一、多重選擇題：每題5分，共20分

(1)

高師大附中106學年度第二學期高三（社會組）第一次段考數學試題

一、多重選擇題：每題5分，共20分

(每題均有五個選項，其中至少有一個選項是正確的。答錯一個選項給3分，答錯兩個選項得1分，錯二個以上的選項不給分)

1.若下列五個函數在x 0處的函數值均定義為0﹐試問哪些函數在x 0處「不連

續」﹖　(1)

| |x x

　(2)

²

3, 0

( ) 0, 0

3, 0

x x

f x x

x x

  

 

  



當當

當

　(3)

[ ] sin

x x

　(4)

| 1| | 1|

x x  x

　(5)

 

x x

  

  （[x]表小於或等於x的最大整數）。

2.若函數f (x)滿足

²

lim ( ) 2 2

x

f x x

 



﹐則下列選項哪些是正確的﹖ (1)

^{lim ( ) 2}^x^²^{f x}



(2)

lim2 ( ) 0

x xf x

 

(3)

² ² lim ( ) 2

( 2)

x

f x x

 



　 (4)

2 2

( ) 2 3 2

lim( ) 7

2 2

x

f x x x

x x



 

 

 

　(5)

⁰

lim ( ) 0

x xf x

 

。

3.下列何者正確？(1)若

aⁿ

為收斂數列， b

n

為發散數列，則

aⁿ



bⁿ

發散 (2)若

aⁿ

為收斂數列， b

n

為發散數列，則數列

a bⁿ



ⁿ

發散(3) 設

aⁿ

﹐ b

n

﹐ c

n

為三個數列﹐且對任意正整數n﹐

aⁿ

b

n

c

n

均成立﹐若

aⁿ

及 c

n

均為收斂數列，則

b

n

為收斂數列， (4)若數列

a ＋bⁿ n

收斂，數列

aⁿ

收斂，則數列 b

n

收斂(5) 若

a2n

為收斂數列，則

aⁿ

為收斂數列。

4.則下列何者正確﹖ (1)

3 3

lim0 x

x x

x





極限值存在　(2)

limsin

3

x

x x



極限值存在　(3)

lim 

2

x

x x



極限值不存在　(4) 級數

1 1

2 4 1 4

n n

 



 



_收斂　(5) ^lim

ⁿ^ ⁿ

⁽

ⁿ

^{ } ¹

ⁿ

^ ¹⁾

極限值存在。

二、填充題:共74分

配分表格

數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 分

數 8 16 22 28 34 40 44 48 52 56 60 64 68 70 72 74

1.求下列數列﹑級數或函數之極限值（可能收斂或發散﹐若發散則以「不存在」作答）

lim x1 3² ² 2 5 ³ lim

n   n



(2)

L2

L1

B D C

A

(3)

1 1 3 5 2 1

lim ( ... )

n

n n n n n



      

 

 

(3) (4)

20 1

lim 1 1

x

x x



 

 (4) (5) 0.5  0.055  0.00555  0.0005555  …  (5) 。

2.若無窮級數收斂且

¹ ¹

(1 ) 4 5

2

k k

x x x

 



  



時﹐則x= (6) 。 3.無窮等比級數的首項為

2 ﹐和為

6

﹐若前

n

項和

Sⁿ

滿足

6 1

n

1000



S



﹐則

n

的最小值為 (7) 。

4.設f (x)為三次多項式函數﹐且

^lim^x ¹ ^{( )}1 ¹ f x x

 



﹐

^lim^x ² ^{( )}2 ² f x x

 



﹒(1)求f (x)＝ (8) (2) 求

4

lim ( ) 3

x

f x x

 

＝ (9) 。

5.

若

^lim4 3 ³

n n

a n

 



﹐則

^lim3 1

n n

a n

 



(10) 。

6.

函數f (x)

²

1

5 4x x 

的定義域為 (11) ；值域為 (12) 。

7.已知 ¹

lim 3 2

1

x

a x b

x



  

 ，求

a b

＝ (13) 。

8.

有二相交直線L

1

及L

2

﹐自L

1

上一點A作L

2

之垂線﹐交L

2

於B點﹔再自L

2

點B作L

1

之垂線﹐交L

1

於C點﹐如此繼續下去﹒已知

^AB^⁵

﹐

^BC^³

﹐求此無窮多個線段長

AB BC CD

   ... 的和 (14) 。

9.

設

2

, 1

( ) , 1 1

3 2, 1

x x

f x ax b x

x x

 

      

   

 ﹐則數對

( , )

a b



　(15)　時﹐

( ) f x

為連續函數。

10.已知

 

1

f x x



x

 ﹐

f x2 



f f x  

﹐且對正整數

2 n

﹐

fn_1 x



f f x n 

 

，

107

f

 (16) 。

三、計算證明題﹕共6分（請詳列算式，否則不予計分)

利用夾擠定理﹐求

² ² ² ²

1 1 1 1

lim

ⁿ^ n

1

n

2

n

3

n n

 

   

 

   

 ⋯ 

＝？

E

(3)

高師大附中106學年度第二學期高三（社會組）第一次段考數學答案卷

班級：座號：姓名: