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單元 8 一維數據分析
每題 10 分。
1. 求下列各組數據的眾數與中位數。
(1)25,25,30,35,50,50,50。 (2)25,30,30,30,35,50,55,55。
(1) 因為50是出現次數最多的數,共出現3次,所以眾數為50。 因為7個數的中位數是從小到大排第4位的數,所以中位數為35。 (2) 因為30是出現次數最多的數,共出現3次,所以眾數為30。
因為8個數的中位數是從小到大排第4位與第5位兩數的平均,
所以中位數為30 35 32.5 2
。
2. 數學老師計算學期成績的方式如下:五次平時考的分數中取較好的三次,這三次的平均 分數占學期成績的30%,第一次與第二次期中考各占學期成績的20%,期末考占學期 成績的30%。
某生平時考成績分別為68,82,70,73,85分,期中考成績分別為86,79分,期末 考成績為90分,求該生的學期成績。
依題意,該生的學期成績為 85 82 73
30% 86 20% 79 20% 90 30%
3
24 17.2 15.8 27 84
(分)。
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3. 某公司連續四年的成長率分別為10%、10%、0%、21%。求此公司這連續四年的年平均成長率。
年平均成長率為4
1 0.1 1 0.1 1 0 1 0.21
1 4
1.1 4 1 0.1 10% 。4. 擲一粒骰子230次,各點數出現的次數如下表:
點數 1 2 3 4 5 6
次數 32 43 52 38 35 30 對於這230個點數的數據,求
(1)第15百分位數P 。 15
(2)第2四分位數Q 與第2 3四分位數Q 。 3
將230個數據由小到大排序為x ,1 x ,2 ,x230。 (1) 因為230 15 34.5
100 不是整數,所以令b
34.5的整數部分
1 35,且此時第15百分位數P15 xb x35。又從表中得知x35 ,故2 P15 (點)。 2 (2) 因 為230 2 115
4 是 整 數 , 所 以 百 分 位 數 50 115 116 2
x x
P
。 又 從 表 中 得 知 x115 ,3
116 3
x ,故 2 50 3 3 3
Q P 2 (點)。
因 為 230 3 172.5
4 不 是 整 數 , 令b
172.5的整數部分
1 173, 且 此 時 百 分 位 數75 b 173
P x x 。又從表中得知x173 , 5 故Q3 P75 (點)。 5
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5. 求五個數據1,3,4,5,7的算術平均數、變異數與標準差。
這五個數據的算術平均數 1
1 3 4 5 7
4 5 ,
變異數2 51
1 4
2 3 4
2 4 4
2 5 4
2 7 4
2
4,標準差 4 2 。
6. 求四個數據2,4,5,7的算術平均數與標準差。
這四個數據的算術平均數 1
2 4 5 7
94 2
,
標準差 14
22425272
29 2 94 814 4 134 213 。37
7. 某生第一次期中考六科成績的算術平均數為80分。已知其中五科的成績為68,80,80,80,86,求 (1)第六科的成績。
(2)該生成績的標準差。
(1) 設第六科的成績為 x 分。因為六科的算術平均數為80分,所以
1 68 80 80 80 86 80 6 x ,
解得x86。故第六科的成績為86(分)。
(2) 承(1),得標準差為
2 2 2 2 2 2
1 68 80 80 80 80 80 80 80 86 80 86 80
6
6(分)。
8. 某次期中考試題共有20題,每題5分。今改完考卷得全班平均為45分,標準差為10 分。今老師將計分方式改為每題答對可得6分,且將每人的總分一律加10分,回答以下 問題。(假設調整後的分數均不超過100分)
(1)設原始分數為 x ,調整後分數為y,求 x 與y的關係式。
(2)求調整後的算術平均數與標準差。
(1) 依題意, x 與 y的關係式為 6 10 y 5x 。
(2) 因為當 y ax b 時,y axb,y ax, 所以 6 45 10 64
y 5
, 6 10 12
y 5
。
故調整後的算術平均數為64(分),標準差為12(分)。
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9. 已知有 n 個數據的算術平均數為 。當在這 n 個數據中加入一個新的數36後,其算術平 均數會比原來多2;但當這 n 個數據中的數20被刪去後,其算術平均數會比原來少1, 求 n 與 的值。
依題意,得 +36 2 1
n n
且 20 1
1 n
n
,
整理得 2 34 21 n
n
,解得n13, 。 8
10. 已知五個數據2,4,6,8, x 的標準差為2,求 x 的值。
這五個數據的算術平均數 1
2 4 6 8
205 5
x x
。
利用標準差公式 1
x12 x22 xn2
2n ,得 51
224262 82 x2
205x2 2, 將等式的兩邊平方,得2 2
120 400 40 5 25 4
x x x
, 解得x5(重根)。故x5。