1、 B 2、 D 3、C 4、D 5、 B
1、 1( 2 ) 3
A I
2、(a a2 3 b b2 3)(a a1 4 b b1 4)
3、 / 3
4、4、0、0、0
5、
2 2
2 1
0
x y
z
或
2 2
2 1
0
z y
x
1、
1 1 1 0 1 1 1
0 2 2 1 0 1 1
1 1 0 4 3 2 1
X
解：原方程
1 1 1 1 1 0 1
0 2 2 1 1 1 0
1 1 0 2 1 4 3
X
1 1 1 1 2
0 2 2 0 1
1 1 0 2 2
X
1
1 1 1 1 2 1 / 3 1 / 6 2 / 3 1 2
0 2 2 0 1 1 / 3 1 / 6 1 / 3 0 1
1 1 0 2 2 1 / 3 1 / 3 1 / 3 2 2
X
=
1 1 1 / 6 1 1 / 6
1 1 / 3
2、解：原式a r2 r1
0 1 0
1 1 0
0 1 1
0 0 1
a b a b
c d
= 3
1 0
( 1) ( 1) 1 1
0 1
a b a c
d
2 3
d c c 1
1 1
0 1 0
a b a a d
c c d
=( 1) ( 1)5 1 (1 ) (1 )
1 1
a b a d
a b c d a d c d
3、解：设l与l1的交点为M ，M 可用l1的参数表示为( 2 t1,t 2 ,t 2 ).
又，直线l2的方向向量为s2 ( 2 , 4 ,1)，则M M0 s2，即
得t 1
所以 M 点的坐标为(3,-3,1), l过M0与 M，取方向向量s M M0 ( 5 ,3,2 )
由直线的点向式方程得 : 2 3
5 3 2
x y z
l
4、解：求 A 的特征值与特征向量，令
2
1 3 3
3 5 3 ( 2 ) ( 4 ) 0
6 6 4
I A
其特征值为1 2 2 ,3 4
将 2 代入齐次线性方程组(I A X) 0，解得 2 个线性无关的特征向量
1 (1, 1, 0 ) ,T 2 (1, 0 , 1)T
将 4代入齐次线性方程组(I A X) 0，解得特征向量为
3 (1, 1, 2 )T
(2t 3 ,t 2 ,t1) ( 2 , 4 , 1) 0
因此，矩阵 A 有 3 个线性无关的特征向量，令
1 2 3
1 1 1
( , , ) 1 0 1
0 1 2
P
则 1
2 0 0
0 2 0
0 0 4
P A P
5、解：联立方程组和方程得新方程组，则新方程组的解即为所求的公共解.新方程组 的增广矩阵经过初等行变换有
2
1 1 1 0 1 1 1 0
1 2 0 0 1 1 0
1 4 0 0 0 ( 1) ( 2 ) 0
1 2 1 1 0 0 1 1
a a
A
a a a
a a a
1 1 1 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 ( 1) ( 2 )
a
a a
a a
当a 1时，有R A( ) R A( ) 2 3，新方程组有解，此时
1 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
A
，对应的齐次线性方程组的基础解系为( 1, 0 ,1) T ，则全部公共解
为X k( 1, 0 ,1) T （k 为任意常数）
当a 2时，有R A( ) R A( ) 3，方程组有唯一解，此时
1 0 0 0
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 0
A
， 对 应 线 性 方 程 组 的 解 为( 0 ,1,1)T ， 则 唯 一 公 共 解 为
( 0 ,1, 1)T
X
6、解：令x1 y1 y2,x2 y1 y2,x3 y3，二次型化为
2 2
1 2 1 2 3 1 2 3
2 2
1 2 1 2 2 3
4 ( ) ( )
5 3
f y y y y y y y y
y y y y y y
先对y1配方，有
2 2 2
1 3 2 3 2 3
5 2 5
( ) 3
2 4
f y y y y y y
( 1 5 3)2 ( 2 3 3)2 4 32
2 2
y y y y y
令
1 2
1 1 3 3
2 2 3 1 2 3
3 3 3
5 5
2 2 2 2
3 1 1 3
2 2 2 2
2 2
x x
z y y x
z y y x x x
z y x
则，可逆线性变换为：
1 1
2 2
3 3
1 1 1 2
1 1 2
0 0 1 2
x z
x z
x z
故，二次型的规范型为f z12 z22 z32
1、证明：因为A A* A* A A I ，且 A 0 ，可得A* A A1
故
1 1 1 1 1
(A B)* A B (A B) A B B A (B B )(A A ) B*A*
2、证明：由于( 1, 2) 4( 1, 1) 2( 2, 2) 2( 3, 3) 4 2 2 0
9 9 9 9 9 9
1 1 1 1 2 2 3 3
4 4 1 4 4 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1
9 9 9 9 9 9
同样可得 1, 3 ( 2, 3) 0 , ( 2, 2) ( 3, 3) 1，即，三向量是两两正交的单 位向量组，故A ( 1, 2, 3)是正交矩阵。
