2-3 三元一次聯立方程式
1. 解下列各三元一次聯立方程式﹕
(1)
2 4
2 3
3 2 2 1
x y z
x y z
x y z
﹒ (2)
2 3 0
3 2 2 2 0
x y z
x y z
x y z
﹒
(1)先將聯立方程式編號為
2 4
2 3
3 2 2 1
x y z
x y z
x y z
﹐然後用加減消去法求解如下﹕
由 2﹐ 3消去 x ﹐得
2 4 3 5 5 8 11
x y z
y z y z
﹐
由 5消去 y ﹐得
2 4 3 5 7 14
x y z
y z z
﹐
由 解得z ﹐代回 解得2 y ﹐再將1 y ﹐1 z 代回 解得2 x ﹒ 1 故聯立方程式的解為x ﹐1 y ﹐1 z ﹒ 2
(2)先將聯立方程式交換位置並編號為
0 2 3 0 3 2 2 2 x y z
x y z
x y z
﹐然後用加減消去法求解如下﹕
由 2﹐ 3消去 x ﹐得
0 0
2 x y z y z
y z
﹐
由 消去 y ﹐得
0 0 2 2 x y z y z
z
﹐
由 解得z ﹐代回 解得1 y ﹐再將1 y ﹐1 z 代回 解得1 x ﹒ 2 故聯立方程式的解為x ﹐2 y ﹐1 z ﹒ 1
第 2 章 空間中的平面與直線
2. 解三元一次聯立方程式
2 2
2 1
4 5 4
x y z
x y z
x y z
﹒
先將方程組編號為
2 2
2 1
4 5 4
x y z
x y z
x y z
﹐然後用加減消去法求解如下﹕
由 2及 消去 x ﹐得
2 2
3 3 3 6 6 2
x y z
y z y z
由 2消去 y ﹐得
2 2
3 3 3 0 8
x y z
y z
因為沒有 x ﹐ y ﹐ z 滿足 式﹐所以原聯立方程式無解﹒
3. 若三元一次聯立方程式
3 2 1
2 2
3 2
x y z
x y z
x y z a
有無限多組解﹐則a的值為何﹖
先將方程組編號為
3 2 1
2 2
3 2
x y z
x y z
x y z a
﹐然後用加減消去法求解如下﹕
由 2及 3消去 x ﹐得
3 2 1 7 5 0 7 5 3
x y z
y z
y z a
由消去 y ﹐得
3 2 1 7 5 0 0 3
x y z
y z
a
因為聯立方程式有無限多組解﹐所以由 式可知a ﹒ 3
徑﹒
設圓 C 的方程式為x2y2dxey ﹒ f 0
因為圓 C 通過1 , 1 ﹐ 2 , 2 ﹐ 1 , 3三點﹐所以可列出三元一次聯立方程式 2 0
2 2 8 0 3 10 0 d e f
d e f
d e f
﹐
利用加減消去法﹐由 及 消去 f ﹐得
2 0 3 6 0 2 4 8 0 d e f
d e
d e
由,解得d ﹐0 e ﹐再代回 ﹐得2 f ﹒ 4
因此圓 C 的方程式為x2y22y ﹐將其改寫成4 0 x2y12
5 2，可得圓 C 之圓心的坐標為0 ,1 ﹐半徑為 5 ﹒
5. 已知聯立方程式
2 2 3 3 0 3 2 7
x y z
x y z
x y z
恰有一組解xa﹐ y b ﹐zc﹐求a的
值﹒
利用加減消去法﹐操作如下﹕
2 2 3 3 0 3 0 3 0
3 0 2 2 3 4 5 3 4 5 3
3 2 7 3 2 7 5 7 5 10
z y
x y z x y z x y z x y z
x y z x y z x y x y
x y z x y z x y x
消去 消去
﹐
解得x ﹒ 2 或由克拉瑪公式﹕
因為聯立方程式恰有一個解﹐所以ax
﹒
計算﹕ 21 13 12 12 3 2 2 2 18 25
3 1 2
﹐
30 13 12 18 7 0 3 0 42 50
7 1 2
x
﹐
可得 50
25 2 ax
﹒
6. 已知聯立方程式
2 0 0
3 0
x y z
x ay z x y z
除了 x0﹐y ﹐0 z0之外﹐還有其他
的解﹐求a的值﹒
因為除了x ﹐0 y ﹐0 z 之外﹐還有其他的解﹐所以聯立方程式0
2 0 0
3 0
x y z
x ay z x y z
有
無限多組解﹐
利用加減消去法﹐將 及 3消去 x ﹐得
2 0 1 3 0 4 7 0
x y z
a y z
y z
﹒
因為聯立方程式有無限多組解﹐所以 ﹐ 兩式是兩個相同的方程式﹐
因此 1 3 4 7 a
﹐解得 5
a ﹒ 7
【另解】因為聯立方程式有無限多組解﹐所以
1 1 2
1 1 3 2 1 1 6 0 3 1 1
a a a
﹐
整理得 7a ﹐解得5 0 5 a ﹒ 7
7. 已知上等稻禾3捆﹑中等稻禾 2 捆﹑下等稻禾1捆﹐共可打出稻米34斗﹔
上等稻禾 2 捆﹑中等稻禾1捆﹑下等稻禾3捆﹐共可打出稻米26斗﹔上等 稻禾 1捆﹑中等稻禾3捆﹑下等稻禾 2 捆﹐共可打出稻米 24 斗﹒問﹕上等 稻禾 1捆﹐中等稻禾1捆﹐下等稻禾1捆﹐各可以打出稻米多少斗﹖
設上等稻禾 1 捆可打出稻米 x 斗﹐中等稻禾 1 捆可打出稻米 y 斗﹐下等稻禾 1 捆可打出稻米
z 斗﹒依題意可列得聯立方程式
3 2 34 2 3 26 3 2 24
x y z
x y z
x y z
﹐並解得x ﹐8 y ﹐4 z ﹒ 2
因此﹐上等稻禾 1 捆可打出稻米 8 斗﹐中等稻禾 1 捆可打出稻米 4 斗﹐下等稻禾 1 捆可打出 稻米 2 斗﹒
兩人合作20天可完成﹒試問甲乙丙三人獨作各需幾天才可完成﹖
設甲獨作 x 天可完成﹐乙獨作 y 天可完成﹐丙獨作 z 天可完成﹒
依題意可得
1 1 1 12 1 1 1
15 1 1 1
20 x y
y z
z x
﹒令 1
u ﹐x 1
v ﹐y 1 w ﹐則有z
1 12
1 15
1 20 u v
v w
w u
﹒
由 得 2 1
u v w ﹐即5 1
u v w 10 ﹒ 由得 1
w60 ﹐ 得 1
u30﹐ 得 1
v20﹐因此x30﹐y20﹐z60﹒ 故甲獨作 30 天可完成﹐乙獨作 20 天可完成﹐丙獨作 60 天可完成﹒
◎9. 判定三平面E1:x ﹐y z 3 E2 :x2y3z ﹐4 E3: 5x y 3z 的相1 交情形﹒
因為三平面E ﹐1 E ﹐2 E 的法向量3
n1 1 , 1 , 1 ﹐
n2 1 , 2 ,3 ﹐
n3 5 , 1 ,3均不互相平行﹐所以此三平面的相交情形只有 3 種﹐我們只需求出三平面的交點個數﹐就可以 判定它們的相交情形是 3 種情形中的哪一種﹒
現在將三平面的方程式聯立起來並編號為
3 2 3 4 5 3 1 x y z
x y z
x y z
﹐
利用加減消去法﹐由 及 5消去 x ﹐得
3 3 4 7 6 8 14 x y z
y z
y z
﹐
再由 2消去 y ﹐得
3 3 4 7 0 0 x y z
y z
﹒
因為兩個不平行的平面交於一直線﹐
所以此三平面交於一直線﹐如右圖所示﹒
◎10. 右圖（其中E1與E2平行）可能是下列哪一個聯立方程式的圖形﹖
(1) 1 1 1 x y z
(2)
1 1 1 x y y z z x
(3)
1 2 3 x y y z z x
(4)
3 4 5 x y z y z x z x y
(5)
3 2 4
2 3 4 4
x y z
y z x
x y z
﹒
(1)三個平面均無任二平面平行﹐且交於點1 , 1 , 1 ﹒
(2)三個平面均無任二平面平行﹒
(3)三個平面均無任二平面平行﹒
(4)將
3 4 5 x y z y z x z x y
改成
3 4 5 x y z x y z x y z
﹐可知 與 是兩個平行平面﹐而且 ﹐ 與平
面 均交於一直線﹒
(5)三個平面中無任二平面平行﹒
由上面的討論可知﹕可能的選項為(4)﹒
◎11. 已知三平面E1: 2x ﹐y z 2 E2:x2y ，z 1 E3:x8ycz 交於一d 直線﹐求c﹐d的值﹒
因為三平面交於一直線﹐所以聯立方程式
2 2
2 1
8 x y z
x y z
x y cz d
有無限多組解﹒
先將聯立方程式調整順序並編號為
2 1
2 2
8
x y z
x y z x y cz d
﹐然後用加減消去法求解如下﹕
由 2及 消去 x ﹐得
2 1
5 3 0
10 1 1
x y z
y z
y c z d
﹐
由 2消去 y ﹐得
2 1
5 3 0
5 1
x y z
y z
c z d
因為聯立方程式有無限多組解﹐所以由 式可知c ﹐5 d ﹒ 1
◎12. 試就實數a的值﹐討論聯立方程式 1 1 x ay z x y az
的解﹒
計算 1 1 11 3 3 2 1 2 2
1 1 a
a a a a a
a
﹐
2
1 1 1 1 1 1 1 1
x a a
a
﹐ 1 1 11 1 12
1 1
y
a
a a
﹐ 1 1 11 12
1 1 1
z
a
a a
﹒
(1) 當 ﹐即0 a 且1 a 時﹐聯立方程式的解為2 1 2 x x
a
﹐同理可得 1
y z 2
a
﹒
(2) 當a 時﹐聯立方程式為1
1 1 1 x y z x y z x y z
﹐表示三個相同平面﹐其解為平面上的任意點﹒
(3) 當a 時﹐聯立方程式為2
2 1
2 1
2 1 x y z
x y z
x y z
﹐利用高斯消去法得聯立方程式無解﹒
