臺南市 105 年公私立國民中學數學競賽複賽試題

臺南市 105 年公私立國民中學數學競賽複賽試題

試題說明：

本試題共 22 題，分為兩部分。第一部分：第 1 到第 10 題，每題 4 分，共 40 分；

第二部分：第 11 到第 22 題，每題 5 分，共 60 分；總分 100 分。

請從每題的四個選項中選出最合乎題意的答案。

第一部分（第 1 到第 10 題，每題 4 分，共 40 分）

1.已知x y z, , 均為實數，

y

z

x y

z x= . 求

z

y

(A)²⁷

8   (B)²

3  (C)⁴

9 (D) ⁴ 19

2.已知 ( )

f x

x

x

(A) 22728 (B) 22736 (C) 22744 (D) 22752

3.下列何者為方程式x⁴ −10x²+ =1 0的最大解？

(A) 3+ 2 (B) 3+ 2 (C) 2+ 3  (D)1+ 2

4.在滿足「125 整除n²+ −n 90」的所有正整數n中，令最小的兩個分別為a和 b ，則 a b+ 的值為何？

(A)118 (B)120 (C)122 (D)124

5.已知 , ,

u v w 三數滿足 u

v w

u

v w

u v w u w v

v

w u w v u

6.下列何者可以寫成 100 個連續整數的總和？

(A) 8825 (B) 8800 (C) 8775 (D) 8750

7.正整數3¹⁰⁰−3⁹⁹ +3⁹⁸−3⁹⁷ +3⁹⁶−3⁹⁵含有幾個相異質因數?

(A)4 個 (B)5 個 (C)6 個 (D)7 個

8.已知 f x( )=ax+9,g x( )= +x 1為兩線型函數，其中a為一給定的數，且 f(4)<g(4)、f(3)>g(3).若 b 滿 足3 ( )f b =g b( ),則 b 的範圍為何?

(A) ^{13 13}

2 b 3

− < < − (B) ⁵ 1 3 b

− < < − (C)1 ⁵ b 3

< < (D)^{13 13} 3 < <b 2

9.數列2, 1, 3, 4, 7, 11, "的首二項分別為2, 1,其後每一項是前面兩項的和。那麼第1項至第 2016 項中共有 多少項除以 3的餘數是2？

(A) 576 (B) 672 (C) 756 (D) 896

10.如右

摺，

求四 (A)1

第二部

11.已知 (A)3

12.求9(

(A)−

13.已知 (A)−

14.考慮 有多 (A)1 15.某項 分數 的規

已知 參加 和是 (A)2 16.設三 (A)8 17.如圖 長方 (A)2

右圖，將等 使得AB 四邊形AEA

3

− 2   (B

部分（第

知7¹²−1恰 31 (B)

2 201 3

− 1

− (B)3

知 ,

a b 兩數

−1 (B)− 慮「11 個連 多少個？

6 (B)1 項競賽中，

數是 1 分；

規則如下表

知該競賽閱 加者這題分 是多少？

264 (B) 三位數 abc

81 (B) 7 圖，在長 8 方形土地的

209 (B)

等腰直角三

及 AC 重 '

A F 的面 B) 2 1−

11 到第

恰有一個質 ) 37 (C

6 3

) −202 1

3 (C)−

數滿足 ab

−2 (C)− 連續 3 的倍

17 (C)1 每一題的 答對人數 表：

閱卷結束後 分數的總和

) 265 (C

c 為 9 的倍

) 210 (C

三角形 AB 重合，且B 面積。

(C)¹ 4 (

第 22 題

質因數介於 C) 41 (

2 2 28( 3

− 1

− (D)9

1, 17a2

≠

−5 (D) 倍數且每

18 (D)2 的分數會 數每少 1

後，發現 和增加 26

C) 266 倍數，且 64 (D)

，寛 630 一條)對角

C)211

BC 的兩腰

B C兩點摺

D)1 ²

− 2

，每題 5

於 30 與 50 (D) 43

2016) 26−

)1 9

2+29

a

−2或−5 每項均為二

21

會隨著該題 人，則此

答

現其中一題 6 分，且這

(D) 267

, , a b c均不 56

公尺的長 角線上有多

(D)212

腰AB與 A 摺至平面

5 分，共 0 之間。求

683的值

1=0, b2+

二位數」

題的答對人 此題的分數

答對人數 分數 題，有某一

這一題答

不為 3,則

長方形土地 多少棵樹

AC 分別沿

共 60 分）

求出此質

。

29

b

的數列，

人數而變 數就多加

5 4 3 1 2 3 一人「答 答對的人數

則滿足以上

地上，橫

？

沿著AF及 點A'. 已

） 質因數。

7= . 求0

其中「剛

變動，規則 加 1 分。例

3 2 1 3 4 5 答對」，但卻

數是參加人

上條件的

橫直每隔 1

及AE往內 已知AB=

求

ab

a b

− +

剛好有兩

則如下：若 例如：若全

卻被登錄 人數的1

5

的三位數 a

1 公尺種上 內

1.

+1

的值。

兩項為 5 的

若所有參 全體參加

錄為「答錯

，請問這

abc 共有幾

上樹木(圖

。

的倍數」的

參加者都答 加人數為 5

錯」，經修 這題所有參

幾個？

圖中黑點

的這種數

答對，則這 5 人，則給

修正後，所 參加者分

點)。試問

數列共

這題 給分

所有 分數總

：此

18.下圖 梯形 那麼 (A)1

19.已知 且直 (A)1

20.如圖 的周 (A) a

21.如右 BD= (A) 2

22.如右 蟻分 圓前 知AB 可抵 (A)比 (C)比

圖(左)為一 形依下圖(中 麼共需要多

08 (B

知 ABCD 為 直線BF

HJJG交 : 4 (B)

， ABCΔ 中 周長，即 A

2 2

a

b

c

右圖， ABΔ

1

x

=

x

+ . 20° (B)

右圖一圓柱 分別從A B, 前進；而乙

B上有一 抵達 C 點。

比 5 圈多 比 7 圈多

一等腰梯形 中)的方式 多少個這種 B) 54 (

為正方形 交 AD 於 N

4 :17 (

中，三邊長

AB

BD

c (B)

BC 中

柱，A B, 分 B兩點出發 乙則以保持 一點 C ，且

求乙到達 多，比 6 圈 多，比 8 圈

形，其兩 式依序拼 種梯形？

(C) 48

，M為 C

N . 求 AN

長分別記

AC CD

= + 60

∠ > °

C

70 , B= ° A

. C) 40° (

分別為上 發，甲以 持與水平 且甲恰繞圓

達上底圓 圈少 圈少

兩底角的大 拼貼，使其

(D) 27

CD 的中點

N ND .

記為a b c, ,

D . 下面

(C) C∠

1 AB= , ∠

(D) 50°

上下兩底圓 以保持與水 平面夾30^D的

圓柱兩圈 圓時，共繞

(B)比 (D)比

大小為α = 其外圍(圖

點， AM 與

9

,∠ =

A

6

C

B

∠A的分角

圓上的點 水平面夾4

的方向，

圈後可抵達 繞了圓柱約 比 6 圈多 比 8 圈多

831

= 3度, 圖(中)的粗

與 BD 交於

0°；D 為 選項是錯誤

60° (D)

角線交線

，AB垂直 45^D的方向

繞著圓柱 達 C 點，而

約幾圈?

多，比 7 圈 多，比 9 圈

下底及腰 粗線)圍成

於點E,

BC 上一點

)∠ <

B

線段 BC 於

直底面。

向，繞著 柱表面往上

而乙須恰 圈少 圈少

腰的長度分 成一正星形

F 為線段

點使得 BD 0°

於D. 若令

有甲乙兩 圓柱表面 上底圓前 恰繞圓柱三

分別為2 形多邊形

段 AE 上一

:

BD DC

令 x=

AC

兩隻螞 面往下底 前進。已 三圈後才

與1.今想 形(如圖(右

一點使得

1: 3 且 AD

0

C

AB

想以這種 右)這類圖

得EF=¹₂A

D 平分 A

0 ,則

等腰 圖形)。

AM,

ABC