中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：預應力下簡易支撐壓電疊層圓型板件之大撓曲 問題分析

系 所 別：機械工程學系碩士班 學號姓名：M09508045 陳 炯 翰 指導教授：陳 春 福 博 士

中華民國 九十八 年 七 月

中文摘要

本文係探討一簡易支撐疊層圓型板件在預拉伸力及壓電效應作用下之 大撓曲問題，其非線性掌控方程係以馮卡門大撓曲理論為基礎，並納入壓電 效應，再藉由無因次合併技巧，表達為側向斜率與徑向力合之非線性聯立耦 合方程組。求解過程係先忽略其非線性項來考量一線性問題，以得出一側向 斜率的線性微分方程，並利用修正貝索函數及貝索函數的相關定義，來求得 其解析解。非線性問題之數值求解則運用有限差分法及迭代技巧，並以線性 解作為初始值，求取其數值解。

針對一擬單層板件在低預拉伸力與低電壓作用下所得之結果，發現與單 層板之古典板理論解吻合，也驗證本文所提出之方法。而針對典型半導體材 質疊層件探討所得之解可發現，相較於夾固式板件，簡易支撐板在支撐邊界 並無文獻中所提之邊區效應，並且斜率為最大。此外，可發現線性解析解在 低電壓與低預拉伸力，有其合理之準確性，且適用於高預拉伸力下，但在高 電壓與低預拉伸力下，則有賴非線性解加以修正。而壓電效應與疊層材質效 應僅在低機械負荷(側向面壓與預拉伸力)下才較為明顯，反之，在較高機械 負荷下，其影響已不明顯。

關鍵字：簡易支撐板、預拉伸力、壓電效應、馮卡門大撓曲理論、(修正)貝 索函數。

Abstract

The problem of large deflection of a pre-sterssed simply supported layered circular plate including a piezoelectric layer due to a uniform lateral load is studied. The approach is based on von Karman plate theory for large deflection.

A non-dimensional and equation merging scheme is employed with the consideration of piezoelectric effect in deriving the nonlinear governing equations for the lateral slope and radial force resultant. The reduced linear problem is considered first, by nelecting the nonlinear terms to obtain a linear differential equation for the lateral slope. The modified Bessel and Bessel functions as well as their related definition are utilized to obtain the corresponding analytical solution. For the nonlinear problem a finite difference method is used which in incorporated with an iteration scheme to solve the nonlinear problem numerically, by taking the linear solution as an initial guess.

The obtained numerical results for a nearly monolithic plate under a low prestress and low voltage is found to correlate well with CPT(classical plate theory) solution for a single-layered plate and thus validates the present approach.

For plates made of typical semiconducting layers, the results are found to be different from these of clamp plates in literature. The present solutions reveal no edge effect at the supporting ends, and the corresponding slope is maximum. In addition, linear solution seems to have reasonable accuracy in low voltage and low pretension condition and this may hold up to a high pretension condition. For a high voltage and low prestress condition however, the nonlinear solutions are

required for correcting the accuracy in mechanical results. In summary, pizo-electric and layer modulus ratio effects are apparent only in low mechanical loading(lateral pressure, pre-sterss) condition. Whereas, their influences tend to reduce gradually, as the mechanical loading proceeds.

Key word：Simply Support Plate, Initial Tension, Piezoelectric Effect, Von- Karman Large Deflection, (Modified)Bessel Function

致謝

三年的研究所生涯，終於要在這炎熱的暑假中畫下句點，回想這三年裡，

縱使有酸有苦，但卻也為我的求學生涯點綴不少。首先誠摯的感謝我的指導 教授 陳春福教授，對我耐心的指導與教誨，無論是在學科方面，亦或者是處 理事情的態度，皆給予我正確的方向，讓我在短短幾年學到的東西，遠大於 先前所學，讓我獲益匪淺。而吾師對於學術上嚴謹的態度與學問的堅持，皆 是我輩學習的典範，且在他不遲辛勞的逐字修正下，讓本研究更加的完整，

老師，感謝您的指導。

承蒙交通大學 尹慶中教授與中華大學 邱義契教授的蒞臨指導。因為兩 位師長的指導與修正，令學生更加了解學術與實際應用上密不可分的關係，

俾使本文更臻完備，深表謝意。

三年的研究生生活，首先要感謝學長 吳宇洲、黃博承、李儀威在學業上 諸多的指點，感謝同窗好友 高迺迪、高祥恩、蕭世昌、及所有在課業與球場 上共同奮鬥的好友們；學弟 葉建宏、陳瑋宏、蔡志龍、許國彥、廖家鉦、湯 漢威等人，你們平時的幫忙與別有風格的幽默，我銘記在心。

特別感謝長期在背後支持我的父親 陳仲昌先生、母親 潘淨珠女士，沒 有他們苦心的栽培也沒有今日的我。最後，僅將此論文獻給摯愛的家人與關 心我的朋友，願與你們共享這份成果與喜悅。

目錄

中文摘要... i

英文摘要... ii

致謝... iv

目錄... v

符號說明...viii

圖表目錄... x

第一章 前言... 1

1-1 研究動機與目的 ... 1

1-2 文獻回顧... 6

1-3 本文架構... 12

第二章 物理問題與基礎理論描述... 14

2-1 問題描述... 14

2-2 對稱疊層圓型板大撓曲統御方程 ... 15

I. 力與力矩平衡方程 ... 15

II. 力矩平衡方程 ... 16

2-3 壓電效應下對稱疊層大撓曲非線性統馭方程之推導 ... 18

I. 解析步驟... 18

II. 無因次化 ... 19

第三章 解析與數值方法推導... 21

3-1 線性小撓曲問題之解析解 ... 21

I. 當機械力大於電效應 ... 21

a. 斜率解析解 ... 21

b. 撓度解析解... 23

c. 曲率解析解 ... 23

d. 應力解析解... 23

II. 當機械力大於電效應 ... 24

a. 斜率解析解 ... 24

b. 撓度解析解... 25

c. 曲率解析解 ... 25

d. 應力解析解... 26

3-2 非線性大撓曲問題之數值解 ... 26

I. 差分法的應用 ... 26

II.非線性數值解收斂性之技巧………29

III.非線性數值解之徑向位移求解步驟………29

第四章 結果與討論... 31

4-1 線性解結果與古典板之比較 ... 32

4-2 線性解結果與夾固板件之比較 ... 33

4-2.1 中心撓度(W₀/P)結果 ... 33

4-2.2 斜率(/W0)結果... 34

4-2.3 曲率(/P)結果 ... 34

4-2.4 撓度(W/W₀)結果 ... ….35

4-3 含壓電效應下線性解析解結果………..35

4-3.1 中心點撓度(W0/P)結果 ... 36

4-3.2 全域式斜率(/W0)之結果... 36

4-3.3 全域式撓度(W/W0)之結果 ... 38

4-3.4 全域式曲率(/P)之結果...………38

4-3.5 全域式徑向面內應力

( σ

_r

(r)/P

)之結果.………39

4-4 壓電效應下大撓曲問題之非線性數值結果 ... 41

4-4.1 不同電壓下最大線性面壓與拉伸參數關係圖 ... 41

4-4.2 不同電壓下非線性中心撓度之結果 ... 43

4-4.3 不同電壓下中心撓度對面壓大小之結果 ... 44

4-4.4 不同電壓下中心曲率對面壓大小之結果 ... 45

4-4.5 不同電壓下全域式斜率之結果……….46

4-4.6 不同電壓下全域式撓度之結果……….47

4-4.7 不同電壓下全域式曲率之結果……….47

4-4.8 不同電壓下徑向面內應力之結果……….49

4-4.9 不同電壓下徑向位移(U/S₀)之結果………..50

參考文獻... 52

符號說明

N

0 預拉伸力

p

0 均勻面壓

r

板件之半徑

h

i 疊層板典型第 層之厚度

i

E

i

疊 層 板 典 型 第 層 之 楊 式 係 數 (Young’s Modulus)

i

i



疊層板典型第 層之蒲松式比 (Poisson’s Ratio) 疊層板各層之序號

u

板件之徑向位移

w

板件之側向撓曲量

i i

N

r， 板件中平面(徑向，環向)力合分量

r 板件之側向剪力合

， 板件之拉伸勁度(Extensional Stiffness)元素

N



Q

A

l

A

_t



r ，



_ 板件之(徑向，環向)應變

， 板件之(徑向，環向)彎力矩合

M

r

M

_



r，



_ 板件之(徑向，環向)曲率分量

， 板件之彎曲勁度( Bending Stiffness )元素

， 板件之(徑向，環向)面內壓電力合分量

， 板件之(徑向，環向)壓電力矩合分量

D

l

D

_t

P

N

r

N _

^P

P

M

r

M _

^P

Nˆ

r， (徑向，環向)力合增量

， 無因次之(徑向，環向)力合增量

Nˆ



S

r

S

_

P

無因次面壓

k

無因次預拉伸參數



無因次徑向座標

無因次撓度 無因次徑向位移

W

U



無因次斜率

 無因次曲率



r 無因次徑向面內應力

V

電壓

壓電層之壓電常數

含電效應之預拉伸參數(機械力大於電效應) 含電效應之預拉伸參數(電效應大於機械力)

d

31

k

e

k

c

圖表目錄

圖 1、(a)預拉伸力下簡支撐壓電疊層均向圓型板承受面壓示意圖，(b)疊層板 自由體圖……….…….57 圖2、擬單層線性幾何回應與古典板理論之比較圖……….…..58 圖3、板件[PolySi/ Si / PolySi]線性幾何回應與 S. & D.[25]之比較圖……..59 圖4、板件[PolySi/ SiO₂ / PolySi]線性幾何回應與S. & D. [25]之比較圖….60 圖5、不同電壓及板件下板中心撓度線性解………...……61 圖6、不同電壓及板件下斜率線性解之徑向分佈圖………...62 圖7、不同預拉伸參數與各式電壓下斜率線性解之徑向分佈圖，板件[PolySi / Si/ PolySi]………..63 圖8、不同預拉伸參數與各式電壓下斜率線性解之徑向分佈圖，板件[PolySi/

SiO₂ / PolySi]………..64

圖 9、

不同電壓下機械與含壓電效應之預拉伸參數關係圖…..…..………..65 圖10、不同電壓及板件下撓度線性解之徑向分佈圖………..66 圖11、不同預拉伸參數與各式電壓下撓度線性解之徑向分佈圖，板件[PolySi/

Si / PolySi]………..…67 圖12、不同預拉伸參數與各式電壓下撓度線性解之徑向分佈圖，板件[PolySi/

SiO₂ / PolySi]………..68 圖13、不同板件下曲率線性解之徑向分佈圖………..69 圖14、不同預拉伸參數與各式電壓下曲率線性解之徑向分佈圖，板件[PolySi / Si / PolySi]……….70 圖15、不同預拉伸參數與各式電壓下曲率線性解之徑向分佈圖，板件[PolySi /SiO₂ / PolySi]………..71

圖16、不同板件下徑向應力線性解之徑向分佈圖………..…72

圖17、不同電壓下預拉伸參數對線性行為最大面壓圖………..73

圖18、不同電壓下板中心撓度非線性解對預拉伸參數關係………..73

圖19、不同板件與各式面壓條件下中心撓度非線性解預拉伸參數關係圖..74

圖20、各式拉伸參數下板中心撓度非線性解對面壓大小關係圖…………...75

圖21、各式拉伸參數下中心曲率非線性解對面壓大小關係圖………...76

圖22、不同電壓下斜率線性解與非線性解之徑向分佈圖………...77

圖23、不同板件與各式面壓下斜率非線性解之徑向分佈圖………...78

圖24、不同預拉伸力與面壓下斜率非線性解之徑向分佈圖，板件[PolySi/ Si / PolySi]………..79

圖25、不同電壓下撓度線性解與非線性解之徑向分佈圖………...80

圖26、不同板件與各式面壓條件下撓度非線性解之徑向分佈圖………..….81

圖27、不同預拉伸力與面壓下撓度非線性解之徑向分佈圖，板件[PolySi/ Si / PolySi]………..…82

圖28、不同電壓下曲率線性解與非線性解之徑向分佈圖………...83

圖29、不同模數比與各式面壓條件下曲率非線性解之徑向分佈圖………...84

圖30、不同預拉伸力與面壓下曲率非線性解之徑向分佈圖，板件[PolySi/ Si / PolySi]………..…85

圖31、不同電壓下面內應力線性解與非線性解之徑向分佈圖………...86

圖32、不同板件應力非線性解之徑向分佈圖………...87

圖33、各式預拉伸力條件下應力非線性解之徑向分佈圖………..….88

圖34、各式電壓與面壓條件下非線性徑向位移分佈圖, k =0………..89

圖35、各式電壓與預拉伸條件下非線性徑向位移分佈圖, P =1…………...90

表1………..91

第一章 前言

§ 1-1 研究動機與目的

微感測器（Microsensors）在現行工業已成為不可或缺的主要角色，因產 業趨向於輕量化、微小化，所以必需使用微感測器來量測五官所無法查覺的 變化，如，化學量、物理量、生物量。且其應用之範圍極為廣泛，包括日常 微型電子產品、汽車工業、航太領域、生醫科技等。如，在汽車工業方面使 用壓力、位置、位移感測器在煞車系統中，並利用影像、距離、超聲波或雷 射感測器，搭配顯示器來監測車間距離，更應用溫度、濕度、風量及日照等 感測器在自動控制空調系統上[1]。在生醫科技方面，擁有各式的生物感測器

（酵素、微生物、胞器、組織、免疫感測器）[2]，此外，亦有壓力感測器在 血壓計、呼吸流量監測器、及腎透析機上之應用[3]。由上述可知感測器應用 之普及，其微型結構相關之物理問題也廣泛被加以研究探討，如： Chaterjee &

Pohit [4] 分析靜電驅動的微懸臂樑由於靜電所致對於幾何結構變化之影響，

以進一步做出有效之設計，Oh, et al.[5]建立一無線發訊機與壓力感測器並應用 在胎壓監測系統(TPMS)上，最後提出其實驗數據(敏感性，噪音指數等)，

Valdastri, et al.[6] 採用植入式感測器用以即時監控人體內的各種生理參數，是 故不難想見，感測器在學術與應用研究上的重要性。

然而，上述文獻皆未提及預拉伸力的影響，實際上設計一個感測器，必 須考慮到預拉伸力效應，因為材料在封裝、冶煉的製程中其熱效應亦即材料

熱膨脹係數的差異，會產生預拉伸力，如Lee, et al.[7]即曾提及其熱處理製程 中，對於複材薄膜的應力狀態有明顯影響，並且在薄膜上的拉伸應力將對感 測器的敏感性產生劣化，Yu & Balachandran[8]提出感測器薄膜在承受預拉伸 力下之線性分析，並以一含有面內壓力的板件為模式，藉以觀察板行為到薄 膜行為之變化。而在Cho, et al.[9]研究中提及預拉伸力甚至可達 1Gpa，此乃 由於摻雜硼時所產生的內應力所致，同時也將降低感測器之壓力敏感性，因 此提出使用應力補償電介質，來改善此情況。此外，近年來有不少探討預拉 伸力對於結構件影響的文獻，如，Kim, et al.[10]測量五種不同堆積結構的殘 留應力，其中鉑(Platinum,簡稱 Pt)薄膜層發現有最高殘留應力，並可能影響微 氣體感測器的可靠性，此外，鉑層微結構變化時引起的殘留應力也一併研究。

Zhou[11]利用一線連接在圓形薄板感測器中心產生預拉伸力，進而利用馮卡門 板理論(Von Karman Plate Theory)結合幾何非線性，來研究板件撓度與這條線 張力之間相互影響的關係，證實此研究有助於設計感測件。由上述文獻可知，

不管是由於製程中所產生的預拉伸力，或者是經由外力，預拉伸力對於感測 器的影響之重要，更值得我們深入探討。

然而，以上文獻大多數僅提及單層結構板件，並未探討板件為疊層結構 情況之問題，由於一般典型的感測元件多為疊層結構，其原因實由於疊層結 構有其剛性及強度上之優點，如Malhaire et al.[12]曾利用SiO₂ / Si所製成的雙 層感測薄膜來進行實驗，經由量測得知在微流場中的結構，可承受壓力循環

106

2 次而不產生疲勞破壞，顯示疊層結構之剛性。此外，可經由不同材料與 纖維方向的配合疊層，使結構有更多的變化，與擁有更多的優點，如，增加

抵抗疲勞負載的強度[13]，以及減少太陽電池損耗功率[14]等。近年來也有許 多關於疊層結構的論述，如：Zhou et al.[15] 採用磁控濺射法(Magnetron Sputtering)在玻璃基底上製備曲折狀的鐵矽硼/銅/鐵矽硼(FeSiB/Cu/FeSiB) 三 層結構，在頻率1～40KHz的範圍下研究鐵矽硼與銅厚度對於三層結構應力阻 抗（Stress-Impedance,簡稱SI）之影響。Zhang et al.[16]建立一個含B-栓槽 (B-spline)的有限帶狀模型(Finite Strip Model)，來模擬疊層薄膜結構在承受橫 向負載下的大撓曲與脫層行為，對於疊層薄膜模型逐漸損壞的情況，在其脫 層前後分別利用了基礎應力及破壞力學理論，最後將計算結果與實驗結果做 比較。由上述文獻可知疊層結構擁有多項優點，並有其普遍性，因此本研究 將對於一圓形疊層板件研究其物理回應。

由於近年產業的轉型，機械產業與電機產業的整合合併，成為一種趨勢，

也因此有了對於機電整合的工程應用以及學術上的探討，壓電式元件就是此 類產業所因應而生的產品，早期產品如：壓電蜂鳴器(Buzzers)[17]、壓電薄膜 加 速 計(Accelerometer)[18] 、 壓 電 轉 換 器 (Transducers)[19]， 與 壓 電 變 壓 器 (Transformer)[20]等。早期文獻僅對於一般微型結構，填加壓電材質以作為延 伸，並未將壓電材質對於結構之物理回應做深入探討，但近幾年來的文獻上 就有不少相關的研究論述，例如：Kuehne et al.[21] 提出一個設計壓電薄膜動 力發電機的新方法，並考慮到最理想的薄膜厚度，以及有利於電極的架構，

同時利用小撓曲與大撓曲的實驗，證實能量轉換裝置的功能性。Cheng et al.

[22] [23]分兩部份分析異向性壓電疊層薄膜結構，在受到撓曲量大幅度變化下 的影響，第一部份利用漢彌爾頓(Hamilton)理論建立方程式與邊界條件，另外

使用馮卡門應變理論，解釋智能疊層結構件(Smart Composite Structures)的電 彈性(Electro-elastic)行為在大幅度撓度變化下的幾何非線性影響；第二部份利 用漢彌爾頓變分原理，來推演智能異向複材板的基礎公式化流程，並表示成 雷迪(Reddy’s)簡易高階理論，以解開含有複雜重疊邊界條件的五個耦合偏微 分方程，並建立新的數值法-赫米特(Hermite)微分二次項(HDQ)法，針對含複 雜重疊的邊界條件微分方程進行實作。從上述文獻可知壓電薄膜感測元件之 普遍性，其相關之物理回應(大撓曲，挫屈等)也是近幾年來相當熱絡的研究 課題，此也是本研究將考量壓電效應對於板件之影響的動機。

由於微型感測器的製程中考慮其經濟性與成本，其形狀多半為方形（含 矩形）或圓形，而其結構型態在邊界處多半模擬為夾固式或懸臂式，然而，

文獻上最為常見的探討方式是看待成夾固式邊界，如Oktem & Chaudhuri[24]

提出一厚矩形板變形問題的新解析解，並主要研究當保持面內邊界限制時，

厚疊層板在邊界夾固下所形成之影響，進而提出重要的數值結果包括敏感 性、材料性質、邊界夾固、厚度等相互作用之關係。Sheplak & Dugundji [25]

針對夾固式均向圓型板探討其大撓曲問題，並在文中提及在邊界處會有明顯 的邊區效應(Edge Effect)，即在邊界處其物理行為會有急遽的變化，此乃夾固 式邊界所擁有之特殊情況。然而，類似元件之實際結構行為，仍有其無法完 全滿足剛性夾固之可能性，當夾固式感測薄膜元件承受極大壓力時，就基礎 材料力學觀點而言，由於板件變為極軟，即有可能呈現出簡易支撐之型態，

此外，吾人也可推論剛性夾固及簡易支撐，乃結構元件在其邊界處所擁有之 兩種極限狀況，此亦為本文之研究動機。另一方面，近年來針對簡易支撐之

研究亦有不少文獻，如 Yeh et al.[26]利用有限差分與差分轉換法來分析均向 矩形板之大撓曲問題，並在文中提及簡易支撐板之撓曲行為比起夾固式板件 更為顯著，顯示其壓力敏性較夾固式板件更為靈敏，亦即更容易產生明顯的 結構回應。但也由於容易產生結構回應，結構本身也變得更輕易形成破壞與 損毀，因此對於簡易支撐的結構回應亦有不少研究，如Kapuria & Dumir[27]

提出表面連接壓電層的三層薄膜圓形板之非線性撓曲、熱挫曲、自然頻率問 題的近似模擬，並用以分析單項格拉金解(Galerkin)，在分析過程中使用馮卡 門典型古典薄板理論，並忽略旋轉與面內慣量及剪變形，其所得之格拉金解 藉由使用排列數值級數解，證實可有相當準確的結果。Bakker et al.[28]以一 種近似分析的方法來確立承受側向負載下矩形簡易支撐薄板的大撓曲行為，

並發現此近似方法對於大撓曲問題可提供更深入的瞭解，最後並與有限元素 解法的結果及文獻現有之解做比較。由上述文獻可知，簡易支撐由於剛性較 低，相較於夾固式板件，在受負荷之下較為靈敏，可惜文獻大多仍以夾固式 板件為主，鮮少以簡易支撐來做研究，因此本文將對簡易支撐板件予以研究。

在一般微製程中，預拉伸力與壓電效應對於感測薄膜件之影響，及簡易 支撐疊層結構皆是常見之情況。故本文將針對一簡易支撐疊層圓形板（薄膜）

件在含有預拉伸力與壓電效應的情況下，研究其各式幾何回應，如：撓度、

斜率、曲率、中心撓度，並且探討其在邊界處之結構回應，與剛性夾固式板 件之差異，同時調查各式參數之影響。此一研究主題不僅在於學術上，更在 實務上有其應用之價值，且可供開發設計與應用上之參考。

§ 1-2 文獻回顧

針對承受側向面壓下的典型板件進行非線性撓曲分析的研究，最早可追 溯至Timoshenko & Woinowski-Krieger [29]一書，其求解概念及方法至今仍被 廣泛引用，如Sheplak & Dugundji [25]提出夾固式單層均向圓型板件之大撓曲 問題，其掌控方程以馮卡門大撓曲理論(Von-Karman Large Deflection)為基 礎，並利用修正貝索函數(Modified Bessel Function)求得其線性問題之解析 解，進而以數值定差分法求解其非線性問題。另，Jairazbhoy et al. [30]曾以一 薄樑為模型來研究其大撓曲行為，並證實在某些條件下，板件撓度形狀的解 並非唯一，最後並發現其實驗測量值之結果與所預測的撓度有很好的一致 性。Bayat et. al. [31]研究一含有軸對稱彎曲與穩態熱負載之功能梯度旋轉磁 片，並應用一階剪變形明德林(Mindlin)板件與馮卡門大撓曲理論，且重新調 整所建立小與大撓曲之平衡方程，最後比較小與大撓曲及均質與功能梯度磁 片之機械回應。Khabbaz et al. [32] 利用一階與三階剪變形理論來預測功能梯 度板之大撓曲與厚度方向應力，其結果顯示運用能量法藉由一階與三階剪變 形理論，能夠預測厚度對於變形以及厚度方向應力之影響。Ghannadpour &

Alinia[33][34]在第一篇對於矩形功能梯度板件的大撓曲做分析，其基礎方程亦 採用馮卡門大撓曲理論，再藉由總位能極小化獲得；隨後研究以功能梯度材 料所製造的矩形板作非線性分析，並將數值結果以圖表方式呈現，且其材料 性 質 對 於 撓 度 與 厚 度 方 向 之 正 向 應 力 的 影 響 也 將 一 併 測 量 。Turvey &

Salehi[35]為求解藉由矩形橫斷面徑向加固物來強化的均勻負載板件之大撓曲

回應，提出了分離剛性圓形板的彈塑性大撓曲之非軸對稱回應方程式來分 析。惟上述文獻大多僅粗淺採用文獻[29]中之古典板理論及大撓曲理論，並未 納入預拉伸力之影響。

在微型感測器的製造過程中，產生的預拉伸力在早期文獻中往往忽略其 影響。文獻[9]曾提出預拉伸力甚至可達 1GPa，故衍生出許多針對於預拉伸力 的研究，如Voorthuyzen & Bergveld [36]提出薄膜圓型壓力感測器在均佈面壓 負荷與預拉伸力影響下的撓曲分析，並以有限差分法(Finite Difference)為數學 模式，以調查結構的各式幾何回應，係最早考慮預拉伸力對於壓力感測元件 影響之文獻。Steinmann et al.[37]探討承受合併有面外壓力及面內預拉伸力的 作用下，微機械感測薄膜其機械行為(撓度及特徵値)，合併赫米特(Hermite) 多項式與雷茲(Ritz)法，以解開上述所提之特定機械問題，其結果對於機械行 為提供一快速、有彈性、及非常準確的近似解。Yu et al. [8] [38]先後提出承受 預拉伸力下之薄膜感測器線性與非線性分析，在第一篇的線性分析中，以一 含有面內壓力的板件為模式，藉以觀察板件從板行為到薄膜行為之變化，此 一分析結果證實可使用在圓形薄膜感測器之設計中以完成各式應用；在第二 篇的非線性分析中研究三次非線性項對於結構回應的影響，此一非線性項限 制了感測器的頻寬及動態的範圍，且預拉伸力隨著敏感性與動態壓力範圍兩 者之間交換而改變，其分析結果與上一篇同樣可使用在感測器設計中，特別 是使用在小尺寸的感測器設計上。Eslami et al. [39]提出一以功能梯度板件製 成的厚中空球之一維穩態熱與機械應力的通解，並假定材料性質除了蒲松比 (Poisson’s ratio)之外皆隨著半徑方向呈冪函數變化，最後導出熱傳導方程的解

析解與納維(Navier)方程中半徑方向的溫度分布、徑向位移、徑向應力與內應 力函數。Juuti et al. [40]討論以預應力壓電圓盤的機械放大裝置為基礎的致動 器 之 大 撓 曲 問 題 ， 其 控 制 桿 長 度 與 位 置 之 最 佳 化 並 藉 由 電 腦 輔 助 軟 體 (AutoCAD)來完成設計，數值計算則藉由(MATLAB)軟體來完成。Shariyat [41]

研究含交接或裝置在壓電感測器與致動器的不完整矩形疊層板，當承受瞬間 熱與機械負載下熱-壓電彈性對於動態挫曲之影響，同時考慮到材料性質的熱 相依性，複雜的動態負載包含面內機械負載，熱力，與電驅動等效應都被考 慮。Lee et al.[7]發現由於每個組成的層間有不同的熱與彈性特徵，隨後產生 的殘留應力，將對於複材薄膜的應力狀態有顯著的影響，故提出了殘留應力 對於複材矽質基底感測裝置的機械行為與敏感性影響的探討，並發現產生在 薄膜上的拉伸應力將導致敏感性劣化。Sheplak & Dugundji [25]亦在文中探討 非線性模式下，初始拉伸負荷由零(即純板件)變化至極大(近似薄膜)時板件之 各式幾何回應。由上述文獻可知，大多數感測器僅考慮單層結構件之幾何回 應，並未論及疊層結構清況之感測器。

近年來感測結構件大多採用複材疊層，主要因為疊層結構擁有剛性及強 度上之優點，故有不少疊層結構之探討，如Shufrin et al.[42]建立一種半解析 的方法，對於承受面外負荷且含有一般面內與面外邊界條件的矩形疊層板，

進行幾何非線性分析，並以馮卡門應變的彈性薄板理論為基礎，此解析方法 主要針對不能使用替代半解析解法來分析的疊層邊界及負載條件組合。

Pinarbasi & Mengi[43]提及聯結彈性層以增強薄膜層的方法，被廣泛的使用在 許多工程應用上，如早期薄膜層大多使用鋼板來強化，但近期之研究提出以

彈性纖維強化取代剛性鋼強化，故此研究提出一新公式化步驟，用來作為薄 膜承受均勻壓縮、純彎曲、純翹曲時的分析。Zhang & Kim[44]提出兩個四邊 形有限元素，針對薄到中等厚度的薄膜複材板進行幾何非線性分析，其四邊 形非線性薄膜複材板元素，以一階剪變理論與馮卡門大撓曲為基礎，並應用 完全拉格朗日(Lagrangian)函數將元素公式化推導，其數值結果顯示此非線性 分析有其精確性並且高效率。

此外，壓電材料在工業上的應用變的越來越常見，亦是非常具有前瞻性 的 一 項 技 術 ， 故 在 近 期 有 相 當 多 對 於 壓 電 薄 膜 元 件 探 討 之 文 獻 ， 如 Edery-Azulay & Abramovich[45]建立一原始模型，其可預測在各式邊界條件下 壓電板件的彎曲行為，文中以康托羅維奇(Kantorovich)迭代步驟為基礎，並使 用格拉金法推導迭代步驟的微分方程式，最後將此迭代步驟產生的高準確 解，與其他可用之解析解作比較。Wang et al.[46]提出壓電圓型板件在預拉伸 力作用下之影響，文中以小撓曲理論為基礎，並納入預拉伸力的影響來求得 各式幾何回應（斜率、徑向及撓曲量）解析解，並與有限元素法來做比對。

Wang et al.[47]模擬壓電致動器造成軸向與橫向之結構回應，並提出一例子，

即在存有外部干擾力時，檢驗其回應的改變量，並與近似靜止或零頻率值之 致動器回應量做比較。Chen et al.[48]應用於元素自由格拉金(EFG)之方法，來 分析承受非均勻分佈負載、熱及電壓的壓電功能梯度材料(FGM)矩形板其挫曲 行為，並分兩階段來求解，第一階段計算應力問題與承受非均佈負載的預挫 曲應力，第二階段以明德林板件為基礎以得到挫曲負荷與溫度參數，並提出 功能梯度材料板件一些有用的結果。

由於微型感測器的製程中為考量成本與經濟性，其結構型態多為圓形與 方形，並且邊界大多視為夾固式予以模擬，如Sheplak & Dugundji [25]將圓形 板件邊界處視為夾固式，以研究大撓曲行為，且提及在邊界處之結構行為與 物理特性有相當明顯的急遽變化，即為邊區效應(Edge Effect)，此亦是夾固式 邊界所擁有之特殊情況。Jeong & Shenoi[49]使用直接模擬方法來分析對稱疊 層板，並針對夾固與簡易支撐情況且承受均勻負載下探討各式參數影響，其 結果給予板件一參考數值(破壞預測)。唯就基礎材料力學觀點而言，可推論剛 性夾固及簡易支撐，乃結構元件在其邊界處所擁有之兩種極限狀況，歷來再 文獻上，針對剛性夾固式元件探討，也確實比簡易支撐元件之探討更為常見，

但近年來增加了不少有關簡易支撐的微元件研究，如Huang [50]提出一奈米彈 性薄膜修正連續模型，來研究簡易支撐薄膜面內應變產生的彎曲、挫曲與自 由振動，其模型以非線性馮卡門板理論為基礎建立，並藉由使用漢彌爾頓原 理在柯西荷夫假說(Kirchhoff’s Assumption)中推導出薄膜掌控方程與邊界條 件。Jayakumar et al.[51]利用柯西荷夫假說與馮卡門應變位移關係，來建立簡 易支撐壓電疊層矩形板件之非線性自由振動，最後透過各種統計法，所得回 應量結果發現，與多變量法所求回應量極值有很好的一致性。Filipich &

Bambill[52]藉由含全元素(WEM)之直接變分法來求解矩形薄膜之自然振動問 題，其主要研究主題係薄膜邊界為簡易支撐之情況。Kazancı & Mecitoglu [53]

則針對承受衝擊負載下複材疊層板之非線性動態回應做分析與討論，該文藉 由使用虛功原理可以推導出板件之動態方程式，並考慮薄板之馮卡門大撓曲 理論中的幾何非線性效應。Ganapathi & Prakash [54] 藉由使用有限元素與一階

剪切變形理論來研究簡易支撐功能梯度斜板，並假設材料性質隨著厚度座標 以冪次形式成比例變動，同時考慮到隨著厚度方向所提升的線性與非線性溫 度變化。Zenkour [55]對功能梯度三明治板件做综合 (撓曲、應力) 分析，並 提出簡易支撐功能梯度陶瓷-金屬三明治板的二維解法，除了三明治板心材假 設為一般均向的陶瓷材料，雙層面材假設為均向，且其彈性模數以及蒲松比 隨著厚度方向之體積率變化，其方法則是藉由使用剪變形理論或古典理論來 推導出板件之總域方程式。Edery-Azulay et al.[45]為得到簡易支撐壓電矩形板 之彎曲行為的精確數值解，利用雷密(Levy)法為基礎，將邊界條件轉變成一有 效的近似解（能量法、有限元素法）。然而，上述文獻雖已有不少關於壓電疊 層感測件、邊界條件之研究，但均未探討簡易支撐壓電疊層板件之大撓曲問 題、及各式幾何回應、與預拉伸力及壓電效應之影響，也實有再進一步探討 之必要。

§1-3 本文架構

本文主旨在討論一簡易支撐疊層圓型板件在預拉伸力及壓電效應作用下 且在均勻側向面壓下之大撓曲問題，其基礎掌控方程主要以馮卡門大撓曲理 論為基礎，並納入壓電效應考量，來探討各式參數(面壓、預拉伸力、壓電效 應)對於疊層板件結構各式幾何回應(撓度、斜率、曲率)，同時觀察板件在其 邊界處與夾固式板件之差異。在方法上，即係以Sheplak & Dugundji [25]提出 之求解技巧與觀念為基礎，來求取線性解析解與非線性數值解，其中線性問 題求解步驟則採用貝索函數與修正貝索函數之定義，以求解出板件結構各式 幾何回應解析解，而非線性問題則同樣採用該文獻所提出之有限差分法與迭 代技巧來求解出大撓曲問題數值解。此外，簡易支撐為本文主要研究課題，

在前述動機與目的中已有詳細描述，簡易支撐為結構元件在邊界處之極限狀 況之ㄧ，故在線性求解步驟之貝索函數與修正貝索函數定義中，利用簡易支 撐邊界斜率不為零，彎矩為零的條件來推導線性方程，以得到斜率線性解析 解，此一斜率解不同於文獻[25]所提夾固式邊界斜率為零所推導出之線性解，

此亦為兩者之差異。另外在文獻[25]中所提之拉伸座標技巧，乃因板件在夾固 式邊界處會有急遽變化，即為邊區效應之影響，為了更精準的求解，故採用 此一技巧，但本文所討論之簡易支撐邊界，則無邊區效應之影響。最後，將 同時考慮到壓電效應與疊層圓形板件大撓曲情況，來探討板件之各式幾何回 應。

在本文架構中吾人將分為五大章節，第一章主要敘述研究動機與目的，

並藉由前人之研究文獻來說明各式微型壓力感測器應用。第二章則描述本文 所提之物理問題與理論基礎，藉由文獻[25]所提求解技巧，再納入壓電與預拉 伸力之影響，推導出預應力下壓電簡易支撐疊層圓形板件之非線性掌控方程 式，並予以無因次化。第三章則針對前述所推導出大撓曲問題，提出相關之 線性解析解與非線性數值解。因研究人員實務需求，故有時需快速得出感測 器實際結構變化，此時線性解析解將給予一快速有效的結果，並給予非線性 數值解一參考基礎，其求解方法可藉由上述文獻[25]所提出之解析解法，忽略 非線性項後，可得一側向斜率的簡化線性微分方程，同時可觀察出機械力與 電效應相互作用之影響，並利用修正貝索函數與貝索函數之微分、積分定義，

配合簡易支撐邊界條件加以求解。關於上述聯立非線性方程之求解方法，本 文採用上述文獻[25]所提之有限差分法及迭代技巧，並結合中央差分之觀念，

將原非線性掌控方程改寫成一代數式矩陣，來求解非線性各式幾何回應。第 四章則針對本文所設定之參數(預拉伸力、側向面壓、模數比、電壓)，來觀察 簡易支撐板件各式幾何回應與結構回應之線性解析解與非線性數值解。惟為 驗證本文所提方法之結果，將先考慮一擬單層 [PolySi]板件其三層楊氏係數為

E

₁=E₃=170, E₂=169 Gpa，且在低電壓 (

V

1)作用下來求解各式幾何回應，並 與文獻[29]所提之古典板理論做比較。此外，為觀察夾固式與簡易支撐邊界對 於結構之影響，本文亦採用前述之參數，以探討各式結構回應(撓度、斜率、

曲率、中心撓度)，並與文獻[25]之解作比較。最後在第五章中作一簡單結論。

第二章 物理問題與基礎理論描述

§ 2-1 問題描述

考慮一簡易支撐含壓電效應均向對稱疊層圓型板件，承受均勻面內 ( In-plane )預拉伸負載

N

₀及側向面壓，

P

_z

 p

₀，且在壓電效應作用下，求 解其大撓曲問題，如圖5 所示。

(a)

(b)

圖 1、(a)預拉伸力下簡支撐壓電疊層均向圓型板承受面壓示意圖，(b)疊層板 自由體圖

其中，

r

為圓型板件的半徑，

E

_s

, 

_s

, h

_s、

E

_p

, 

_p

, h

_p分別為對稱疊層板件的典型 半導體層與壓電層的楊氏係數、蒲松比與厚度。此外，

V

為施加之電壓，厚

度方向之

z 座標，並以所受之側向面壓方向為正。在各式參數(面壓、預拉伸

力、壓電效應)作用下，求解對稱疊層板件各式幾何回應(撓度、斜率、曲率) 與應力應變回應，並探討簡易支撐板件在壓電效應下可能呈現之結構行為。

§ 2-2 對稱疊層圓型板大撓曲統御方程

板件之掌控方程係延自靜平衡條件，其中徑向與側向之力平衡與徑向之 合力矩平衡分程式分述如下：

I. 力平衡方程：

 0



 N N

_

dr

r dN

^r _r (2-1)

  0

1 0

0 0



 



 



 







 

dr rp rN dw dr rQ d

dr d

rdr r p

dr N dw Q

r r

r r

(2-2)

其中， 、 分別表示為為板件之徑向與環向力合分量， 則表示為側向 剪力合 此外 徑向、環向應力合 、 與徑向、環向應變分量

N

r

。

N



，

Q

r

N

r

N

_



_r

、 

_關

係式如下：

(2-3)

其中， 、 為板件之拉伸勁度 (Extensional Stiffness)元素，其定義分別為：

 











θ l r t

θ t r l r

ε A ε A N

ε A ε A N



A

l

A

_t









ⁿ

i i

i i l

h A E

1 2

1 

^，











ⁿ

i i

i i i t

h A E

1

1 

2



在上式中，

E

_i

, 

_i

, h

_i為典型第 層(

i z

i-1

 z  z

i)之楊氏係數、蒲松比與厚度，

而 則為疊層總數。此外，根據馮卡門大撓曲板理論，板件之徑向及環向應變，

r

n



、



_

，

可表示成側向撓曲量及徑向位移量，

w

與 的關係式，如下，

u

 

r w u

u

_{r r}

r

  

_



 , , 2

, 1

² (2-4)

藉由



_r與



_ 合併，其相關匹配式(Compatibility form)寫法，可表示為

0 2

1 

²





 



 



 dr

dw dr

r d   

_r

 

(2-5) II. 力矩平衡方程：

板件之力矩平衡方程式可表示為：



r



M



Q r

0

dr

M

_r

dM

^r _{ r} (2-6)

而

M ，

_r

M

_為板件之徑向與環向力矩合分量，其與曲率間之關係式為：

 















 





l r t

θ t r l r

D D

M

D D

M

(2-7)

其中，

D

_l與

D

_t分別為板件之彎曲勁度( Bending Stiffness )元素，其定義為：

 

此外，



_r與

 _

分別為板件之徑向及環向曲率分量，定義如下：



³1



3

z

i

 z

_i

1 2

3 1 3 i

1 2

3 1

1 , 1 z

3 1







  

   

ⁿ

i i

i t i

i n

i i

l i

D E E z

D 





_{r rr}

w

_r

w

_,

,   1 r

_,



  _



(2-8)

藉由力矩-曲率關係式(2-7)，代入力矩平衡方程式(2-6)，可求得側向剪力合

，

表示如下：

Q

r

 

 



  



 , ,

₂

, r

w r

w w D

Q

_{r l rrr} ^{rr r} (2-9) 將上式(2-9)代入(2-2)式即可更新其表示式，而得，

l r

l r r rr

rrr

D

r w p

D N r

w r

w w

2

0 2 ,

, ,

,

   

(2-10) 此外，倒轉應力合與應變關係式(2-3)，可將板件之徑向與環向應變，



_r 與



_

，

改寫成力合分量之表示式，如下，

r t l

t r l

r

 A N  A N

_



_

 A N

_

 A N

 ,

(2-11)

其中， _{2 2}

t l

l

l

A A

A A

 

_{, 2 2}

t l

t

t

A A

A A



 

將(2-11)式代入前述匹配式(2-5)中，可更新其表示式為，

 

, 0 2

,   1 ² 

 _r

l

r r

w

r A r

N

N

_

N

^ (2-12)

上式之合力平衡方程(2-1)、(2-10)與(2-12)即組成本文疊層圓板的聯立大撓曲 掌控方程組，即，

 

   

 





 









 













 



2 0

2 0 0

2 , ,

2 , , ,

, ,

r A w r

N N N

D w rp

D N r

w r w w

r N N N

l r r

r

l r o

l r r rr rrr

r r

r

 



(2-13)

§ 2-3 壓電效應下對稱疊層大撓曲非線性統馭方程之推導

I. 解析步驟：

由於在預拉伸力

N

₀作用下復承受側向面壓

p

₀之問題，其力合分量

N

_r， 可 表示為增量合成(Incremental Resultants)的型式，即，

(2-14) 其中， 及 分別為徑向、環向力合增量型式。而含有壓電效應之力合增 量與應變分量之關係式，為：

N







N N

N N

N

N

_r

ˆ

_r

, ˆ

0

0

  

 Nˆ

r

Nˆ

_

 



 





 

 

 





 

 

 



p l

r r

t

p r t

r r

l r

r N A u w

u A N

r N A u w

u A N



 2

2

) , 2 ( , 1 ˆ

) , 2 ( , 1 ˆ

(2-15)

其中， 與 為徑向與環向面內壓電應力合分量，其定義可參照Wang, et al.[46]所提出之關係式，亦即，

(2-16)

其中， 為電場係數(V/hp)， 為在薄膜厚度方向所施加的單位電壓(m/V)所 產生的橫向變形，故稱為橫向壓電係數，並採用文獻[46]所提之壓電係數 50(m/V ， 則分別代表壓電層的頂底面 座標， 為板件第 層的褪

減勁度(Reduced Stiffness)矩陣，並可表示為：

p

N

r

N

_^p

  

^_^{ }_^

 



 



 2

1 31

z 31

z f

p p

r

dz

d q d N E

N



E

f

)，而

d

31

z

1

z

₂

z   ^{q i}









 

1 1 ] 1

[ _{() 2}

i i i

i

E

i

q 





(2-17)

此外，反轉應力合與應變關係式(2-15)，可將板件之徑向與環向應變，



r 、



_

，

表示成力合增量之形式，如下，

P t l r t l

t l t

r l

r

A N A N

_

A A 

_

A N

_

A N A A N

_

 ˆ ˆ ( ) N

^P

, ˆ ˆ ( )

r

   









(2-18)

而將(2-18)式代入前述匹配式(2-12)中，可改寫其表示式，即：

0 ) , 2 (

) 1 (

ˆ ) ( ˆ

ˆ ,     

_r ²



l rP

q P r

r

w

N A N

A N

N N

r

_{  } (2-19)

其中，

l

q

A

t

A 1  A

此外，前述方程組

(2-13)

中之第一、二式，可分別表示為，

) 0 ˆ ( ˆ

ˆ ,   

r

N

N

_{r r}

N

^{r }

(2-20)

l p r

r r l r rrr rr

D r w p

N N D N

r w r w w

, 2 ˆ )

1 ( ,

,  ,  ₂    ₀  ⁰

(2-21)

藉由上式

(2-20)

、

(2-21)

與

(2-19)

即組成本文壓電效應下疊層板件大撓曲之增量

式非線性統馭方程組，即，

 





 































 



0 ) , 2 ( ) 1 (

ˆ ) ( ˆ

ˆ ,

, 2 ˆ )

1 ( , , ,

) 0 ˆ ( ˆ

ˆ ,

2 0 0

2

r l rP

q P r r

l p r

r r l r rrr rr

r r r

A w N

N A N N N

r

D r w p

N N D N

r w r w w

r N N N









(2-22)

II. 無因次化：

藉由

Sheplak&Dugundji[25]

無因次化定義可將前述

(2-22)

改寫成一無因次非線

性方程組，如下所示：

 













 





 

 











 

 

2 0 ) ) (

(

6 ] 1 ) N - 12 (

[ ) 0 (

2 2 2

3 p

r 2

2 2









 

 





l l P

r P l

r q

r '

'' r r

D A N h

D N A S a

S S

P S

k ξ ξθ θ ξ

S S S

(2-23)

其次，再利用第一式中 與 微分與積分關係，即可將上式合併改寫為如下 之二非線性聯立耦合方程式，即，

S

r

S

_

 

 



 





























l l P

r P l

q r

r

r '

''

D A N h

D N A ξ S a

S ξ

P S

k ξ ξθ θ

ξ

) 2 (

3

6 ] 1 ) N - 12 (

[

2 2 2

' ''

2

3 p

r 2

2 2

(2-24)

其中，無因次定義為：

h , U u h , W w a ,

r

 





,

h aw d

dW 

_,r

 

 h

w a d

d

,r r 2











l r

r

D

N a N S

S , )  ( ˆ , ˆ ) 

²

(

_{ }

_；  D

_l

 , D

_t

   12  D

_l

, D

_t

 _；

D

l

h a P p



⁰



⁴ 且

D

l

a k N

2

 0

而相對應之無因次邊界條件則可表示成如下關係，

(1)

當



0 時：

  0 , U=0

，即板中心處，其斜率、徑向位移為零。

(2)

當



1

時：

  0 , U=0

^，

M

r

^{ 0}

，即邊界簡易支撐端，其斜率不 為零，板件之徑向力矩合分量與徑向位移為零。

第三章 解析與數值方法推導

本章將針對前述所推導之非線性聯立耦合方程式，提出線性解析解與非 線性問題之數值解方法。其中線性問題以文獻

[25]

為基礎來求解，並利用貝索 與修正貝索函數之相關定義來求解出斜率、撓度、曲率、應力之線性解析解，

最後採用低電壓擬單層板件之解析解與文獻

[29]

之古典板理論做比較以求驗 證。而非線性問題，則同樣利用文獻

[25]

所提之有限差分法與迭代技巧，來尋 求其數值解，解析步驟推導與數值求解分別描述如下。此外，文獻

[25]

所提出 之拉伸座標技巧，由於本文模擬為簡易支撐端情況，並無夾固式板件在邊界 處有邊區效應影響，故本文將不採用此一技巧。

§ 3-1 線性小撓曲問題之解析解

針對本文所提之物理問題，由於其非線性解明顯較為複雜，故本文將先 針對其線性小撓曲問題作探討。在工程應用上，研發人員面對複雜的非線性 問題時，常需要以最簡潔、有效率的方式得到非線性問題之解，為此可採用 線性解析解，並可作為往後非線性問題探討之基礎。在本文中，其方法為藉 由上述文獻

Sheplak & Dugundji[25]

所提出之解析解法，忽略上述

(2-23)

第一式 中的非線性項

S

_r



後，而得一側向斜率的簡化線性微分方程，如下所示

(3-1)

此一線性問題，也可觀察出機械力與電效應相互作用之影響，故可將其解析 解分為兩種情況分別探討：

I. 當機械力大於電效應， ： a. 斜率解析解：

6

] 1 ) N - (

[ ^{2 2 p}_r ³

2

θ ξθ ξ k  P 

ξ

^''  ^'   

p

N

r

k

² 

令

k

_e²

 k

²

 N

_r^p，上式

(3-1)

可改寫為修正貝索方程的標準形式，即：

3 2

2 ' ''

2

   [  1 ]  6 

   k

_e

  P (3-2)

其中， 為含壓電效應之預拉伸參數。其均值解可表示為整數階

(Integral Order)

之修正貝索函數之線性組合，而其特解則可用待定係數法加以求解，因此，

斜率之通解可表示為，

2

k

e

2

e 1

2 1

1

) 6 ( )

( )

( k

k P K C k

I

C

_e



_e

 



    (3-3)

其中，

I

₁

( k

_e

 )

與

K

₁

( k

_e

 )

分別代表第一與第二類之修正貝索函數，而 與 則為待定之未知常數，其值可運用前述邊界條件來求解，如下所示：

C

1

C

2

；

M

_r

 0 (1)   0

；

 ( 0 )  0

，

(2)   1

；

 ( 1 )  0

此外，由修正貝索函數之漸進行為

(Asympototic Behavior)

得知

，故

C

₂

 0



 ( )

lim ₁

0





K

。

然而

，

由於在邊界處



1，斜率不為零，徑向合力矩為零，故可套用

(2-7)

式 徑向力合與曲率之關係式，即

₂

⁰

2

  

 



  







a r t a l

r r

dr

dw r D dr

w D d M

並予以無因次化與整理可得：

   

1

1 

 

 







 











 







_t

l

D d

D d (3-4)

將

(3-3)

式的斜率通解帶入上述

(3-4)

式中，且因為

C

₂

 0

，故可得如下之等式：

     

_



 



 

 



 



  

 _{1 0 1 1} 6 _{2 1 1} 6 ₂

e e t

e e e

e

l

k

k P I C k D

k P

I

C

k

I

k

C

D