2-3 圓與直線的關係

(1)

製作老師：趙益男 / 基隆女中教師

發行公司：龍騰文化事業股份有限公司

Ch2 直線與圓

2-3 圓與直線的關係

(2)

甲、圓的方程式

課本頁次： 118

( 一 ) 標準式

圓：平面上﹐和一個定點等距離的所有點所成的圖形﹒ 圓心：這個定點叫做圓心﹒

半徑：圓心和圓上一點的距離叫做半徑﹒ 圓心

半徑

圓

(3)

甲、圓的方程式

課本頁次： 119

( 一 ) 標準式

在坐標平面上﹐以點 M(h k) 為圓心﹐ r 為半徑﹐

畫一個圓 C﹒

2 2

(x h) ( y k) r

    

PM  r

2 2 2

(x h) ( y k) r

    

(4)

圓的標準式

課本頁次： 119

 ^x ^ ^h ² ^ ^y ^ ^k  ² ^ ^r²

以 ^M  ^h^,^k 為圓心﹐ r 為半徑的圓方程式為

(5)

例 1

_{求下列各圓的方程式：}

(1)以點為圓心﹐半徑為 4 的圓﹒ 解：  ^x ^ ² ² ^ ^y ^ ^{( 3)}^  ² ^ ⁴²

(2,3)

課本頁次： 119

 ^x ^ ² ² ^ ^y ^ ³ ² ^ ¹⁶

∴

(6)

例 1

(2) 與圓

解：

  ²  ²

: 3 1 1

C x   y  

課本頁次： 119

∵ 圓半徑平方比＝圓面積比

有相同的圓心﹐且面積為圓 C 面積 2 倍的圓﹒

 ^x ^ ³ ² ^ ^y ^¹ ² ^ ^r²

設

 ₂² 2 1r  1

 ^x ^ ³ ² ^ ^y ^¹ ² ^ ²

∴

 r²  2

(7)

隨 1

(1)以點為圓心﹐半徑為 4 的圓﹒ 解：  ^x ^ ⁰ ² ^ ^y ^ ⁰ ² ^ ⁴²

(0,0)

課本頁次： 120

2 2 16

x  y 

∴

(8)

隨 1

(2) 與圓

解：

  ² ²

: 3 16

C x   y 

課本頁次： 120

∵ 圓半徑比＝圓周長比

有相同的圓心﹐且圓周長為圓 C 一半的圓﹒

 ^x ^ ³ ² ^ ^y² ^ ^r²

設

 1

4r  2

﹐ 且圓 C 的半徑為

 r  2 4 r²  2²  4

 ^x ^ ³ ² ^ ^y² ^ ⁴

∴

(9)

例 2

_{(1) 求以點} 通過點

解：

(2,3)

課本頁次： 120

 ^x ^ ² ² ^ ^y ^ ³ ² ^ ²⁵

∴

(5,1) A

 ^x ^ ² ² ^ ^y ^ ^{( 3}^ ⁾ ² ^ ^k

設

將點 A(5,1) 代入﹐得

 ⁵^ ² ² ^{ }¹ ^{( 3}^ ⁾ ² ^ ^k ^{ }^k ²⁵

為圓心﹐ 的圓 C 方程式﹒

(10)

例 2

(1) 求以點 (2,3) 通過點

課本頁次： 120

 ^x ^ ² ² ^ ^y ^ ³ ² ^ ²⁵

(5,1) 為圓心﹐ A

的圓 C 方程式﹒

(6,0), ( 2, 1), (0,2)

P Q   R

(2) 承 (1)﹐ 判斷

是在圓 C 的內部、外部還是圓 C 上﹒

解：^ 點 P ：  ^{6 2}^  ² ^{ }^{0 3} ² ^ ²⁵ 在圓上

 ^{ }^{2 2} ² ^{  }^{1 3} ² ^ ²⁰

 點 Q ： 在圓內

 ^{0 2}^  ² ^ ^{2 3}^  ² ^ ²⁹

 點 R ： 在圓外

 25

 25

(11)

﹐ 求 k 值﹒

隨 2

(1) 若圓 C 通過 點

解： x²  y²  k

2 2

x  y  k

課本頁次： 121

1 ( 3, )

A 

將點 A( 3, )1 代入

 

³ ² ^ ^{ }^¹ ² ^ ^k ^ ^k ^ ⁴

設圓 C 方程式為

得

(12)

隨 2

(2) 若

解： x²  y²  k

2 2

x  y  k

課本頁次： 121

2 (1, ) P 

 5 k 設圓 C 方程式為

  ²

12  2  k 得

 將點 P(1,2) 代入﹐

 將點 Q(3,3) 代入﹐ x²  y²  k

 18 k

 ^³ ² ^ ³² ^ ^k

得

由 得 5  k 18

在圓 C 內部﹐ 在圓 C 外部﹐

求 k 的範圍﹒

3 ( 3, ) Q 

(13)

(4,9)

A B(6,3)

例 3

_已知 ﹐求以

解：

( , ), (4 9 6,3)

A B

課本頁次： 121

 ^x ^ ⁵ ² ^ ^y ^ ⁶ ² ^ ¹⁰

∴

AB 為直徑的圓方程式﹒

( 6 , 9 2

4 )

2

  3

(5,6)

 圓心 M (5,6)

半徑 r AM

2 2

(4 5) (9 6)

   

 10

(14)

(2,3)

A B(5, )1

隨 3

_已知 ﹐求以

解：

( , ), 2 3 (5, 1)

A B 

課本頁次： 121

 

2 2

7 25

2 1 4

x y

     

 

 

∴

AB 為直徑的圓方程式﹒

3 ( )

( , )

2 2

2 5  1 7 ( ,1)

 2 圓心 M 7

( ,1) 2 半徑 r 1

2 AB



2 2

1 (5 2) ( 1 3)

 2     5

 2

(15)

甲、圓的方程式

課本頁次： 121

( 二 ) 一般式

將圓的標準式  ^{x h}^  ² ^ ^{y k}^  ² ^ ^r² ^展開^﹐

得 x²  y²  2hx  2ky  h²  k²  r²  0

我們稱之為圓的一般式﹒

2 2 0

x  y  dx  ey  f

這種形如的方程式﹐

(16)

圓的一般式

課本頁次： 122

2 2 0

x  y  dx ey  f

圓的方程式都可表示成二元二次方程式

的形式﹒

對一個圓的一般式﹐我們可以分別對 x ﹐y 配方﹐ 將它化成標準式﹒

(17)

例 4

解：

課本頁次： 122

 ^x ^¹ ² ^ ^y ^ ² ² ^ ⁴²



求圓 C 的圓心坐標及半徑﹒

已知圓 C ：x²  y²  2x  4y 11 0

∴ 圓心為 ( 1,2) ﹐半徑為 4﹒

2 2 2

(x  x 1 ) ( y  4 y  4 ) 11  1 4

(18)

隨 4

解：

課本頁次： 122

 ^x ^¹ ² ^ ^y ^ ³ ² ^ ⁴²



求圓 C 的圓心坐標及半徑﹒

已知圓 C ： x²  y²  2x  6y  6 0

∴ 圓心為 (1, 3) ﹐半徑為 4﹒

2 2

(x  2 x 1) ( y  6y 9 ) 6  1 9

(19)

例 5

解：

課本頁次： 122

 ^x ^¹ ² ^ ^y ^ ³ ² ^ ⁰



的形式﹐並說明它所表示的圖形﹒ 將下列方程式化成

2

2 2 6 10 0

x  y  x  y  

∴ 圖形是一個點 (1, 3)

2 2 2

(x  x 1 ) ( y  6y  9 )  10  1 9

 ^{x h}^  ² ^ ^{y k}^  ² ^ ^l

(1)

(20)

例 5

解：

課本頁次： 122

 ^x ^¹ ² ^ ^y ^ ³ ² ^{ }⁶



的形式﹐並說明它所表示的圖形﹒ 將下列方程式化成

2

2 2 6 16 0

x  y  x  y  

∴ 圖形不存在

2 2 2

(x  x 1 ) ( y  6y  9 )  16  1 9

 ^{x h}^  ² ^ ^{y k}^  ² ^ ^l

(2)

(21)

甲、圓的方程式

課本頁次： 123

( 二 ) 一般式

2 2 0

x  y  dx ey  f 分別對 x ﹐y 配方﹐ 得

2 2 1 2 2

( ) ( ) ( 4 )

2 2 4

d e

x   y   d  e  f

﹐可得下列三種情形：

2 2 4

D d  e  f 令

(1) 當 D  0 時﹐方程式代表一圓﹐ 圓心為 ( , )

2 2 d e

  ﹐半徑為 2

D

(22)

甲、圓的方程式

課本頁次： 123

( 二 ) 一般式

2 2 0

2 2 1 2 2

( ) ( ) ( 4 )

2 2 4

d e

x   y   d  e  f

2 2 4

D d  e  f 令

(2) 當 D = 0 時﹐方程式代表一點為 ( , )

2 2 d e

 

(23)

甲、圓的方程式

課本頁次： 123

( 二 ) 一般式

2 2 0

2 2 1 2 2

( ) ( ) ( 4 )

2 2 4

d e

x   y   d  e  f

2 2 4

D d  e  f 令

(3) 當 D  0 時﹐方程式沒有圖形﹒

(24)

隨 5

解：

課本頁次： 123

 ^x ^ ² ² ^ ^y ^ ³ ² ^ ⁵²



試判斷下列方程式所代表的圖形：

2

2 4 6 12 0

x  y  x  y  

2 4 2

(x  x 4 ) ( y  6y  9 ) 12  4 9 (1)

∴ 圖形是圓心為 (2, 3) ﹐半徑為 5 的圓﹒ 另解： D  ( 4)²  6²   4 ( 12)  0

∴方程式代表一圓

(25)

隨 5

解：

課本頁次： 123

 ^x ^ ² ² ^ ^y ^ ³ ² ^ ⁰



2

2 4 6 13 0

x  y  x  y  

2 4 2

(x  x 4) ( y  6y  9)  13  4 9 (2)

∴ 圖形是一個點 (2, 3) 另解： D  ( 4)²  6²  4 13  0

∴方程式代表一點

(26)

隨 5

解：

課本頁次： 123

 ^x ^ ² ² ^ ^y ^ ³ ² ^{ }⁴



2

2 4 6 17 0

x  y  x  y  

2 4 2

(x  x 4) ( y  6y  9)  17  4 9 (3)

∴ 圖形不存在

另解： D  ( 4)²  6²  4 17  0

∴方程式沒有圖形

(27)

例 6

解：

課本頁次： 124

的圖形為一圓﹐求 k 的範圍﹒

已知 x²  y²  4x  2 y k ²   k 7 0

2 2 2

( 4) 2 4 ( 7)

D        k k  0 16 4 4 (k2 k 7) 0

       4 1 (k2 k 7) 0

     

2 2 0

k k

     (k  2)(k  1) 0

∴ k  1 或 k  2

(28)

隨 6

解：

課本頁次： 124

的圖形為半徑是 3 的圓 ﹐求 k 的值及圓心坐標﹒

設 x²  y²  2x  2ky  2k  0

2 2

3 1 2 ( 2 ) 4 2

2 k k

     36 4 4k2 8k

      9 1 k²  2k

2 2 8 0

k k

     (k  4)(k  2) 0

∴ k  4 或 k  2 (1)

(29)

隨 6

解：

課本頁次： 124

的圖形為半徑是 3 的圓 ﹐求 k 的值及圓心坐標﹒

設 x²  y²  2x  2ky  2k  0

∴ k  4 或 k  2 (2) 圓心為 ,

2 2 d e

   

 

 

4 k 

2 2 2 ,

2

 k 

   

 



 圓心為  ^^1,4

 k    圓心為 2  ^{ }^{1, 2}

 ^1,k 

 



(30)

例 7

解：

課本頁次： 124

的最大值與最小值 .

設( , )a b 為圓 C x: ²  y²  4x  2y   上的點 4 0 求 a²  (b 1)²

2 ( 1)2 ( 0)2 ( 1)2

a  b  a   b A(0 1) 兩點的距離 為 P a b 與 ( , )

將 A(0 1) 代入 x²  y²  4x  2 y   4 3 0 A 為圓外一點﹐

圓半徑為 1 ² ²

( 4) ( 2) 4 4 1 2      

圓心 M 為 4 2 2 , 2

 

   

 

   (2,1)

 AP

(31)

例 7

解：

課本頁次： 124

設( , )a b 為圓 C x: ²  y²  4x  2y   上的點 4 0 求 a²  (b 1)²

2 ( 1)2 ( 0)2 ( 1)2

a  b  a   b  AP A(0 1) 在圓外 ﹐ ( , )P a b 在圓上﹐

圓心為 M(2 1) ﹐圓半徑 r 為 1

2 2

(2 0) (1 1) 2

AM      A P M P

2 ( 1)2

a  b  AP 的最大值   2 1 3

2 ( 1)2

a  b  AP 的最小值   2 1 1

2 1

1

∴

(32)

隨 7

解：

課本頁次： 125

設 x y, 是滿足 x²  y²  6x  8y 11 0 的實數

求 x²  y²

2 2 ( ( 0)2 ( 0) )2 2

x  y  x   y 

A(0 0) 兩點的距離的平方 為 P x y 與 ( , )

將 A(0 0) 代入 x²  y²  6x  8y    11 11 0 A 為圓內一點﹐

圓半徑為 1 ² ²

( 6) ( 8) 4 ( 11) 6 2       

圓心 M 為 6 8 2 , 2

 

   

 

   (3,4) AP2



(33)

隨 7

解：

課本頁次： 125

設 x y, 是滿足 x²  y²  6x  8y 11 0 的實數

求 x²  y²

2 2 ( ( 0)2 ( 0) )2 2

x  y  x   y   AP² A(0 0) 在圓內 ﹐ ( , )P x y 在圓上﹐

圓心為 M(3 4) ﹐圓半徑 r 為 6

2 2

(3 0) (4 0) 5

AM     

A

M P

P

2 2 2

x  y  AP 的最大值  (5 6)²  121

2 2 2

x  y  AP 的最小值  (6  5)²  1

5 6 6

∴

(34)

例 8

課本頁次： 125

獵人養了大小兩隻獵犬﹐每次狩獵時﹐ 都讓兩獵犬守候在相距 30 公尺的兩位置上﹒

當獵人射下獵物時﹐兩獵犬會同時向著獵物直衝過去﹒ 若大獵犬的速度是小獵犬的 2 倍﹐

(1) 兩獵犬會同時抵達獵物的所有可能點 P 會構成什麼圖形？

(2) 求小獵犬會先追到獵物的範圍區域面積﹒

(35)

例 8

課本頁次： 125

(1) 兩獵犬會同時抵達獵物的所有可能點 P 會構成什麼圖形？

解：設大獵犬與小獵犬分別在

 ^{0,0 ,}

A ^B ^30,0

獵物的點為 ^{P x y} ^, 

2

PA  PB ^ ^x² ^ ^y² ^ ²  ^x ^ ³⁰ ² ^ ^y²

 



²



2 2 4 30 2

x y x y

      x²  y²  80x 1200 0

 ^x ⁴⁰ ² ^y² ⁴⁰⁰

    ∴圖形為一圓﹐半徑 20 公尺

A B

P

x y

(36)

y

例 8

課本頁次： 125

(2) 求小獵犬會先追到獵物的範圍區域面積﹒

解：

A B

P 20 即圓的內部

其面積為

2 0

20 40 

   ( 平方公尺 )

x

(37)

例 8_ 討論

課本頁次： 126

上述例題中和兩定點 A 與 B 的距離比恆為正數 k 的 P 點

當 k  1 時 P 點所成的圖形都會是一個圓

這種圓被稱為阿波羅尼奧斯圓 (Apollonius circles)

（即 PA k PB ) 

(38)

隨 8

課本頁次： 126

已知

﹐求所有點 P 所成圖形的方程式﹒ 解：

 ^{0,0 ,}

A ^B  ^{6,0 ,} ^{P x y}^, 

1

PA  2 PB

  ²

2 2 1 2

2 6

x  y  x   y

  ²

2 2 2

4x 4y x 6 y

    

2 2

3x 3y 12x 36 0

    

 ^x ² ² ^y² ¹⁶

   

2 2 4 12 0

x y x

     (1) 若

(39)

隨 8

課本頁次： 126

已知

﹐此時所有點 P 所成圖形為何？解：

 ^{0,0 ,}

A ^B  ^{6,0 ,} ^{P x y}^, 

PA PB

  ²

2 2 6 2

x  y  x   y

  ²

2 2 6 2

x y x y

     12x 36 0

   3

 x (2) 若

∴圖形為一直線﹐即 AB 的中垂線

(40)

乙、圓與直線的相交情形

課本頁次： 126

( 一 ) 圓與直線關係的代數判定

它們的關係可歸納為下列三種情形：

在平面上任意畫一圓 C 和一直線 L

(1) 交於相異兩點 ( 相割 ) ﹐ 此時稱 L 為圓 C 的割線

交於兩點 L C

(41)

乙、圓與直線的相交情形

課本頁次： 126

在平面上任意畫一圓 C 和一直線 L

(2) 交於一點 P( 相切 ) ，此時稱 L 為圓 C 的切線﹐

交於一點

L C

P 稱為切點﹒

(42)

乙、圓與直線的相交情形

課本頁次： 126

在平面上任意畫一圓 C 和一直線 L

(3) 不相交（相離） .

不相交

L C

(43)

例 9

課本頁次： 127

已知圓 C 和直線 L 的方程式如下 :

2 2

: 5

C x  y  ﹐ L x y:   1 0 試問圓 C 和直線 L 是否相交？

若相交﹐求出它們的交點﹒ 解： ² ²

1 5

0 x y

x y

 

 



 



‚ 將式 y  x 1 代入式

  ²

2 1 5

x x

     x²   x 2 0 (x 1)(x 2) 0

     x = 1 或  2 代回式

 y = 2 或  1 ∴圓 C 和直線 L 相交於 ^1,2 ^和  ^{ }^{2, 1}

(44)

隨 9

課本頁次： 127

設圓 C x: ( 1)²  y²  8 L x y:   3 試問圓 C 和直線 L 是否相交？

若相交﹐求出它們的交點﹒

解： ² ²

( 1 8

3 )

x x

y y



 

 

 





‚ 將式 y   x 3 代入式

  ²

(x 1)2 x 3 8

       2x²  4x  2 0

2 2 1 0

x x

     x = 1 代回式  y = 2

∴圓 C 和直線 L 相交於 ^1,2

﹐ 直線

(x 1)2 0

  

(45)

乙、圓與直線的相交情形

課本頁次： 128

一般而言﹐將直線 L 代入圓 C 的方程式﹐ 可以消去一個變數﹐得到一元二次方程式

2 0

ax  bx c  或 ay²  by c  0 ﹐利用其判別式

2 4

D b  ac ﹐即可得到以下結論：

(1) 當 D  0 時﹐方程式有兩相異實根﹐

此時圓 C 和直線 L 相交於兩點﹒ 重要性質

(46)

乙、圓與直線的相交情形

課本頁次： 128

2 0

2 4

(2) 當 D = 0 時﹐方程式有兩相等實根﹐

此時圓 C 和直線 L 相交於一點﹒

重要性質

(47)

乙、圓與直線的相交情形

課本頁次： 128

2 0

2 4

(3) 當 D < 0 時﹐方程式無實根 ﹐

此時圓 C 和直線 L 不相交﹒

重要性質

(48)

例 10

課本頁次： 128

試就實數 k 的範圍﹐討論直線 L : y  x k 和圓 C x: ²  y²  2 的相交情形﹒

解： ² ²

2

y x

y

k x  



  



‚ 將式代入式

  ²

2 2

x x k

    ^ ²^x² ^ ²^kx ^



^k² ^ ²



^ ⁰

 ² ² ^{4 2}



² ²



D  k   k  ^{ }⁴ ^k ^ ²  ^k ^ ²

(1) 當 ^⁴ ^k ^ ²  ^k ^ ² ^ ⁰ ^  ^k ^ ²  ^k ^ ² ^ ⁰

即   2 k 2 時﹐ 圓 C 和直線 L 相交於兩點﹒

(49)

例 10

課本頁次： 128

解： ² ²

2

y x

y

k x  



  



‚

  ²

2 2

x x k

    ^ ²^x² ^ ²^kx ^



^k² ^ ²



^ ⁰

 ² ² ^{4 2}



² ²



D  k   k  ^{ }⁴ ^k ^ ²  ^k ^ ²

(2) 當 ^⁴ ^k ^ ²  ^k ^ ² ^ ⁰ ^  ^k ^ ²  ^k ^ ² ^ ⁰

即 k  2 時﹐ 圓 C 和直線 L 相交於一點﹒

將式代入式

(50)

例 10

課本頁次： 128

解： ² ²

2

y x

y

k x  



  



‚

  ²

2 2

x x k

    ^ ²^x² ^ ²^kx ^



^k² ^ ²



^ ⁰

 ² ² ^{4 2}



² ²



D  k   k  ^{ }⁴ ^k ^ ²  ^k ^ ²

(3) 當 ^⁴ ^k ^ ²  ^k ^ ² ^ ⁰ ^  ^k ^ ²  ^k ^ ² ^ ⁰

即 k  2 或 k  2 時﹐ 圓 C 和直線 L 不相交﹒

(51)

隨 10

課本頁次： 129

試就實數 m 的範圍﹐討論直線 L : y mx  2 和圓 C x: ²  y²  1 的相交情形﹒

解： ² ²

1

2 y mx

x  y 



  



  ²

2 2 1

x mx

     (1 m x²) ²  4mx  3 0

 ⁴ ² ^{4 3 1}



²



D  m    m  4m² 12

(1) 當 4(m  3)(m  3) 0  (m  3)(m  3) 0 即 m  3 <或 m  3 時﹐ 圓 C 和直線 L 相交於兩點﹒

4(m 3)(m 3)

  

(52)

隨 10

課本頁次： 129

解： ² ²

1

2 y mx

x  y 



  



‚

  ²

2 2 1

x mx

     (1 m x²) ²  4mx  3 0

 ⁴ ² ^{4 3 1}



²



D  m    m  4m² 12

(2) 當 4(m  3)(m  3) 0  (m  3)(m  3) 0 即 m   3 時﹐ 圓 C 和直線 L 相交於一點﹒

4(m 3)(m 3)

  

(53)

隨 10

課本頁次： 129

解： ² ²

1

2 y mx

x  y 



  



‚

  ²

2 2 1

x mx

     (1 m x²) ²  4mx  3 0

 ⁴ ² ^{4 3 1}



²



D  m    m  4m² 12

(3) 當 4(m  3)(m  3) 0  (m  3)(m  3) 0 即  3  m 3 時﹐ 圓 C 和直線 L 不相交﹒

4(m 3)(m 3)

  

(54)

乙、圓與直線的相交情形

課本頁次： 129

( 二 ) 圓的切線

斜率為定值且與圓相交於一點的直線恰有兩條﹐ 此二直線皆為圓的切線﹒

(55)

例 11

課本頁次： 129

已知圓方程式為 x² ＋ y² ＝ 5﹐ 求斜率為 2 的切線方程式﹒

解：設切線 L 的方程式為 y  2x k

2 2

2 5 x

y y

x

 k



  









  ²

2 2 5

x x k

      5x²  4kx k ²  5 0

 ⁴  ² ^{4 5}



² ⁵



D   k   k   0  4k²  5k²  25 0

2 25

 k    k 5

∴ 切線方程式為 y  2x  或 5 y  2x  5

(56)

隨 11

課本頁次： 130

已知圓方程式為

3 的切線方程式﹒

解：設切線 L 的方程式為 y  3x k

2 2

( 4) ( 1)

3

10

y k

x y

x





  

 



‚



  ²

(x 4)2 3x k 1 10

     

 

2 2

10x 6k 14 x k 2k 7 0

      

 ⁶ ¹⁴ ² ^{4 10}



² ² ⁷



D  k    k  k 

2 22 21 0

k k

   

 0

(k 21)(k 1) 0

   

求斜率為

 ^x ^ ⁴ ² ^ ^y ^¹ ² ^ ¹⁰

(57)

隨 11

課本頁次： 130

已知圓方程式為

3 的切線方程式﹒

解：設切線 L 的方程式為 y  3x k

2 22 21 0

k k

     (k  21)(k  1) 0 21 1

  k 或  求斜率為

 ^x ^ ⁴ ² ^ ^y ^¹ ² ^ ¹⁰

∴ 切線方程式為 y  3x  21 或 y  3x 1

(58)

P

乙、圓與直線的相交情形

課本頁次： 130

(1) 通過圓外一點 P 可向圓作兩條切線 兩切線段 ( 切點和 P 的連線段 )

等長

(59)

乙、圓與直線的相交情形

課本頁次： 130

(2) 通過圓上一點 P 的切線只有一條

且 P 和圓心的連線必垂直此切線 .

P

(60)

P(1 2) 且與圓 C 相切的直線方程式

例 12

課本頁次： 131

設圓C x: (  3)²  ( y  2)²  8

解：

﹐ 求通過圓外一點

O x

設 m 為過 P 的切線 L 的斜率 y : 2 ( 1)

L y m x

   

代入圓方程式﹐得

2 2

(x  3)  ( (m x 1))  8

2 2 2 2

(m 1)x (2m 6)x (m 1) 0

      

0 D 

判別式  (2m²  6)²  4(m² 1)²  0

(3,2) ( 1,2)

P 

(61)

P(1 2) 且與圓 C 相切的直線方程式

例 12

課本頁次： 131

設圓C x: (  3)²  ( y  2)²  8

解：

﹐ 求通過圓外一點

O x

y

(3,2) ( 1,2)

P  設 m 為過 P 的切線 L 的斜率

: 2 ( 1) L y m x

   

2 2 2 2

(2m 6) 4(m 1) 0

    

2 2

2m 6 2(m 1)

    

2 1

 m    m 1

∴切線方程式為 x y  3 0 和 x y  1 0

(62)

相切的直線方程式

隨 12

課本頁次： 132

2 2 6 4 0

x  y  x   解：

(1) 求通過圓外一點 P(2 0) 且與圓

O x

y

( 3,0) 設 m 為過 P 的切線 L 的斜率

: 0 ( 2) L y m x

   

代入圓方程式﹐得

2 ( ( 2))2 6 4 0

x  m x   x  



^m² ¹



^x²



⁴^m² ⁶

 

^x ⁴^m² ⁴



⁰

       

0 D 

判別式 ^{ }



⁴^m² ^ ⁶



² ^ ⁴



^m² ^^{1 4}

 

^m² ^ ⁴



^ ⁰

( 2) y m x

   P(2,0)

(63)

相切的直線方程式

隨 12

課本頁次： 132

2 2 6 4 0

x  y  x   解：

(1) 求通過圓外一點 P(2 0) 且與圓

設 m 為過 P 的切線 L 的斜率 : 0 ( 2)

L y m x

   

 

2 2

2m 3 2 m 1

      4m²  1 1 m 2

  

∴切線方程式為 x  2y  2 0 和 x  2y  2 0



⁴^m² ⁶



² ⁴²



^m² ¹



²

    



⁴^m² ⁶



² ⁴



^m² ^{1 4}

 

^m² ⁴



⁰

      

 

²

 

²

2 2 2 2

2 2m 3 4 m 1

   

2-3 圓與直線的關係

2-3 圓與直線的關係

甲、圓的方程式

甲、圓的方程式

圓的標準式

例 1

例 1

隨 1

隨 1

例 2

例 2

隨 2

 

隨 2

例 3

隨 3

甲、圓的方程式

圓的一般式

例 4

隨 4

例 5

例 5

甲、圓的方程式

甲、圓的方程式

甲、圓的方程式

隨 5

隨 5

隨 5

例 6

隨 6

隨 6

例 7

例 7

隨 7

隨 7

例 8

例 8





例 8

例 8_ 討 論

隨 8

隨 8

乙、圓與直線的相交情形

乙、圓與直線的相交情形

乙、圓與直線的相交情形

例 9

隨 9

乙、圓與直線的相交情形

乙、圓與直線的相交情形

乙、圓與直線的相交情形

例 10









例 10









例 10









隨 10





隨 10





隨 10





乙、圓與直線的相交情形

例 11





隨 11

例 8_ 討論