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# 數 學 系 碩 士 論 文

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i

## 國 立 中 央 大 學

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ii

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i

### 摘 要

【關鍵詞】：綜合除法、泰勒多項式、多項式函數的微分。

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ii

### Abstract

This study aims at investigating the lesson plan of polynomial derivatives for grade 11 students. Four lectures and one assessment consist the lesson plan which was designed by the researcher and the advisor. This lesson plan regards the form of Taylor as the cutting point. By the end of the lectures, students can sketch the cubic polynomial function and solve the application problems. Basing on the observation and assessment results, this study analyzes and discusses the effects and problems of learning the polynomial derivatives on different level students of grade 11.

On the one hand, the result shows that advanced learners can almost aquire all the lessons. And the medium to challenged learners can learn the former part, but over half of them can not learn well on the latter part: sketch the cubic polynomial function and solve the application problems. If the teaching time of the latter part is increased, the learning effect can be better. On the other hand, some students fail to grasp the mathematical language precisely, which happens not only in medium and challenged learners but also in advanced learners.

According to the result, the researcher provides some sugesstions for teaching conditions, lesson plan designs and related studies in the future.

Keywords: synthetic division, Taylor polynomials, polynomial derivatives

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iii

### 致謝

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iv

Abstract ... ii

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v

【附錄二】作業與學習單及測驗 ... 77

【附錄三】十一回試卷中「單元 H 三次函數的圖形」 ... 97

【附錄四】甲、乙、丙三所高中測驗成績表 ... 101

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vi

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vii

... 53

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viii

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1

### 第一節 研究背景與動機

1. 微積分的發明在數學及相關問題上的突破，值得高中生學習。

2. 微積分的方法對高中階段能夠解決的問題有所幫助。

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2

、 極 限 與 函 數

1.數列及其極限 1.1 兩數列的比較

1.2 數列的極限及極限的性質

1.3 無窮等比級數、循環小數 1.4 夾擠定理

1.2 以圖形、電腦展示 的範例 建立學生對 於極限的直觀 1.4 可用圖形或面積意

3.2 連續函數、介值定理

、 多 項 式 函 數 的 微 積 分

1.微分 1.1 導數與切線

1.2 微分的加、減、乘運算 2.函數性質的判

2.1 遞增、遞減、凹凸性、函數 極值的一階與二階檢定法 2.2 三次多項式的繪圖

3.積分的意義 3.1 定積分的意義 3.2 微積分基本定理

3.3 多項式函數的定積分與不定 積分的計算

3.3 不涉及分部積分與 變數變換法

4.積分的應用 4.1 以求圓面積、球體體積、角 錐體體積、解自由落體運動 方程式為主

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3

、 極 限 與 函 數

1.數列及其極限 1.1 兩數列的比較

1.2 數列的極限及極限的性質 1.2 以圖形、電腦展示 的範例建立學生對 於極限的直觀 2.無窮等比級數 2.1 無窮等比級數

2.2 循環小數 2.3 夾擠定理

2.3 可用圖形或面積意 涵說明夾擠定理 3.函數的概念 3.1 函數的定義、圖形、四則運

4.2 連續函數、介值定理

1關於「高中生為什麼要學微積分？」，張海潮教授曾給了兩個答案；單維彰教授 (2008) 在《美 國 AP 課程的啟示》中給了此第三個答案。

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4

### 第二節 研究目的與待答問題

1. 是否能設計出一套符合高一學生學習的多項式微分教材？

2. 不同程度的高中生對於此設計的微積分教材會有什麼樣的學習差異？

(15)

5

I. 研究範圍

II. 研究限制

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6

### f 

(並未提及導數、導函數、微分等名詞)；並在「7-6 過圓錐曲線上一 定點之切線」說明了在圓錐曲線上特定點的切線求法。而積分的部分，該課本並 沒有任何說明，僅在第六冊(自然組)後面附錄的部分提及「面積函數」的名詞(即 多項函數圖形下之面積)，也並未使用積分符號

###  f x dx

( ) 」等說明，旨在說明面積函數)。

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7

2微分」意思等同於「求 函數

2的導函數」，也使用了

### dx

；接著說明多 項函數的遞增、遞減問題但僅以一階導數判別極大值與極小值，並未使用二階導 數，也並未出現「反曲點」的概念，也只需能求出極值，並未要求描繪出三次函 數的圖形。積分的部分僅在「2-5 函數圖形下的面積」內用上和與下和的概念說 明，但並未出現「積分」或是「

###  f x dx

( ) 」這些敘述，且內容也只需會計算一次 及二次函數曲線下的面積就可。相較之下，較民國七十年代的內容量少很多。

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8

( )

### 

、定積分、不定積分、做功、反導函數、微積分基本定理等內容均有包 含，最後說明以積分方法求圓的面積、旋轉體體積、自由落體等應用問題結尾。

50 年代~

60 年代

、切線、反曲點。

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9 60 年代~

70 年代

70 年代~

80 年代

xln x的微積分。

84 年課綱

( )

，不使用

95 年暫綱

###   y / x

99 年課綱 於表 1.1.3 與 1.1.4 所示，在此不贅述

(20)

10

0

( )0

( )0

0

( ) 0

0 0

n

n n

### x 的泰勒展開式。

0 2

1712 年泰勒被選入皇家學會，同年他加入判決艾薩克·牛頓(Sir Isaac

### Leibniz,1646-1716)就微積分發明權的案子的委員會。從 1714 年 1 月 13 日至

1718 年 10 月 21 日他任皇家學會的秘書。從 1715 年開始他的研究開始轉向哲學 和宗教。1719 年他從亞琛回到英國後寫的《關於猶太教犧牲》和《食血是否合 法》未完成，後來在他的遺物中被發現。1721 年他結婚，但是他父親不贊成這

2 通過函數在自變量零點的導數求得的泰勒級數又叫做邁克勞林級數，以蘇格蘭數學家科林·麥 克勞林的名字命名

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11

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12

### 第一節 高中多項式函數(含微積分)內容之相關研究

1. 能從情境中辨識數學元素並形成問題 2. 能了解條件的充分性與一致性

3. 能應用適當的定義、定理或性質

4. 能使用相關的數學知識或策略轉換問題 5. 能使用、修改或推廣程式

6. 能運用推理能力

7. 能檢驗結果的合理性與正確性 8. 能使用數學語言表達解題過程

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13

1. 能辨識某概念的正、反例

2. 能利用模型、圖形、符號或公式來表達某概念

3. 確認概念中基本的數學原理(如：對稱原理、等量公理) 4. 知道定義的條件或性質

5. 聯結某概念不同的形式 6. 整合各種概念間的關係

7. 從不同情境中，辨識與解釋符號所表達的概念 8. 解釋問題中的條件及涉及的概念

9. 能診斷概念的錯誤

1. 能操作數與符號的運算及估算 2. 能正確選擇適當的程序

3. 能讀圖、查表、製作圖表 4. 能檢驗所用的程序無誤

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14

「解題」題型通常扮演學生分數高低的角色，所以在題目的安排順序上避免 排在題組的前二題，除非題目的難度較低，或者該大題只有一題「解題」題型；

「解題試題及應用問題」在進行整卷時，有時候很容易跟「程序性」題型重 複，因為解題與程序兩種題型是有某種程度的交集。解題步驟在一至兩個之內，

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(一) 圖形與函數無法轉換。

(二) 多項式的除法、餘式次數小於除式次數的觀念不足。

(三) 牛頓法只能用於整係數多項式。

(四) 僅會使用十字交乘法進行因式分解。

(五) 方程式的根分為實根與虛根，實根的幾何解釋必須用多項式函數圖形 配合。

(六) 易混淆負根與虛根。

(七) 不等式要在實數範圍討論才有意義。

(八) 等比數列與級數收斂時的區分不清。

(九) 黎曼和的極限與面積之間的差別。

(十) 切線的定義是由割線逼近切線的概念，所以函數圖形與切線切點外可 能有其他交點。

(十一) 學生對三次函數的圖形概念不清，亦無法有效判斷三次方程式的實 根個數。

(十二) 學生在處理實際應用問題時，常發生因閱讀能力有限或觀念不清而 無法將文字轉換成數學式。

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16

### 二、「多項式函數微積分」部份

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17

、 導 數 及 切 線 斜 率 單 元

### F

1. 由函數上不同兩點的割線斜 率，利用極限的概念去計算出切線 斜率。

2. 給定未知方程式，能由已知在 某點的切線斜率去推算未知方程 式的部分係數及極限的寫法。

1. 主要重點並不放在割線斜率切 入，而是利用泰勒多項式的觀念帶 入切線斜率。(極限部分僅提及導 數的極限式子列式方式)

2. 僅說明導數與極限寫法表式相 同的意思。

、 凹 向 與 極 值 單 元

### G

1. 能由函數圖形去判斷何處為極 值。

2. 明確說明「反曲點」的意義。

3. 未知係數函數，給凹向範圍及 極值，能計算出未知的係數。

1.由方程式去計算出極值發生的 點。

2. 不提及「反曲點」，僅說明二 次函數與三次函數的對稱點。

3. 能由已知的函數去計算出凹向 性與極值。

### H

1. 三次函數的常數項為 k，能藉由 實根與虛根的個數去判斷 k 的範 圍。

2. 三次函數的一次項係數為 k，告 知重跟，需算出 k 值。

1. 給一三次函數，能由極值與對 稱點畫出函數圖形。

### I

1. 計算錐體與柱體的體積。

2. 計算拋物線與 x 軸的內接梯形 的最大面積。

1. 僅計算柱體體積。

2. 計算經濟方面的問題與圍成面 積的問題。

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18

### (一) 香港

1. 課程架構

http://www.edb.gov.hk/tc/index.html)，目的是幫助學生鞏固在基礎教育中獲 得的學習成果，拓闊和深化他們的學習經驗，進一步加強在數學學習上的正確價 值觀和態度。

(29)

19

### 2.2.1 香港數學課程架構圖

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20

2. 微積分部份的規劃

 應用二項展式學習 概率與統計；

 以建模、繪畫圖像和 應用指數函數及對 數函數解決應用題；

 理解指數函數和對 數函數的關係，並使 用它們解現實生活 中的應用題。

 認識極限作為微積 分學的基礎；

 透過現實情境理解 微積分的概念；

 求簡單函數的導 數、不定積分和定積 分。

 理解概率，隨機變 量，離散和連續概率 分佈的概念；

 以二項、泊松、幾何 和正態分佈理解統 計推理的基礎概念；

 運用統計方法觀察 和思考，並作出推 斷；

 發展對不確定現象 的數學思維能力，並 應用相關知識和技 巧解決問題。

(31)

21

 將根式有理化；

 理解數學歸納法原 理；

 以二項式定理展開 二項式；

 理解簡單三角函數 及其圖像；

 理解涉及複角的重 要三角恒等式和公 式；

 理解數字e。

 理解矩陣和最高為 三階方陣的逆矩陣 的概念、運算和特 性；

 解線性方程組；

 理解向量的概念、運 算和特性；

 應用向量的知識解 二維和三維空間的 問題。

 理解極限作為微積 分學的基礎；

 理解函數的導數、不 定積分和定積分的 概念和特性；

 求簡單函數的導 數、不定積分和定積 分；

 求函數的二階導數；

 應用微積分的知識 解決現實生活中的 問題。

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22

0

a

2

1

( )0

x x0

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23

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24

b ( )

a

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25

(36)

26

### (二) 中國

1. 課程架構

1.獲得必要的數學基礎知識和基本技能，理解基本的數學概念、數學結論的 本質，瞭解概念、結論等產生的背景、應用，體會其中所蘊涵的數學思想和方法，

2.提高空間想像、抽象概括、推理論證、運算求解、資料處理等基本能力。

3.提高數學地提出、分析和解決問題（包括簡單的實際問題）的能力，數學 表達和交流的能力，發展獨立獲取數學知識的能力。

4.發展數學應用意識和創新意識，力求對現實世界中蘊涵的一些數學模式進 行思考和做出判斷。

5.提高學習數學的興趣，樹立學好數學的信心，形成鍥而不捨的鑽研精神和 科學態度。

6.具有一定的數學視野，逐步認識數學的科學價值、應用價值和文化價值，

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### 2.2.2 中國大陸高中數學課程架構

 必修課程

 選修課程

◆系列 1：由兩個模組組成。

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28

◆系列 2：由三個模組組成。

◆系列3：由六個專題組成。

◆系列4：由十個專題組成。

2. 微積分部份的規劃

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(1）導數概念及其幾何意義

① 通過對大量實例的分析，經歷由平均變化率過渡到暫態變化率的過程，瞭解 導數概念的實際背景，知道暫態變化率就是導數，體會導數的思想及其內 涵。

②通過函數圖像直觀地理解導數的幾何意義。

（2）導數的運算

① 能根據導數定義，求函數

2

###  x

② 能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的 導數。

③ 會使用導數公式表。

(40)

30

（3）導數在研究函數中的應用

① 結合實例，借助幾何直觀探索並瞭解函數的單調性與導數的關係。能利用導 數研究函數的單調性，會求不超過三次的多項式函數的單調區間。

（3）導數在研究函數中的應用

① 結合實例，借助幾何直觀探索並瞭解函數的單調性與導數的關係；能利用導 數研究函數的單調性，會求不超過三次的多項式函數的單調區間。

② 結合函數的圖像，瞭解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導 數求不超過三次的多項式函數的極大值、極小值，以及閉區間上不超過三次 的多項式函數最大值、最小值；體會導數方法在研究函數性質中的一般性和 有效性。

（4）生活中的優化問題舉例。

(41)

31

（5）定積分與微積分基本定理

① 通過實例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中瞭解定積分的 實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步瞭解定積分的概念。

② 通過實例（如變速運動物體在某段時間內的速度與路程的關係），直觀瞭解微 積分基本定理的含義。

（6）數學文化

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32

### (三) 日本

1. 課程架構

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1、若想選修「數學 Ⅱ」及「數學 Ⅲ」，原則上必須按「數學Ⅰ」、「數學 Ⅱ」、

「數學Ⅲ」的順序來修課。

2、若想選修「數學 A」，則可同時與「數學基礎」或「數學Ⅰ」修習，也可修 完「數學基礎」或「數學Ⅰ」後再選修。

3、若想選修「數學 B」，則必須修完「數學Ⅰ」後才可以選修。

4、若想選修「數學 C」，則必須修完「數學Ⅰ」及「數學 A」後才可以選修。

2. 微積分部份的規劃

(1) 微分的觀念 a、微分係數與導函數

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34

b、導函數的應用

c、切線與函數值的遞減 (2) 積分的觀念

a、不定積分與定積分 b、面積

［用語、記號］

1、極限

(1) 數列的極限 a、數列

###   r

n 的極限

b、無限等比級數的和 (2) 函數及其極限 a、合成函數與反函數 b、函數值的極限

［用語、記號］

2、微分法

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(1) 導函數

a、函數的和、差、積、商的導函數 b、合成函數的導函數

c、三角函數・指數函數・對數函數的導函數 (2) 導函數的應用

［用語、記號］

(1) 不定積分與定積分 a、積分與其基本性質

b、簡單的置換積分法及部分積分法 c、各種函數的積分

(2) 積分的應用 面積、體積 附註：

1、關於內容 1 的(2)，處理像

### y  ax  b

2、關於內容 2，提及平均值定理時，僅限於直覺地使其理解的程度。

3、關於內容 2 的(1)的 a 的分數函數的導函數，分母及分子僅限於二次程度 針對 b 的部份，

k（ k 是有理数），處理像

2

###  b

4、關於內容 3 的(1)的 b，置換積分法僅限於跟 ax b t

sin

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### (四)結語

(1) 香港的單元一包含了微積分的粗淺介紹，使得商管類學生有機會在高中就先 接觸微積分，而台灣卻是大部分商管類學生大學才正式接觸微積分；香港、中國、

(2) 這三個地區與現階段台灣的高中微積分都是以極限的概念切入，而本研究設 計的課程則是由多項式的觀點為主，藉由泰勒形式導入多項式的微分，對高一學 生實施教學，以切線斜率直觀的角度為高二、高三將學到的微積分先行準備。

(47)

37

(48)

38

(一) 擬定研究主題

(二) 相關文獻探討與資料收集

(三) 設計教學內容與研究工具

(四) 測驗題目的審核與修訂

(一) 選定研究對象

(二) 正式實施實驗教學與測驗

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### 第二節 研究對象

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