三元一次聯立方程式2 - 3

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三元一次聯立方程式 2 - 3

重點一　消去法 例題 1 　

設二次函數 f（x）= ax

+ bx + c 的圖形通過（0，−2），（1，−2），（2，0）三點，

試求 f（x）。（6 分）

解：

得到一個三元一次聯立方程式

a × 0 + b × 0 + c = −2 ………1

a + b + c = −2 ………2

4a + 2b + c = 0 ………3

由1式知 c = −2 a + b = 0 ………4

4a + 2b = 2 ………5

使用加減消去法，由5 − 4 × 2 得 2a = 2 ⇨ a = 1，代入4得 b = −1 因此 f（x）= x² − x − 2

例題 2 　　 試解下列各方程組： 1 x + 4y + 2z = 1 3x − z = −2 −2x + 4y + 3z = 3 。（ 6 分） 2 x + y + z = 6 x − 2y + z = 4 3x − 6y + 3z = 17 。（ 6 分） 解：

3x − z = −2 ………2

−2x + 4y + 3z = 3………3

1 − 3得 3x − z = −2，此式與2式相同 故此方程組有無限多組解 令 x = 4t，則 z = 2 + 12t，再代回1得 y = − 34 − 7t 故方程組的解為 x = 4t y = − 34 − 7t z = 2 + 12t ，t 為實數 2 x + y + z = 6 ………1

x − 2y + z = 4 ………2

3x − 6y + 3z = 17 ………3

1 − 2得 y = 23 代入1、3得 x + z = 163 ………4

3x + 3z = 21 ………5 4 × 3 − 5得 0 = −5，因此，方程組無解

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◎重點二　三元一次方程組的克拉瑪公式 例題 3 （三元一次方程組的克拉瑪公式）

試利用克拉瑪公式解下列各方程組：

1

x + 2y − 3z = 4 2x + 4y − 6z = 7 x + y + z = 1

。（ 6 分） 2

x + y + z = 1 2x − y + 2z = 2 3x + 2y + 3z = 3

。（ 6 分）

解：

1 ∵∆ =

1 2 −3 2 4 −6 1 1 1

= 0，∆x =

4 2 −3 7 4 −6 1 1 1

= 5 ≠ 0 ∴方程組無解

2 ∆ =

1 1 1 2 −1 2 3 2 3

= 0，∆x =

1 1 1 2 −1 2 3 2 3

= 0，

∆y =

1 1 1 2 2 2 3 3 3

= 0，∆z =

1 1 1 2 −1 2 3 2 3

= 0

∵∆ = ∆x = ∆y = ∆z = 0，三平面的法向量皆不平行 ∴方程組有無限多組解

令 z = t，則 x + y = 1 − t

2x − y = 2 − 2t ⇨ x = 1 − t，y = 0 故方程組的解為

x = 1 − t y = 0 z = t

，t 為實數

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例題 4

方程組 1 x + 1

y + 1 z = 0 4

x + 3 y +

2 z = 5 3

x + 2 y + 4

z = −4

，則下列選項哪些正確？（ 8 分）

A x = 1 B x = 2 C y = −1 D y = 1 E x + y + z = 7 6 解：

令 A = 1x ，B = 1

y，C = 1z ，則方程組可改寫成

A + B + C = 0 4A + 3B + 2C = 5 3A + 2B + 4C = −4

∆ =

1 1 1 4 3 2 3 2 4

= −3，∆A =

0 1 1 5 3 2

−4 2 4

= −6，

∆B =

1 0 1 4 5 2 3 −4 4

= −3，∆C =

1 1 0 4 3 5 3 2 −4

= 9，利用克拉瑪公式得

A = ∆∆^A = −6−3 = 2 = 1x，B = ∆∆^B = −3−3 = 1 = 1y，C = ∆∆^C = 9−3 = −3 = 1z

∴ x = 12，y = 1，z = − 13 ⇨ x + y + z = 76 ，故選DE

例題 5 設方程組

（ 2a + b + c）x + by + cz = 0 ax +（a + 2b + c）y + cz = 0 ax + by +（a + b + 2c）z = 0

，除了 x = 0，y = 0，z = 0 外，尚有其他解，則

下列選項何者正確？（ 8 分）

A a = b = c B a + b + c = 1 C a + b + c = 0 D a，b，c 完全相異 E以上皆非 解：

∆ =

2a + b + c b c a a + 2b + c c

a b a + b + 2c

× 1 × 1

= 0 ⇨

2a + 2b + 2c b c 2a + 2b + 2c a + 2b + c c 2a + 2b + 2c b a + b + 2c

= 0

⇨ 2（a + b + c）

1 b c

1 a + 2b + c c 1 b a + b + 2c

×（−b）×（−c）

= 0 ⇨ 2（a + b + c）

1 0 0

1 a + b + c 0 1 0 a + b + c

= 0

∴ 2（a + b + c）³ = 0 ⇨ a + b + c = 0 故選C

2-3 例題 6

若 α 及 β 為兩實數，且聯立方程式

（ 1 − α）x + 7y = 1 x + y + αz = β 2αy + z = 0

有兩組以上的解，則：

1 α 之值為　　　　。（5 分）

2 β 之值為　　　　。（5 分）

解：

聯立方程式

（1 − α）x + 7y = 1 x + y + αz = β 2αy + z = 0

有兩組以上的解，表示此方程組有無限多組解

⇨ ∆ = ∆x = ∆y = ∆z = 0 1 ∆ =

1 − α 7 0

1 1 α

0 2α 1

= 1 − α − 2α² + 2α³ − 7 = 0

⇨ 2α³ − 2α² − α − 6 = 0 ⇨ α = 2 2 ∆x =

1 7 0 β 1 2 0 4 1

= 1 − 8 − 7β = 0 ∴ β = −1

例題 7 解方程組

x +（1 − a）y + z = 1 x + y +（1 − a）z = 1

（ 1 − a）x + y + z = 1

，

1 若方程組有無限多組解，則 a = 　　　　。（5 分）

2 若方程組無解，則 a = 　　　　。（5 分）

解：

∆ =

1 1 − a 1 1 1 1 − a 1 − a 1 1

=（3 − a）

1 1 − a 1 1 1 1 − a

1 1 1

= a²（3 − a）

若∆ = 0，則 a = 0 或 3 1 當 a = 0 時，方程組

x + y + z = 1 x + y + z = 1 x + y + z = 1

有無限多組解

2 當 a = 3 時，方程組

x − 2y + z = 1 ………1

x + y − 2z = 1 ………2

−2x + y + z = 1 ………3

由2 − 1及3 + 1 × 2 得 3y − 3z = 0………4

−3y + 3z = 3 ………5 再由4 + 5得 0 = 3，矛盾

故方程組無解

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◎重點三　三平面幾何關係的代數判定 例題 8 ^{（三平面的幾何關係）}

下列圖形代表空間中三個平面相交的情形：

圖 1 圖 2 圖 3 圖 4

圖 5 圖 6 圖 7 圖 8

判斷下列各方程組相交之情形，並在空格內，填入適當的圖號：

1

x + y + z = 6 2x − y + 3z = 9 x + 3y − z = 4

，圖　　　　。（ 4 分） 2

x + 2y + z = 2 2x + 4y + 2z = 4 3x + y − 2z = 4

，圖　　　　。（ 4 分）

3

x + 2y + z = 1 2x − y + 2z = 2 3x + y + 3z = 3

，圖　　　　。（ 4 分） 4

2x − y − z = 1 4x − 2y − 2z = 1 x − 2y − 2z = 2

，圖　　　　。（ 4 分）

解：

1 ∆ =

1 1 1 2 −1 3 1 3 −1

= 1 + 6 + 3 + 1 − 9 + 2 ≠ 0 ∴方程組恰有一組解　∴相交於一點，故選圖 8 2 ∵ E1：x + 2y + z = 2，E2：2x + 4y + 2z = 4

∴ E1 = E2 且與 E3：3x + y − 2z = 4 相交於一直線，故選圖 3

3 ∆ =

1 2 1 2 −1 2 3 1 3

= −3 + 2 + 12 + 3 − 2 − 12 = 0

x + 2y + z = 1 ………1

2x − y + 2z = 2………2

3x + y + 3z = 3………3

1 + 2 × 2 得 5x + 5z = 5，即 x + z = 1 ………4

2 + 3得 5x + 5z = 5，即 x + z = 1 ………5

由4、5可知，此方程組有無限多組解　∴三平面相交於一直線，故選圖 7 4 ∵ E1：2x − y − z = 1，E2：4x − 2y − 2z = 1

∴ E1 // E2 且與 E3：x − 2y − 2z = 2 相交於一直線，故選圖 5

2-3 例題 9

空間中，有三平面 2x + ay − z = 1，4x − 3y + 3z = 5，3x + y + z = b 相交於一直線 L，則 a = 　　　　，b = 　　　　。（8 分）

解：

∆ =

2 a −1 4 −3 3 3 1 1

= 0 ⇨ −6 − 4 + 9a − 9 − 6 − 4a = 0　∴ a = 5

∆y =

2 1 −1 4 5 3 3 b 1

= 0 ⇨ 10 − 4b + 9 + 15 − 6b − 4 = 0　∴ b = 3

例題 10

給定空間中四向量 a

=（1，1，7），b

=（5，−4，−3），c

=（−2，1，−1），

d

=（7，−5，0）。試問 d

是否可以表成 a

，

b ，

c 的線性組合，

即 d

= xa

+ yb

+ zc

？若可以，請寫出其線性組合。（ 10 分）

解：

由 a^⇀，^⇀b，^⇀c 組成的 ∆ =

1 1 7

5 −4 −3

−2 1 −1 = −3 ≠ 0

所以 d^⇀ 可以表成 a^⇀，b^⇀，^⇀c 的線性組合，又 d^⇀ = xa^⇀ + yb^⇀ + zc^⇀

（7，−5，0）= x（1，1，7）+ y（5，−4，−3）+ z（−2，1，−1）

因此解

x + 5y − 2z = 7 x − 4y + z = −5 7x − 3y − z = 0

，得 x = 2，y = 3，z = 5

故 d^⇀ = 2a^⇀ + 3b^⇀ + 5c^⇀