數學教育第十七期 (12/2003)
有關雙圓四邊形的兩個不等式
張 贇
甘肅省金昌巿一中
文 [1] 收錄了涉及三角形的邊長和旁切圓半徑的如下兩個不等式
4
2 2
2 + + ≥
b a a c c
b r r
c r
r b r
r
a (1)
當且僅當三角形為正三角形時等號成立。
r s r
c r
b r
a
c b
a 2
≤ 3 +
+ (2)
其中 s = 21 (a + b + c)，r 表示 ΔABC 的內切圓半徑。
文 [2] 將 (2) 式修正為
r s r
c r
b r
a
c b
a
≤ 2 +
+ (3)
或
r s r
c r
b r
a
c b
a 2
< 3 +
+ (4)
對於 (1)、(3) 筆者經研究發現，還有相應的結果。
定理 在雙圓四邊形（即存在外接圓，又存在內切圓的四邊形稱為雙 圓四邊形）ABCD中，記AB = a，BC = b，CD = c，DA = d；ra、rb、rc、rd依 次表示相應於a、b、c、d邊上的旁切圓半徑；r表示內切圓半徑，且s = 21 (a + b + c + d)，則有
32
3 3
3
3 + + + ≥
c b a b a d a d c d c
b r r r
d r
r r
c r
r r
b r
r r
a (5)
當且僅當四邊形 ABCD 為正方形時等號成立。
r s r
d r
c r
b r
a
d c
b a
2 2
≤ +
+
+ (6)
102
EduMath 17 (12/2003) 證明 先來證明 (5) 式。
c b a b a d a d c d c
b r r r
d r
r r
c r
r r
b r
r r
a3 + 3 + 3 + 3
= 1 ( 3 3 3 3 )
d c
b a
d c b a
r d r c r b r r a
r r
r + + +
≥ 4 4 ( )3( )
d c b a d
c b a
r r r r r abcd
r r
r ⋅
由文 [3] 得ra rb rc rd = r 4，rs = abcd
∴ 3 4 3
4 4 3
4
4 3
) 4 (
) 4 (
) (
) 4 (
r abcd abcd
r r r
r r r r abcd
r r
ra b c d ⋅ a b c d = =
由 abcd = rs得 abcd = r ⋅ 21 (a + b + c + d) ≥ 2r4 abcd
∴ 4 abcd ≥ 2r，即 4 (2 ) 32
)
4 ( 3
3
4 3
3 ≥ ⋅ r =
abcd r r
再來證明 (6) 式。
應用柯西不等式得
) )(
1 1 1 1 (
d c
b a
d c
b
a r
d r
c r
b r
a r
d r
c r
b r
a + + + ≤ + + + + + +
= 2 ( ) ( )
d b
c
a r
d r
b r
c r
a + + +
由文 [3] 得
r s r
d r
b r
c r
a
d b
c a
= +
= +
∴ r
s r
s r s r
d r
b r
c r
a
d b c
a
2 2 2
) (
) (
2 + + + = + =
∴ (6) 式獲證。
參考文獻
[1] O. Bottema 等著，單墫譯，《幾何不等式》，北京大學出版社，1991，9：63，68 103
數學教育第十七期 (12/2003)
[2] 孫建斌、黃寶玲，《〈幾何不等式〉中一個不等式的糾正》，數學通報，2001，10 [3] 楊之編著，《初等數學研究的問題與課題》，湖南教育出版社，1993，5：96 − 97
104
