第 18 章 向量簡介

第 18 章 向量簡介

教學例題

(18A001) 教學例題 18.1

在圖中，ABCD 為一長方形，BEFC 為一菱形及 CFGD 為一平行四邊形。

證明

(a) ABFC DF； (b) EF CD AC。

(18A002) 教學例題 18.2

在平行四邊形 ABCD 中，G 為 BC 的中點，及 E 為 DC 上的一點，使 DE : EC = 2 : 1。

(a) 試以 AB 和 AD 表示 AE 。 (b) 試以 AB 和 AD 表示 GE 。

(18A003) 教學例題 18.3

在圖中，ABCD 為一平行四邊形，E 為 BC 的中點及 CF : FD  1 : 3。

(a) 試以 p 和 q 表示 AE 和 AF 。 (b) 若 p 4，求

(i) 2AEAF ；

(ii) 平行於 2AEAF 的單位向量。

教學例題 18.4

在圖中，ABCD 為一四邊形，其中 E、F、G 和H 分別為 AD、BD、BC 和 AC 的中 點。

(a) 試以 AB 表示 EF 和 HG 。

由此，證明 AB、EF 與 HG 互相平行。

(b) 試以 DC 表示 FG 和 EH。 由此，證明 EFGH 為一平行四邊形。

(18A005) 教學例題 18.5

已知 AB(s1)a(3t1)b 及 CD(3s1)a(t3)b，其中 a 和 b 為互不平行的非零向 量。

若 2ABCD，求 s 和 t 的值。

(18A006) 教學例題 18.6

已知 AB(6amb)2b 與 CD5am(ab) 互相平行，其中 a 和 b 為互不平行的非零 向量，且 m 為純量。求 m 的值。

(18A007) 教學例題 18.7

在圖中，A(–^{6, 3)}、B(–^{2, 1)}、C 和 D(–^{3, 5)} 為一平行四邊形的頂點。求 C 的

坐標。

(18A008) 教學例題 18.8

設 A(4, 5)、B(7, 2) 和 C(–1, 2) 為一坐標平面上的三點。

(a) 求 AB 。

(b) 若 OQAB，求 OQ 與正 x 軸的交角。

(c) 求 AB4OC。由此，求一單位向量，使其方向與 AB4OC 相反。

(18A009) 教學例題 18.9

設 A(2, 3) 和 B(6, 7) 為坐標平面上的兩點。已知 R 對於 O 的位置向量 為 OR(1)OA(1)OB，其中  為純量。

(a) 試以 、i 和 j 表示 OR 。

(b) 若 OR 與 ⁵i  6j 互相平行，求  的值。

(18A010)

教學例題 18.10

已知 OA2i3jk 及 OB4ijk。 (a) 求 AB 。

(b) 若 AB 6，求  的值。

(18A011)

教學例題 18.11

已知三點 A(1, m, n  1)、B(3, 2m  1, 4n – 2) 和 C(7, 5m, 6n  4)。若 AB 與 BC 互相平行，

求 m 和 n 的值。

(18A012)

教學例題 18.12

在圖中，ABCDHEFG 為一直立棱柱，其底為平行四邊形 ABCD。 (a) 證明 BABCBF BH。

(b) 已知頂點的坐標為 A(4, 0, 3)、B(5, 3, 4)、C(1, 4, 5) 和 F(4, 2, 8)。

(i) 求 H 的坐標。

(ii) 求 BH 和 OH 的長度，其中 O 為原點。

(18A013)

教學例題 18.13

在圖中，ABCD 為一平行四邊形。E 是 BC 上的一點，使 BE : EC  2 : 1；

F 則是 AE 上的一點，使 AF : FE  1 : 2。 設 ABp 及 ADq。

(a) 試以 p 和 q 表示 DE 。 (b) 試以 p 和 q 表示 DF 。

教學例題 18.14

在圖中，D 和 E 分別為 AB 和 AC 的中點。設 ABp，AC q， BQ : QE  m : n 及 CQ : QD  m : 1。

(a) (i) 試以 ^p、q、m 和 n 表示 AQ。 (ii) 試以 p、q 和 m 表示 AQ。 (b) 由此，求 m 和 n 的值。

(18A015)

教學例題 18.15

在下列各情況中，A 和 B 為坐標系統上的兩點而 O 為原點。Q 是 AB 上 的一點，使 AQ : QB  2 : 5。

(a) 若 A 和 B 的坐標分別為 ^{(2, 3)} 和 ^(9, –¹¹⁾，求 OQ 。

(b) 若 Q 和 B 的坐標分別為 (–3, 5, 1) 和 (2, –5, 6)，求 A 的坐標。

(18A016)

額外教學例題 18.8

設 A(–1, 3)、B(3, 5) 和 C(6, –1) 為一坐標平面上的三點。

(a) 求 AB 。

(b) 若 OR2AB，求 OR 與正 x 軸的交角，答案須準確至最接近的 0.1。

(c) 求 OR2OC。由此，求一單位向量，使其方向與 OR2OC 相同。

(18A017)

額外教學例題 18.12

在圖中，ABCDHEFG 為一棱柱，其底為平行四邊形 ABCD。 (a) 證明 CBCDCGCE。

(b) 已知頂點的坐標為 B(4, 6, 0)、C(7, 12, 1)、D(5, 8, 3) 和 G(11, 12, 0)。

(i) 求 CE 。

(ii) 求 E 的坐標及一與 OE 方向相同的單位向量。

(18A018)

額外教學例題 18.14

在圖中，D 和 E 分別為 AB 和 AC 上的點，使 AD : DB  2 : 1及

AE : EC  2 : 1。設 ABp，ACq，BQ : QE  m : 1 及 CQ : QD  n : 1。

(a) (i) 試以 p、q 和 m 表示 AQ。 (ii) 試以 p、q 和 n 表示 AQ。 (b) 由此，求 m 和 n 的值。

基礎題目

§18.2 向量的運算與性質 (18B001)

在圖中，ABCD 為一平行四邊形，其中ADp及DCq。 試以 p 和 q 表示下列各向量。

(a) CB (b) AB

(c) AC (d) DB

(18B002)

在圖中，ABCD 為一菱形，其兩條對角線相交於 E 點。

試以一個向量表示下列各項。

(a) ADCD (b) ADCB (c) BCED (d) ABCE

(18B003)

在圖中，ABCDEFGH 為一個正八邊形，其中 O 點為對角 線 AE、BF、CG 和 DH 的交點。試以一個向量表示下列 各項。

(a) ABED (b) ABEF (c) CDOG (d) HGEDOA (18B004)

在圖中，ABCD 為一長方形，其中 AD = 12 及 AB = 5。求 (a) ADCB；

(b) ADAB 。

(18B005)

在圖中，ABC 為一三角形。D 和 E 分別為 AB 和 AC 的中點。

BE 與 CD 相交於 F 點。若ABp及AC q，試以 p 和 q 表 示下列各向量。

(a) BC (b) BD

(c) CD (d) BE

已知(s1)a2tb3a(t1)b，其中 a 和 b 為互不平行的非零向量。求 s 和 t 的值。

(18B007)

已知(2st)a3b3a(st)b，其中 a 和 b 為互不平行的非零向量。求 s 和 t 的值。

(18B008)

向量PQ2amb 與 RS (3m10)a4b互相平行，其中 a 和 b 為互不平行的非零向量，

且 m 為純量。求 m 的值。

(18B009)

向量PQ(m1)a3b 與 RS 2ma3mb互相平行，其中 a 和 b 為互不平行的非零向量，

且 m 為純量。求 m 的值。

§18.3 二維空間上的向量 (18B010)

在下列各項中，試以 i 和 j 表示 AB 。 (a) A(–1, 0)，B(2, 3)

(b) A(2, –3)，B(4, 7)

(18B011)

在下列各項中，試以 i 和 j 表示 AB 。 (a) A(m + 1, n – 1)，B(2m + 3, 3n + 2) (b) A(2m + 3, 3m + n)，B(4 – 2n, –3 – n)

(18B012)

在下列各項中，求sin、cos和tan的值，其中  為向量 OA 與正 x 軸的交角。

(a) OA2ij (b) OA3i2j

(18B013)

在下列各項中，求sin、cos和tan的值，其中  為向量 OA 與正 x 軸的交角。

(a) OA3ij (b) OAi2j (18B014)

求下列各位置向量的大小，並求向量與正 x 軸的交角。(如有需要，答案準確至一位小數。) (a) i2j (b) i 3j

(18B015)

求下列各位置向量的大小，並求向量與正 x 軸的交角。(如有需要，答案準確至一位小數。) (a) 5i2j (b) 2i3j

(18B016)

設 A(2, –1) 和 B(3, 4) 為坐標平面上的兩點。

(a) 試以 i 和 j 表示 AB 。

(b) 求一單位向量，使其方向與 AB 相同。

(18B017)

設 A(–2, 3) 和 B(–3, 5) 為坐標平面上的兩點。

(a) 試以 i 和 j 表示 AB 。

(b) 求一單位向量，使其方向與 AB 相同。

(18B018)

已知 a = –2i + j 及 b = 3i – 2j。

(a) 求 a + 2b。

(b) 若 c + 2a = a – 2b，試以 i 和 j 表示 c。

(18B019)

已知 a = 2i – 3j 及 b = 4i +3j。

(a) 求 2a – 3b。

(b) 若 3c – 2a = 2b – a，試以 i 和 j 表示 c。

(18B020)

在下列各項中，求 OA。

(a) AB2i5j，B(–3, 2) (b) AB3i7j，B(4, 1)

(18B021)

已知 A(1, –2)、B(–2, 5) 和 C(2, 4) 為坐標平面上的三點。試以 i 和 j 表示下列各項。

(a) AB (b) BC

(c) BABC (d) 2AC3AB

已知OA2i j、OB3i2j及OC3i4j。求 (a) AB ； (b) BC ；

(c) 3CB2BA； (d) 2OB3AC。

(18B023)

在下列各項中，求 m 和 n 的值。

(a) 2mi – 3nj = 4i + 9j

(b) (m + 2)i + (2n + 3)j = (2m – 3)i + (2 – 3n)j

(18B024)

在下列各項中，求  的值，使 p 與 q 互相平行。

(a) p = i + 2j，q = 4i – 6j (b) p = i + 2j，q = i + 4j

§18.4 三維空間上的向量 (18B025)

在下列各項中，試以 i、j 和 k 表示 AB 。 (a) A(1, –1, 3)，B(2, 0, –2)

(b) A(2, –3, 4)，B(5, 1, –3)

(18B026)

在下列各項中，試以 i、j 和 k 表示 AB 。 (a) OA2i3jk，OBi2j5k (b) OA3i2j4k，OB2ij2k

(18B027)

在下列各項中，求  的值。

(a) ABi2j3k， AB  22 (b) AB2i( 1)j5k， AB  33

(18B028)

在下列各項中，求  的值。

(a) OA2i3jk，OBij3k， AB 2 6 (b) OA3ij2k，OB5i4k， AB 14 2

(18B029)

已知 A(3, 2, –1)、B(2, 4, 5) 和 C(1, –2, 3) 為三維直角坐標系中的三點。試以 i、j 和 k 表示下 列各項。

(a) AB (b) CA (c) 2OA3BC (d) OB2AC (18B030)

已知 A(2, 3, 6)、B(–1, –2, 3) 和 C(1, 2, –1) 為三維直角坐標系中的三點。試以 i、j 和 k 表示 下列各項。

(a) BC (b) 2AB (c) AC2OC (d) BA3OB (18B031)

設 A(3, 4, –1) 和 B(–2, 5, 2) 為三維直角坐標系中的兩點。

(a) 試以 i、j 和 k 表示AB 。

(b) 求一單位向量，使其方向與 AB 相同。

(18B032)

設 P(–2, 3, 1) 和 Q(4, –1, –3) 為三維直角坐標系中的兩點。

(a) 試以 i、j 和 k 表示PQ 。

(b) 求一單位向量，使其方向與 PQ 相同。

(18B033)

已知 a = 2i – 3j – k、b = –i + 4j + 5k 及 c = 3i + 2j + k。求一單位向量，使其方向與下列各向 量相同，答案以 i、j 和 k 表示。

(a) 2a + b (b) 3a – 2c (c) b – 3a + 2c

已知 a = –3i + 5k、b = 2i – 4j + 2k 及 c = –6i – 2j – k。求一單位向量，使其方向與下列各向量 相同，答案以 i、j 和 k 表示。

(a) 3a + c (b) 2b – 3c (c) 2a + 3b – c

(18B035)

已知 a = 3i + 2j – k 及 b = –2i + 3k。

(a) 試以 i、j 和 k 表示 a – 2b。

(b) 若 a  2b – 3c = 4i – j，求 c。

(18B036)

已知 a = –2i + 3j + 5k 及 b = 3i – 2j – 4k。

(a) 試以 i、j 和 k 表示 2a + 3b。

(b) 若 2a + 3b + 2c = 3i  4j，求 c。

(18B037)

在下列各項中，求各未知數的值，使 p 與 q 互相平行。

(a) p = 3mi + 10j + 4nk，q = 6i – 5j + 2k

(b) p = (m + n)i + (n – m)j + 3k，p = (m – 3)i – 2j + 3k

§18.5 線段的分點 (18B038)

已知OAij 及 OB4i 5 j 為直角坐標平面上的兩個向量。若 P 為 AB 上的一點，使 1

: 2 :PB

AP ，試以 i 和 j 表示 OP 。 (18B039)

已知 OA3i2j 及 OB4i j 為直角坐標平面上的兩個向量。若 P 為 AB 上的一點，使 2

: 3 :PB

AP ，試以 i 和 j 表示 OP 。

(18B040)

已知 OA2i j3k 及 OBi2j4k 為三維直角坐標系中的兩個向量。若 P 為 AB 上的一點，使AP:PB1:2，試以 i、j 和 k 表示 OP 。

(18B041)

已知 OA3i2jk 及 OB2ij5k 為三維直角坐標系中的兩個向量。若 P 為 AB 上 的一點，使 AP:PB3:1，試以 i、j 和 k 表示 OP 。

(18B042)

在圖中，P 為線段 AB 上的一點，使 AP:PB5:3。 若 OA9ij 及 i j

2 3 2 3 





OP ，求 OB 。

(18B043)

已知 M 和 N 為直角坐標系中的兩點，而 O 為原點。P 為線段 MN 上的點，使 2

: 1 :PN 

MP 。若 M 和 P 的坐標分別為 (2, 9, 12) 和 (2, 7, 9)，求 ON 。

(18B044)

在圖中，P 為線段 CD 上的一點，使 CP:PD1:k，其中 k 為一正 的常數。若 OCi 9 j、OD3ij 及 OP7j，求 k 的值。

(18B045)

已知 R 和 S 為直角坐標系中的兩點，而 O 為原點。P 為線段 RS 上的點，使

。若 R、S 和 P 的坐標分別為 



 



 ,0,3 5

7 、 _



 



 

2 , 1 7 ,

0 和 (1, 2, 2)，

求 m 和 n 的值。

n m PS RP:  :

甲部題目

§18.2 向量的運算與性質 (18C001)

圖中所示為 △ABC。D、E 和 F 分別為 AB、BC 和 CA 上的點，

其中 AD : DB = 1 : 3，BE : EC = 2 : 3 及 AF : FC = 2 : 1。若

p

AB 及 BCq，試以 p 和 q 表示下列各向量。

(a) AF (b) DE

(c) DF (d) FE

(18C002)

圖中所示為平行四邊形 ABCD。P、Q、R 和 S 分別為 AB、BC、

CD 和 DA 上的點，其中 AP : PB = 1 : 1，BQ : QC = 1 : 2，

CR : RD = 1 : 3 及 DS : SA = 2 : 1。若 ADp 及 DCq，試 以 p 和 q 表示下列各向量。

(a) SR (b) QR (c) PS (d) QP

(18C003)

在圖中，ABCD 為一平行四邊形，AB 3，AD3 及





ABC 150 。 (a) 求 ABAD 。

(b) 若 ABp 及 ADq，試以 p 和 q 表示一單位向量，

使其方向與 AC 相同。

(18C004)

在圖中，  為兩個互不平行的非零向量 a 和 b 的交角。

(a) 證明 ab²  a²  b² 2abcos。 (b) 由此，若 a 3，b 7 及

3

   ，求 ab 的值。

(18C005)

在圖中，ABCD 為一四邊形。P、Q、R 和 S 分別為 AB、BC、CD 和 DA 的中點。證明

(a) 2SPDB；

(b) PQRS 為一平行四邊形。

(18C006)

在圖中，ABCD 為一正方形。P 和 Q 分別為 CD 和 AD 的中點。

已知 ADa 及 ABb。

(a) 若 QPma n b，求 m 和 n 的值。

(b) 若 BPsa t b，求 s 和 t 的值。

(18C007)

在圖中，APQC 為平行四邊形 ABCD 的對角線。若 AP = CQ，

證明 BQDP 為一平行四邊形。

(18C008)

在圖中，ABC 為一三角形。E 為 BC 的中點。D 和 F 分別 為 AB 和 AC 上的點，使 AD : DB = AF : FC = 1 : 3。AE 與 DF 相交於

G 點。 設 AB4a，AC4b 及 AGkAE。 (a) 試以 a 和 b 表示 CB 、AE 和 FD 。 (b) 由此，若 G 為 DF 的中點，求 k 的值。

(18C009)

在圖中，ABCD 為一菱形。E 為 AB 的中點及 BF : FC = 2 : 1。

已知 ABa 及 ADb。

(a) 試以 a 和 b 表示 EF 和 DF 。 (b) 若 a 3，求

(i) EF2DF ；

(ii) 一與 EF2DF 具相同方向的單位向量。

(18C010)

已知 a 和 b 為互不平行的非零向量。求下列各題中 m1 和 m2 的值。

(a) (m + m )a + (m ² – m ²)b = a + 5b

已知向量AB(m2)a(12m)b 與 CD(4m)a5mb 互相平行，其中 a 和 b 為互不 平行的非零向量。

(a) 求 m 的值。

(b) 若 m < 0，求 AP ，使 3AP7BA。

§18.3 二維空間上的向量 (18C012)

設 a = 3i – 2j 及 b = –2i + 4j。

(a) 試以 a 和 b 表示 i 和 j。

(b) 試以 a 和 b 表示 8i – 7j。

(18C013)

已知 AB2i5j 及 AC 3i4j。 (a) 試以 i 和 j 表示BC 。

(b) 求一大小為 53 ，且與 BC 具相同方向的向量。

(18C014)

設 A(1, –3)、B(–6, 2) 和 C(–2, 5) 為坐標平面上的三點。

(a) 求 AC。

(b) 若OP AC，求 OP 與正 x 軸的交角，答案須準確至最接近的 0.1。

(c) 求 2ACOB。由此，求一與 2ACOB 具相同方向的單位向量。

(18C015)

在圖中，向量 p 與正 x 軸的交角為 30，而 p 的大小為 5。

(a) 試以 i 和 j 表示 p。

(b) 若 q 為一與 p 具相同方向的向量，而 q 的大小為 3，試以 i 和 j 表示 q。

(18C016)

A (2, 5) 和 B 為坐標平面上的兩點，而  為 AB 與直線 y = 5 的交角。若 AB 2 3 及

2

sin  3，求 B 的坐標。

(18C017)

已知 OA2ij，OB3i4j 和 OC (m1)i(2n4)j 為坐標平面上的向量。若AC 3AB， 求 m 和 n 的值。

(18C018)

求 m 和 n 的值，使 (m – 2n)i – (2m + 3n)j 平行於 11i + 6j，且 (5m – n)i + (5m + 4n + 13)j 平 行於 i + 2j。

(18C019)

已知 OP2i 3 j，OQ3ij 及 OR2i3j。 (a) 若 OPOQQR，求  的值。

(b) 若 mOPnOQOR，求 m 和 n 的值。

(18C020)

設 A(–2, 3) 和 B(1, –3) 為坐標平面上的兩點。C 對於 O 的位置向量為 OB

OA

OC2 (1) 。

(a) 試以 、i 和 j 表示 OC 。 (b) 若 OC 平行於 2i – j，求

(i)  的值；

(ii) OC 。

(18C021)

在圖中，A、B 和 C 為坐標平面上的三點。OABC 是一個邊長為 4 單位的正方形。P 和 Q 分別為 AB 和 BC 的中點。設 OPp 及

q OQ 。

(a) 試以 i 和 j 表示 p 和 q。

(b) 由此，試以 p 和 q 表示 AC 。

(18C022)

已知 OAminj，OB2ij 及 OP3i4j，其中 m 和 n 為純量。

(a) 若 AP2AB，求 m 和 n 的值。

(b) 由此，求一與AB 具相同方向的單位向量。

(c) 求一大小為 8 ，且與 AB 具相反方向的向量。

A(2, 5)、B(3, 7) 和 C(2k, 6k + 2) 為坐標平面上的三點，其中 k 為純量。

(a) (i) 試以 i 和 j 表示 AB 。 (ii) 試以 k、i 和 j 表示 AC 。 (b) 若 A、B 與 C 共線，求

(i) k 的值；

(ii) AB : BC。

(18C024)

已知 A(a, b)、B(b, a) 和 C(a + 1, b – 2) 為坐標平面上三個不同的點，其中 a 和 b 為實數。

(a) 試以 a、b、i 和 j 表示 AB 和 BC 。 (b) 判斷 A、B 與 C 是否共線。

§18.4 三維空間上的向量 (18C025)

已知 ABi3jk 及 AC 2i3j2k。 (a) 試以 i、j 和 k 表示 BC 。

(b) 求一大小為 30 ，且與 BC 具相同方向的向量。

(18C026)

已知 OP2i4j(m1)k，OQ(2n1)i2j3k 及 OR2i(r2)j5k。若 QR2PQ， 求 m、n 和 r 的值。

(18C027)

設 A(–2, , 1) 和 B(2, 4, ) 為三維直角坐標系中的兩點。若 O、A 與 B 共線，求 (a) AB ；

(b) AB : OB。

(18C028)

若 cosi2sinjmk 與 3i6j2k 互相平行，求下列各未知數的值。

(a) θ，其中0θ2π； (b) m。

(18C029)

設 P(1, 2, –5) 和 Q(–2, 3, 7) 為三維直角坐標系中的兩點。R 為 PQ 的延線上的一點，使 QR

PQ

3 。

(a) (i) 試以 i、j 和 k 表示 PQ 和 QR ； (ii) 由此，求 R 的坐標。

(b) 求 PR 。

(18C030)

A、B、C 和 D 為三維直角坐標系中的點，且 OAC 和 OBD 為直線，OA2ij3k 及 k

j i 



 3 2

OB 。已知 OA : AC = 2 : 1 及 OB : BD = 3 : 2。

(a) 試以i、j 和 k 表示 AB 和 CD 。

(b) 問 AB 是否與 CD 平行？試解釋你的答案。

(18C031)

設 P(2, 3, –5) 和 Q(–3, 4, 1) 為三維直角坐標系中的兩點。R 為線段 PQ 上的一點，使 PR : RQ = 3 : 1。

(a) 試以 i、j 和 k 表示 PQ 和 PR 。 (b) 求 OR 和 R 的坐標。

(c) 若 S 為 PQ 的延線上的一點，使 PS = 3PQ，求 S 的坐標。

(18C032)

P(1, –3, 4)、Q(2, –1, 6) 和 R(m, 8n – 1, 5n – 3) 為三維直角坐標系中的三點。

(a) 試以 i、j 和 k 表示 PQ 。

(b) 試以 m、n、i、j 和 k 表示 PR 。 (c) 若 P、Q 與 R 共線，求

(i) m 和 n 的值；

(ii) PQ : QR。

(18C033)

設 A(2, –3, 1)、B(1, 4, –2) 和 C(–2, 1, 2) 為△ABC 的頂點。

(a) 試以 i、j 和 k 表示中線 AP 。 (b) 求下列各點的坐標。

(i) P

(ii) △ABC 的形心

在圖中，A(1, –2, 4)、B(5, 2, –3)、C(6, 1, 2) 和 D 為三維直角坐標系中的 四點。若 ABCD 為平行四邊形，

(a) 求 D 的坐標；

(b) 試以 i、j 和 k 表示 AC 和 BD 。

(18C035)

A 和 B 兩點的坐標分別為 (2, 1, –3) 和 (0, 3, 4)。

(a) 求一與 AB 具相同方向的單位向量。

(b) CD 與 AB 的方向相同，且 CD 3 57。若 C 的坐標為 (3, –2, 6)，

(i) 求 D 的坐標；

(ii) 證明 A、B 與 D 形成一個三角形。

§18.5 線段的分點 (18C036)

在圖中，OAD 為一三角形。B 和 C 為 AD 上的點，使 AB : BC : CD = 1 : 3 : 1。設 OAu 及 ODv。

(a) 試以 u 和 v 表示 OB 。 (b) 試以 u 和 v 表示 OC 。 (c) 證明 OAODOBOC。 (18C037)

在圖中，OAB 為三角形。P 和 Q 分別為 AB 和 OB 上的點，使 AP : PB = 1 : 2 及 OQ : QB = 2 : 3。設 OAa 及 OBb。

(a) 試以 a 和 b 表示 OP 。 (b) 試以 a 和 b 表示 AQ 。 (c) 若 OB 10，求 OPAQ

2

3 。

(18C038)

在圖中，OAB 為一三角形。G 和 H 分別為 OA 和 OB 上的點，

使

OG : GA = 3 : 1 及 OH : HB = 2 : 1。AH 與 BG 相交於 M 點，

且 AM : MH = 1 : r 及 BM : MG = 1 : s。設 OAa 及 OBb。 (a) 試以 r、a 和 b 表示 OM 。

(b) 試以 s、a 和 b 表示 OM 。 (c) 由此，求 r 和 s 的值。

(18C039)

在圖中，M 和 N 分別為 OA 和 OB 的中點。AN 與 BM 相交於 G 點，使 AN  pAG 及 BM qBG。

(a) 試以 p、 OM 和 NB 表示 OG 。 (b) 試以 q、 OM 和 NB 表示 OG 。 (c) 由此，求 p 和 q 的值。

(18C040)

在圖中，OABC 為一平行四邊形。M 和 N 分別為 AB 和 BC 上的 點，使 AM : MB = CN : NB = r : s。

(a) 試以 OA 、 OM 、r 和 s 表示 OB 。 (b) 試以 OC 、 ON 、r 和 s 表示 OB 。 (c) 由此，試以 r 和 s 表示 AC : MN。

(18C041)

在圖中，ABCD 為一四邊形。兩條對角線 AC 和 BD 相交於 E 點，

使

AE : EC = BE : ED = m : n，其中 m > n。A、B、C 和 D 對於參考 點 O (圖中沒有顯示) 的位置向量分別為 a、b、c 和 d。

(a) 試以 m、n、a 和 c 表示 OE 。 (b) 試以 m、n、b 和 d 表示 OE 。

(c) 問 ABCD 是平行四邊形嗎？試解釋你的答案。

(18C042)

在圖中，OAB 為一三角形。S 和 T 分別為 AB 和 OB 上的點，使 AS : SB = 1 : 3 及 OT : TB = 3 : 2。AT 與 OS 相交於 M 點，使 AM : MT = p : 1 及 OSqOM。設 OAa 及 OBb。 (a) 試以 a 和 b 表示 OS 。

(b) 試以 p、a 和 b 表示 OM 。 (c) 由此，求 p 和 q 的值。

(18C043)

在圖中，OCA 和 ADB 為直線。C 為 OA 的中點，而 AD : DB = 1 : 3。BC 與 OD 相交於 E 點。

(a) 試以 OA 和 OB 表示 OD 。

 

乙部題目

(18D001)

在圖中，OACB 為一長方形。D 和 E 為 OA 上的兩點，使

OD : DE : EA = 3 : 4 : 2。BE 與 CD 相交於 F 點，使 BF : FE = 1 : m。

設 OAa 及 OBb。 (a) 試以 a 表示 OE 。

(b) 試以 m、a 和 b 表示 BF 。 (c) 求 m 的值。

(d) 利用以上的結果，試以 a 和 b 表示 CF 。

(18D002)

在圖中，OACB 為一平行四邊形。D 為 OA 上的一點，使 OD : DA = 3 : 1。對角線 AB 與 CD 相交於 M 點。N 為 AB 上的一點。設 OAa 及 OBb。

(a) 試以 a 表示 AD 。 (b) 求 DM : MC。

(c) 試以 a 和 b 表示 AM 。

(d) 若 DN 與 OB 互相平行，試以 a 和 b 表示 MN 。

(18D003)

在圖中，OACB 為一平行四邊形。D 和 E 分別為 AC 和 BC 上 的點，使 E 為 BC 的中點及 AD : DC = 1 : 3。OD 和 OE 分別 與 AB 相交於 F 和 G。設 OAa 及 OBb。

(a) 試以 a 和 b 表示 OD 和 OE 。 (b) 假設 AG : GB = m : 1。

(i) 試以 m、a 和 b 表示 OG 。 (ii) 由此，求 m 的值。

(c) 求 AF : FG : GB。

(18D004)

在圖中，OAB 為一三角形。C 和 D 分別為 OA 和 OB 上的點，使 OC : CA = OD : DB = 2 : 3。E 為 CD 的延線上的一點，使

CD : DE = 4 : 1。AE 與 OB 相交於 F 點。設 OAa 及 OBb。 (a) (i) 試以 a 和 b 表示 AB 和 CD 。

(ii) 由此，證明 AB 與 CD 互相平行。

(b) 求 AB : DE。

(c) 由此，試以 a 和 b 表示 AF 。

(18D005)

在圖中，OACB 是一個邊長為 5 單位的正方形。D 與 E 分別為 BC 和 AC 上的點，使 E 為 AC 的中點及 BD : DC = 1 : 2。AD 與 OE 相交於 G 點，使 OGOE 及 AGAD。CG 的延線與 OA 相 交於 F 點。設 a 為一與 OA 具相同方向的單位向量，而 b 為一與

OB 具相同方向的單位向量。

(a) 試以 、a 和 b 表示 OG 。 (b) 試以 、a 和 b 表示 OG 。 (c) 求  和  的值。

(d) 由此，求 OG 和 OF 的長度。

(18D006)

在圖中，ABC 為一三角形。E 和 F 分別為 BC 和 AC 上的點，使 E 為 BC 的中點及 AF : FC = 1 : 3。AE 與 BF 相交於 G 點，而 CG 的延線 與 AB 相交於 D 點。A、B、C、E、F 和 G 對於參考點 O (圖中沒有 顯示) 的位置向量分別為 a、b、c、e、f 和 g。

(a) 試以 a、b 和 c 表示 e 和 f。

(b) 設 AG : GE = 1 : 。試以 、a、b 和 c 表示 g。

(c) 設 BG : GF =  : 1。試以 、a、b 和 c 表示 g。

(d) 試以 a、b 和 c 表示 g。

(e) 求 AD : DB。

(18D007)

在圖中，OAB 為一三角形。C 和 D 為 OA 的三等分點。E 為 AB 上的一點，使 AE : EB = 2 : 1。OE 分別與 BC 和 BD 相交於 P 和 Q。設 OAa 及 OBb。

(a) 試以 a 和 b 表示 OE 。

(b) (i) 若 BPrBC，證明 a (1 )b

3 r

OPr   。 (ii) 由此，求 r 的值。

(c) 若 QDsBD，求 s 的值。

(d) 求 OP : PQ : QE。

(e) 求 △OCP 的面積 : △BPQ 的面積。

圖中所示為四邊形 ABCD。AC 與 BD 相交於 E 點，使 EC AC 3

1 。已知 OA5i2j，

j i

5

OB 及 OEi。 (a) (i) 求 BA 和 BE 。

(ii) 求 BC 。由此，求 C 的坐標。

設 OD7ihj 及 DE : EB = 2 : k，其中 h 和 k 為常數。

(b) (i) 試以 h、k、i 及 j 表示 CE 。 (ii) 由此，求 h 和 k 的值。

(c) 證明 ABCD 為一梯形。

(18D009)

在圖中，ABCD 為一平行四邊形。P 為 BC 上的點，使 BP : PC = 1 : m。A、B 和 C 的坐標 分別為 (2, 1)、(6, 3) 和 (3, 6)。

(a) (i) 求 AB 、 AC 和 BC 。 (ii) 試以 m、i 和 j 表示 AP 。 (iii) 由此，試以 m 表示 P 的坐標。

(b) 若 APBC，求 (i) m 的值；

(ii) 平行四邊形 ABCD 的面積。