高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：105.03.18 範
圍 2‐1 集合.計數原理 班級 一年____班 姓 名
座號
一、填充題(每題 10 分)
1.「電梯在每一層樓都至少有三人走出來」的否定敘述為____________﹒
解答 電梯在有的層樓至多有二人走出來 解析 利用～( p) (～p)﹒
至少有三人走出來﹐即走出來的人數 3﹐
其否定為「走出來的人數 3」﹐即「走出來的人數 2」﹐即至多有二人走出來﹒
2.設 U {n | n ﹐n 10}為宇集﹐A 與 B 均為 U 之子集﹐已知 A B {3﹐4}﹐A B {7﹐9﹐10}﹐
A B {2﹐8}﹐則 B ____________﹒
解答 {1﹐3﹐4﹐5﹐6}
解析 U {1﹐2﹐…﹐9﹐10}﹐
A B {3﹐4} {3﹐4} A﹐{3﹐4} B﹐
A B {7﹐9﹐10} {7﹐9﹐10} A﹐{7﹐9﹐10} B﹐
A B {2﹐8} {2﹐8} A﹐{2﹐8} B﹐
∴ B A {1﹐5﹐6}﹐∴ A {3﹐4﹐7﹐9﹐10}﹐B {1﹐3﹐4﹐5﹐6}﹒
3.設 A {1﹐3}﹐B {x|x2 3x a 0}﹐若 A B {1}﹐則 a 的值為____________﹒
解答 0
解析 ∵ A B A (A B) {1}﹐∴ A B {3}﹐
x 3 代入 x2 3x a 0 9 9 a 0 a 0﹒
4.若高一同學共 1000 人﹐其中喜愛數學的有 500 人﹐喜愛音樂的有 700 人﹐則 兩者都喜愛的最多有(1)____________人﹐最少有(2)____________人﹒
解答 (1)500;(2)200
解析 設集合 A 為喜愛數學的人﹐集合 B 為喜愛音樂的人﹐則 n(A) 500﹐n(B) 700﹐
(1)當 A B 時﹐n(A B) 500 為最多﹒
(2)當 n(A B) 1000 時﹐ n(A B) n(A) n(B) n(A B) 500 700 1000 200 為最少﹒
5.設{2x﹐x y} {6﹐2}﹐則數對(x﹐y) ____________﹒
解答 (3﹐ 1)或(1﹐5)
解析 若{2x﹐x y} {6﹐2}﹐則 2 6 2 x x y
或 2 2
6 x x y
﹐即(x﹐y) (3﹐ 1)或(1﹐5)﹒
6.滿足{1﹐2} A {1﹐2﹐3﹐4}的集合 A 共有____________個﹒
解答 4
解析 (1)集合 A 必須有 1﹐2 兩個元素才使{1﹐2} A﹒
(2)為使 A {1﹐2﹐3﹐4}﹐則 A 可在 3 與 4 兩元素中選取﹐
3 要 要 不要 不要
4 要 不要 要 不要
∴ A 有 4 個可能﹒
7.集合 A {x | 3 x 1﹐x }﹐B {x | 2 x 4﹐x }﹐若 A﹐B 的宇集為所有實數 ﹐A為 A 的補 集﹐則： (1)A B ____________﹒ (2)A B ____________﹒
解答 (1){x | 3 x 4﹐ x };(2){x | 1 x 4﹐x }
解析 (1)A B {x | 3 x 1} {x | 2 x 4} {x | 3 x 4﹐ x }﹒
(2)A B {x | x 3 或 x 1} { x | 2 x 4} { x | 1 x 4﹐ x }﹒
8.某班人數 60 人﹐在第一次月考英文﹑數學﹑國文三科中﹐國文及格者 42 人﹐英文及格者 41 人﹐數學及 格者 39 人﹐國﹑英不及格者 11 人﹐國﹑數不及格者 13 人﹐英﹑數不及格者 14 人﹐至少一科不及格者 29 人﹐則： (1)三科均不及格的人數為____________人﹒ (2)至少有二科不及格的人數為____________人﹒
解答 (1) 9;(2) 20
解析 設 A B C
：國文不及格者之集合
：英文不及格者之集合
：數學不及格者之集合
﹐
則 n(A) 18﹐n(B) 19﹐n(C) 21﹐n(A B) 11﹐
n(B C) 14﹐n(C A) 13﹐n(A B C) 29﹐
(1) n(A B C) n(A) n(B) n(C) n(A B) n(B C) n(C A) n(A B C)﹐
29 18 19 21 11 14 13 n(A B C)﹐得 n(A B C) 9﹐
即三科均不及格的人數為 9 人﹒
(2) 所求 n[(A B) (B C) (C A)]
n(A B) n(B C) n(C A) n[(A B)(B C)]
n[(B C)(C A)]n[(C A)(A B)]+n[(A B)(B C)(C A)]
11 14 13 9 9 9 9 20﹒
9.設 a 為一整數﹐二集合 A {2﹐3﹐a2 5a 10}﹐B {2a 2﹐ 5a 13﹐ a + 6}﹐A B {3﹐4}﹐則 a _________﹒
解答 3
解析 A B {3﹐4} a2 5a 10 4 a2 5a 6 0 a 2 或 3﹐
a 2 {2 3 4}
{2 3 4}
A B
, ,
, , A B {3﹐4}﹐故 a 2 不合﹒
a 3 {2 3 4}
{4 2 3}
A B
, ,
, , A B {3﹐4}﹐合理﹒故 a 3﹒
10.在圖(一)與圖(二)中﹐求從 A 走到 B 的捷徑有多少條？
(1)圖(一)﹐捷徑有____________條﹒ (2)圖(二)﹐捷徑有____________條﹒
解答 (1)6;(2)6
解析 (1)如圖(一)﹐由 A 到 B 的捷徑：
﹐共有 6 條﹐
（乘法原理應用）由 A 開始﹐可在 C﹐E﹐F 中任選一條﹐
然後再朝 B 的捷徑﹐各有兩條選擇﹐所以共有 3 2 6（條）﹒
(2)如圖(三)： 共 6 條捷徑﹒
11.設{a1﹐a2﹐a3﹐a4} {1﹐2﹐3﹐4}﹐則滿足(1 a1)(2 a2)(3 a3)(4 a4) 0 的情形有____________種﹒
解答 9
解析 共有 9 種﹒
a1 a2 a3 a4
12.某地街道圖如附圖﹐則：
(1)由 A → E 走捷徑有_______種走法﹒ (2)A → C 走捷徑有________種走法﹒
解答 (1)21;(2)84 解析
13.在一場宴會中﹐與會的 30 人彼此兩兩握手寒暄﹐如果大家都與自己除外的每一個人握到一次手﹐則此次 宴會中所有人共計握手了____________次﹒
解答 435
解析 (30 1 ) 30 2
435（次）﹒
14.職棒四年季後冠軍爭霸戰﹐是由季內賽前兩名﹐作七戰四勝的比賽﹐爭年度總冠軍﹐現已賽畢三場﹐兄 弟象二勝一敗領先統一獅﹐則往後的比賽有____________種結果以決定冠軍﹒
解答 10
從象 2 獅 1 開始﹐往後比賽的情形共有 10 種﹒
15.7200 之正因數中 (1)共____________個.
(2)為 5 的倍數但不為 9 的倍數者有____________個﹒
(3)總和為______________.
解答 (1)54,(2)24,(3)25389 解析 7200 25．32．52﹐
(1) (20 21 22 23 24 25 )(30 31 32)(50 51 52) 展開式的各項均可﹐故共有 6 3 3 54 個﹒
(2) d | 7200 且 5 | d﹐但 9 d﹐則
d 為(20 21 22 23 24 25 )(30 31)(51 52)展開式的各項均可﹐故 d 共有 6 2 2 24 個﹒
(3) (20 21 22 23 24 25 )(30 31)(50 51 52)=63 13 31 25389
16.小於 1000 的自然數中﹐
(1)不是 3 且不是 5 的倍數者有____________個﹒
(2)是 3 或 5 或 7 的倍數者有____________個﹒
(3)是 3 或 5 但不為 7 的倍數者有____________個﹒
解答 (1)533;(2)542;(3)400 解析 (1) 999 ([999
3 ] [999
5 ] [999
15 ]) 999 333 199 66 533﹒
(2) [999
3 ] [999
5 ] [999
7 ] [999
15 ] [999
35 ] [999
21 ] [999
105] 542﹒
(3) [999
3 ] [999
5 ] [999
15 ] [999
35 ] [999
21 ] [999
105] 400﹒
17.某次數學競試有 100 個學生參加﹐試題僅 A﹐B﹐C 三題﹐測驗結果如下：答對 A 者有 51 人﹐答對 B 者 有 36 人﹐只答對 C 者有 16 人﹐答對 B﹐C 兩題者有 13 人﹐答對 A 或 C 者有 75 人﹐答對 B 或 C 者有 59 人﹐而只答對 A﹐B﹐C 三題之一者有 66 人﹐則：
(1)只答對 A 者有____________人﹒ (2)三題都答錯者有____________人﹒
解答 (1)33;(2)8
解析 51 16 (13 ) 75
(44 ) (23 ) 16 66 x
x y y
5
6 x y
﹐ (1) 44 5 6 33（人）﹒
(2) n(A B C) 92﹐∴ 100 92 8（人）﹒
18.1 至 800 的自然數中與 42 互質者有____________個﹒
解答 229
解析 1 至 800 的自然數中與 42 互質﹐即去掉 2 或 3 或 7 的倍數
800 ([800
2 ] [800
3 ] [800
7 ] [800
6 ] [800
21 ] [800
14 ] [800 42 ]) 800 (400 266 114 133 38 57 19) 229﹒
19.設一室有 5 個門﹐兄弟二人由不同門進入﹐不同門出來﹐則：
(1)自己可以由相同門進出時﹐其方法有____________種﹒
(2)自己不可以由相同門進出時﹐其方法有____________種﹒
解答 (1)400;(2)260
解析 (1)兄先進入方法有 5 種﹐弟再進入方法有 4 種﹐
兄出來時方法有 5 種﹐弟出來時方法有 4 種﹐
由乘法原理知：進出方法共有 5 4 5 4 400 種﹒
(2)兄由弟進入時的門出來﹐其法有 5 4 1 4 80 種﹐
兄不經由弟進入時的門出來﹐其法有 5 4 3 3 180 種﹐
故進出方法有 80 180 260 種﹒
20.每次用 20 根相同火柴棒圍成一個三角形﹐共可圍成____________個不全等的三角形﹒
解答 8
解析 設三角形的三邊長 x﹐y﹐z 且 x y z﹐x﹐y﹐z ﹐則
20 x y z y z x x y z
……
……
……
﹐
由得 20 x y z x x 2x 10 x﹐
由﹐得 20 x y z x x x 3x 20
3 x﹐
∵ x 7 x 10 x 7﹐8﹐9﹐
當 x 7 時﹐y z 13 (y﹐z) (7﹐6) ﹐
當 x 8 時﹐y z 12 (y﹐z) (8﹐4)﹐(7﹐5)﹐(6﹐6) ﹐
當 x 9 時﹐y z 11 (y﹐z) (9﹐2)﹐(8﹐3)﹐(7﹐4)﹐(6﹐5) ﹐
∴ 不全等的三角形共有 1 3 4 8 種﹒
21.如果從 1﹐2﹐3﹐4﹐…﹐一直寫到 1245 時﹐一共寫了____________個 0﹒
解答 344
解析 個位數為 0 10﹐20﹐30﹐…﹐1240 共 124 個﹒
十位數為 0 9 10 90
90 30 120
3 10 30
百位數為 0 10 10 100
∴ 所求 124 120 100 344﹒
22.某公司生產多種款式的「阿民」公仔﹐各種款式只是球帽﹑球衣或球鞋顏色不同﹒其中球帽共有黑﹑灰﹑
紅﹑藍四種顏色﹐球衣有白﹑綠﹑藍三種顏色﹐而球鞋有黑﹑白﹑灰三種顏色﹒公司決定紅色的球帽不搭 配灰色的鞋子﹐而白色的球衣則必須搭配藍色的帽子﹐至於其他顏色間的搭配就沒有限制﹒在這些配色的 要求之下﹐最多可有____________種不同款式的「阿民」公仔﹒
解答 25
解析 若球衣為白色時﹐最多有1 3 3 種方法﹐
若球衣為綠色時﹐最多有 4 3 1 11 種方法（扣除紅色球帽配灰色球鞋）﹐ 若球衣為藍色時﹐最多有 4 3 1 11 種方法（扣除紅色球帽配灰色球鞋）﹐ 故共有 3 11 11 25 種方法﹒
23.阿銘逛完百貨公司準備回家﹐街道如圖﹐百貨公司在 C 點﹐家在 D 點﹐但在 P 點有 交通事故﹐於是不經過 P 點﹐他回家有____________種走法﹒（他可以走 ﹑﹑
但走過的路不重複）
解答 300
解析 可求 4 3 5( 1 1 2 2 ) 300
從P的上 從P的下 方通過 方通過
﹒
24.同時擲 3 粒相同的骰子﹐求點數和為 9 的情形有__________種﹒
解答 6
解析 (1﹐2﹐6)﹐(1﹐3﹐5)﹐(1﹐4﹐4)﹐(2﹐2﹐5)﹐(2﹐3﹐4)﹐(3﹐3﹐3)﹐共 6 種﹒
