數 學 系 碩 士 論 文

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國 立 中 央 大 學

數 學 系 碩 士 論 文

「高一學習多項式微分」之教案研究

A Study on the Lesson Plan of Polynomial Derivatives for Grade 11 Students

研 究 生:龍 昌 灝 指導教授:單 維 彰

中 華 民 國 104 年 6 月

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「高一學習多項式微分」之教案研究

摘 要

本研究旨在探討研究者與指導教授共同設計的「高一學習多項式微分」教案。

本教案共設計四堂多項式的微分課程與一份測驗,從泰勒形式帶入多項式的微分 觀念,最後能描繪出三次多項式函數與解決應用問題。本研究並根據測驗結果分 析且討論不同程度的高一學生學習多項式微分的成效與問題所在。

根據研究結果顯示,程度佳的學生對於此教案幾乎能完全學會;而程度中等 至中下的學生,對於此教案前面的部分尚能接受,但對於後半部分三次函數的圖 形與應用問題的部分,則半數以上學生學習成果較差。若增加後半部分的教學時 間,亦能提升學生的學習成效。部分學生對於數學語言無法確實掌握,此問題不 僅發生在程度中下的學生,亦出現在程度佳的學生中。

最後研究者依據研究結果,對教學情況與教材內容設計及未來相關研究提出 建議。

【關鍵詞】:綜合除法、泰勒多項式、多項式函數的微分。

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A Study on the Lesson Plan of Polynomial Derivatives for Grade 11 Students

Abstract

This study aims at investigating the lesson plan of polynomial derivatives for grade 11 students. Four lectures and one assessment consist the lesson plan which was designed by the researcher and the advisor. This lesson plan regards the form of Taylor as the cutting point. By the end of the lectures, students can sketch the cubic polynomial function and solve the application problems. Basing on the observation and assessment results, this study analyzes and discusses the effects and problems of learning the polynomial derivatives on different level students of grade 11.

On the one hand, the result shows that advanced learners can almost aquire all the lessons. And the medium to challenged learners can learn the former part, but over half of them can not learn well on the latter part: sketch the cubic polynomial function and solve the application problems. If the teaching time of the latter part is increased, the learning effect can be better. On the other hand, some students fail to grasp the mathematical language precisely, which happens not only in medium and challenged learners but also in advanced learners.

According to the result, the researcher provides some sugesstions for teaching conditions, lesson plan designs and related studies in the future.

Keywords: synthetic division, Taylor polynomials, polynomial derivatives

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致謝

論文及口試的完成,即代表人生將踏上另一旅程;碩班的這一路上,走的既 平順又顛簸,遇到了很多人,學會了很多事,如今想起,歷歷在目。

首先感謝我的父母及哥哥,在我最徬徨無助時默默的在旁邊陪伴著我,做我 最強力的後盾。

再來,我要感謝我的指導教授單維彰教授,您公務繁忙,但對於我的指導仍 然不遺餘力,從教案的設計、學習單及作業的規劃,到口試完最後修改的建議,

都給予我最大的幫助,且從您的身上學習到了您對事情的處理方式,對我未來的 人生有很大的幫助;接著感謝口試委員,師大的許志農教授與彰師大的施皓耀教 授,給予我論文中的文獻探討及結論的部分很多的建議;還要感謝參與本研究的 三所高中的教務主任、教學組長、老師及學生們的協助,沒有您們的幫助,這篇 論文就沒辦法順利完成。

還要感謝雅云、韻婷曾經陪伴著我,教程的老師辛苦教導,研究所同學們與 師培同學們的相處時光,實習時的好夥伴采薇。

也感謝中央數學系壘球的的隊友與校隊的隊友們,讓我在中央的日子也能有 休閒娛樂,也希望未來能再一起快樂打球。

最後,感謝所有關心我的人,也希望這篇論文能對國家社會有所貢獻!

昌灝 謹誌 104 年 6 月

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目錄

摘 要 ... i

Abstract ... ii

致謝 ... iii

目錄 ... iv

表目錄 ... vi

圖目錄 ... vii

第一章 緒論 第一節 研究背景與動機 ... 1

第二節 研究目的與待答問題 ... 4

第三節 研究範圍與限制 ... 5

第四節 台灣高中微積分課程的發展 ... 6

第五節 泰勒級數的發展 ... 10

第二章 文獻探討 第一節 高中多項式函數(含微積分)內容之相關研究 ... 12

第二節 香港、中國、日本的高中數學對於微積分課程的安排 ... 18

第三章 研究方法與實施步驟 第一節 研究設計與流程 ... 37

第二節 研究對象 ... 39

第三節 研究工具 ... 40

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第四章 研究結果與討論

第一節 上課狀況 ... 49

第二節 作業狀況 ... 50

第三節 測驗結果與討論 ... 52

第四節 綜合分析 ... 61

第五章 結論與建議 第一節 結論 ... 64

第二節 建議 ... 65

參考文獻... 68

附錄 【附錄一】高中數學課程「多項式的微分」教案 ... 70

【附錄二】作業與學習單及測驗 ... 77

【附錄三】十一回試卷中「單元 H 三次函數的圖形」 ... 97

【附錄四】甲、乙、丙三所高中測驗成績表 ... 101

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表目錄

表 1.1.1 學科能力測驗的測驗範圍 ... 1

表 1.1.2 指定科目考試的測驗範圍 ... 2

表 1.1.3 數學甲(II)(節錄自高中數學課程綱要(99)) ... 2

表 1.1.4 數學乙(II)(節錄自高中數學課程綱要(99)) ... 3

表 1.4.1 台灣高中數學課程微積分部份的演變... 8

表 2.1.1 與本研究教案相呼應(但切入點不同)的內容說明... 17

表 2.2.1 單元一(微積分與統計)的學習目標... 20

表 2.2.2 單元二(代數與微積分)的學習目標... 21

表 2.2.3 單元一微積分相關學習重點... 21

表 3.2.1 本研究之研究對象分析表 ... 39

表 3.3.1 教學目標與教學內容比照表 ... 42

表 4.1.1 甲、乙、丙三班的上課情況比較表... 50

表 4.2.1 甲、乙、丙三班的作業狀況比較表... 51

表 4.3.1 甲高中的測驗結果... 58

表 4.3.2 乙高中的測驗結果 ... 59

表 4.3.3 丙高中的測驗結果 ... 59

表 4.4.1 三高中各題得分、標準差與總分比較表... 61

表 4.4.2 甲、丙兩高中比較表... 63

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圖目錄

圖 2.2.1 香港數學課程架構圖 ... 19

圖 2.2.2 中國大陸高中數學課程架構 ... 27

圖 3.1.1 研究架構圖 ... 37

圖 3.3.1 學習單 I 的隨堂練習(1)及例題(1),需先瞭解 泰勒型式,才能藉此 完成例題(1)。 ... 43

圖 3.3.2 學習單 II,需先求出商,才能求出極限值;並用不同的標記法,讓 學生瞭解都代表同一件事情。 ... 44

圖 3.3.3 學習單 III,按部就班讓學生慢慢完成二次的 函數圖形所對應的導 數正負值及極值。 ... 44

圖 3.3.4 作業一,不同係數的方程式及不同敘述的問法。 ... 45

圖 3.3.5 作業二,各種不同題型及同樣事情不同問法。 ... 46

圖 3.3.6 作業三,相較於學習單,有更多的練習及不同的情況。 ... 46

圖 3.3.7 作業四的第 1 題及第 4 題,第一提列出的是二次方程式,作業四則是 三次方程式。 ... 47

圖 3.3.8 測驗第 1 題與第 2 題,分別以不同的方式問關於微分的問題 ... 48

圖 3.3.9 測驗第 4 題及第 5 題,第 4 題為有極值、遞增、遞減區間;第 5 題則 為只有遞增區間,無極值與遞減區間 ... 48

圖 4.2.1 兩位不同的學生對於同一題作業,切線方程式的表示方式錯誤,紅色 圈的部分為研究者批改時幫他們改正的 ... 50

圖 4.3.1 測驗第 2 題(c)小題 ... 52

圖 4.3.2 切線方程式寫成

f x ( )   1

... 53

圖 4.3.3 切線方程式寫成:切線方程式=-1 的情況 ... 53

圖 4.3.4 切線方程式只寫-1 的情況 ... 53

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圖 4.3.5 測驗第 4 題 ... 54

圖 4.3.6 圖形樣貌對,但對稱點位置標錯 ... 54

圖 4.3.7 圖形樣貌對,但對稱點及極大值與極小值位置錯且均未標示 ... 55

圖 4.3.8 測驗第 5 題 ... 55

圖 4.3.9 三次函數圖形「扭錯」,且對稱點位置錯誤,錯兩個部份,故該題得 零分 ... 56

圖 4.3.10 第 4 題與第 5 題皆猜無,不予給分 ... 56

圖 4.3.11 測驗第 6 題 ... 57

圖 4.3.12 測驗第 6 題分段給分的標準 ... 57

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1

第一章 緒論

本章分共五小節,第一節根據目前高中數學的微積分課程規劃探討本研究的 研究背景與研究動機;第二節提出研究目的與待答問題;第三節對研究範圍、研 究對象、研究工具、研究限制進行說明;第四節將台灣的高中數學課程微積分部 分從民國五十年代至民國一百年的改變與演化進行說明與分析;第五節簡單介紹 泰勒級數與泰勒的生平。

第一節 研究背景與動機

高中生為什麼要學微積分?張海潮教授(2008)說至少有兩個答案:

1. 微積分的發明在數學及相關問題上的突破,值得高中生學習。

2. 微積分的方法對高中階段能夠解決的問題有所幫助。

微積分的好處既然那麼多,但卻不是每個高中生都能學到,只有自然組的學 生才有機會學到微積分。上大學以後,對於理、工、商學院的學生,微積分幾乎 是最重要的數學基礎科目。但對於目前進入大學的升學考試,分成學科能力測驗 和指定科目考試,而考完學科能力測驗後,能經由繁星推薦與個人申請的方式進 入大學就讀,不需要再去準備指定科目考試。其測驗範圍如表 1.1.1 所示。

我們能發現,以目前台灣的課程綱要來說,只有在高三選修科目數學甲(II),

才會學習到微積分,而高三選修科目數學乙(II)只有教到數列的極限與函數的極 限;表 1.1.3 是數學甲(II)與數學乙(II)相關部份的高中數學課程綱要。

表 1.1.1 學科能力測驗的測驗範圍

考科 範圍

數學 高一必修科目數學、高二必修科目數學 A 版

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2

表 1.1.2 指定科目考試的測驗範圍

科目 考試範圍

數學甲 高一必修科目數學、高二必修科目數學 B 版 高三選修科目數學甲(I)、高三選修科目數學甲(II) 數學乙 高一必修科目數學、高二必修科目數學 A 版

高三選修科目數學乙(I)、高三選修科目數學乙(II)

表 1.1.3 數學甲(II)(節錄自高中數學課程綱要(99))

主題 子題 內容 備註

、 極 限 與 函 數

1.數列及其極限 1.1 兩數列的比較

1.2 數列的極限及極限的性質

1.3 無窮等比級數、循環小數 1.4 夾擠定理

1.2 以圖形、電腦展示 的範例 建立學生對 於極限的直觀 1.4 可用圖形或面積意

涵說明夾擠定理 2.函數的概念 2.1 函數的定義、圖形、四則運

算與合成函數 3.函數的極限 3.1 函數的極限

3.2 連續函數、介值定理

、 多 項 式 函 數 的 微 積 分

1.微分 1.1 導數與切線

1.2 微分的加、減、乘運算 2.函數性質的判

2.1 遞增、遞減、凹凸性、函數 極值的一階與二階檢定法 2.2 三次多項式的繪圖

3.積分的意義 3.1 定積分的意義 3.2 微積分基本定理

3.3 多項式函數的定積分與不定 積分的計算

3.3 不涉及分部積分與 變數變換法

4.積分的應用 4.1 以求圓面積、球體體積、角 錐體體積、解自由落體運動 方程式為主

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3

表 1.1.4 數學乙(II)(節錄自高中數學課程綱要(99))

主題 子題 內容 備註

、 極 限 與 函 數

1.數列及其極限 1.1 兩數列的比較

1.2 數列的極限及極限的性質 1.2 以圖形、電腦展示 的範例建立學生對 於極限的直觀 2.無窮等比級數 2.1 無窮等比級數

2.2 循環小數 2.3 夾擠定理

2.3 可用圖形或面積意 涵說明夾擠定理 3.函數的概念 3.1 函數的定義、圖形、四則運

算與合成函數 4.函數的極限 4.1 函數的極限

4.2 連續函數、介值定理

然而,大學甄選入學及其他非考試分發入學管道的招生名額年年提高,意即 越來越少人會去學習到數學甲(II)的微積分內容,甚至連自然組的學生只要考完 學科能力測驗後,經由繁星推薦或是個人申請方式確定能進入大學後,高三下學 期的微積分都不會認真學習。

高晟鈞(2009)在《大一上學期各系必修課程與高中數學教育微積分課程的探 討》之論文中指出『因為大學專業課程的需要1』是與該研究最直接且切合的答 案;該研究亦指出,學生在大一學微積分的同時,已經同時在學其他的科目了,

而這些其它的科目幾乎是把微積分當成應用工具,而「微積分課程」則是把微積 分當成專業的課程在教授。不論學生在哪一個學系修了哪一個跟微積分有關的課 程,而其課程不論需要會多少微積分,這些學系的微積分課程都不需要跟數學系 學生修的微積分課程一樣地從極限開始教起,每個學系因為專門領域的不同,對 微積分的需求也不太一樣,因此對於「高中生為什麼要學微積分」這個問題,該

1關於「高中生為什麼要學微積分?」,張海潮教授曾給了兩個答案;單維彰教授 (2008) 在《美 國 AP 課程的啟示》中給了此第三個答案。

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4

研究提供了與「第三個」答案幾乎相同的結論:「高中的微積分課程並非為了大 學的微積分課程作準備,而是針對各其它專業課程作準備」;更甚地,該篇論文 藉由文本分析說明大學在哪些專業課程中,確實地需要微積分知能。

李明憲(2013)在《高一第一類組學生數學科學習需求分析研究》之論文中亦 提出「大多數商管學院之大一學生對於大一微積分之學習有銜接上之困難」之論 點,該研究結果指出,商管系學生大部分來自於社會組,但是他們在高中時並未 修習過選修數學(II),這些學生與高中就讀自然組的學生相較之下,更有銜接上 的困難。

基於以上原因,如何讓大部份的高中生都能學習到微積分的基本原理與功能,

是本研究所感興趣的,因此欲設計與推廣一套對於大部分高中學生都能接受的微 積分課程。

第二節 研究目的與待答問題

基於上述研究動機,本研究之主要目的,在於設計一套能符合大多數高中生 學習的微積分課程,課程內容四至五堂課內結束,並且在符合大部份高中生的認 知範圍內設計該課程,並且探討不同程度的高中生對於該課程的學習成果。

根據上述目地,提出以下兩點待答問題:

1. 是否能設計出一套符合高一學生學習的多項式微分教材?

2. 不同程度的高中生對於此設計的微積分教材會有什麼樣的學習差異?

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5

第三節 研究範圍與限制

I. 研究範圍

本研究旨在設計一套能符合大部份高中生學習的基礎微積分教材,從多項式 的微分發展起,故將研究範圍界定如下:

壹、 研究對象

本研究從桃園市三所高中各抽選一個班級,其程度分別為中等偏下、中等、

與高。

貳、研究工具

本研究將根據【附錄一】之教案與【附錄二】之教材與測驗題目,對上述研 究對象做實地教學並檢視其結果。

II. 研究限制

本研究受限於人力、時間、及客觀條件下,無法對更多不同的高中學生實施 實驗,而以桃園市鄰近中央大學的三所不同高中進行實驗。

(16)

6

第四節 台灣高中微積分課程的發展

研究者在「國家教育研究院圖書館」實地考察台灣的高中數學課程,東華書 局根據教育部於民國五十三年三月公佈之「高級中學數學教材大綱」,第五冊(自 然科組) 「第七章-切線與法線」,談及跟微積分相關之內容,其內容先介紹「極 大點」、「極小點」以及過某點之切線,目的在於探究多項函數之最佳線性近似 之求法,其說明切線的方法使用了 ε,但並未出現極限 lim 之符號(但在前兩章 說明無窮數列與級數時都有使用),並且介紹了「反曲點」,但定義「反曲點」

的方式為:圖形若在某點處由切線之一邊穿過至切線之另一邊,則此點為此圖形 之一反曲點。而在「7-4 斜率函數」的部分,利用綜合除法及二項式定理推導出 斜率函數

f

(並未提及導數、導函數、微分等名詞);並在「7-6 過圓錐曲線上一 定點之切線」說明了在圓錐曲線上特定點的切線求法。而積分的部分,該課本並 沒有任何說明,僅在第六冊(自然組)後面附錄的部分提及「面積函數」的名詞(即 多項函數圖形下之面積),也並未使用積分符號

東華書局根據教育部於民國六十一年公佈之「高級中學高中數學課程標準」, 第五冊(自然組) 「第一章-參數方程式,切線,法線與極大極小」,開始利用 lim 定義切線斜率,但僅定義切線斜率,並未做其他關於微分的延伸,而極大極 小的部分則是屬於三角的疊合、線性規劃、直線與橢圓間距離極值的內容;多項 函數極值的部分則是在「第六冊(自然組)第二章-多項函數」才予說明,在該章 始提及「導式」與「導函式」,但其主要說明與定義仍放在附錄的部分(順帶一 題,附錄內使用了與目前相同的微分定義,且明確的定義「可微分」的極限式),

該章的重點主要是在「泰勒展開」與利用

f

f 

來求得極大值、極小值;課程 仍未出現積分的相關內容。(在第六冊的附錄內出現「反導數」、「不定積分」、

f x dx

( ) 」等說明,旨在說明面積函數)。

國立編譯館根據教育部於民國七十二年七月公布的「高級中學數學科課程標

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7

準」,開始與目前高中的微積分課程相似,高級中學理科數學上冊開始提及極限 與導數,明確地使用極限來定義導數,且完整的說明「將

f x ( )

微分」、「

f x ( )

可 微分」其文字中「微分」的不同詞性,並說明「將函數

x

2微分」意思等同於「求 函數

x

2的導函數」,也使用了

df

dx

符號,各個微分公式與連鎖規則也都給予完整 的證明;第二章開始說明導數的應用,包含極大值與極小值的探討,利用函數的 遞增、遞減、極大極小值、反曲點來做三次函數圖形描繪,接著說明圓錐曲線的 切線方程式。積分的部分出現了上和、下和的觀念,並說明了定積分、不定積分,

且完整地說明了微積分基本定理 I、II,說明如何求曲線間的面積與旋轉體的體 積及物理學中「功」的問題。最後將三角函數與指對數函數的微分與積分公式列 出並做些許說明。高中的微積分課程始有了完整規劃。

民國七十八年起政府開放民間出版教科書,開始出現各種不同版本的教科書,

選定三民書局依據民國八十四年十月教育部修正發布之「高級中學數學課程標準」

之版本,數學甲《下冊》第 2 章開始談論導數的極限定義,並說明導數的物理意 義和微分的各種基本公式,但只使用

f x  ( )

這個符號,並未使用

df

dx

;接著說明多 項函數的遞增、遞減問題但僅以一階導數判別極大值與極小值,並未使用二階導 數,也並未出現「反曲點」的概念,也只需能求出極值,並未要求描繪出三次函 數的圖形。積分的部分僅在「2-5 函數圖形下的面積」內用上和與下和的概念說 明,但並未出現「積分」或是「

f x dx

( ) 」這些敘述,且內容也只需會計算一次 及二次函數曲線下的面積就可。相較之下,較民國七十年代的內容量少很多。

三民書局根據民國九十七年教育部修正發佈之「普通高級中學選修科目-數 學課程綱要」,微積分部份的內容包含導數的極限定義、函數圖形的遞增、遞減、

極大、極小、凹向性、反曲點,接著說明微分的基本公式與二階導函數;再來說 明極大值極小值的一階與二階檢定法,最後要能利用遞增、遞減、極大值、極小 值、反曲點等方法描繪出三次函數的圖形。積分的部分,上和、下和、積分符號

(18)

8

( )

f x dx

、定積分、不定積分、做功、反導函數、微積分基本定理等內容均有包 含,最後說明以積分方法求圓的面積、旋轉體體積、自由落體等應用問題結尾。

台灣的高中數學課綱微積分部份至此所學習之內容趨於穩定,未來的發展如 何則不得而知;總結微積分至此的內容,共可分為三大重點:

一、 內容以多項式的微積分為主,僅在 70~80 年代多了三角函數及指對數函數 的微積分,但後來該內容又刪掉了,因此仍以多項式的微積分為教學重點,

且次數為二次、三次多項式為主。

二、 積分在高中的數學課程內較晚出現,在 60~70 年代時已出現了微分的教材 (雖未提及微分、導數等名詞),但積分的部分當時是擺在附錄的部分,直到 70 年代以後才納入高中正式教材內;但 80 年代又只教上和及下和的概念,至 90 年代才又出現積分的完整教材。

三、 微積分基本定理的部分,70~80 年代開始編入教材(84 年課綱時期,因未教 積分符號,故未提微積分基本定理),且都以直觀的方法來說明微積分基本定 理,並非嚴謹地證明微積分基本定理。

最後將台灣的數學課綱微積分部分變化整理如表 1.4.1 所示:

表 1.4.1 台灣高中數學課程微積分部份的演變

微分部分 積分部分 附註

50 年代~

60 年代

介紹極大點、極小點

、切線、反曲點。

使用 ε 介紹切線。

反曲點並未給予明確的

定義。

未寫出導數、導函數、

微分等名詞,僅使用斜 率函數。

(19)

9 60 年代~

70 年代

利用 lim 定義切線斜率 泰勒展開與利用

f

f 

求得函數極值。

微分的極限定義仍擺在

附錄。

積分的面積函數也擺在 附錄。

70 年代~

80 年代

完整的介紹微分的極限 定義、公式證明。

說明各種不同敘述代表 相同的數學意義。

三次函數的描繪。

圓錐曲線的切線方程式。

上和、下和的概念。

曲線間面積、旋轉體 體積。

物理中「功」的應用。

完整敘述微積分基本定 理 I、II。

三角函數與指對數函數 的微積分亦有提及。

包含

e

xln x的微積分。

內容量最多。

84 年課綱

導數的極限定義。

導數的物理意義與微分 的基本公式。

僅利用一階導數判斷函 數的遞增遞減。

僅說明上和與下和的 概念。

未提及積分與積分符

f x dx

( )

只使用

f

,不使用

df dx

未提及反曲點及二階導 數。

未描繪三次函數的圖 形。

內容為近年來最少。

95 年暫綱

引入

y

  y / x

討論 函數割線的斜率,並說明 在運動學上的意義。

以二次函數說明割線斜 率的極限是切線的斜率。

函數圖形的遞增、遞減、

凹向性、反曲點。

極值的一階、二階檢定。

三次函數的描繪。

黎曼和與圍成面積。

積分符號。

定積分的應用:圓面 積、球體體積、角錐 體積、自由落體運動 方程式。

內容與與 70~80 年代的 課程較為類似,但是刪 掉三角函數與指對數的 部分。

亦有微積分基本定理 I、II 的敘述。

99 年課綱 於表 1.1.3 與 1.1.4 所示,在此不贅述

(20)

10

第五節 泰勒級數的發展

泰勒級數的淺介(含布魯克‧泰勒)

泰勒級數(Taylor series)用無限項連加式─級數,來表示一個函數,這些 相加的項由函數在某一點的導數求得。

f

在點

x 的某一鄰域

0

N x 中為有定義的,且在

( )0

N x 中

( )0

f

具有任何階的 導函數(以

fC

( ( N x

0

))

表之)則我們可形成一特殊形式的冪級數數:

( ) 0

0 0

( )

( )

!

n

n n

f x

x x n

 

則稱上式為

f

在點

x 的泰勒展開式。

0 2

泰勒級數是以於 1715 年發表了泰勒公式的英國數學家布魯克‧泰勒(Sir Brook Taylor,1685-1731)來命名的。1701 年布魯克·泰勒進入劍橋大學聖約翰 學院,1709 年他獲得法學學士,且於 1714 年獲得法學博士學位,同時他也學習 數學。

任何多項式都能以泰勒級數的方法表示,也都會是有限項,因此用泰勒級數 方法表示的多項式也能稱為泰勒多項式,而泰勒多項式的係數也不須由導數的方 式求得,可用多項式的除法求出係數,此部份見於第三章。

為了完整起見,以下關於泰勒的生平節錄自微基百科(2015):

1712 年泰勒被選入皇家學會,同年他加入判決艾薩克·牛頓(Sir Isaac

Newton,1643-1727)和戈特弗裡德·萊布尼茨(Gottfried Wilhelm

Leibniz,1646-1716)就微積分發明權的案子的委員會。從 1714 年 1 月 13 日至

1718 年 10 月 21 日他任皇家學會的秘書。從 1715 年開始他的研究開始轉向哲學 和宗教。1719 年他從亞琛回到英國後寫的《關於猶太教犧牲》和《食血是否合 法》未完成,後來在他的遺物中被發現。1721 年他結婚,但是他父親不贊成這

2 通過函數在自變量零點的導數求得的泰勒級數又叫做邁克勞林級數,以蘇格蘭數學家科林·麥 克勞林的名字命名

(21)

11

個婚姻,兩人因此不和。直到 1723 年他妻子死後他才又和父親和解。此後兩年 中他住在家裡。1725 年他再次結婚,他的第二任妻子也在生產時逝世(1730),

但是這次孩子,一個女孩兒,存活下來了。泰勒的身體狀況越來越壞,不久也逝 世。雖然泰勒是一名非常傑出的數學家,但是由於不喜歡明確和完整地把他的思 路寫下來,因此他的許多證明沒有遺留下來。

(22)

12

第二章 文獻探討

本研究的重點在於高中多項式微分,因此本章第一節節探討了兩篇關於高中 多項式函數(含微積分)的碩士論文,並將該論文內編製的測驗與本研究的測驗進 行比較;第二節說明香港、中國、日本三個鄰近台灣的亞洲國家對於高中數學課 程微積分部分的內容進行說明,最後進行說明與比較。

第一節 高中多項式函數(含微積分)內容之相關研究

大考中心在各教育界學者專家周詳的討論下,於 1999 年針對學生數學的認 知過程,將其分為「概念性」、「程序性」與「解題能力」等三個層面,期測驗目 標即為評量學生是否具有這三方面的知能(林福來等,1999);其中「解題能力」, 根據孫瑞良(2009) 在《高中數學多項式函數(含微積分)其解題試題與應用問題 之研究》界定「解題能力」之測驗目標如下:

1. 能從情境中辨識數學元素並形成問題 2. 能了解條件的充分性與一致性

3. 能應用適當的定義、定理或性質

4. 能使用相關的數學知識或策略轉換問題 5. 能使用、修改或推廣程式

6. 能運用推理能力

7. 能檢驗結果的合理性與正確性 8. 能使用數學語言表達解題過程

廖振能(2009) 在《高中數學多項式函數(含微積分)其概念性試題與程序性 試題之研究》中界定「概念性試題」,主要是依據安德生(Anderson)所修訂的知 識向度內容中概念知識所發展出的試題,概念知識主要指基本要素與較大的結構 共同發揮功能的互動關係,包含類別、分類以及它們之間關係的知識;根據大考 中心的命題標準,概念題須能測出學生是否具有以下種能力:

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13

1. 能辨識某概念的正、反例

2. 能利用模型、圖形、符號或公式來表達某概念

3. 確認概念中基本的數學原理(如:對稱原理、等量公理) 4. 知道定義的條件或性質

5. 聯結某概念不同的形式 6. 整合各種概念間的關係

7. 從不同情境中,辨識與解釋符號所表達的概念 8. 解釋問題中的條件及涉及的概念

9. 能診斷概念的錯誤

廖振能(2009)界定「程序性試題」,同樣是依據安德生所修訂的知識向度中 程序知識所發展出的試題,程序知識為有關如何完成某事的流程、探討方法以及 使用技巧、演算、記述和方法的規準;根據大考中心的命題標準,程序提須能測 出學生是否具有以下四能力:

1. 能操作數與符號的運算及估算 2. 能正確選擇適當的程序

3. 能讀圖、查表、製作圖表 4. 能檢驗所用的程序無誤

孫瑞良(2009)指出,一般坊間的多項式函數(含微積分)題型大部分是「解題 能力」,而「概念性」與「程序性」則較少,甚至連「解題」試題也是充斥著「難、

偏、怪」,容易揠苗助長,造成學生學習上的迷思;該研究的結論與建議如下:

一、小組審題在表達不同的教學視野,激發出新題型的研究開發

一份好的試題需要由一群專業的小組成員以不同的教學角度,進一步激發出 研究開發新題型的創意,篩選出較好的例子,篩選出來的例子能先給班上同學根 據單題進行施測,再將答對率過低的題目進行修題或刪題,若是答對率在設定範 圍內則可將該題放置試卷中。

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14

二、好的題目可以用來評量或者是當教材

好的題目可當作教學上的例子,也可以用來澄清觀念,引起學生的學習動機,

好的題目也可當作測驗,有效評量學生的程度。

三、掌握考卷的命題原則有助於教學評量及引導學生學習

試題內容要能清楚表達題意,並能契合該題的測驗目標,避免同時包含太多 公式或概念。題幹與選項的邏輯上要能連貫,避免出現可能暗示正確答案的根據,

同時盡量用正面的敘述,避免使用否定句;題幹的敘述應保持完整,避免被選項 分割成兩個部分或段落,且語句敘述應具備邏輯性。

四、試卷運用「概念」與「程序」題型的鋪陳有助於「解題」的呈現

「解題」題型通常扮演學生分數高低的角色,所以在題目的安排順序上避免 排在題組的前二題,除非題目的難度較低,或者該大題只有一題「解題」題型;

另外「概念性」與「程序性」的測驗目標,盡量能幫「解題」題型舖陳,使得學 生在測驗過程中,就有學習到該單元的整體重點,達到複習的目的。另外,在施 測時部分同學因為考卷上的題目無法全盤應付,於是大部分的時間都在解決「概 念性」與「程序性」等題型,所以「解題」之題型設計不可太難,避免學生有棄 保效應。

五、試卷應注意「解題能力」與「程序性」試題屬性的不同

「解題試題及應用問題」在進行整卷時,有時候很容易跟「程序性」題型重 複,因為解題與程序兩種題型是有某種程度的交集。解題步驟在一至兩個之內,

或者讀圖之後帶入一般的公式或定理,答案很快就出來,即為「程序性」題型;

若是解題,則解題步驟就在兩個以上,而且讀圖之後還得進行公式轉換。

孫瑞良(2009)主要是針對解題試題與應用問題方面進行探討,而對於概念性 試題與程序性試題的研究,主要是廖振能(2009)在《高中數學多項式函數(含微

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15

積分)其概念性試題與程序性試題之研究》中探討,學生在多項式(含微積分)階 段最容易混淆的概念包含:

(一) 圖形與函數無法轉換。

(二) 多項式的除法、餘式次數小於除式次數的觀念不足。

(三) 牛頓法只能用於整係數多項式。

(四) 僅會使用十字交乘法進行因式分解。

(五) 方程式的根分為實根與虛根,實根的幾何解釋必須用多項式函數圖形 配合。

(六) 易混淆負根與虛根。

(七) 不等式要在實數範圍討論才有意義。

(八) 等比數列與級數收斂時的區分不清。

(九) 黎曼和的極限與面積之間的差別。

(十) 切線的定義是由割線逼近切線的概念,所以函數圖形與切線切點外可 能有其他交點。

(十一) 學生對三次函數的圖形概念不清,亦無法有效判斷三次方程式的實 根個數。

(十二) 學生在處理實際應用問題時,常發生因閱讀能力有限或觀念不清而 無法將文字轉換成數學式。

廖振能(2009)亦給了以下三點建議:

一、教師同儕團體的善用

在蒐集資料進行題目分析後,試題審閱的程序極為重要,在審題時可善用教 師同儕團體,由於教師同儕具有教學現場的實際經驗,因此在審題時可提供不同 的意見,進而激盪出創新題型的思維。

二、試題角色多樣化

創新試題不僅可作為評量學生學習成就的工具,更可以做為教師課堂上引起

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學生學習動機及澄清觀念的教學示範題型,在教學過程中可發現,學生一旦遇到 新開發的題目,就會覺得新鮮有趣,有較多的意願思考與學習,因此開發出新題 型後將其腳色多樣化將有助於教師教學及學生的學習。

三、建立題庫

如能運用社會資源,將各單元就概念程序解題三方面分類整合優良試題以建 立題庫,以供學生使用,加強其不足的地方,從單向的加強進而收到全面的整合。

其研究團隊在該研究中創造了十一回試題範例,並邀請大學教授與六位高中 教師來共同審視這十一份題目,以檢視試題的敘述是否清楚、題目條件是否充足、

答案是否正確無誤;其試題正式施測時分兩個部分,一個是多項式的基本性質(單 元 A-D),另一個是選修(II)的多項式函數微積分(單元 E-K),各個不同單元的名 稱列述如下:

一、「多項式函數基本性質」部份

單元 A 多項式的運算及餘因式定理 單元 B 多項式函數

單元 C 多項式方程式 單元 D 多項式不等式

二、「多項式函數微積分」部份

單元 E 函數圖形及極限概念 單元 F 割線、導數及切線斜率 單元 G 函數的遞增、凹向與極值 單元 H 三次函數的圖形

單元 I 極值的應用 單元 J 黎曼和與定積分 單元 K 定積分的應用

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其中與本論文所設計的教案,內容相呼應的部分(但仍有部分觀念切入點不 同)包含了單元 F 割線、導數及切線斜率、單元 G 函數的遞增、凹向與極值、

單元 H 三次函數的圖形、單元 I 極值的應用。

將與本研究教案的內容相呼應的題目與說明列如表 2.1.1 所示:

表 2.1.1 與本研究教案相呼應(但切入點不同)的內容說明 十一回試題範例的內容 本研究教案所設計的內容 割

、 導 數 及 切 線 斜 率 單 元

F

1. 由函數上不同兩點的割線斜 率,利用極限的概念去計算出切線 斜率。

2. 給定未知方程式,能由已知在 某點的切線斜率去推算未知方程 式的部分係數及極限的寫法。

1. 主要重點並不放在割線斜率切 入,而是利用泰勒多項式的觀念帶 入切線斜率。(極限部分僅提及導 數的極限式子列式方式)

2. 僅說明導數與極限寫法表式相 同的意思。

函 數 的 遞 增

、 凹 向 與 極 值 單 元

G

1. 能由函數圖形去判斷何處為極 值。

2. 明確說明「反曲點」的意義。

3. 未知係數函數,給凹向範圍及 極值,能計算出未知的係數。

1.由方程式去計算出極值發生的 點。

2. 不提及「反曲點」,僅說明二 次函數與三次函數的對稱點。

3. 能由已知的函數去計算出凹向 性與極值。

三 次 函 數 的 圖 形 單 元

H

1. 三次函數的常數項為 k,能藉由 實根與虛根的個數去判斷 k 的範 圍。

2. 三次函數的一次項係數為 k,告 知重跟,需算出 k 值。

1. 給一三次函數,能由極值與對 稱點畫出函數圖形。

極 值 的 應 用 單 元

I

1. 計算錐體與柱體的體積。

2. 計算拋物線與 x 軸的內接梯形 的最大面積。

1. 僅計算柱體體積。

2. 計算經濟方面的問題與圍成面 積的問題。

節錄「單元 H 三次函數的圖形」於【附錄三】中供參照。

(28)

18

第二節 香港、中國、日本的高中數學對於微積分課程的安排

此小節就香港、中國、日本三個鄰近台灣的亞洲區域對於高中數學課程的規 劃,並且著重在探討微積分課程,每個地區分兩點作說明:1.課程架構 2.微積 分部份的規劃。

(一) 香港

1. 課程架構

香港的數學課程(中四至中六),建基於《數學教育學習領域課程指引(小一 至中三)》所訂立的發展方向(香港特別行政區政府教育局網站(2015),

http://www.edb.gov.hk/tc/index.html),目的是幫助學生鞏固在基礎教育中獲 得的學習成果,拓闊和深化他們的學習經驗,進一步加強在數學學習上的正確價 值觀和態度。

課程部分包括必修部份及延伸部分,延伸部分設有兩個單元進一步發展學生 的數學知識,這兩單元分別為:

單元一(微積分與統計):著重統計和數學的應用。本單元是為在學科或職業上需 要對數學,尤其是對統計,有較廣闊和深入理解的學生而設。

單元二(代數與微積分):重視深入的數學內容。本單元是為日後選修數學或從事 與數學有密切關聯的專業的學生而設。

基礎課程是所有學生均應致力掌握的觀念和知識。延伸部分包括兩個不同導 向的單元,對於在數學上有較佳表現的學生,或是較有興趣學習數學的學生,又 或是需要更多數學知識和技能,為日後工作和進修作準備的學生來說,他們可從 延伸部分中,選擇修讀其中一個單元。單元一(微積分與統計)著重數學的應用,

而單元二(代數與微積分)則較重視數學概念和知識。

香港的數學課程架構圖如圖 2.2.1 所示:

(29)

19

2.2.1 香港數學課程架構圖

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20

2. 微積分部份的規劃

香港的數學課程中延伸部分的單元一及單元二都包含微積分的教學;單元一 (微積分與統計)分成三個領域,分別是「基礎知識」、「微積分」和「統計」。單 元二(代數與微積分)亦分成三個領域,分別是「基礎知識」、「代數」和「微積 分」。此外,在課程設計時加入了一個獨立於以上領域的學習單位,稱為「進階 學習單位」,旨在增強學生探究、溝通、推理及建構數學概念的能力。

單元一(微積分與統計)及單元二(代數與微積分)的學習目標分別如表2.2.1 及表2.2.2:。

表 2.2.1 單元一(微積分與統計)的學習目標

基礎知識 微積分 統計

期望學生能:

 應用二項展式學習 概率與統計;

 以建模、繪畫圖像和 應用指數函數及對 數函數解決應用題;

 理解指數函數和對 數函數的關係,並使 用它們解現實生活 中的應用題。

 認識極限作為微積 分學的基礎;

 透過現實情境理解 微積分的概念;

 求簡單函數的導 數、不定積分和定積 分。

 理解概率,隨機變 量,離散和連續概率 分佈的概念;

 以二項、泊松、幾何 和正態分佈理解統 計推理的基礎概念;

 運用統計方法觀察 和思考,並作出推 斷;

 發展對不確定現象 的數學思維能力,並 應用相關知識和技 巧解決問題。

(31)

21

表 2.2.2 單元二(代數與微積分)的學習目標

基礎知識 代數 微積分

期望學生能:

 將根式有理化;

 理解數學歸納法原 理;

 以二項式定理展開 二項式;

 理解簡單三角函數 及其圖像;

 理解涉及複角的重 要三角恒等式和公 式;

 理解數字e。

 理解矩陣和最高為 三階方陣的逆矩陣 的概念、運算和特 性;

 解線性方程組;

 理解向量的概念、運 算和特性;

 應用向量的知識解 二維和三維空間的 問題。

 理解極限作為微積 分學的基礎;

 理解函數的導數、不 定積分和定積分的 概念和特性;

 求簡單函數的導 數、不定積分和定積 分;

 求函數的二階導數;

 應用微積分的知識 解決現實生活中的 問題。

另外,單元一與單元二中跟微積分有關的學習重點部分相似,此只列出單元 一與微積分相關的學習重點如表 2.2.3 所示:

表 2.2.3 單元一微積分相關學習重點 微積分領域

求導法及其應用

學習單位 學習重點 時間 注釋

3. 函數的導數 3.1 認識函數極限的直 5 不須引入「連續函數」和「不連續函數」

(32)

22

觀概念

3.2 求代數函數、指數 函數和對數函數的極限

3.3 透過基本原理認識 函數的導數的概念

3.4 認識曲線 yf x ( ) 在點 xx

0

的切線斜率

的概念。

須陳述但不須證明有關函數的和、差、

積、商、純量乘法極限和複合函數極限 的定理。

須引入下列代數函數:

 多項式函數

 有理函數

 冪函數 x

a

 由上述各函數的加、減、乘、除和複合

而成的其他函數,例如: x

2

1

學生不須使用基本原理求函數的導數。

須介紹包括 yf  ( ) xdy

dx 的記法。

須介紹包括 f x

( )0

x x0

dy

dx

的記法。

4. 導數的求導 法

4.1 理解求導法的加法 法則、積法則、商法則 和鏈式法則

4.2 求代數函數、指數 函數和對數函數的導數

7 須引入以下法則:

須引入以下公式:

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23

不須引入引函數求導法。

不須引入對數求導法。

5. 二階導數 5.1 認識函數二階導數 的概念

5.2 求顯函數的二階導 數

2

須介紹包括 的記法。

不須引入三階及更高階的導數。

6. 求導法的應 用

6.1 使用求導法解涉及 切線、變率、極大值和 極小值的應用問題

9 須引入全局和局部的極值。

教學時數小計 23 積分法及其應用

7. 不定積分及 其應用

7.1 認識不定積分法的 概念

7.2 理解不定積分的基 本性質及不定積分法的 基本公式

10 須介紹不定積分法為求導法的逆運算。

須介紹 的記法。

須引入以下性質:

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24

7.3 使用不定積分法的 基本公式求代數函數和 指數函數的不定積分

7.4 使用代換積分法求 不定積分

7.5 使用不定積分法解 應用問題

須引入以下公式,並對積分常數C的意 義加以解釋:

不須引入分部積分法。

8. 定積分及其 應用

8.1 認識定積分法的概 念

8.2 認識微積分基本定 理及理解定積分的性質

8.3 求代數函數和指數 函數的定積分

8.4 使用代換積分法求 定積分

12 須介紹將定積分表示為曲線下矩形條的 面積和的極限的定義。

須介紹

b ( )

a

f x dx

的記法。

須引入假變量的知識,即:

所指的微積分基本定理為

須引入以下性質:

(35)

25

8.5 使用定積分法求平 面圖形的面積

8.6 使用定積分法解應 用問題

9. 使用梯形法 則計算定積分 的近似值

9.1 理解梯形法則及使 用它計算定積分的近似 值

4 不須引入誤差估值。

教學時數小計 26

(36)

26

(二) 中國

1. 課程架構

根據姜志遠(2005)在《台灣與中國大陸之十二年數學課程比較》及中國大陸 所 頒 布 的 「 普 通 高 中 數 學 課 程 標 準 」 ( 人 民 教 育 出 版 社 網 站 http://www.pep.com.cn/),中國大陸高中數學課程的總目標是:使學生在九年 義務教育數學課程的基礎上,進一步提高作為未來公民所必要的數學素養,以滿 足個人發展與社會進步的需要。具體目標如下。

1.獲得必要的數學基礎知識和基本技能,理解基本的數學概念、數學結論的 本質,瞭解概念、結論等產生的背景、應用,體會其中所蘊涵的數學思想和方法,

以及它們在後續學習中的作用。通過不同形式的自主學習、探究活動,體驗數學 發現和創造的歷程。

2.提高空間想像、抽象概括、推理論證、運算求解、資料處理等基本能力。

3.提高數學地提出、分析和解決問題(包括簡單的實際問題)的能力,數學 表達和交流的能力,發展獨立獲取數學知識的能力。

4.發展數學應用意識和創新意識,力求對現實世界中蘊涵的一些數學模式進 行思考和做出判斷。

5.提高學習數學的興趣,樹立學好數學的信心,形成鍥而不捨的鑽研精神和 科學態度。

6.具有一定的數學視野,逐步認識數學的科學價值、應用價值和文化價值,

形成批判性的思維習慣,崇尚數學的理性精神,體會數學的美學意義,從而進一 步樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀。

中國大陸高中數學課程分必修和選修。必修模組由 5 個模組組成;選修課程 有 4 個系列,其中系列 1、系列 2 由若干個模組組成,系列 3、系列 4 由若干專 題組成;每個模組 2 學分(36 學時),每個專題 1 學分(18 學時),每 2 個專題可 組成 1 個模組。課程結構如圖 2.2.2 所示。

(37)

27

代表模組 ; 代表專題

2.2.2 中國大陸高中數學課程架構

 必修課程

必修課程是每個學生都必須學習的數學內容,包括五個模組。

數學 1:集合、函數概念與基本初等函數 I(指數函數、對數函數、冪函數); 數學 2:立體幾何初步、平面解析幾何初步;

數學 3:演算法初步、統計、概率;

數學 4:基本初等函數 II(三角函數)、平面上的向量、三角恒等變換;

數學 5:解三角形、數列、不等式。

 選修課程

對於選修課程,學生可以根據自己的興趣和對未來發展的願望進行選擇。選 修課程由系列1,系列2,系列3,系列4等組成。

◆系列 1:由兩個模組組成。

選修 1-1:常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數及其應用;

數學 1 數學 2 數學 3 數學 4 數學 5

選修 1-2

選修 1-1 選修 2-1 選修 2-2 選修 2-3

選修 3-6

選修 3-5

選修 3-4

選修 3-3

選修 3-2

選修 3-1

選修 4-10

選修 4-4

選修 4-3

選修 4-2

選修 4-1

必修 模組

選修 系列

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28

選修 1-2:統計案例、推理與證明、數系的擴充與複數的引入、框圖。

◆系列 2:由三個模組組成。

選修 2-1:常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間中的向量與立體幾何;

選修 2-2:導數及其應用、推理與證明、數系的擴充與複數的引入;

選修 2-3:計數原理、統計案例、概率。

◆系列3:由六個專題組成。

選修3-1:數學史選講;

選修3-2:資訊安全與密碼;

選修3-3:球面上的幾何;

選修3-4:對稱與群;

選修3-5:歐拉公式與閉曲面分類;

選修3-6:三等分角與數域擴充。

◆系列4:由十個專題組成。

選修4-1:幾何證明選講;

選修4-2:矩陣與變換;

選修4-3:數列與差分;

選修4-4:坐標系與參數方程;

選修4-5:不等式選講;

選修4-6:初等數論初步;

選修4-7:優選法與試驗設計初步;

選修4-8:統籌法與圖論初步;

選修4-9:風險與決策;

選修4-10:開關電路與布林代數。

2. 微積分部份的規劃

在完成必修課程學習的基礎上,希望進一步學習數學的學生,可以根據自己

(39)

29

的興趣和需求,選擇學習系列 1,系列 2。

系列 1 是為希望在人文、社會科學等方面發展的學生而設置的,包括 2 個模 組,共 4 學分。系列 2 則是為希望在理工、經濟等方面發展的學生設置的,包括 3 個模組,共 6 學分。

其中列出微積分相關的內容與要求:

系列 1 選修 1-1

微積分的創立是數學發展的里程碑,它的發展及廣泛應用,開創了向近代數 學過渡的新時期,它為研究變數與函數提供了重要的方法和手段。導數的概念是 微積分的核心概念之一,它有極其豐富的實際背景和廣泛的應用。在本模組中,

學生將通過大量實例,經歷由平均變化率到暫態變化率的過程,刻畫現實問題,

理解導數的含義,體會導數的思想及其內涵;應用導數探索函數的單調、極值等 性質及其在實際中的應用,感受導數在解決數學問題和實際問題中的作用,體會 微積分的產生對人類文化發展的價值。

導數及其應用(約 16 課時)

(1)導數概念及其幾何意義

① 通過對大量實例的分析,經歷由平均變化率過渡到暫態變化率的過程,瞭解 導數概念的實際背景,知道暫態變化率就是導數,體會導數的思想及其內 涵。

②通過函數圖像直觀地理解導數的幾何意義。

(2)導數的運算

① 能根據導數定義,求函數

yc

yx

yx

2

y 1

x

的導數。

② 能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的 導數。

③ 會使用導數公式表。

(40)

30

(3)導數在研究函數中的應用

① 結合實例,借助幾何直觀探索並瞭解函數的單調性與導數的關係。能利用導 數研究函數的單調性,會求不超過三次的多項式函數的單調區間。

說明與建議:

本模組中,導數的概念是通過實際背景和具體應用的實例引入的。教學中,

可以通過研究增長率、膨脹率、效率、密度、速度等反映導數應用的實例,引導 學生經歷由平均變化率到暫態變化率的過程,知道暫態變化率就是導數。通過感 受導數在研究函數和解決實際問題中的作用,體會導數的思想及其內涵。這樣處 理的目的是説明學生直觀理解導數的背景、思想和作用。

在教學中,要防止將導數僅僅作為一些規則和步驟來學習,而忽視它的思想 和價值。應使學生認識到,任何事物的變化率都可以用導數來描述。應當避免過 量的形式化運算練習。

系列 2 選修 2-2

包含了與選修 1-1 相同的內容,這裡列出額外的內容:

(3)導數在研究函數中的應用

① 結合實例,借助幾何直觀探索並瞭解函數的單調性與導數的關係;能利用導 數研究函數的單調性,會求不超過三次的多項式函數的單調區間。

② 結合函數的圖像,瞭解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件;會用導 數求不超過三次的多項式函數的極大值、極小值,以及閉區間上不超過三次 的多項式函數最大值、最小值;體會導數方法在研究函數性質中的一般性和 有效性。

(4)生活中的優化問題舉例。

例如,使利潤最大、用料最省、效率最高等優化問題,體會導數在解決實際

(41)

31

問題中的作用。

(5)定積分與微積分基本定理

① 通過實例(如求曲邊梯形的面積、變力做功等),從問題情境中瞭解定積分的 實際背景;借助幾何直觀體會定積分的基本思想,初步瞭解定積分的概念。

② 通過實例(如變速運動物體在某段時間內的速度與路程的關係),直觀瞭解微 積分基本定理的含義。

(6)數學文化

收集有關微積分創立的時代背景和有關人物的資料,並進行交流;體會微積 分的建立在人類文化發展中的意義和價值。

(42)

32

(三) 日本

1. 課程架構

根據洪雅齡(2005)在《台灣與日本之十二年數學課程比較日本數學》之論文 中所提及的日本高中數學學習指導要領與參考日本文部科學省網站,日本的高中 數學目標在加深對數學基本概念、原理及法則的理解,提高數學事物的考察及處 理能力,透過數學活動培養基礎創造性的同時,能透過數學原理的見解及想法的 好處,養成積極活用以上各點的態度。

針對高中數學課程來看,共分做數學基礎、Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、A、B、C 等七門 課。底下列出各門課的目標

數學基礎

理解數學與人之間的關係及數學對社會生活的功用,並能透過數學性的見解 及想法,養成活用數學的態度。

數學Ⅰ

理解方程式及不等式、二次函數、圖形及記量的意義,並能適當地應用。

數學Ⅱ

理解公式與證明、高次方程式、圖形及方程式、各種函數及微分與積分的 基本觀念進而熟習技能,並能適當地活用。

數學Ⅲ

加深理解極限、微分法及積分法的觀念,進而熟練技能,並能適當地活用。

數學 A

瞭解平面圖形、集合與其理論及場合的數字與機率的基本觀念及技能的熟練 並能認識數學性的見解及想法的好處。

(43)

33

數學 B

理解數列、向量、統計或是數值計算的基本知識並熟習技能,並能適當地應 用。

數學 C

理解矩陣及其應用、式與曲線、機率分佈及統計處理的基本知識並熟習能,

並能適當地應用。

日本高中的數學領域分為必修及選修,其中必修科目為數學基礎與數學Ⅰ,

其他均為選修科目。底下列出學生選修的相關規定(文部科學省):

1、若想選修「數學 Ⅱ」及「數學 Ⅲ」,原則上必須按「數學Ⅰ」、「數學 Ⅱ」、

「數學Ⅲ」的順序來修課。

2、若想選修「數學 A」,則可同時與「數學基礎」或「數學Ⅰ」修習,也可修 完「數學基礎」或「數學Ⅰ」後再選修。

3、若想選修「數學 B」,則必須修完「數學Ⅰ」後才可以選修。

4、若想選修「數學 C」,則必須修完「數學Ⅰ」及「數學 A」後才可以選修。

日本的全國必修數學課程到 10 年級 (也就是高一的數學 I) 為止。其他的 數學高中課程都是選修。就課程資料來看,日本提供了非常多樣而豐富的課 程供高中生選修,例如數學課程就有五門一學年的選修課程。

2. 微積分部份的規劃

日本的高中數學跟微積分部分有關的部分是在數學Ⅱ與數學 III,而數學 II 屬於屬於高二的課程,數學 III 屬於高三的課程。

數學 II 中和微積分相關的觀念如下:

(1) 微分的觀念 a、微分係數與導函數

(44)

34

b、導函數的應用

c、切線與函數值的遞減 (2) 積分的觀念

a、不定積分與定積分 b、面積

[用語、記號]

極限値、

lim

附註:

針對(1)中,僅限於講三次以內的函數。針對(2)則限二次以內的函數。(1)的 a 所講述的極限,僅限於讓學生能直覺理解的程度。

數學 III 中,和微積分相關的觀念如下:

1、極限

以微分法和積分法為基礎瞭解極限的概念,考察其數列及函數值的極限並使 其活用。

(1) 數列的極限 a、數列

  r

n 的極限

b、無限等比級數的和 (2) 函數及其極限 a、合成函數與反函數 b、函數值的極限

[用語、記號]

收斂、發散、∞

2、微分法

瞭解各種函數的微分法,考察其運用函數值的遞減及圖表的凹凸,認識微分 法實用性的同時,考察具體事物使其活用。

(45)

35

(1) 導函數

a、函數的和、差、積、商的導函數 b、合成函數的導函數

c、三角函數・指數函數・對數函數的導函數 (2) 導函數的應用

切線、函數値的遞減、速度、加速度

[用語、記號]

自然對數,e,二次導函數,反曲點 3、積分法

瞭解各種函數的積分法,認識其實用性的同時,使其活用圖形的求積等。

(1) 不定積分與定積分 a、積分與其基本性質

b、簡單的置換積分法及部分積分法 c、各種函數的積分

(2) 積分的應用 面積、體積 附註:

1、關於內容 1 的(2),處理像

y ax b cx d

 

yaxb

程度的簡單分數函數 及無理函數。針對 2 的(2),在導函數的計算部份僅限定於必要的程度。

2、關於內容 2,提及平均值定理時,僅限於直覺地使其理解的程度。

3、關於內容 2 的(1)的 a 的分數函數的導函數,分母及分子僅限於二次程度 針對 b 的部份,

yx

k( k 是有理数),處理像

yaxb

yax

2

b

程度的簡單函數。

4、關於內容 3 的(1)的 b,置換積分法僅限於跟 ax b t

 

xa

sin

置換 的程度,部分積分法限定於簡單函數在一次適用所得到的結果。

(46)

36

(四)結語

前面列出了香港、中國、日本的高中數學微積分部分課程規劃,由以下兩點 分別進行說明:

(1) 香港的單元一包含了微積分的粗淺介紹,使得商管類學生有機會在高中就先 接觸微積分,而台灣卻是大部分商管類學生大學才正式接觸微積分;香港、中國、

日本的高中數學微積分內容都較台灣多,它們進階的微積分課程均有教到指對數、

三角函數的微積分,更甚至日本在數學 II、數學 III(相當於高二課程)就有教到 微積分。

(2) 這三個地區與現階段台灣的高中微積分都是以極限的概念切入,而本研究設 計的課程則是由多項式的觀點為主,藉由泰勒形式導入多項式的微分,對高一學 生實施教學,以切線斜率直觀的角度為高二、高三將學到的微積分先行準備。

(47)

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第三章 研究方法與實施步驟

本研究主要目的在探討指導教授和研究者所設計的「高一學生學習多項式的 微分教案」,對於剛學完多項式函數的高一學生,在進行實驗教學後所做的測驗,

對於不同程度的學生有哪些差異處。本章針對本研究之研究設計、研究對象、研 究工具、資料分析等部分,詳細說明如下。

第一節 研究設計與流程

3.1.1 研究架構圖

至第一所高中進行實驗教學與 測驗

微調教案與學習單後再至第二 所高中進行實驗教學與測驗 至第三所高中進行實驗教學與 測驗

準備階段

擬定研究主題

瞭解其他各國對於多項式微分 的課程編排

相關文獻探討

設計教學內容與研究工具 測驗題目的審核與修訂

正式施測階段

整理測驗結果 整理分析測驗

提出研究結果

(48)

38

第一階段準備階段

(一) 擬定研究主題

研究者與指導教授經過討論後,確定了研究主題,並開始著手收集相關資料 及文獻。

(二) 相關文獻探討與資料收集

指導教授特請友人從日本帶回日本高二所學習的數學課本,提供研究者做參 考,並於中國、香港與日本的教育部網站蒐集相關資料。

(三) 設計教學內容與研究工具

本研究的教學內容為研究者與指導教授共同設計的多項式微分教案,並跟具 教案設計出研究工具為自編的『學習單 I~學習單 IV、作業一~作業四、多項式 的微分測驗』。

(四) 測驗題目的審核與修訂

根據學習單 I~學習單 IV 及作業一~作業四,設計出『多項式的微分』測 驗,並依據指導教授在麗山高中的試測教學,修改測驗題目,使題目敘述的變化 性提高。

第二階段正式施測階段

(一) 選定研究對象

本研究正式施測選定桃園市的三所高級中學高一的學生為研究對象,其中一 個班級為普通班(即未分班的一般班級,高一並未分自然組及社會組),另一個高 一的班級為社會組的學生,還有一個高一的班級為數理資優班的學生。

(二) 正式實施實驗教學與測驗

本研究的教學時間為四堂課,共 200 分鐘,並再多一堂課 50 分鐘的測驗時 間。在第一所學校進行完教學與測驗後,微調教案與學習單,使得教學時能更加 流暢;之後於第二所學校進行實驗教學,確認該教案與學習單及作業的內容洽當 後,又再至第三所學校進行實驗教學。

(49)

39

第二節 研究對象

本研究正式施測選定桃園市的三所高級中學一年級的學生為研究對象,並以 班級為單位,於高一下學期實施實驗教學與測驗,因高一上學期已學習完『多項 式函數』的單元,對於一次、二次多項式函數及其圖形已有概念,並瞭解多項式 的除法原理、餘式定理、因式定理的應用。三所高中依據施測時間,有先至後分 別簡稱為甲高中、乙高中、丙高中。這三所高中當屆入學之 PR 值大致上分別為:

甲高中 PR 值約 75、乙高中 PR 值約 95、丙高中 PR 值約 85,其中甲高中的學生 為一般並未分組的高一學生,乙高中的學生為已分組的自然組學生(數理資優班),

丙高中的學生為已分組的社會組學生;選此三種不同種類班級的原因是,欲探討 不同環境與程度下,此研究在測驗結果下會有哪些問題。研究對象之分析表如下 述:

表 3.2.1 本研究之研究對象分析表

甲高中 乙高中 丙高中

平均 PR 值 75 95 85

特色 未分組 自然組(數理資優班) 社會組

Figure

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