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书 书 书
第!章!解三角形
!!知识目标!
"!#要求学生掌握正弦定理$余弦定理及其证明!
""#掌握正弦定理和三角形面积公式%并能运用这两组公式求解斜三角形!
"##熟记正 弦 定 理 "
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"(#能把一些简单的实际问题转化为数学 问 题%并 能 综 合 运 用 正 弦 定 理$余 弦 定 理 等 知 识 和方法解决与测量学$航海问题等有关的实际 问 题&体 会 数 学 建 模 的 基 本 思 想%掌 握 求 解 实 际 问题的一般步骤&能够从阅读理解$信息迁移$数 学 化 方 法$创 造 性 思 维 等 方 面%多 角 度 培 养 学 生分析问题和解决问题的能力!
"!能力目标!
"!#通过对实际问题的探索%培养学生数 学 地 观 察 问 题$提 出 问 题$分 析 问 题$解 决 问 题 的 能力!
""#增强学生的协作能力和数学交流能力!
"##发展学生的创新意识和创新能力!
#!情感态度与价值观!
"!#通过学生自主探索$合作交流%亲身体 验 数 学 规 律 的 发 现%培 养 学 生 勇 于 探 索$善 于 发 现$不畏艰辛的创新品质%增强学习的成功心理%激发学习数学的兴趣!
""#通过实例的社会意义%培养学生的爱国主义情感和为祖国努力学习的责任心!
!!数学思想方法的重要性!
数学思想方法的教学是中学数学教学中的 重 要 组 成 部 分%有 利 于 学 生 加 深 数 学 知 识 的 理 解和掌握!
本章需重视与内容密切相关的数学思想方法的教学%并且在提出问题$思考解决问题的 策 略等方面对学生进行具体示范$引导!本章的两 个 主 要 数 学 结 论 是 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理%它 们 都是关于三角形的边角关系的结论!在初中%学生已经学习了相关边角关系的定性知识%如'在 任意三角形中有大边对大角%小边对小角(%'如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的 角
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书 书 书
相等!那么这两个三角形全等"等!
教科书在引入正弦定理内容时!让学生从问题探索中的一个实际问题出发!提出探究性 问 题#$我们是否能从三角形的边%角及面积之间的关系得到一些新结论&"!在引入余弦定理 内 容 时!提出探究性问题$如 何 从 已 知 的 两 边 和 它 们 的 夹 角 计 算 出 三 角 形 的 另 一 边"!设 置 这 些 问 题!都是为了加强数学思想方法的教学!
!!注意加强前后知识的联系!
加强与前后各章教学内容的联系!注意复习和应用已学内容!并为后续章节教学内容做 好 准备!能使整套教科书成为一个有机整体!提高 教 学 效 益!并 有 利 于 学 生 对 于 数 学 知 识 的 学 习 和巩固!
本章内容安排在'普通高中课 程 标 准 实 验 教 科 书 ( 数 学 必 修 ")第 一 章 中!处 理 三 角 形 中 的边角关系!与初中学习的三角形的边与角的基本关系!已知三角形的边和角相等判定三角 形 全等的知识有着密切联系!
在证明了余弦定理及其推论以后!教科书从余弦定理与勾股定理的比较中!提出了一个 思 考问题$余弦定理的这种证明方法是几何问题 代 数 化 的 证 明 方 法!即 解 析 法!你 能 给 出 其 他 的 证明方法吗&"!并进而指出!$你是否记得在第四章*向量+中!也推导过余弦定理& 从余 弦 定 理 以及余弦函数的性质可知!如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方!那么第三边所 对 的角是直角,如果小于第三边的平方!那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边的平方!那 么第三边所对的角是锐角!从上可知!余弦定理是勾股定理的推广!"
#!重视加强意识和数学实践能力!
学数学的最终目的是应 用 数 学!而 如 今 比 较 突 出 的 两 个 问 题 是!学 生 应 用 数 学 的 意 识 不 强!创造能力较弱!学生往往不能把实际问题抽 象 成 数 学 问 题!不 能 把 所 学 的 数 学 知 识 应 用 到 实际问题中去!对所学数学知识的实际背景了解不多!虽然学生机械地模仿一些常见数学问 题 解法的能力较强!但当面临 一 种 新 的 问 题 时 却 办 法 不 多!对 于 诸 如 观 察%分 析%归 纳%类 比%抽 象%概括%猜想等发现问题%解决问题的科学思 维 方 法 了 解 不 够!针 对 这 些 实 际 情 况!本 章 重 视 从实际问题出发!引入数学课题!最后把数学知识应用于实际问题!
!!"!正弦定理!!!!!!!!!!!!!#课时
!!#!余弦定理 #课时
!!$!解三角形的应用举例 #课时
实习作业 "课时
小结与复习 "课时
从新课程教学论的观点看#教学过程既是 学 生 的 认 识 过 程!又 是 学 生 的 发 展 过 程!数 学 教
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书 书 书
师的主要任务就是为学生设计学习的情境!提 供 全 面"清 楚 的 有 关 信 息!引 导 学 生 在 教 师 创 设 的教学情境中!自己开动脑筋进行探究学习!发现和掌握数学知识!在学生思考问题时!不到有 所领悟时!不告诉他答案!使学生的思考#跳一 跳!够 得 着$!使 学 生 体 验 到 学 习 的 快 乐!因 而 需 注意以下几点%
!!结合实例!激发动机!
数学源于现实!从学生日常生活中的实际 问 题 引 入!激 发 学 生 的 学 习 兴 趣!引 导 启 发 学 生 利用已有的知识去解决新的问题!让学生在解决问题中发现新知识!提出猜想!使学生在观 察"
实验"猜想"验证"推理等活动中!逐步形成创新意识!
"!开展数学实验!验证猜想!
通过特例检验!让学生动手实验!提高学生实验操作"分析思考和抽象概括的能力!激发 学 生的好奇心和求知欲望!体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面!
#!证明猜想!得出定理!
引导启发学生从不同角度进行证明定理!展 示 自 己 的 知 识!培 养 学 生 解 决 问 题 的 能 力!增 强学生的兴趣"爱好!在知识的形成"发展过程中展开思维!培养推理的意识!
$!熟悉定理!灵活运用!
解斜三角形是中学数学的重点之一!而其中#已 知 两 边 和 其 中 一 边 的 对 角$解 斜 三 角 形 又 是一个难点!教学上必须充分重视!解斜三角形 不 仅 有 实 际 应 用 的 意 义!还 由 于 它 要 求 学 生 综 合运用正弦定理"余弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际问题!有助于 培 养学生分析问题"解决问题的能力!所以一向为 数 学 教 育 所 重 视!其 中 用 正 弦 定 理 解 已 知 两 边 及其中一边对角的三角形!由于已知边"角取 值 不 同!问 题 有 无 解"一 解 和 两 解 各 种 情 况!使 学 生不易掌握!教学上应处理得当!
!!在本章的教学中!应该根据教学实际!启发学生不断提出问题!研究问题!在对于正 弦 定 理和余弦定理的证明的探究过程中!应该因势利导!根据具体教学过程中学生思考问题的方 向 来启发学生得到自己对 于 定 理 的 证 明!如 对 于 正 弦 定 理!可 以 启 发 得 到 有 应 用 向 量 方 法 的 证 明!对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析法!在应用两个定理解决有关的解三角形和 测量问题的过程中!由于一个问题也常常有多种不同的解决方案!因此应该鼓励学生提出自 己 的解决办法!并对于不同的方法进行必要的分析和比较!对于一些常见的测量问题甚至可以鼓 励学生设计应用程序!得到在实际中可以直接应用的算法!
"!适当安排一些实习作业!目的是让学生进一步巩固所学的知识!提高学生分析问题的 解 决实际问题的能力"动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力!增强学 生 应用数学的意识和数学实践能力!教师要注意对于学生实习作业的指导!包括对于实际测量问 题的选择!及时纠正实际操作中的错误!解决测量中出现的一些问题!
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书 书 书
! "#! " "" "" 正弦定理 "" "" "" "" ""
整体上关注数学情境的建立!充分挖掘现实世界和实际生活中的有关数学实例!力求问 题 的引入能够反映一定的生活背景!激发学生学习数学的兴趣!并体会数学的应用价值!
"##要求学生掌握正弦定理及其证明!
"$#会初步应用正弦定理解斜三角形!培养数学应用意识!
"%#熟记正 弦 定 理 "
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"*#掌握正弦定理和 三 角 形 面 积 公 式!并 能 运 用 这 两 组 公 式 求 解 斜 三 角 形 和 解 决 实 际 问 题!在问题解决中!培养学生的自主学习和自主探索能力!
#!教学重点$
"##正弦定理的推导及其证明过程!
"$#利用三角函数的定义和外接圆法证明正弦定理!
"%#应用正弦定理和三角形面积公式解题!
$!教学难点$
"##正弦定理的猜想的提出过程!
"$#正弦定理的推导及其证明过程!
%!正弦定理最常用的四种证明方法%几何 法&面 积 法&外 接 圆 法 和 向 量 法'!教 科 书 是 利 用 第二种方法$面积法!因为几何法是通过作 %' 边上的高#) 将任意三角形中的角边关系转化 为直角三角形中的角边关系!由于垂足 ) 位置不同!所以要进行分类说明!因此教科书没用几 何法而是用解析法!即建立直角坐标系方法利用面积相等来证明的!而其他证明方法则分别说 明如下$
几何法$若 ' 为锐角"图! ##!过点 # 作#) $%' 于)!此时有&'(%)#)
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书 书 书
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面积法是计算三角形面积时选择底与高的不同但结果一样即等积法得出的%
外接圆法则是在直角三角形与外接圆这种特例中引申出的一种将任意三角形转化为直角 三角形的方法!如图! +所示%
图! ' 图! +
到这里我们就证明完了 &
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#$%$&')"其 中 ) 为 外 接 圆 半 径#!并 还 能 给 出 它 的几个简单变式与结论%
图! , 最后的向量法是将 三 角 形 中 的 向 量 等 式 转 化 为 数 量 等 式!在 向 量 的
数量积中!由向量的 投 影 可 产 生 三 角 函 数!从 而 得 到 相 应 的 角 边 关 系%在
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教科书中的五个例题对照起来看!都是利 用 正 弦 定 理 解 决 三 角 形 边 角 问 题!但 例 "&例 +&
例,解的唯一性与例'的多解形成了一个对比%例1的结论可以看作三角形的面积公式%在这 里对于三角形解的个数问题作了详细的讲解!目 的 让 学 生 明 白 产 生 两 解 的 原 因 及 其 具 体 地 怎 么判断增解%由此总结出利用正弦定理!可以解决以下两个斜三角形的问题'
""#已知两角及任一边!求其它两边和一角%
"'#已知两边及其中一边的对角!求另一边的对角!进而进一步求出其它的边和角%
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书 书 书
本节课可采用!探究式"教学模式#即在教 学 过 程 中#在 教 师 的 启 发 引 导 下#以 学 生 独 立 自 主和合作交流为前提#以!正弦定理的发现"为基本探究内容#以周围世界和生活实际为参照 对 象#为学生提供充分自由表达$质疑$探究$讨 论 问 题 的 机 会#让 学 生 通 过 个 人$小 组$集 体 等 多 种解难释疑的尝试活动#将 自 己 所 学 知 识 应 用 到 对 任 意 三 角 形 性 质 的 深 入 探 讨 中#让 学 生 在
!活动"中学习#在!主动"中发展#在!合作"中增知#在!探究"中创新!设计思路如下%
创设情境 布疑激趣!
观察实验 建立模型!
探寻特例 提出猜想!
深入思考 证明猜想!
简单应用 总结评估
探索!"我们前面学习过直角三角形中的边角关系#因此#在 !"#"#$ 中#设 $#$%&#则 '()"#%
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探索#"这个结论对于任意三角形可以证明是成立的!
探索$"充分挖掘三角形中的等量关系#可以探索出不同的证明方法!
学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下#在教师预设的思路中#学生积极主动参 与 一个个相关联的探究 活 动 过 程#通 过!观 察'''实 验'''归 纳'''猜 想'''证 明"的 数 学 思 想 方法发现并证明定理#让学生经历知识形成的 过 程#感 受 创 新 的 快 乐#激 发 学 生 学 习 数 学 的 兴 趣!其次#以问题为导向设计教学情境#促使学 生 去 思 考 问 题#去 发 现 问 题!因 此 做 好 本 节 内 容 的教学#有利于 学 生 通 过 对 任 意 三 角 形 中 正 弦 定 理 的 探 索$发 现 和 证 明#感 受 !类 比'''猜 想'''证明"的科学研究问题的思路和方法#体会由!定性研究到定量研究"这种数学地思考 问 题和研究问题的思想#养成大胆猜想$善于思考的品质和勇于求真的精神!
例!"在#"#$ 中#"( 是$#"$ 的平分线#用正弦定理证明%"#
"$##(
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图+ , 证明"如图+ ,#设 $#"(#!#$#("#"#则 $$"(#!#$$("#
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说明!"*#判断三角形的形状特征!必 须 深 入 研 究 边 与 边 的 大 小 关 系$是 否 两 边 相 等% 是 否三边相等% 或 研 究 角 与 角 的 大 小 关 系$是 否 两 角 相 等% 是 否 三 角 相 等% 有 无 直 角% 有 无 钝角%
"+#此类问题常用正弦定理"或将学习的 余 弦 定 理#进 行 代 换&转 化&化 简&运 算!揭 示 出 边 与边或角与角的关系!或求出角的大小!从而作出正确的判断(
图, - 例!!如图, -!某登 山 队 在 山 脚 " 处 测 得 山 顶% 的 仰 角 为
./0!沿倾斜角为+)0的斜坡前进 *))) 1 后 到 达) 处!又 测 得 山 顶 的仰角为-/0!求山的高度"精确到*1#(
分析!要求 %'!只要求出 "%!为此考虑解#"%)(
解!过点 ) 作)*$"' 交%' 于*!因为%)"'$+)0!
所以%")*$*-)0!于是%")%$.-)02*-)02-/0$*./0(
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相关链接
正弦定理推证中的三个"副产品#
在教学中对正弦定理"等于#&#推导的探究中!还可以利用常用的三角形的外接圆方法来 推导%在完成任务的同时还得到了几个非常优美的"副产品#%
图, , 如图 , ,!在 "'() 中!'(*()&'(#')(!而 #')(* #'*(!
$$*#&&'(#'*($其中 & 为三角形外接圆的半径%!$ '(
&'(#'*(*#&!同 理可得 *'
&'(#*('*#&! *(
&'(#*'(*#&!从而正弦 定 理 得 证%只 要 稍 稍 注 意 一下!上述证明中只用到了边 '(!而与它相随相伴的另一条边 ') 却未受 人注意%事实上对边 ') 的探究!可以得到许多不错的结论%
结论!$在"*'( 中!&'(*+&'('+&'(( ./&*+./&'+./&(%#%
证明 $ 由 图 , , 易 得 ') *#&./&#'*(!同 理 得!*) *#&./&#*'(!而 *' *
#&&'(#*('!在 "*') 中!*) + ') & *'!所 以 #&./& #'*( + #&./& #*'( &
#&&'(#*('!$./&#'*(+./&#*'(&&'(#*('&0%
同理可得$./&#*'(+./&#'(*&&'(#'*(&0!
$$$$$./&#'*(+./&#*('&&'(#*'(&0%
将以上的三式相加!并整理得&'(*+&'('+&'(( ./&*+./&'+./&(%#%
图, 1 当是锐角三角形时!在图 , , 中 若 连 接 '!!*! 并 延 长 分 别 交 圆!
于+!,!再连接 ',!,(!(+!+*!则 得 到 图 , 1%因 为 在 23"*', 中!
#*,'*#*('!则 ',*#&./&(!同理,(*#&./&'!而 ')*#&./&*%
在四边 形 ()', 中!显 然 有 )' +', +,(&()&另 一 方 面!六 边 形
*)',(+的周长小于圆的周长!即
%&$./&*+./&'+./&(%%#!&!即 ./&*+./&'+./&(%!
#%于 是 有下面的结论#成立%
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书 书 书
结论!!在"!"# 中!!#"#$!%"#$"%"#$##!
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在图 ' ' 的 "!"% 中!由 余 弦 定 理 得 !"&(!%&%"%&)&!% ""%"#$$!%"!而
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适当变形!即可得到下面的结论-$
结论"!在"!"# 中!"#$&!%"#$&"%"#$&#%&"#$!"#$""#$#(!$
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书 书 书
!! " "! "" "" 余弦定理 "" "" "" "" ""
余弦定理的研究是对初中数学中对于三角 形 的 定 性 研 究 的 进 一 步 深 化!从 定 量 研 究 的 角 度去展开的!突出了函数和量化的数学思想!教科书中对余弦定理的证明是从两点之间的距离 公式出发的!这 样 做 的 目 的 是 体 现 从 特 殊 到 一 般 的 归 纳 过 程!一 定 程 度 上 也 反 映 了 类 比 的 思想!
"##掌握余弦定理及其证明!
""#使学生能初步运用余弦定理解斜三角形!
"$#能熟练运用正弦定理$余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题!
"%#能把一些简单的实际问题转化为数学 问 题!并 能 应 用 正 弦 定 理$余 弦 定 理 及 相 关 的 三 角公式解决这些问题!
#!教学重点%
"##余弦定理的证明及其运用!
""#能灵活运用余弦定理解斜三角形!
"!教学难点%
能熟练应用正弦定理$余 弦 定 理 及 相 关 公 式 解 决 三 角 形 的 有 关 问 题!牢 固 掌 握 这 两 个 定 理!并使学生能应用自如!能判断何时有一解$何时有两解!
教师应引导学生观察余弦定理公式的特征 和 规 律 帮 助 记 忆 公 式!同 时 要 求 学 生 用 语 言 叙 述余弦定理!促进对公式的记忆!
$!余弦定理%
三角形任何一边的平方 等 于 其 他 两 边 平 方 的 和 减 去 这 两 边 与 它 们 夹 角 的 余 弦 值 乘 积 的 两倍!
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#!"!!#"!$!!"%&'&' 在余弦定理中!令 &"()*!这时%&'&")!所以#!"!!#"!'
由此可知余弦定理是勾 股 定 理 的 推 广'利 用 余 弦 定 理!可 以 解 决 以 下 两 类 有 关 三 角 形 的 问题"
#+$已知三边!求三个角%
#!$已知两边和它们的夹角!求第三边和其他两个角' 下面对余弦定理进行证明'
图, +)
#方法一!即教材中采用的解析法$建 立 如 图 , +)的 直 角 坐 标 系!则
$#)!)$!%##%&'$!#'-.$$!&#"!)$!则
!!"##%&'$$"$!###'-.$$!
"#!%&'!$##!'-.!$$!"#%&'$#"!
""!##!$!"#%&'$!
即!!""!##!$!"#%&'$'
同理可证""!"#!#!!$!!#%&'%!#!"!!#"!$!!"%&'&' 这一方法的优点是不必对 $ 是锐角&直角&钝角进行分类讨论' 思考"尝试用其它方法证明余弦定理'
图, ++
#方法二$若 $ 是锐角!如图, ++!过点% 作%(!$& 于点(!则$("
#%&'$!所以!!"&(!#%(!"#$&$$($!#%(!
"$&!#$(!$!$&'$(#%(!
"$&!##$(!#%(!$$!$&'$(
""!##!$!"#%&'$!
即!!""!##!$!"#%&'$'
类似地!可以证明当 $ 为钝角时!结论也成立!而当 $ 为直角时显然结论成立' 同理可证"
"!"#!#!!$!!#%&'%!#!"!!#"!$!!"%&'&'
#方法三$由正弦定理!得!"!)'-.$"!)'-.#%#&$!
所以!!"/)!'-.!#%#&$
"/)!#'-.!%%&'!&#!'-.%'-.&%&'%%&'&#%&'!%'-.!&$
"/)!('-.!%#+$'-.!&$##+$'-.!%$'-.!&#!'-.%'-.&%&'%%&'&)
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同理可证!
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余弦定理也可以写成下面的形式!
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!!# "
%&''"!!#"!$#!
!!" %
教科书中的例(说明了余弦定理作用之一!已知三角形的三条边长"可求出三个内角的大 小#例!说明了余弦定理作用之二!已知三角形的两边及夹角"可求出第三边#例)说明了余弦 定理作用之三!将角的余弦值用边表示%
建构主义提倡情境式教学"认为多数学习应与具体情境有关"只有在解决与现实世界相 关 联的问题中"所建构的知识才将更丰富$更有效 和 易 于 迁 移%教 师 的 作 用 是 创 设 学 生 能 够 独 立 探究的情境"引导学生去思考"参与知识获 得 的 过 程%因 此"做 好%余 弦 定 理&的 教 学"不 仅 能 复 习巩固旧知识"使学生掌握新的有用的知识"体会联系$发展等辩证观点"而且能培养学生的 应 用意识和实践操作能力"以及提出问题$解决问题等研究性学习能力%本节中"应立足于所创设 的情境"通过学生自主探索$合作交流"亲身经历提出问题$解决问题$应用反思的过程"使 他 们 成为余弦定理的%发现者&和%创造者&"让他们切身感受到创造的苦与乐%因此"知识目标$能力 目标$情感目标才能得到较好的落实"为今后的%定 理 教 学&提 供 了 一 些 有 用 的 借 鉴%创 设 数 学 情境是%情境'问题'反思'应用&教学的 基 础 环 节"教 师 必 须 对 学 生 的 身 心 特 点$知 识 水 平$
教学内容$教学目标等因素进行综合考虑"对可 用 的 情 境 进 行 比 较"选 择 具 有 较 好 的 教 育 功 能 的情境%
%情境'问题'反思'应用&的教学模式主 张 以 问 题 为%红 线&组 织 教 学 活 动"以 学 生 作 为 提出问题的主体%而如何引导学生提出问题是 教 学 成 败 的 关 键%教 学 实 践 证 明"学 生 能 否 提 出 数学问题"不仅受其数学基础$生活经历$学习 方 式 等 自 身 因 素 的 影 响"还 受 其 所 处 的 环 境$教 师对提问的态度等外在因素的制约%因此"教师 不 仅 要 注 重 创 设 适 宜 的 数 学 情 境(不 仅 要 具 有 丰富的内涵"而且还要具有%问题&的诱导性$启发性和探索性)"而且要真正转变对学生提 问 的 态度"提高引导水平"一方面要鼓励学生大胆地 提 出 问 题"另 一 方 面 要 妥 善 处 理 学 生 提 出 的 问 题%关注学生学习的结果"更关注学生学习的过程#关注学生数学学习的水平"更关注学生在数 学活动中所表现出来的情感与态度#关注是否给学生创设了一种情境"是否能使学生亲身经 历 数学活动过程"把%质疑提问&"培养学生的数 学 问 题 意 识"提 高 学 生 提 出 数 学 问 题 的 能 力 作 为 教与学活动的起点与归宿%
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湖南教育出版社
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书 书 书
例!!在长江某渡口处!江水以!"#"$的速度向东流!一渡船从长江南岸的 ! 码头出发!
预定要在%&'$ 后 到 达 长 江 北 岸" 码 头!设##"
!#为 正 北 方 向!已 知 " 码 头 在 ! 码 头 的 北 偏 东 '!(!并与! 码头相距'&)"# 处$该渡船应按什么方向航行# 速度是多少$角度精确到%&'(!速
度精确到%&'"#"$%#
图* ') 解!如图* ')!船 按##"
!%方 向 开 出!##"
!&方 向 为 水 流 方 向!以 !& 为 一边&!" 为对角线作平行四边形!&"%!其中 !"+'&)$"#%!!&+!,
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"&)+'&))-%&!).),'&),%&!/01$2%(.'!(%%'&3*!
所以!!%+"&%'&'4$"#%$因 此!船 的 航 行 速 度 为 '&'45%&'+
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在 $!"& 中!由 正 弦 定 理!得 167 &!"& +!&167&"!&
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所以!&!"&%)8&8($
所以!&%!#+&%!".&#!"+&!"&.'!(%2&8($
答'渡船应按北偏西2$8(的方向!并以''$4"#"$的速度航行$
例"!在$!"& 中!已知167!+)167"/01&!试判断该三角形的形状$
解!由正弦定理及余弦定理!得167! 167"+'
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因为('%!)'%!所以(+)$因此!$!"& 为等腰三角形$
图* '3 例#! 如 图 * '3!!* 是 $!"& 中 "& 边 上 的 中 线!求 证'!* +
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证明 ! 设 &!*"+!!则 &!*&+'*%(.!$在 $!"* 中!由 余 弦 定 理!得
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书 书 书
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相关链接
巧拼桌面
从前!京城里有一个很有名气的木匠!他做的活儿美观大方!精巧耐用(一堆杂乱零碎的木 头!到了他手里!能拼成很美的图案!装饰在家具上!显得优雅和谐(
有一次!他给人做了一个鼓形圆桌!在桌的侧面刻了几团云!簇拥着一条小龙!使人觉得 那 龙和云仿佛在空中轻轻游动(后来人们传说!在 一 个 雷 电 交 加 的 暴 雨 天!那 条 龙 真 的 飞 到 天 上 去了(
这件事不知怎么传到一个大臣的耳朵里!大 臣 信 以 为 真!觉 得 要 大 难 临 头!连 忙 向 皇 帝 禀 报$)陛下!有一个木匠刻了一条龙!下大雨的时候!那条龙真的飞上天了(*
)此话当真+*皇帝将信将疑(
)是我亲耳所闻!并已查明!所报属实(*看 皇 上 不 语!大 臣 连 忙 又 说$)陛 下!只 有 您 才 是 真 龙天子!现在一个下贱的木匠居然也造出了一条真龙!这是心怀叵测!是对万岁的最大不敬(*
皇帝本来生性多疑!唯恐失去他的皇位!听了此话大怒!立即命大臣带人将木匠抓来问罪(
)陛下息怒!若平白无故将木匠问罪!恐他不服!我想好了一个办法!能使木匠有口难 辩!死 而无怨(*接着大臣把自己想出的计谋说给皇上听!皇上点头同意了(
图0 *1 木匠很快被召进皇宫(皇 上 命 人 将 一 个 木 板 抬 到 木 匠 身 边(木 板 是 完 整 的
一块!下面是个正方形!上 面 是 个 等 腰 直 角 三 角 形!形 状 象 个 房 屋 的 )山 墙 *!如 图0 *1(
)听说你很聪明!朕 要 你 用 这 块 木 板 做 一 个 正 方 形 的 桌 面!不 准 浪 费 木 料!
也不准增添木料!锯成的块数最多$块!限你$日完成!如果逾期完不成!当斩,*
皇上对木匠说(
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书 书 书
!如能按期完成呢"#聪明的木匠镇静地问!
!朕赦你无罪$#
!皇上此话当真"#木匠不放心地问!
!君无戏言$#皇上肯定地 说!因 为 他 听 信 了 大 臣 的 话%认 为 这 样 一 块 木 板%按 照 提 出 的 条 件%是绝对拼不出一个正方形桌面的!
可是完全出乎皇帝和大臣的预料!到了第三天%木匠把桌面做好了%并且符合要求!皇帝一 看傻了眼%无奈只好赦免了木匠%那么%木匠是怎样拼的呢" 看了图! "#%你便会恍然大悟$
图! "#
当然%我们可以用数学中 的 三 角 知 识 严 密 地 证 明 木 匠 的 方 案 是 完 全 合理可行的!现证明如下&
如图! "#%设 " 是#$ 的 中 点%连 接 "%%"&%过 &%% 两 点 分 别 作
"%%"& 的平行线%相交于 '%连接 ('!
因为上面三角形是等腰直角三角形%则可设其腰长为)%所以!%#"$
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&!%下面正方形的边长为槡')!
在"%#" 中%由余弦定理知&
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槡#! 在直角三角形 "$& 中%由勾股定理知&
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由上可得 "%$"&%且!%"& 是直角%这样可以判定 %"&' 是正方形!
由三角形全等的判别条件很容易看出&""$&#"'(&%""%##"'%(!
可见%木匠可以分别沿 %"%"& 锯下两个三角形%然后按图中所示的 方 法 就 拼 成 了 一 个 正 方形桌面!
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书 书 书
!! "! "" "" 解三角形的应用举例 "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" ""
正弦定理!余弦定理体现了三角形中边角 之 间 的 相 互 关 系"在 测 量 学!运 动 学!力 学!电 学 等许多领域有着广泛的应用!
##$综合运用正弦定理!余弦定理等知识和方法解决与测量学!航海问题!三角形等一 些 几 何问题和物理问题等有关的实际问题!
#$$体会数学建模的基本思想"掌握求解实际问题的一般步骤!
#"$能够从阅读理解!信息迁移!数学化方 法!创 造 性 思 维 等 方 面"多 角 度 培 养 学 生 分 析 问 题和解决问题的能力!
#!教学重点!难点%
##$综合运用正弦定理!余弦定理等知识和方法解决一些实际问题!
#$$掌握求解实际问题的一般步骤"能熟练 应 用 正 弦 定 理!余 弦 定 理 及 相 关 公 式 解 决 与 三 角形有关的问题!
$!解斜三角形的应用!
解斜三角形在实际生活中的应用是很广泛的"如测量!航海!几何!物理等方面都要用到 解 三角形的知识!解与斜三角形有关的实际问题 过 程 中"贯 穿 了 数 学 建 模 的 思 想!这 种 思 想 就 是 从实际出发"经过抽象概括"把它转化为具体问题中的数学模型"然后通过推理演算"得出数 学 模型的解"再还原成实际问题的解!解题的一般步骤是%
##$准确理解题意"弄清应用题中有关 名 词!术 语"如 坡 度!仰 角!俯 角!视 角!象 限 角!方 位 角等"根据题意画出示意图"分清已知与所求&
#$$分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形"把实际问题转化为解三角形的问题&
#"$通过正确地运用正弦定理和余弦定理 来 解 三 角 形"一 是 要 会 解"二 是 要 选 择 适 当 的 方 法求解&
#%$检验解出的答案是否具有实际意义"对解进行取舍!
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书 书 书
!!理解实际应用问题中的有关名称!术语!
""#仰角和俯角$与目标视线在同一铅直平 面 内 的 水 平 视 线 和 目 标 视 线 的 夹 角%目 标 视 线 在水平视线上方时叫仰角%目标视线在水平视线下方时叫俯角!
"##方向角$从指定方向线到目标方向线的水平角!
$!熟悉三角形中有关公 式%除 正 弦 定 理!余 弦 定 理 外%还 需 要 熟 悉 两 角 和 与 差 的 正 弦!余 弦!正切及二倍角的正弦!余弦!正切公式!
%!解三角形应用题 的 另 一 个 难 点 是 运 算 问 题%由 于 将 正 弦 定 理!余 弦 定 理 看 成 几 个 &方 程'%那么解三角形的应用题实质上就是把已知 信 息 按 方 程 的 思 想 进 行 处 理%解 题 时 应 根 据 已 知和未知合理选择一个&容易解'的方程%从 而 使 解 题 过 程 简 洁!同 时%由 于 具 体 问 题 中 给 出 的 数据通常是近似值%故运算过程一般较为复杂%必须借助于计算器计算%因此要加强训练%达 到
&算法简炼%算式工整%计算准确'的要求!
&!解三角形实际问题的一般步骤是$
""#分析$准确理解题意%尤其要理解应用 题 中 的 有 关 名 词!术 语 所 表 示 的 量%分 清 已 知 与 未知%画出示意图%抽象成三角形相应边和角及相应大小!位置(
"##建模$根据已知条件与求解目标%把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中%建 立 一个解斜三角形的数学模型(
"!#求解$利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形%求得数学模型的解(
"$#检验$检验上述所求的解是否符合实际意义%从而得出实际问题的结论!
解三角形实际问题的基本思路$
'!解斜三角形应用题常见的几种情况$
""#实际问题经抽象概括后%已知与未知量 全 部 集 中 在 一 个 三 角 形 中%可 用 正 弦 定 理 或 余 弦定理解之%如教科书中的例"%例#!
"##实际问题经抽象概括后%已知量与未知 量 涉 及 两 个 三 角 形 中%这 时 需 按 顺 序 逐 步 在 两 个三角形中求出问题的解%如教科书中的例!%例$!
"!#实际问题经抽象概括后%涉及的三角形 只 有 一 个%但 由 题 目 已 知 条 件 解 此 三 角 形 需 连 续使用正弦定理或余弦定理!
"$#实际问题可大致分为长度问题!高度问题!角度 问 题!速 度 问 题%比 如 教 科 书 中 的 例 "!
例$均为速度问题%其中长度%高度%速度可合称距离问题%仰角%俯角%方向角则合称为角度问 题!还可选择后面的例题作为参考!补充!
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书 书 书
解三角形是这一章节中的重要内容!对于后面的解析几何"立体几何的学习也有着重要 的 意义!在所有解三角形的类型中!已知两边和其中一边的对角的解三角形问题是情况最为复杂 的一类!学生在解答这一类问题时!往往会出现 增 根 或 把 简 单 问 题 复 杂 化!学 生 在 这 节 课 前 已 经学习完成了解三角形的所有类型!在平时训 练 中!已 经 有 了 一 定 的 分 类 讨 论 的 意 识!这 节 课 的设计希望发展学生的四个能力#$!%运算能 力$可 以 使 用 计 算 器%!在 课 堂 教 学 上 给 出 一 定 的 时间用于学生的计算&$"%数形结合的能力&$#%分类讨论的能力&$$%严密的逻辑思维能力!
辩证唯物主义认识论"现代教学观和建构主义教学观与学习观指导下的'情境(问题( 反 思(应用)教学实验方式!旨在培养学生的数学问题意识!养成从数学的角度发现和提出问 题"
形成独立思考的习惯!提高学生解决数学问题 的 能 力!增 强 学 生 的 创 新 意 识 和 实 践 能 力!创 设 数学情境是前提!提出问题是重点!解决问题是核心!应用数学知识是目的!因此所设情境要 符 合学生的'最近发展区)!'正"余弦定理)具有 一 定 广 泛 的 应 用 价 值!教 学 中 我 们 要 从 实 际 需 要 出发创设情境!要充分利用教科书中的例题创设问题情境!帮助学生从实际问题中抽象出数 学 模型!学会运用正弦定理和余弦定理解斜三角形!
充分利用学生资源!从多方位"多角度着手!让学生参与创造性的数学活动!让应用意识 化 为信念!伴随着学生的学习与生活!成为学生终 生 享 用 的 财 富!解 斜 三 角 形 在 生 产 实 践 中 有 着 广泛的应用!核心问题是将实际问题转化为解斜三角形的数学问题!
图% !&
例!!如图% !&!某渔轮在航行中不幸遇险!发出呼救信号!我 海军舰艇在 " 处获悉后!测 出 该 渔 轮 在 方 位 角 为 $'(!距 离 为 !) 海 里的 # 处!并测得渔轮正 沿 方 位 角 为 !)'(的 方 向!以 * 海 里 的 速 度 向小岛靠拢!我海军舰艇立即以"!海里的速度前去营 救!求 舰 艇 最 快靠近渔 轮 的 航 向 和 所 需 的 时 间 $角 度 精 确 到 )+!(!时 间 精 确 到
!,-.%!
解!设舰艇收到信号$/后在 % 处靠拢渔轮!则 "%0"!$!%#0*$!
又 "#0!)!""#%0$'(1 !%)$ (2!)'( 0!")% (!
由余弦定理!得
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即
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书 书 书
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由正弦定理#得
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答$舰艇应沿着方向角22./-的方向航行#经过%&'()就可靠近渔轮"
例!#作用在同一点的三个力&,#&"#&#平衡"已知&,!#&3#&"!0&3#&,与&"之间的 夹角是2&-#求&#的大小与方向!精确到&.,-""
解#&#应和 &,#&"合力 & 平衡#所以 &#和 & 在同一直线上#
并且大小相等#方向相反"
图/ ,4 如图/ ,4#在$'&,& 中#由余弦定理#得
&! #&槡 "10&"5"6#&60&78*,"&-!4&!3"#
再由正弦定理#得
*()!&,'&!0&*(),"&- 4& !0 #槡
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所以!&,'&"#/."-#从而!&,'&#",%,./-"
答$&#为4&3#&#与 &,之间的夹角是,%,./-"
本例是正弦定理%余弦定理在力学问题中的应用#教学时可作如下分析$
由图根据余弦定理可求出 '&#再根据正弦定理求出!&,'&"
图/ ,/
例"#如图 / ,/#半 圆 ' 的 直 径 为 "#$ 为 直 径 延 长 线 上 的 一 点#
'$!"## 为半圆上任意一点#以 $# 为一边作等边三 角 形$#%"问$点 # 在什么位置时#四边形 '$%# 面积最大&
分析#四边形的面积由点# 的位置唯一确定#而点# 由!$'# 唯一 确定#因 此 可 设 !$'#!!#再 用! 的 三 角 函 数 来 表 示 四 边 形 '$%# 的 面积"
解#设!$'#!!"在$$'# 中#由余弦定理#得
$#"!,"1""5"6,6"78*!!05%78*!"
于是#四边形 '$%# 的面积为 ( !($$'#1($$#%
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书 书 书
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对于本例#教学中可引导学生分析得到 四 边 形 #"%$ 的面积随着! "! "#$ 的 变 化 而 变"
化#这样将四边形#"%$ 的面积表示成! 的函数#利用三角形的有界性则可求出四边形#"%$
的面积最大值!
例!#$"$% 中#若已知三边为连续正整数#最大角为钝角#!-"求最大角的余弦值$!""求 以此最大角为内角#夹此角两边之和为*的平行四边形的最大面积!
解#!-"设三边&!'&-#(!'#)!'(-#'%"&且''-#
.% 为钝角#/01#%!&"(("&)"
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"!'&-"!+#解得-!'!*#
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当'!'时#&!"#(!'#)!*#01#%!&-
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所以#,!*+#$%%!*!*&*"%槡-)
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相关链接
距离测量
测量距离是测量的基本工作之一#所谓距离是指两点间的水平长度!如果测得的是倾斜距 离#还必须改算为水平距离!按照所用仪器&工 具 的 不 同#测 量 距 离 的 方 法 有 钢 尺 直 接 量 距&视 距测量&视差法测距和电磁波测距等#下面重点介绍两种测量距离的方法'钢尺直接量距&视 距 测量!
钢尺量距的一般方法 一!量距的工具
钢尺是钢制的带 尺#如 图 5 -6#常 用 钢 尺 宽 -+22#厚 +7"22#长 度 有 "+ 2&'+ 2 及 )+2几种#卷放在圆形盒内或金属架上!钢尺的基 本 分 划 为 厘 米#在 每 米 及 每 分 米 处 有 数 字 注
记!一般钢尺在起点处一分米内刻有毫米分划$有的钢尺#整个尺长内都刻有毫米分划!
由于尺的零点位置的不同#有端点尺和刻线尺的区别!
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书 书 书
图! "#
!!端点尺是以尺的最外端作为尺的零点!当从建筑物墙边开始丈量时使用很方便!
刻线尺是以尺前端的一刻线作为尺的零点!
丈量距离的工具!除钢尺外!还有标杆"测钎和垂球!
二!直线定线
当两个地面点之间的距离较长或地势起伏较大时!为使量距工作方便!可分成几段进行 丈 量!这种把多根标杆标定在已知直线上的工作称为直线定线!一般量距用目视定线!
三!量距方法
"!平坦地区的距离丈量
丈量前!先将待测距离的两个端点 "!# 用 木 桩 #桩 上 钉 一 小 钉$标 志 出 来!然 后 在 端 点 的 外侧各立一标杆!清除直线上的障碍物后!即 可 开 始 丈 量!丈 量 工 作 一 般 由 两 人 进 行!如 图 !
$%!后尺手持尺的零端位于" 点!并在 " 点上插一测钎!前尺手持尺的末端并携带一 组 测 钎 的 其余&根#或"%根$!沿 "# 方向前进!行至一尺段处停下!后尺手以手势指挥前尺手将钢尺拉 在 "# 直线方向上%后尺手以尺的零点对准# 点!当两人同时把钢尺拉紧"拉平和拉稳后!前尺 手在尺的末端刻线处竖直地插下&测 钎!得 到 点 "!这 样 便 量 完 了 一 个 尺 段!随 之 后 尺 手 拔 起
" 点上的测钎与前尺手共同举尺前进!同法量 出 第 二 尺 段!如 此 继 续 丈 量 下 去!直 至 最 后 不 足 一整尺段#$&#$时!前尺手将尺上某一 整 数 分 划 线 对 准 # 点!由 后 尺 手 对 准$ 点 在 尺 上 读 出 读数!两数相减!即可求得不足一尺段的余长!
图! $%
距离要往"返丈量!迟测时要重新进行定 线!取 往"返 测 距 离 的 平 均 值 作 为 丈 量 结 果!量 距 精度以相对误差表示!通常化为分子为"的分式形式!
$!倾斜地面的距离丈量
#"$平量法
沿倾斜地面 丈 量 距 离!当 地 势 起 伏 不 大 时!可 将 钢 尺 拉 平 丈 量!丈 量 由 " 向# 进行!甲立 于 " 点!指挥乙将尺拉在 "# 方向线上!甲将尺的零端对准 " 点!乙将尺子抬高!并且目 估 使 尺子水平!然后用垂球尖将尺段的末端投于地面上!再插以插钎!若地面倾斜较大!将钢尺抬平
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书 书 书
有困难对!可将一尺段分成几段来平量!如图! "#!
""#斜量法
图! "# 图! ""
当倾斜地面的坡度均匀时!可 以 沿 着 斜 坡 丈 量 出 "# 的 斜 距$!测 出 地 面 倾 斜 角!然 后 计 算 "# 的水平距离%!如图! ""!
视距测量
图! "$
用有视距 装 置 的 测 量 仪 器!按 光 学 和 三 角 学 原 理 测定两点间距 离 "有 时 还 包 括 高 差 #的 方 法!这 种 方 法 操作简便$迅速!不受 地 面 起 伏 的 限 制!但 精 度 较 低!但 能满足测定 碎 部 点 位 置 的 精 度 要 求!因 此 被 广 泛 应 用 于碎部测量中!
视距测量的原理如图! "$所示!
视距 测 量 所 用 的 主 要 仪 器 工 具 是 经 纬 仪 和 视 距尺!
一!视距测量原理
#!视线水平时的距离与高差公式
欲测定 "!# 两点间的水平距离% 及高差&!可在 " 点安置经纬仪!# 点立视距尺!设望远 镜视线水平!瞄 准 # 点视距尺!此时视线与视距尺垂直!如图 ! "%!求得上$下视距丝读数 之 差!上$下丝读数之差称为视距间隔或尺间隔!用'表示!
计算公式%%&('!其中 ( 为视距乘常数!
图! "%!内调焦望远镜成像原理图
"!视线倾斜时的距离与高差公式
如图! "'!在地面 起 伏 较 大 的 地 区 进 行 视 距 测 量 的!必 须 使 视 线 倾 斜 才 能 读 取 视 距 间
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隔!由于视线不垂直于视距尺!故不能直接应用上述公式!而应用下面公式来计算!
"!#$""#$%!!
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%#$"$'(%!)&*'!
图+ %,!视线倾斜时视距测量 二!视距测量的观测与计算
施测时!安置仪器于 ( 点!量出仪器高&!转动照准部瞄准 ) 点视距尺!分别读取上#下#中 三丝的读数!计算视距间隔!再使竖盘指标水 准 管 的 气 泡 居 中!读 取 竖 盘 读 数!并 计 算 竖 直 角!
用计算器计算出水平距离和高差!
三!视距测量误差及注意事项
&!视距测量的误差
读数误差是指视距丝在视距尺上读数的误差!与尺子最小分划的宽度#水平距离的远近 和 望远镜放大倍率等因素有关!因此读数误差的大小!视使用的仪器#作业条件而定!
垂直折光影响$视距尺不同部分的光线是通过不同密度的空气层到达望远镜的!越接近 地 面的光线受折光影响越显著!经验证明!当视线 接 近 地 面 在 视 距 尺 上 读 数 时!垂 直 折 光 引 起 的 误差较大!并且这种误差与距离的平方成比例地增加!
视距尺倾斜所引起的误差$视距尺倾斜误差的影响与竖直角有关!尺身倾斜对视距精度 的 影响很大!
%!注意事项
%&&为减少垂直折光的影响!观测时应尽可能使视线离地面&- 以上'
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%1&视距尺一般应是厘米刻划的整体尺!如果使用塔尺应注意检查各节尺的接头是否准确'
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