的法向量、兩平面的夾 角、點到平面的距離
2.空間直線方程式 2.1 直線的參數式、直線與平面的 關係
◎2.2 點到直線的距離、兩平行線 的距離、兩歪斜線的距離 3.三元一次聯立方
程組
3.1 消去法
◎3.2 三平面幾何關係的代數判定
三、矩陣
1.線性方程組與矩 陣
1.1 高斯消去法（含矩陣的列運算） 1.1 重點在於矩陣三 角化的演算法 2.矩陣的運算 2.1 矩陣的加法、純量乘法、乘法
3.矩陣的應用 3.1 轉移矩陣、二階反方陣
◎4.平面上的線性 變 換 與 二 階 方陣
4.1 伸縮、旋轉、鏡射、推移
4.2 線性變換的面積比 4.2 此處面積指兩向量 所 張 出 的 平 行 四 邊形面積
四、二次曲線 1.拋物線 1.1 拋物線標準式 不含斜或退化的二次 曲線；不含直線與二 次曲線的關係（指弦 與切線）；不含圓錐曲 線的光學性質
2.橢圓 2.1 橢圓標準式（含平移與伸縮）
3.雙曲線 3.1 雙曲線標準式（含平移與伸縮）
資料來源：教育部（2013）。普通高級中學必修科目「數學」課程綱要。
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已習教材 本研究教材 未習教材
圖2-4 本研究之課程分析地位
貳、課程目標
根據教育部於 2013 年修正的「普通高級中學必修科目數學課程 綱要」，其數學課程欲達成的目標為：
一、培養學生具備以數學思考問題、分析問題和解決問題的能力。
二、培養學生具備實際生活應用和學習相關學科所需的數學知能。
三、培養學生欣賞數學內涵以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的特質。
此外，教育部另規劃選修數學課綱，提供學生適才適性的學習機 會，針對不同學生的需要，選修課程共分四類：標準課程、基礎課程、
統整課程和進階課程。其中有一個即是將「數學軟體」納入選修數學 的進階課程中，目的在於使學生學習以數學軟體解決問題。
直線與直線的關係
直線與平面的關係 三垂線定理
與兩面角 空間中的多面體 空間中的坐標表示 平面幾何
畢氏定理
平面直角坐標 三角函數
空間中兩點距離公式 空間向量
平面方程式 空間中的直線方程式 平面向量的
係數積與內積
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而根據龍騰版普通高級中學數學第四冊教師手冊，針對「空間概 念」單元之教學目標，整理如表2-5。
表2- 5 本研究選擇單元之課程目標
課程內容 課程目標
空間中的 基本幾何概念
(1)能了解直線與直線的關係，包含兩歪斜線。
(2)能了解直線與平面的關係，包含直線與平面垂直。
三垂線定理 與二面角
(1)能了解平面與平面的關係，包含兩平面夾角。
(2)能了解三垂線定理及其基本應用。
空間中的多面體 能利用過去平面的先備知識解決空間中所遇到的問題。
空間座標系 能了解空間坐標系，並且能自行運用坐標表示。
綜合上述文獻探索與分析，我們可以了解到對於空間概念的教學，
在傳統的教法上有其困難與限制，身為教師的我們要能夠有所變通。
在這資訊爆炸的時代，以多元的教學方式改善傳統教學模式，藉以提 昇學生的學習意願，並且適時地引導、幫助學生。透過動態幾何軟體 GeoGebra 教學，在圖形呈現方面，可以彌補學生僅從黑板的平面圖 形學習時，因為缺少一個維度所造成的知覺障礙與錯誤。換言之，以 動態圖像呈現，能夠使缺少的維度以一個虛擬的維度做呈現補強。因 此，本研究欲探討的問題是：在動態幾何軟體GeoGebra 融入高二數 學幾何教學後，是否加深學生對於空間幾何概念的學習印象？並且探 討學生在學習之後對於課程的接受程度為何？
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第三章 研究方法
本章將依據前兩章所研擬的研究目的與研究問題，進行研究設計 的說明，共分四節作介紹：第一節為研究架構、第二節為研究參與者、
第三節為研究程序、第四節為研究流程。
第一節 研究架構
本研究架構分為三個階段，研究者首先設計課程，再經現職教師、
試教學生以及研究者反覆設計修改後，最後進行大班樣本學生的數學 課程教學試做，整理如圖3-1。
圖3-1 研究架構圖
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第二節 研究參與者
壹、課程試做之教學者
本研究中，研究者除了自行設計課程之外，同時也擔任研究現場 的教學者。研究者目前於高雄市某高中擔任數學科兼課教師，教學至 今已經有 2 年的教學經驗。曾在實習期間，擔任 GSP 特色課程小助 教，發現學生容易在學習幾何時，常陷入錯誤的學習觀念而不自知，
造成學習上許多的錯誤迷思。因此，研究者嘗試透過本次的論文研究，
找出教學現場常見的困境，並且也增進自己的教學能力。
貳、課程試做之學習者
本研究挑選的五位試教學習者，是研究者去年教過的學生，現階 段為高中二年級。根據學生前一年的數學學業成績與數學課堂學習表 現，分為高、中高、中低程度各兩位學生。研究者試教的目的主要是 檢測課程以供不同能力的學生使用。研究者先選取中、高程度的學生 進行試教，希望能夠透過中、高程度的學生對於課程的瞭解，慢慢進 行課程的修正。最後，對低成就感的學生再做一次課程試做，修訂課 程後使課程的進行更簡潔明瞭，讓該教材能發揮最大的效能。
參、大班教學試做之研究對象
研究者將個別試做後的改版課程，另再安排一次大班教學，藉以 探究本課程內容設計是否適合在大班中教學。本研究的大班教學試做 對象為參與某市立高中舉辦的均質化活動上課的學生，參與者一共有 48 位學生，來自各個不同的學校，年級均為高中二年級，尚未接觸 過「空間向量」單元，但皆已學過平面幾何等先備概念知識。
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第三節 研究程序
壹、課程內容規劃與設計
一、教材和單元的選擇
本研究計畫探索的課程以102 年數學微調課綱為主，在高中二年 級下學期的數學課程當中融入 GeoGebra 動態幾何學習環境作為探索 內容。經文獻分析後，本研究選擇「空間概念」作為課程設計的主軸 主軸，其中包含的四個課程主題為：空間中的基本幾何概念、三垂線 定理與二面角、空間中的多面體以及空間中的坐標表示（課程內容詳 見附錄一）。表3-1 為本研究的各課程目標。
表3- 1 四個幾何課程內容及目標
課程 課程內容 課程目標
一 空間中的基本幾何概念
（預計教學時間：75分鐘）
熟悉動態幾何軟體GGB操作介面，並以動態幾何 軟體GGB觀察瞭解空間中點、線、面的交互關係。
二 三垂線定理與二面角
（預計教學時間：75分鐘）
釐清學生對於空間中兩面夾角的迷思，
並計算其兩面夾角的角度與位置關係。
三 空間中的多面體
（預計教學時間：50分鐘）
使學生能夠從圖形觀察中學會以幾何思維模式輔 助文字思維模式解題。
四 空間中的坐標表示
（預計教學時間：50分鐘）
學生能夠自行建立空間中各點坐標並用以解決空 間中直線與平面之相關題型。
二、課程內容效度的檢驗
為了期許研究者設計的課程能夠廣為使用，研究者找了三位教學 年資平均 11 年的老師協助檢視教材內容，並且提供研究者關於課程
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的建議。透過 3 位現職教師的協助，研究者希望能夠兼顧到左台益
（2012）在文獻中提過，動態幾何軟體所具備的三個基本功能：概念 性的工具、人機互動關係與動態表徵。在過程中，研究者也事先依據 文獻及相關參考資料先自行設計課程，自行模擬試做過一次之後，再 與3 位教師一起從中找出研究者設計時可能遇到的困難與缺失。經過 共同討論後提出修正建議，最後研究者就教師們所提供的建議再加以 修改，使課程的難易度、功能性更符合學生使用。
以下為3 位教師的背景介紹以及該教師對於研究者課程設計的 建議：
（一）林老師
林老師教學至今已有 25 年的經驗， 目前任教的學校位於高雄市 區，屬於都市型學校，學生程度普遍偏高，PR 值約 90。林老師指出，
以軟體輔助數學教學需特別注意，對程度好的學生而言並不一定會有 其明顯的成效，但是這樣的方式有別於傳統的教學方式，可以提供學 生另類思考的機會，學習以不同的角度去思考解題的作法。此外，林 老師也提到，學習數學知識是透過觀察、猜測進而下結論與驗證，而 非僅從課本得到知識。他認為，適時地讓學生透過電腦軟體輔助課程 內容做觀察，對於學生學習而言，不僅提昇學習的興趣，也提高學生 在學習數學上的成就感。
（二）許老師
許老師教學至今已有 4 年的經驗，目前任教的學校位於高雄市區，
屬於社區型學校，學生素質偏向中等程度，PR 值約 75。許老師認為 此課程對於提昇學生的學習興趣會有很大的幫助。此外，教師若是能
夠在 在黑 老師 的學 現 化
（三 屬於 輔助 程內 留時 內容 度較 三
學生
在課前以動 黑板上畫圖 師建議研究 學生，因此
，讓學生可
，如此，學
三）黃老師 黃老師教 於都市型學 助教學對於 內容，並能 時間教導學 容。隨堂練 較不佳學生
、課程說明
本研究之 生課後練習
動態幾何 圖的時間 究者，因為 此在隨堂例 可以循序漸
學生也能
師
教學至今 學校，學 於中低程 能提升學生
學生如何 練習部分 生看到全 明
之教學活 習與學習
何軟體Geo 間，也可以
為課程實施 例題的規 漸進地討 能夠較有效
今已有4 年 學生程度普 程度學生有 生的學習 何使用軟體
，建議一 全部都是應
活動流程主 習回饋、課後
圖3-
33
oGebra 準 以讓學生更
施的對象是 規劃上應以 討論各種圖 效地吸收課
年的經驗，
普遍偏低，
有極大的協 習興趣。黃
體，確認學 一張考卷應 應用題型的
主要有五個 後練習檢討
- 2 教學流
備好所需 更快地進入
是給未接 以簡潔為主 圖形的可能 課程知識。
目前任教 PR 值約 協助，不僅 黃老師建議 學生會使用 應有兩種以 的考卷會有
個部分：課 討與課堂
流程圖
需圖形，不 入課堂狀況 接觸過「空間
主，盡量先 能性，切勿
。
教的學校位 30。黃老 僅讓學生更 議課程實施 用軟體後，
以上題型，
有無助感
課前準備、
堂分享，整理
不僅可以省 況。然而
間幾何概 先以是非題 勿將題型複
位於高雄市 老師認為軟 更易於了解 施前可能需
，再實施課 否則對於
。
、課程實施 理如圖3-
省去
，許 概念」
題呈 複雜
市區，
軟體 解課 需預 課程 於程
施、
2。
34
（一）課前準備
1、確認每位學生都有電腦與相關設備可以使用。
2、規劃課程講義與課後練習作業。
3、製作搭配課程講義中隨堂例題的 GGB 操作檔案。
4、設計學習回饋單。
（二）課程實施
1、每人分配一台電腦，4 人分為一組，採隨機分組。（視教室情況而定）
2、教學者講解課程與數學概念知識，並且隨機抽組別提問討論內容。
3、學生自行上機操作並且討論隨堂例題，於討論結束後各組輪流做 分享。
4、例題講解完畢之後，教學者做總討論，並且發放作業，於下堂課 檢討。
（三）學生課後練習與學習回饋
1、課後練習：每堂課的課後練習約有 3～5 題不等，內容與該課堂的 學習概念相關，目的在於檢視學生對於新知的吸收程度。
2、學習回饋：主要是想透過學生的觀點來瞭解課程是否有需要改進 之處。
（四）課後練習檢討
1、教學者於每堂課開始前，與學生一起討論前一堂課的作業與難題。
2、透過師生互動，讓學生的學習更為精進。
（五）課堂分享
1、教學者於四堂教學活動結束之後，請學生彼此分享與討論上課的 想法與建議，將結果記錄下來以作為課程改進的參考依據。
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四、課程實施注意事項
1、部分學生可能會對於上機不熟悉，因此教學者於第一堂課時須特 別留意大家操作電腦軟體的情形，必要時適時予以幫助。
2、少數學生數學程度較佳，相對於其他學生而言會有比較多的空白 時間，因此教學者須事先準備進階題，讓程度較佳的學生有多一 點的挑戰性。
3、多鼓勵學生討論與思考，並且將想法寫在學習單上與教學者分享。
貳、資料蒐集
在動態幾何軟體GeoGebra 融入數學課程後，研究者將透過課後 作業、學習回饋單、學生學習心得問卷與教師教學手札（研究者於設 計修改過程的省思和教學實施心得而寫成的札記）等作為資料蒐集，
進而探討本研究中的發現。
一、學生課後作業
研究者於每次試教後會發一張關於該堂課的課後練習，目的在於 觀察學習者的學習狀況。每張作業的練習題數約 5 題左右，預計將會 花上學習者30 分鐘左右的時間（詳見附錄二）。
二、學生學習回饋單
研究者於每堂教學試做後發給試教學習者填寫，填寫的內容主要 是想透過學生的觀點來看上課時師生互動的情形，研究者可依學生的 課後感想與心得來反思學生在學習後的收獲，並且思考這項課程是否 具適切性（詳見附錄三）。
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三、學生學習心得問卷
本研究的問卷訪問對象為大班教學研究對象的學生。問卷將於四 堂課程結束後發放，內容為動態幾何軟體GeoGebra 融入數學教學後 學生的接受情形、學生對於動態幾何軟體GeoGebra 融入數學教學後 的感想與建議（詳見附錄四）。
四、教師教學手札
在研究過程中，研究者利用教學手札記錄自己對於課程執行上的 反思，並且詳細記錄課餘時間觀察或融入學生互動的課程心得、動態 幾何軟體 GeoGebra 融入數學教學後所遭遇到的困難以及教學中的發 現和學生的特殊表現（詳見附錄五）。
參、資料編碼
本研究蒐集的資料包括課後作業（業）、學習回饋單（單）、學生 學習心得問卷（卷）與教師教學手札（札）等。研究者將所有的資料 進行編碼建檔。建檔後，研究者依蒐集到的資料分段分類註記並作命 名分類主題，整理完畢之後，再與指導教授和有經驗的教師討論分類 是否恰當。經嚴謹的討論分析與整理後，茲將編碼方式整理成表3-2。
