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主題一 等差數列、等差級數

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Academic year: 2022

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(1)

3

Ø 等差數列、等差級數 Ø 等比數列、等比級數 Ø 無窮等比級數之和 Ø 重點回顧

Ø

歷屆試題

(2)

主題一 等差數列、等差級數

◎ 等差數列、等差級數

1. 等差數列:數列〈 a  〉中,滿足 

- = - = L = n - -1 = ,d 為定值,則稱〈 a  〉 為等差數列,為公差。

2. 等差級數:若數列〈 a  〉為等差數列,此時  a + + L + 稱 為「等差級數(A.P.)」或(算術級數)。

3. 設數列〈 a  〉為首項  a  ,公差為 的等差數列:

a.一般項: a = 1 + ( - 1 ) d 或 a = + ( - ( n > ) m  b.前 n 項和:

[ ]

(

S + - = + )  2 

1  (  2 2 

c.公差: 

n

-

= -

等差中項

若 a 三數成等差,則等差中項 

b +

= 。

◎ 成等差特殊假設法

1. 三數: a - +

2. 四數: a - 3 - + + 3 

(3)

教師解析 自我挑戰

若在 2 與 22 之間插入三數 

、 、 且 a < < ,使之成為等 差數列,則 a + - 之值為?

1. 設一等差數列的首 項為 3,第 5 項為 9,

則其第 9 項為?

2. 若一數列之ㄧ般 項(第 n 項)為 

4 - n  ,則其第 10 項 為?

若一等差數列第 7 項為-37, 第 19 項為-29,則此數列第幾項開始為 正數?

3. 若一等差數列第 9 項為 20,第 20 項為 -13,則此數列第幾 項開始為負數?

4. 等差數列第 3 項 為-137,公差為 3,則此數列第幾 項開始為正數?

(4)

若 x + 5 , 2 , 4 + 1 三數成等差,求 

x ? 5. 若  1 ­ 2 為 2 + x 與  x

的等差中項,求 x ? 6. 設 3 + x  7 與 5 - x  3 之 等差中項為 2 + x ,求 

x ?

一等差數列前三項之和為 30,且前三 項平方和為 308,求其公差

7. 三數成等差,若三數 之和為 15,三數之平方和 為 203,求其公差? 8. 五個數成等差,且五 數之和為 35,最大數與最 小數之差為 32,求此五 數?

(5)

由 1 至 153 之間,所有 4 的倍數之 總和等於?

9. 於 5 與 93 之間插 入七個數,使成等差 數列,則插入七個數 之和為?

10. 3 和 1001 之間,

可被 13 整除之整數之 和為?

一等差數列之首項為-4,公差為 3,

和為 1185,求此數列之項數?

11.一等差數列之首 項為-50,前 50 項 之和為 2400,求此 數列之公差?

12. 一等差數列之首 項為 5,公差為 7,

和為 365,求此數 列之項數?

(6)

作業研究

1. 設一等差數列第三項為 6,第六項為 27,則其第十項為(A)50 (B)55 (C)25 (D)20。

2. 若一等差級數的前 10 項之和為 100,前 20 項之和為 300,則此級 數的前 30 項之和(A)500 (B)550 (C)600 (D)650。 

3.  設有一等差級數首項為 5,公差為 7,和為 365,則此級數共有幾 項(A)35 (B)5 (C)10 (D)20 項。 

4.  一等差數列之首項為 5,第 7 項為 53,則公差為(A)5 (B)6 (C)7 (D)8。

5. 同上題,第 20 項為(A)151 (B)157 (C)167 (D)188。

6. 等差數列第 12 項為 54, 第 30 項為 144, 求此數列之第 20 項為(A)85 (B)86 (C)93 (D)94。

7. 求 100 到 300 的自然數中,7 倍數之總和為(A)5585 (B)5586 (C)6768 (D)6899。

8. 求 2+6+10+……+162 之總和為(A)3362 (B)4425 (C)5123 (D)6279。

9. 求-12-7-2+3+……+138 之總和為(A)1953 (B)1884 (C)1725 (D)1638。

10. 已知 =  n 7 + 3 ,求 S  為(A)35650 (B)36688 (C)25258 100  (D)24110。

(7)

~解答~

自我挑戰:

1.15 2.37 3.16 4.49 5.-4 或-24 6. 

- 1 7.±8 8.-9,-1,7,15,23 9.343 10.39039 11.4 12.10 作業研究

1.B 2.C 3.C 4.D 5.B 6.D 7.B 8.A 9.A 10.A

(8)

主題二 等比數列、等比級數

◎ 等比數列、等比級數、等比中項

(1) 等比數列:數列〈 a  〉中,若滿足 

= = = = ¹ ,

-

L L

為定數,則稱數列〈 a  〉為等比數列, r 為公比。

(2) 等比級數:若數列〈 a  〉為等比數列,此時 

a + + + L + 稱

為「等比級數(G.P.)」或(幾何級數)。

(3) a.設數列〈 a  〉為首項  a ,公比 r 為的等比數列, b.一般項: = a 1 - 或 a = - ( n > ) m 

c.前 n 項和: 

1  )  1  (  1 

)  1 

1

-

= - -

-

( r ¹ 1 )

(4) 等比中項:若 a c 三數成等比,則等比中項  ac 

b ± = 。

(9)

教師解析 自我挑戰

已知ㄧ等比數列之各項均為正

數,若首項為 12,第七項為  16 

,則公比為?

1.已知ㄧ等比數列的第三 項為 20,第八項為 640,

則其公比為?

2.若等比數列 á a  ,已知 ñ 首項 1 36 ,公比 

2  - 1

,則第六項 a  =?

等比數列首相為 5,公比為 2, 

1280

,求 n ?

3.一等比數列 10 1000 , 公比為  5 

- 1 , 

25  - 8

,求 

n ?

4.設一等比級數的首項為 2,公比為 5,和為 1562,

則此級數共有幾項?

(10)

設一等比級數的首項為 2,公比 為 5,和為 1562,則此級數共有幾 項?

5.求等比級數 L + + -

+  2 

)  3  1  3  ( 

2  至

第六項的和為?

6. 設一等比數列的首項 為 3,公比為 2,則其 前六項的和為?

設  1 - 9 為 x + 1 與 3 - x  5 之等 比中項,求 x 之值?

7.設 x 為 x + 2 與 2 - x  3 之 等比中項,求 x 之值?

8.若 2a  與 的等比中項 是 ± 9 ,求 a ?

(11)

作業研究

1.級數 9+99+999+…,至第八項的和為(A) 111211102 (B) 111111132 (C)111111102 (D) 111111122 。

2.設 a 四數成等比數列,若 a + b = 8 , c + d = 72 ,求公比 為(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3。

3.一等比數列的第四項為  5 

- 1 ,第 7 項為 25,試求此等比數列的第 9 項為(A)750 (B)625 (C)525 (D)620。

4. 設 a 四數成等比數列,若 a + c = 85 , b + d = 340 ,求公 比為(A)4 (B)5 (C)6 (D)7。

5.求等比數列 3,-6,12,-24…的第 12 項為(A)-6144 (B)-5052 (C)-6321 (D)-6044。

6.在 2 與 162 之間插入 3 個正數 x ,使得這 5 個數成等比數列,

x + y + = (A)67 (B)78 (C)82 (D)93。

7.設一等比級數的首項為 2,公比為 5,和為 1562,則此級數項數 n 為 (A)8 (B)7 (C)6 (D)5。

8.一等比數列之首項為 3,末項為 768,和為 1023 試求此數的公比為 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7。

9.同上題,項數 n 為(A)8 (B)7 (C)6 (D)5。

10.在-5 與 160 之間插入 4 個數,使得這 6 個數成等比數列,求此四 數之和為(A)-50 (B)-55 (C)-60 (D)-65。

(12)

~解答~

自我挑戰:

1.2 2. 

- 9 3.15 4.5 5. 

48 

- 133 6.189 7.-3 或 2 8. 

2  3 

作業研究

1.C 2.D 3.B 4.A 5.A 6.B 7.D 8.A 9.D 10.A

(13)

主題三 無窮等比級數之和

定義:有一個等比級數,若其項數為無限多項,則稱此級數為無窮等 比級數,此級數的和為

å

¥

=

-

- = + + + + +

ar  ar  ar  ar 

L L ,

討論:

1. 當 r < 1 時,此級數的和 

n

=  -

1  ,級數為收斂。

2. 當 r ³ 1 時,此級數無法求和,級數為發散。

常見的數列求和: 

1.  nc 

n

k

å

=

=1 

2.

å å

= =

=

× 

n

n

3.

å å å

= = =

±

=

± 

n

n

n

)  ( 

4.  ( 1  ) 

n

k =

å

+

å

< <

å

+

=

5.  2 

)  1  3  ( 

2  1 

1

= + + + + +

å

=

n

6.  6 

)  1  2  )( 

1  3  ( 

2 + +

= + + + +

å

=

n

7.  4 

)  1  3  ( 

2  1 

3 +

= + + + +

å

=

n

8.

å

=

+

= + + + +

× +

× +

×

=

n

)  2  )( 

1  )  ( 

1  (  4 

3  3  2  2  1  )  1 

(  L 

9.

å å

= = = +

- + + =

- =

n

n

1  1 

1  1  1 )  1  ( 1

)  1  ( 

1

(14)

教師解析 自我挑戰

無窮等比級數

L L + + +

+

3  2  27 

8  9  4  3 

2  的和為?

1.無窮級數

L + - + - +

-  32 

1  16 

1  8  1  4  1  2  1  1 

的和為?

2.無窮等比級數 L + + + 2  2 

的和為  3  4 , 則 r ?

求 +  + - + - + L 16 

1  8  1  4  1  2  1  1 

2  之

值?

3.求 +  + + + L 343 

8  49 

4  7  2  2 

之值?

4.求 + + + - + + L

125  25 

之值?

(15)

求 1 + 2 + 3 + L + 16 = ?

5.求

å

=

100 

)  1  3 

=?

6.求 11 + 12 + 13 + L + 20 =? 

b  15 

10  16  16 

15 

15 

1

=

=

=

å å

=

, ,

,則

å

=

+ + 

16 

)  1  3  2 

=?

7.  4  9  20  10 

19 

19 

1

=

=

=

å å

=

, , , 

20

å

=

+ - 

20 

)  4  3  2 

=?

8.  7  20 

11 

10 

2

=

=

=

å å

=

, , , 

11 15 

å

=

- + 

10 

)  2  3  5 

(16)

作業研究

1. 試求無窮等比級數:0.6+0.06+0.006+…=(A) 

(B)1 (C)  5  4 

(D)3。

2. 試求無窮等比級數: -  + - + L 8  1  4  1  2 

1  1  =(A) 

(B)1 (C) 

(D)3。

3. 試求級數

å

¥

=

- + 

)  1  ( 

=(A) 

(B)1 (C)2 (D)  5  4 

4. 試求無窮級數: L - + L +

+ +

3  1  2  3 

7  3 

3  3  1 

=(A) 

3  2  (B) 

2  3 

(C) 7  2  (D) 

5  4 

5. 試求

å

¥

=

=(A)  3  2  (B) 

2  3  (C) 

4  9  (D) 

9  4 

6. 設無窮等比級數

å

¥

=1 

收斂且其和為 5,則a=(A)  6  5  (B) 

5  6 

(C) 7  9  (D) 

9  13 

7. 設一無窮等比級數之和為 

,第二項為 

- 1 ,則公比=(A)  6  - 1

(B)  5  - 1 (C) 

4  - 1 (D) 

2  - 1

8. 一皮球自離地面 10 公尺高處落下,每次反跳高度為其落下時高度 的 

,試求此求到靜止時所經過的距離為(A)50 (B)55 (C)25 (D)20

公尺。

9. 一皮球自離地面 10 公尺高處落下,每次反跳高度為其落下時高度 的 

,試求此求到靜止時所經過的距離為(A)  5  92  (B) 

70  (C)  11  84 

(D) 

73  公尺。

10. 求 1×3+2×4+3×5+…+20×22=(A)3350 (B)3255 (C)3275

(17)

(D)3290。

~解答~

自我挑戰:

1.  3 

2  2. 

- 1 3. 

12  4. 

12 

11  5.5150 6.2485 7.63 8.45

作業研究:

1.A 2.A 3.D 4.B 5.C 6.A 7.D 8.A 9.B 10.D

(18)

重點回顧

等差數列、等差級數

1.等差數列:數列〈 a  〉中,滿足 

- = - = L = n - -1 = ,d 為定值,則稱〈 a  〉為等 差數列,為公差。

2.等差級數:若數列〈 a  〉為等差數列,此時  a + + L + 稱 為「等差級數(A.P.)」或(算術級數)。

3.設數列〈 a  〉為首項  a  ,公差為 的等差數列:

1.一般項: a = 1 + ( - 1 ) d 或 a = + ( - ( n > ) m  2.前 n 項和:

[ ]

(

S + - = + )  2 

1  (  2 2 

3.公差: 

n

-

= -

等差中項

若 a 三數成等差,則等差中項 

b +

= 。

成等差特殊假設法

1.三數: a - +

2.四數: a - 3 - + + 3 

等比數列、等比級數、等比中項

1.等比數列:數列 〈 a  〉 中,若滿足 

= = = = ¹ ,

-

L L

為定數,則稱數列〈 a  〉為等比數列, r 為公比。

2.等比級數:若數列〈 a  〉為等比數列,此時  a + + + L +

為「等比級數(G.P.)」或(幾何級數)。 3.設數列〈 a  〉為首項  a  ,公比 r 為的等比數列,

(19)

〈1〉 一般項: = a 1 - 或 a = - ( n > ) m 

〈2〉 前 n 項和: 

1  )  1  (  1 

)  1 

1

-

= - -

-

( r ¹ 1 )

等比中項:若 a c 三數成等比,則等比中項 b ± = ac 

無窮等比級數

有一個等比級數,若其項數為無限多項,則稱此級數為無窮等比 級數,此級數的和為

å

¥

=

-

- = + + + + +

ar  ar  ar  ar 

L L ,

討論:

當 r < 1 時,此級數的和 

n

=  -

1  ,級數為收斂。

當 r ³ 1 時,此級數無法求和,級數為發散。

常見的數列求和: 

1.  nc 

n

k

å

=

=1 

2.

å å

= =

=

× 

n

n

3.

å å å

= = =

±

=

± 

n

n

n

)  ( 

4.  ( 1  ) 

n

k =

å

+

å

< <

å

+

=

5.  2 

)  1  3  ( 

2  1 

1

= + + + + +

å

=

n

6.  6 

)  1  2  )( 

1  3  ( 

2 + +

= + + + +

å

=

n

L

(20)

7.  4  )  1  3  ( 

2  1 

3 +

= + + + +

å

=

n

8.

å

=

+

= + + + +

× +

× +

×

=

n

)  2  )( 

1  )  ( 

1  (  4 

3  3  2  2  1  )  1 

(  L 

9.

å å

= = = +

- + + =

- =

n

n

1  1 

1  1  1 )  1  ( 1

)  1  ( 

1

(21)

歷屆試題 

1.  設 p  表第 n 個質數,即 2 , = 3 , = 5 , L 。若 a  為一數列且 

2 -

= ,則 = Ⓐ  29  23 Ⓑ 

23  19 Ⓒ 

19  17 Ⓓ 

17  13 。

【95 統測】 

2.  試求級數 1 - 2 + 3 - 4 + L + 19 - 20 + 21 之總和?Ⓐ

201Ⓑ211Ⓒ221Ⓓ231。

【95 統測】 

3.  設 a 四正數成等比數列,若 

81 

ab = cd ,則此數列的

公比為何?Ⓐ2Ⓑ3Ⓒ9Ⓓ81。

【94 統測】 

4.  設

{ }

¥ =1 為一無窮數列, 若 

5  )  1  (  2 + -

= , 則

å

¥

=

Ⓐ  5  1 Ⓑ 

2  1 Ⓒ 

3  2 Ⓓ 

6  5 。

【94 統測】 

5.  設一等差數列的第 4 項為 10,第 8 項為 22,則第 35 項為多 少? Ⓐ94 Ⓑ10 Ⓒ103 Ⓓ109。

【93 統測】 

6.  設一等比級數的首項為 3,公比為 4,和為 4095,則此級數 共有多少項? Ⓐ5 Ⓑ6 Ⓒ7 Ⓓ8。

【93 統測】 

7.  無窮級數 3 52 9 2 1  5 5 5

n

+ + +L+ + + L 的和為多少? Ⓐ  3  Ⓑ  3 

4  Ⓒ  6  Ⓓ 11

12 。 【93 統測】 

8.  無窮等比級數 -  + - + L 32  27  8  9  2 

2  3  的和為多少?Ⓐ 

7  4 Ⓑ 

7  8 Ⓒ 

7 Ⓓ8。【92 統測】

(22)

9.  .若一等差數列的首項為-20,第 7 項為-11,則此數列從第 幾項開始為正數? Ⓐ12 Ⓑ13 Ⓒ14 Ⓓ15。

【92 統測】 

10.  若某人以年利率 20%複利向銀行借款十萬元,則 3 年後需 歸還銀 行本利和共多少元? Ⓐ114400 Ⓑ128800 Ⓒ160000 Ⓓ 172800。 【91 統測】 

11.  設四正數 a 、b、 c 、d 成等比數列,且a<b<c< d ,  28 

a+d = , b+ = c 12 ,試求其公比之值為何? Ⓐ  4  Ⓑ 

3  Ⓒ3 Ⓓ

4。 【91 統測】 

12.  已知五個數 80 、 u 、 405 成等差數列,則 w - u = ? Ⓐ 

325 Ⓑ90Ⓒ150Ⓓ 

2  325 。

【90 統測】 

13.  無窮等比級數 +  + + L 27 

4  9  2  3 

1  的和為何?Ⓐ 

2 Ⓑ1Ⓒ 

3 Ⓓ3。

【90 統測】 

14.  設 . 6 + 0 . 06 + 0 . 006 + 0 . 0006 + L ,則 a 之值為Ⓐ 

6  1 Ⓑ 

6  2 

Ⓒ 6  3 Ⓓ 

6  4 。

【89 推甄】 

15.  等差級數3 5+ +LL + 33 等於 Ⓐ288 Ⓑ256 Ⓒ240 Ⓓ196。

【89 推甄】 

16.  設頡倫欲訓練自己有良好的體能,為自己定下每天能做 100 下伏地挺身的目標,若他第一天只能做 20 下,以後每天增加 5 下,

請問從第幾天起才能達成目標?Ⓐ19 Ⓑ18 Ⓒ17 Ⓓ16。

【89 推甄】

(23)

17.  若

å å

= =

=

10 

10 

15  12 

, , 則

å

=

- + 

10 

)  3  2  3 

之值為Ⓐ63

Ⓑ57 Ⓒ48 Ⓓ36。 【89 推甄】 

18.  已知一等差數列的第三項為 3,第六項為-3,則其前六項的 和為Ⓐ7 Ⓑ12 Ⓒ15 Ⓓ16。

【88 推甄】 

19.  設 a  為一等差數列,且 a= -2n + ,則前十項之和為 Ⓐ -30 Ⓑ30 Ⓒ60 Ⓓ-60。

【88 南區夜】

20.設無理數 e = 2.71828 L,則無窮等比級數 1 12 13

e-e +e -e + LL之 和為 Ⓐ不存在Ⓑ 

e - Ⓒ 

e + Ⓓ  1  e - 。

【88 日工】

(24)

~解答~

歷屆試題:

1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.B 7.D 8.B 9.D 10.D 11.C 12.D 13.B 14.D 15.A 16.C 17.D 18.B 19.D 20.C

參考文獻

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