第三章 二維和三維運動(習題詳解) 5.

第三章 二維和三維運動(習題詳解)

5.有一個離子在質譜儀內沿著半徑為 15.2 cm 的半圓形路徑移動，則該離子之 (a) 移動距離，與 (b) 位移大小各為多少？

解:

(a)

移動距離=半圓弧長

= 𝜋𝑟 = 𝜋 × 15.2 = 47.8 cm

(b)

位移大小=直徑=2 r

= 2 × 15.2 = 30.4 cm

9.一輛汽車以 40 mi/h 的速率向北行駛 10 min，再轉向東方以 60 mi/h 的速 率走了 5.0 mi，最後朝向西南方以 30 mi/h 的速率行駛 6.0 min，求該汽 車在整個旅途的 (a) 位移，(b) 平均速度。

解:

(a)

S = V × t

40 mi/h × 10 min = 6.67 mi r⃑₁ = 6.67 𝑗̂ mi

r⃑₂ = 5.0 𝑖̂ mi

30 mi/h × 6.0 min = 3.0 mi

r⃑₃ = −3.0 cos 45° 𝑖̂ − 3.0 sin 45° 𝑗̂ mi = −2.12 𝑖̂ − 2.12 𝑗̂ mi

r⃑^Tot= r⃑₁ + r⃑₂ + r⃑₃

= (6.67 𝑗̂) + (5.0 𝑖̂) + (−2.12 𝑖̂ − 2.12 𝑗̂ ) mi = 2.88 𝑖̂ + 4.55 𝑗̂ mi ≈ 2.9 𝑖̂ + 4.6 𝑗̂ mi

(b)

T =_V^S ， t₂ = 5.0 mi/(60 mi /h) = 5min V⃑⃑⃑̅ = ^r⃑⃑_t^Tot

Tot = 2.88𝑖̂+4.55𝑗̂ mi

(10+5.0+6.0)min× (^60min_1h ) = 8.2 î + 13 𝑗̂ mi/h

11.如果你想要沿著直線划過 63 m 寬的河流，相對於河水你可以穩定的以 1.3 m/s 的速率划行，如果水流為 0.57 m/s， 試問 (a) 你應朝何方向划行？

(b) 通過河流所需的時間？

解:

(a)

sin θ =

船水

=

=> θ = 26°

(沿 x 軸偏左(上游方向) 26°) (b)

V

= √V

− V

= √1.3

− 0.57

= 1.17 m/s 渡河時間t =

船地

=

≈ 54s

14.噴墨印表機內的墨汁以 12 m/s 的速率水平噴出，它們在水平方向移動了 1.0 mm 後落在紙上，求在這時間間隔內墨汁落下的高度為何？

解:

x = V

t y =

2

gt

1.0 × 10

m = 12 m/s × t => 𝑡 = 8.33 × 10

s h = y(t = 8.33 × 10

s) =

2

× 9.8 × (8.33 × 10

)

= 3.4 × 10

m = 34 nm

17.請問汽車在半徑為 75 m 的彎道上需行駛多快才會使其加速度大小等於重力 加速度？

解:

a =

r

=> 𝑉 = √ar = √9.8 × 75 = 27 m/s = 61 mi/h

19.兩個向量 A 和 B 大小相同而且互相垂直，計算下列兩個運算的大小： (a) B

A 2 ，(b) 3AB。 解:

令A ⃑⃑⃑ = A 𝑖̂ ， B⃑⃑⃑ = A 𝑗̂

(a)

A ⃑⃑⃑ + 2B⃑⃑⃑ = A 𝑖̂ + 2A 𝑗̂

|A ⃑⃑⃑ + 2B⃑⃑⃑| = √A

+ (2A)

= √5A (b)

3A ⃑⃑⃑ − B⃑⃑⃑ = 3A 𝑖̂ − A 𝑗̂

|3A ⃑⃑⃑ − B⃑⃑⃑| = √3A

+ (−A)

= √10A

23.有一物體以加速度 2.3iˆ3.6ˆjm/s² 移動了 10 s，此時期速度為 33iˆ15ˆj m/s，求 (a) 初速度為何？ (b) 速率變化量為多少？ (c) 方向變化為何？

(d) 證明速率變化量不等於加速度大小乘以時間。為什麼？

解:

(a)

a⃑⃑̅ =^△V_△t^⃑⃑⃑ = ^{V⃑⃑⃑−V}_△t^{⃑⃑⃑⃑⃑⃑0}

初速度V⃑⃑⃑⃑⃑ = V⃑⃑⃑ − a⃑⃑̅ △ t = (33 𝑖̂ + 15 𝑗̂)-(2.3 𝑖̂ + 3.6 𝑗̂) × 10 ₀ = 10 𝑖̂ − 21 𝑗̂ m/s

(b)

V₀ = √10²+ (−21)² = 23.26 m/s V = √33²+ 15² = 36.25 m/s

速度變化量 V − V₀ = 36.25 − 23.26 ≈ 13 m/s (c)

θ₀ = tan⁻¹(⁻²¹₁₀ ) = −64.5°

θ = tan⁻¹(¹⁵₃₃) = 24.4°

方向變化

△ θ = θ − θ₀ = 24.4° − (−64.5°) ≈ 89°

(d)

a̅ = √2.3²+ 3.6² = 4.27 m/s²

a̅∆t = 4.27 × 10 = 42.7 m/s ≠△ V = 13 m/s

V⃑⃑⃑ − V⃑⃑⃑⃑⃑ = a⃑⃑ △ t ₀

因為V − V₀只是V 和V₀長度的差，由左圖可知a⃑⃑ △ t 的大小 還和V⃑⃑⃑與V⃑⃑⃑⃑⃑之間的夾角有關。所以兩者不相等。 ₀

－

26.在電影追逐場景中，特技演員（替身）從平坦屋頂快跑再跳離開，接著落在 下面 1.9 m 較低的另一個屋頂上，如果兩棟大樓之間的距離為 4.5 m 寬，

則他要跑多快才能越過這個間距呢？

解:

x = V

t (1) y = −

2

gt

(2) 由(2)人往下掉 1.9m 的時間

t = √−

= √−

= 0.623s 人至少需在水平方向移動 4.5m

由(1) => 4.5 = V

× 0.623 => V

= 7.2 m/s

32.有一跳水員從 3 m 高的跳水板邊緣彈跳後到達板上方 2.5 m 的高度，接著 落入距離板端的水平距離為 2.8 m 的水中，求跳水員離開跳水板之速率與 角度各是多少？

解:

x = V₀cos θ₀t (1) y = V₀sin θ₀t −¹

2gt² (2) V_y² = V_y0²− 2g(y − y₀)

在最高點

0 = V_y0²− 2g(h − 0)

V_y0 = V₀sin θ₀ = √2gh = √2 × 9.8 × 2.5 = 7.0 m/s

代入(2) => 𝑦 = 7𝑡 − 4.9t² 落水時 − 3 = 7t − 4.9t²

∴ t =^7±√7_2×4.9^2+4×4.9×3= 1.77s (落水時間)

代入(1) =>

2.8 = V₀cos θ₀× 1.77

∴ V_x0 = V₀cos θ₀ = 1.58 m/s

V₀ = √V_x0²+ V_y0² = √1.58²+ 7² = 7.2^m

s

θ₀ = tan⁻¹(^V_V^y0

x0) = tan⁻¹(_1.58⁷ ) = 77.3°

題組題

Alice (A)、Bob (B) 和 Carrie (C) 都從宿舍出發要去圖書館做晚自修。Alice 走直線路徑，而 Bob 和 Carrie 則走圓弧路徑，如圖 3.24 所示。每位學生各 自以等速率行進，三位同時離開宿舍且同時抵達圖書館。

圖 3.24 題組題 35－38。

35. 有關學生行走的距離，下列敘述何者正確？

a. 相等

b. C ＞ A ＞ B c. C ＞ B ＞ A d. B ＞ C ＞ A 解:

(c) > >

比較實際的路徑長度。

36. 有關學生的位移，下列敘述何者正確？

a. 相等

b. C ＞ A ＞ B c. C ＞ B ＞ A d. B ＞ C ＞ A 解:

(a) 相等

位移是起點到終點的向量，3人的起點都是宿舍，終點均為圖書 館，故位移相等。

37. 有關學生的平均速率，下列敘述何者正確？

a. 相等

b. C ＞ A ＞ B c. C ＞ B ＞ A d. B ＞ C ＞ A 解:

(c) > >

平均速率 = 路徑長/時間，3人所費時間相同，故路徑越長者平 均速率較大。

38. 有關學生行走時的加速度，下列敘述何者正確？（不考慮出發和停止時）

a. 相等

b. 沒有加速度 c. A ＞ B ＞ C d. C ＞ B ＞ A e. B ＞ C ＞ A

f. 資訊不夠，無法確定。

解:

( ) > >

A 走直線且等速率故沒有加速度。

B 和 C 各自以等速率行進，但其路徑為圓弧，可視為等速率圓周運動，

故會有向心加速度a = ^V_r²，B 的 r 比 C 大，∴向心加速度為 C>B>A