复变函数·历年真题集
说明
1. 这里收录了若干套中国科学技术大学复变函数(A/B)、复分析考试题.
2. 按照复变函数(A)、复变函数(B)、复分析进行排序，其次为时间先后.
3. 本附录的主要作用是供同学们考试之前模拟使用，越靠近现在的考卷越能接近现在的出题风格.
4. 没有参考答案，希望读者自行思考，同时熟悉题目类型. 建议助教在考前习题课讲解对应的考试 题.
5. 正值科大60周年校庆，亦为少年班成立40周年之际，谨以此真题集锦，献礼科大，也便于以后的 助教的习题课工作和同学们复习本门课程.
6. 感谢杨光灿烂同学提供往年题目！感谢王昌煜助教录入题目！再次祝愿科大数学教育越办越好！
2018-2019秋季学期复变函数(A)助教 15级 少年班学院 理科试验1班 吴天 2018年12月 于合肥
欢迎拜访我的主页：
http://home.ustc.edu.cn/~wt1997
再版说明
1. 本版增添了2019、2020年的复变函数试题，供同学们参考.
2. 感谢吴天助教曾经在复变函数课程中给予我的帮助！希望能有更多的同学未来也能担任助教，帮 助更多学弟学妹（划掉）！
3. 感谢17级李明哲助教和18级刘炜昊助教提供和录入题目！
4. （话说有一点参考答案了来着）
2020-2021秋季学期复变函数(A)助教 17级 少年班学院 少年班 杨光灿烂 2020年10月 于合肥
试卷投稿、纠错、意见反馈欢迎联系我:
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最后修改日期: 2020 年 12 月 15 日欢迎访问课程主页: 2020秋复变函数A
001505.00
2005-2006学年第一学期复变函数(A)期末试题
1. (20分=5分+5分+10分)计算.
(1) 设f (z) = I
|t|=3
2t2+ 5t + 1
t − z dt, 计算f0(2 + i).
(2) I
|z|=2
dz z5+ 1. (3)
I
γ
eπ+z
z(1 − z)2dz, 其中γ为不经过0, 1的简单闭曲线.
2. (8分)已知A > 1, 试求Laurant级数
∞
X
n=−∞
A−n(z − 1)n的收敛区域.
3. (8分)求 1
1 + z在z0= i处的Taylor展开式及其收敛半径.
4. (8分)试将f (z) = 1
(z + 1)(z − 3)在4 < |z − 3| < +∞展成Laurant级数.
5. (8分)试求方程4z4+ 2z + 9 = 0在圆环1 < |z| < 3
2内根的个数. (附: 如果把2z改成2z呢? ) 6. (20分=10分×2) 用留数定理计算实积分.
(1) Z +∞
0
x
1 + x2sin axdx (a > 0). (2) Z 2π
0
dθ
(a + cos θ)2 (a > 1).
7. (10分)用拉氏变换解微分积分方程
y0(t) − et= Z t
0
y(τ )et−τdτ , y(0) = 0.
8. (10分)求一保形变换w = f (z)将圆盘区域|z| < 1映为角形域π
3 < argw < 2 3π
9. (6分)若函数f (z) = u + iv在复平面C上解析, 且u + v = 2x2− 4xy + x − y − 2y2. 试求f (z).
10. (7分)设f (z)是一个整函数, 并且假定存在着一个正整数n, 以及两个正数R及M , 使得当
|z| > R时, |f(z)| 6 M|z|n, 试证: f (z)是个至多n次多项式或一常数.
2006-2007学年第一学期复变函数(A)期末试题
1. (10分)求1 z和1
z2在z = −1处的Tayler展式, 并指出收敛半径.
2. (10分)设在0 < r1< |z − i| < r2 < 1内有f (z) = I
|ζ−i|=r2
dζ
ζ(ζ − i)(ζ2− ζz)− I
|ζ−i|=r1
dζ
ζ(ζ − i)(ζ2− ζz), 求f (z)在r1< |z − i| < r2内的解析表达式及其Laurant展开式.
3. (10分)计算I = I
|z|=2
|dz|
|z − 1|2
4. (10分)试求方程z6− 3z4+ z3− az = 0在圆环1 < |z| < 2内按重数计算的根个数, 其中0 < |a| < 1.
5. (20分=10分×2)用留数定理计算实积分(任选两题).
(1) Z ∞
0
dx (x2+ 4)2 (2)
Z π 0
dθ
a2sin2θ + b2cos2θ (0 < b < a) (3)
Z π 0
tan(θ + ia)dθ (a是实数且a 6= 0) 6. (10分)用拉氏变换解积分方程y(t) − et=
Z t 0
y(τ )(τ − t)dτ.
7. (10分)
(1)问w = z + 1
z − 1将有割痕(−∞, −1]的单位圆外域映成了什么？
(2)求保形变换w = f (z)将有割痕(0, 1]的右半平面Rez > 0映为带形域−π <Im(w) < π, Re(z) > 0.
8. (10分)设解析函数f (z) = u(r, θ) + iv(r, θ), 其中z = reiθ. 试证明: ∂u
∂r = 1 r
∂v
∂θ, 1 r
∂u
∂θ = −∂v
∂r. 9. (5分)假设f (z) =p(z − 1)3 2(z + 1)在(−1, 1)的上边沿为正, 试求f (i)和f (−i).
10. (5分)设f (z)在扩充平面上除去非本性奇点z = z0外是单叶解析的, 则f (z)必是分式线性变换.
2007-2008学年第一学期复变函数(A)期末试题
1. (25分=5分×5)简答题.
(1)试在复平面上画出满足|z| < 1 − Rez的点集的图形.
(2)设f (z) = xy2+ ix2y, 问: 复变函数f (z)在何处满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程.
(3)求下列值: (a) Ln i；(b) ii.
(4)求下列函数f (z)的奇点(不包含∞)且指出其类型.如果是极点, 给出它的阶数:
(a)f (z) = sin z z − π (b)f (z) = 1
z3(ez3− 1)
(5)设D是一个以正三角形为边界的有界区域, 而G为一个以椭圆为边界的有界区域, 问: 是否存在单叶 解析函数w = f (z)将D映满G. (回答“存在”或“不存在”, 并且简要地给出理由.)
2. (10分)求一个解析函数f (z), 使其实部为u(x, y) = y3− 3x2y, 且满足f (i) = 1 + i.
3. (10分)设0 < a < b, 求函数f (z) = 1
(z − a)(z − b)在域D : a < |z| < b内的罗朗(Laurant)展开.
4. (25分=5分×5)计算题.
(1) Z
|z+3i|=1
cos z z + idz (2)
Z
|z+i|=1
ez 1 + z2dz (3)
Z
|z|=13
sin1004 z dz (4)
Z
|z|=4
z2007 z2008− 1dz (5)
Z +∞
0
x sin mx
(x2+ a2)2dx, (m > 0, a > 0) 5. (10分)利用拉氏变换解微分方程:
y00(t) + 2y0(t) − 3y(t) = e−t, y(0) = 0；y0(0) = 1.
6. (7分)求一保形变换w = f (z), 将半带域D : −π
2 < Rez < π
2, Imz > 0映射为上半平面 Imw > 0.
7. (7分)求方程 kz4= sin z (k > 2)在圆|z| < 1内根的个数.
8. (6分)设f (z)是在有界域D上解析的非常值函数, 并且在有界闭域D + C上连续, 其中C为D的边界. 如果 存在实数a使得|f (z)| = a, ∀z ∈ C, 证明: 在D内至少存在一个点z0使得f (z0) = 0.
2008-2009学年第一学期复变函数(A)期末试题
1. (24分=4分+8分+6分+6分)填空题.
(1)若幂函数√ z取√
1 = 1的分支, 则Resh z2 1 −√
z, 1i
= .
(2)设pz(1 − z)3 2在去掉线段[0,1]的区域内的某一单值分支为f (z). 若f 在1
2的上边沿的值是1
2, 则f (2) = , f0(2) = .
(3)设f (z) = I
|t|=3
t2+ t + 1
t − z dt, 则f0(2 + i) = . (4)
I
|z|=1.5
dz
(z3− 1)(z − 2)2 = .
2. (8分)设u和v是解析函数f (z)的实部和虚部, 且u + v = 1 2x2− 1
2y2+ 3xy, 其中z = x + yi, f (0) = 0. 试 求f (z).
3. (8分)试将f (z) = 1
(z − a)(z − b)展开成Laurent级数, 其中|a| < |b|, a, b都是复数. 圆环域为 (1) 0 < |a| < |z| < |b|；(2) |z| > |b|.
4. (8分)设f (z) = sin z
(z − 3)2z2(z + 1)3, 试指出它的不解析点的类型.
5. (8分)试求方程2z6− 3z3+ 2 = 0在各个象限内根的个数.
6. (20分=10分×2)计算积分.
(1) I
0<|z|=r6=1
|dz|
z − 1. (2)
Z +∞
0
cos 2ax − cos 2bx
x2 dx (a > 0, b > 0).
7. (8分)用拉普拉斯变换解方程.
y0(t) − et= Z t
0
y(τ )et−τdτ, y(0) = 0.
8. (8分)求一分式线性变换w = f (z)将圆盘区域|z − 2i| < 2映为圆盘区域|w − 2| < 1, 且满足条件f (i) = 2, arg f0(i) = 0.
9. (8分)设f (z) = P (z)
Q(z)是不可约有理真分式函数, ak(k = 1, · · · , m)是Q(z)的全部零点, 且其阶数为nk. 试 证明f (z) =
m
X
k=1 nk
X
s=1
Aks
(z − ak)s, 其中Aks为复常数.
2019-2020学年第一学期复变函数(A)期末试题
1.(39分)填空题(本题涉及的闭曲线方向都是取曲线正向) (1)设z = 1 + i
1 − i, 那么z2019+ z2020= . (2)1
√3= .
(3)若函数f (z) = x2+2xy−y2+i(y2+axy−x2)是复平面上的解析函数, 那么实常数a = . (4)设f (z) = sin(z − 5)
z3(z − 5)2 + ez−i1 , 给出f (z)的全体奇点（不包括∞）, 并且指出每个奇点的类型（极点指
出阶数）: .
(5)Res 1 − cos z z5 , 0
= ; Res
z2ez−i1 , i
= .
(6)设函数f (z)在|z| < 2内解析, 并且f (0) = 1, f0(0) = 2, 那么R
|z|=1(z + 1)2f (z)
z2 dz = . (7)设函数f (z) = ez
cos z在0处的泰勒（Taylor）展开式为P∞
n=0
cnzn, 那么幂级数
∞
P
n=0
cnzn的收敛半径R = .
(8)设函数f (z) = ez
1 − z, 那么f (z)在区域0 < |z−1| < +∞内的罗朗（Laurent）展开式为 . (9)设z0∈ C, 函数|ez|在闭圆盘{z ∈ C : |z − z0| ≤ 1}上的最大值为 .
(10)设u(x, y) = 1
2ln(x2+ y2), 那么在右半平面{z ∈ C : Re(z) > 0}解析并以u(x, y)为它的实部的函数
为f (z) = .
(11)对函数f (t), 记F (p) = L[f (t)]为它的Laplace变换, 并且记f (t) = L−1[F (p)].
a)设f (t)满足
f00(t) − 2f0(t) + f (t) = t − sin t f (0) = f0(0) = 0
, 那么F (p) = .
b)L−1
1
(p2− p)(p − 2)
= .
2.(30分)计算题(本题涉及的闭曲线方向都是取曲线正向) (1)求幂级数
∞
P
n=1
n2zn的和函数, 并且计算P∞
n=1
n2 2n. (2)计算积分R
|z|=3
z + ¯z
|z| dz.
(3)计算积分R
C
z cos2 1z
1 − z dz, 其中C : |z −12| + |z +12| = 3.
(4)计算积分R2π 0
1 (2 − eiθ)4
dθ.
(5)计算积分R+∞
−∞
sin(x − 1) (x2+ 4)(x − 1)dx.
3.(31分)综合题
(1)(5分)设f (z)为定义在上半平面内的解析函数, 则g(z) = f (¯z)为定义在下半平面上的复变函数, 请问:
g(z)在下半平面上是否为解析函数？给出你的答案, 如果“是”, 给出证明；“否”, 举个反例.
(2)(5分)设f (z)为在区域D内解析的非常数值复变函数, C为D内的一条简单闭曲线, 它的内部包含在D内.证 明: 对于任何复数A, f (z) = A在C的内部只有有限个解.
(3)(6分)设f (z) = z (sin z − z)
(z3+ 1)(z + 1)3, 设C : |z| = R > 0为圆周, 方向取正向, 其中R 6= 1, 试计 算∆Cargf (z).
(4)(8分)求保形变换ω = f (z), 将区域D =z ∈ C : |z| > 1, |z −√
3i| < 2
映为区域Ω = {ω ∈ C : |ω| < 1}, 并且满足条件f (√
3i) = 0, f0(√
3i) > 0. (请画出必要的示意图) (5)(7分)设Pn(z) = 1 + z +z2
2! + · · · +zn
n!, An表示Pn(z)的n个零点模的最小值, 证明:
n→+∞lim An = +∞.
2003-2004学年第一学期复变函数(B)期末试题
1. (20分)填空.
(1) 设方程z3= z, 则z = .
(2) 求复对数的单值解析分支 , 使得ln(−i) = 3π
2 i, 其辐角主值是 .
(3) 设复函数f (z) = x4+ iy2, 则f (z)的可微点是 . f (z)的解析点是 . (4) 计算积分
Z
|z|=1,Imz>0
zdz = .
Z
|z|=2
sin2z
(z + 1)3dz = . (5) Res
z−2sin31 z, 0
= . Res1 − cos 7z z3 , 0
= .
2. (20分)
(1) 已知解析函数f (z)的虚部为x + y, 且f (1) = i, 求f (z).
(2) 判别方程z5− 6z3+ 2z2+ 7 = 0在圆环2 < |z| < 3内有多少个根.
3. (20分)
(1) 已知f (z) = z + 1
z2− 2z, 求f (z)在|z − 1| < 1及0 < |z| < 2内的级数展开式.
(2) 设f (z)在z = a解析, f (z)在a点附近不恒为0, 而f (a) = 0. 证明z = a为f (z)在a点的某个邻域内的唯 一零点.
4. (20分)计算积分.
(1) Z π
0
dθ
2 + 2 cos2θ (2) Z +∞
0
sin z z(z2+ 4)dz 5. (20分)用拉氏变换解方程.
(1)
y00(t) − y(t) = 4 sin t y(0) = −1, y0(0) = −2
(2)
x0(t) + x(t) − y(t) = cos t y0(t) − y(t) + x(t) = 0 x(0) = 0, y(0) = 1
2006-2007学年第一学期复变函数(B)期末试题
1. (16分=2分×8)填空题. (写出复数的标准式a + bi或指数表示reiθ均可) (1)(1 + i)2= (2)e(1+i)2 =
(3)sin(1 + i) = (4)ch(1 + i) = (5)Ln(1 + i) = (6)(1 + i)32 = (7)(1 + i)i= (8)Arc sh i = 2. (25分=5分×5)设f (z) = 1
z2(z − 1)4试求 (1) f (z)在环域0 < |z| < 1内的罗朗级数展开式.
(2) f (z)在环域0 < |z − 1| < 1内的罗朗级数展开式.
(3) f (z)在环域|z| > 1内的罗朗级数展开式.
(4) f (z)在z = 4处的罗朗级数展开式.
(5) 求Res[f (z), 0], Res[f (z), 1], Res[f (z), ∞].
3. (36分=6分×6)(1-4小题的闭路积分方向均沿逆时针).
(1) I
|z|=2
zdz (2)
I
|z|=2
ez
(z − 1)2(z − z)dz (3) I
|z|=2
z2ez2dz (4)
I
|z|=10
cos z
sin zdz (5) Z ∞
0
1
5 − cos θdθ (6) Z +∞
−∞
sin 2x x(x2+ 9)dx
4. (8分)解析函数f (z)的实部为Ref (z) = x2+ y2+ 2x + y, 且f (0) = 0, 求Imf (z), 并求f0(1 + i)
5. (5分)若在|z| 6 1上f (z)解析, 且在|z| = 1上|f (z)| < 1, 求证: 在|z| < 1内存在唯一的点z0, 使得f (z0) = z0.
6. (10分)利用拉普拉斯变换求初值问题.
y00(t) + y0(t) − 2y(t) = 1 (t > 0) y(0) = 0, y0(0) = 0, y00(0) = −1
2007-2008学年第一学期复变函数(B)期末试题
1. (12分)求解下列方程:
(1) z3 = 1 + i (2) ez= 3 + 4i (3) cos(2 + z) = 3
2. (12分)已知复变函数f (z)解析, 实部u(x, y) = x3− 3xy2− y + 1, 且f (0) = 1, 求虚部v(x, y)和f0(0).
3. (15分=5分×3)已知f (z) = 1 z2− 5z + 4. (1)在|z| < 1内把f (z)展为z的幂级数.
(2)在0 < |z − 1| < 3上把f (z)展为罗朗级数.
(3)在1 < |z| < 4上把f (z)展为罗朗级数.
4. (36分=6分×6)求下列积分(其中凡闭路积分沿逆时针方向) (1)
I
C
ez
(z − 2)(z − 1)2dz, C : |z| = 3. (2) Z π
0
dθ 1 + 2 sin2θ. (3)
I
C
z − sin z
z6 dz, C : |z| = 1. (4) I
C
dz
z7− 2z4, C : |z| = 1.
(5) Z +∞
−∞
dx
x4+ 16. (6)
Z +∞
−∞
sin x
x(x2+ 2x + 5)dx.
5. (12分) 用Laplace变换的方法求解处值问题:
y00− 2y0+ 2y = t y(0) = 0, y0(0) = 1
6. (6分) 求方程z4+ 7z + 1 = 0在圆环3
2 < |z| < 2的根的个数, 并说明理由.
7. (7分) 设f (z)和g(z)区域D内解析, a1, a2, · · · , an, · · · 是D内的一个点列, lim
n→+∞an= a ∈ D, 如果对于任 意的k, 都有f (ak) = g(ak), 求证: 在D内恒有f (z) = g(z)成立.
2009-2010学年第一学期复变函数(B)期末试题
1. (6分=3分×2)
(1) 若eπ2i+ e1+i= a + bi, 其中a, b为实数, 请求出a, b的值.
(2) 若1 + sin 2i = c + di, 其中c, d为实数, 请求出c, d的值.
2. (9分=3分×3)求解以下复方程:
(1)z4+ 2 = 0 (2)ez= i (3)2 cos z = 3
3. (9分)已知复变函数f (z)解析, 其实部u(x, y) = x2− y2+ 2y, 且f (0) = i, 求其虚部u(x, y), 并求f0(0).
4. (16分=6分+5分+5分) (1) 设f1(z) = 1
1 − 3z, f2(z) = z
(1 − 3z)2. 请把f1(z)和f2(z)在区域|z| < 1
3展成z的幂级数.
(2) 设函数f (z) = 1
(z − 3)(z − 6). 在环域3 < |z| < 6内把f (z)展成z的罗朗级数.
(3) 设f (z) = 1
(z − 2)(z − 4)2. 在区域0 < |z − 2| < 2内把f (z)展为z − 2的罗朗级数.
5. (21分=5分×3+6分)计算复积分.
(1) Z
|z|=2
cos z
z − idz (2)
Z
|z|=2
z2(1 + e1z)dz (3)
Z
|z|=2
dz
(z − 1)2(z − 5) (4) Z
|z|=1
dz z5(2 − z) 6. (18分=6分×3)计算定积分.
(1) Z 2π
0
dθ
5 + 3 cos θ (2) Z +∞
−∞
1 x4+ 1dx (3)
Z +∞
−∞
sin x x2− 2x + 2dx
7. (16分=8分×2)利用拉普拉斯变换解微分方程:
(1)
y00(t) + y0(t) = 2 y(0) = 0, y0(0) = 0
(2)
y00(t) − 2y0(t) + y(t) = te2t y(0) = 1, y0(0) = −2 8. (5分)记C =n
z
|z| < R, R > 0o
, H =n z
|z| < R, 0 < α < arg z < β < 1 2πo
, 这样H为圆域C内的一个 扇形区域, 设有复变函数f (z)在C内解析, 且在H内为常数. 求证: f (z)在C内必为常数.
2017-2018学年第一学期复变函数(B)期末试题
1. (30分)基础知识.
(1)求解以下复方程:
(a) eiz = 2017 (b)(z − 3)4= 1.
(2)已知调和函数v(x, y) = 4x2 + ay2+ x, 求常数a, 并求出以v(x, y)为虚部且满足f (0) = 1的解析函 数f (z).
(3)已知幂级数
+∞
X
n=1
nzn−1
2n , 求收敛半径R, 并在收敛域内求出此幂级数的和函数.
(4)已知f (z) = z3e1z, 把f (z)在区域0 < |z| < +∞展成Laurent级数.
(5)求z5+ 5z2+ 2z + 1 = 0在1 < |z| < 2的根的个数, 并说明理由.
2. (30分)计算以下复积分.
(1) Z 3i
0
(2z + 3z2)dz (2) I
|z|=3
eiz
z − 2idz (3) I
|z|=4
sin 5z z2 dz
(4) I
|z|=12
sin 1 z − 1
z4 dz (5)
I
|z−3|=2
ez
|z|2|dz|
3. (14分)计算以下定积分.
(1) Z 2π
0
dθ
(5 − 4 cos θ)2 (2) Z +∞
0
sin 4x x(x4+ 1)dx 4. (10分)利用Laplace变换解微分方程初值问题:
y00− 6y0+ 9y = te3t y(0) = 0, y0(0) = 2017.
5. (6分)设函数f (z)和g(z)在围道C及内部解析, g(z)在围道C上没有零点, 在C内g(z)有唯一的零点a. 已 知f (a) = p1 6= 0, f0(a) = p2, f00(a) = p3. 而g0(a) = 0, g00(a) = q16= 0, g000(a) = q2, g0000(a) = q3. 计算积 分:
I
C
f (z) g(z)dz.
6. (10分)设f (z) =
+∞
X
n=0
anzn (a06= 0)的收敛半径R > 0.
(1)记M (r) = max
|z|6r|f (z)| (0 < r < R), 利用Cauchu积分公式证明: |f(n)(0)| 6 n!M (r) rn . (2)证明: 当|z| < |a0|r
|a0| + M (r)时, 函数f (z)无零点. (其中r < R)
2019-2020学年第一学期复变函数(B)期末试题
1. (10分)求解以下复方程:
(1)z3= −3¯z(z 6= 0); (2) sin z = 3.
2. (7分) 已知解析函数f (z)的实部u(x, y) = eαycos 3x + 3x, 其中α > 0且f (0) = 1, 求常数α, 并求出解析 函数f (z). (请用z表示函数f (z))
3. (10分)
(1)把f (z) = z5ez在z = 0展开成幂级数, 并指出收敛区域.
(2)把g(z) = 1
(z − 2)(z − 4)2在区域0 < |z − 2| < 2展开成洛朗级数.
4. (36分=6分×6)计算复积分
(1) Z πi
0
2019z2− cos z dz; (2) Z
|z|=6
2019z2− cos z dz;
(3) Z
|z|=52
z2− 8z + 5
z3(z + 2)(z − 3)2dz; (4) Z
|z|=3
cos
1 z−2
4 − z dz;
(5) Z
|z|=3
z + 5
1 − cos(z − 2)dz; (6) Z
|z|=2
|dz|
|z − i|4. 5. (14分=7分×2)求以下定积分
(1) Z 2π
0
cos 2θ
3 − 2 cos θdθ; (2) Z +∞
0
x3sin 4x (x2+ 4)2dx.
6. (5分) 判断方程z9= 8z3+ 2z2+ z + 2在1 < |z| < 5的根的个数, 并说明理由.
7. (10分)利用拉普拉斯变换解微分方程:
y00+ y = etcos 2t, y(0) = 4, y0(0) = 0.
8. (8分) 已知函数f (z)在|z| ≤ 1内解析, 函数g(z)在|z| ≥ 1解析, 且存在常数M , 使得在|z| > 1时, |g(z)| <
M . 证明以下算式成立:
1 Z f (ξ) ag(ξ)
f (a) , 当|a| < 1,
2019-2020学年第一学期复变函数(B)期末补考试题
1.(12分)求解以下复方程:
(1)z2− 2019z + 2018 = 0; (2)ez= 5 + i.
2.(12分)利用柯西-黎曼方程求以下函数的可微点:
(1)f (z) = xy + iy; (2)f (z) = ex(cos y + i sin y).
3.(30分=10分×3)计算复积分:
(1) Z 2i
0
(2019ez− 4 cos 4z) dz;
(2) Z
|z|=4
sin z
(z − 1)(z − 8)2dz;
(3) Z
|z|=9
ez 16 + z2dz;
(4) Z
|z|=2
z
(z4+ 1) sin2zdz;
(5) Z
|z|=2
ez|dz|
|z − 1|4. 4.(14分)求以下定积分:
(1) Z 2i
0
1
(10 − 8 cos θ)2dθ; (2) Z +∞
0
cos 4x − cos 6x x2 dx.
5.(8分)利用拉普拉斯变换解微分方程:
y00− 2y0+ 2y = tet, y(0) = 1, y0(0) = 2.
6.(24分=10分+7分+7分) (1)设f (z) = 1
cos 2z = a0+ a1z + a2z2+ a3z3+ a4z4+ · · · , 请求出a0, a1, a2, a3, a4，并计算积分 Z
|z−1|=2
2019 z5cos 2zdz.
(2)计算积分方程
f (t) = sin 2t + Z t
0
sin 2(t − u)f (u)du.
(3)设级数
+∞
P
n=0
cn收敛，| arg cn| ≤ π
3，求证: +∞P
n=0
|cn|收敛.
2020-2021学年第一学期复变函数(B)期末试题
1. (10分) 将f (z) = 1
z − 2+ e−z在z = 0处展开为幂级数, 并指出其收敛半径.
2. (10分) 将f (z) = 1
z3+ 2z在1 < |z + 1| < +∞展开为洛朗级数.
3. (5分) 计算(2020 + i)(2 − i).
4. (5分) 计算Arccos2.
5. (10分) 求a使得v(x, y) = ax2y − y3+ x + y是调和函数, 并求虚部为v(x, y)且满足f (0) = 1的解析函 数f (z).
6. (30分=6分×5) 求积分(所有路径均为逆时针) (1)
Z
C
(ez+ 3z2+ 1)dz, C : |z| = 2, Rez < 0;
(2) I
C
dz
z(z − 1)2(z − 5), C : |z| = 3;
(3) I
C
dz
sin z(z + 6)(z − 5), C : |z| = 4;
(4) Z +∞
−∞
cos x x2+ 2x + 5dx;
(5) Z π2
0
dθ (1 + 2 sin2θ)2.
7. (10分) 求方程z8+ ez+ 6z + 1 = 0在1 < |z| < 2中根的个数, 并说明理由.
8. (10分) 利用拉氏变换解微分方程:
y00+ 2y0+ y = tet, y(0) = y0(0) = 0.
9.(10分)设f 是域|z| > r > 0上的解析函数. 证明：如果对于|a| > R > r, lim
z−>∞f (z) = f (a), 则积分 Z
|z|=R
f (z) z − adz = 0 .
2010-2011学年第二学期复分析期中试题
1. (15分)计算题.
(1) 设u(x, y) = y3− 3x2y, 求C上的全纯函数f (z).使得Ref (z) = u且f (i) = 1 + i.
(2) 求积分I = Z
|z|=r
dz
z3(z + 1)(z − 2), r 6= 1, 2.
2. (15分)求函数f (z) = 3
r(z + 1)(z − 1)(z − 2)
z 的所有支点, 一个单值域, 并求使得f (3) = 0的单值解析 分支在z = i的值.
3. (15分)求将区域n
z : |z| < 1, z − i
2 > 1
2
o映到上半平面的单叶保角变换.
4. (15分)求证方程z + e−z= a (a > 1)在Rez > 0内只有一个根, 且为实根.
5. (15分)若f (z)是|z| < 1上的全纯函数, 且|f (z)| < 1. 求证: |f0(z)| 6 1 − |f (z)|2
1 − |z|2 , |z| < 1.
6. (10分)设D = {|z| < 1}. 若f (z)是D上的函数, 且f2(z)和f3(z)都是D上的全纯函数. 求证f (z)是D上的 全纯函数.
7. (15分=5分+10分)求证:
(1)若f (z)是|z| < r上的全纯函数, 则|f (0)| 6 1
√πr
Z
|z|<r
|f (x, y)|2dxdy12 . (2)若f (z)在0 < |z| < r上全纯, 且
Z
0<|z|<r
|f (x, y)|2dxdy < ∞. 则z = 0是f (z)的可去奇点.
2014-2015年第二学期复分析(H)期末试题
1. (20分=10分×2) (1)
Z
|z|=1
z3
2z2+ 1dz (2) a, b > 0, 求 Z +∞
0
x sin ax x2+ b2dx 2. (15分)求一个共形映射, 使B(0, 1)Tn
Imz > 0o
7−→ B(0, 1).
3. (15分)利用Rouch´e定理去证代数学基本定理.
4. (10分)设f (z)在C∞上仅有一极点z = 1, 其主要部分是 1
(z − 1)2, f (0) = 1, 求f (z)表达式, 并对f (z)在1 <
|z| < +∞上作Laurant展开.
5. (10分)设f ∈ H B(0, 1), f (0) = 0,求证:
∞
X
n=0
f (zn)在B(0, 1)绝对内闭一致收敛.
6. (10分)证明: 除掉线性函数之外, 不存在其它整函数使其反函数也是整函数.
7. (10分)设f ∈ H B(0, 1) T C B(0, 1), |f (z)| = 1, ∀z ∈ ∂B(0, 1), 证明: f 是有理函数.
8. (10分)设区域D关于实轴对称, f 在D上全纯. 证明: 存在f1(z), f2(z) ∈ H(D), 使f (z) = f1(z) + if2(z), 且f1, f2在实轴上取得实值.
2015-2016年第二学期复分析期中试题
1. (20分=4分×5)判断下列命题的对错, 请直接及那个答案写在命题左侧的下划线上, 不要解答过程.
(1) C中区域上的调和函数一定有共轭调和函数.
(2) 若函数f (z)在C中的区域Ω上全纯, 在Ω的闭包上连续, 则对任何z ∈ Ω有|f(z)| 6 sup
w∈∂Ω
|f (w)|.
(3) 设f 为有理函数, 且∞是f 的一阶零点, 那么f 在C上的所有留数之和等于0.
(4) 设幂级数
∞
X
n=0
anzn的收敛半径等于1, 在单位圆盘{z ∈ C : |z| < 1}内定义出解析函数f(z), 那么 必有z0, 使得|z0| = 1, 并且f (z)不能解析延拓到z0的任何邻域上.
(5) 存在从上半平面{z ∈ C : Imz > 0}到C的共形一一对应.
2. (24分)计算题, 要求有详细解答过程, 直接给出答案者不得分.
(1)求留数Res(e12 · z5, 0).
(2)利用留数定理计算积分 Z ∞
0
x2
x4+ 3x2+ 2dx.
(3)求f (z) = 1
z(z − 1)在0 < |z| < 1和1 < |z| < +∞的Laurant展开.
(4)设γ为闭曲线z(t) = 4eit, t ∈ [0, 2π], 计算积分 Z
γ
z9 z10− 1dz.
3. (16分)设f (z)为C中的区域Ω上的解析函数, 且恒不为零, 证明: 实值函数log |f (z)|为Ω上的调和函数.
4. (10分)方程z7− 2z5+ 2016z3− z + 1 = 0在单位开圆盘{z ∈ C : |z| < 1}内共有多少个根？要求详细说 明理由, 直接写出得数者不得分.
5. (10分)证明Weierstrass定理: 设解析函数列{fn}在区域Ω ⊂ C上内闭一致收敛, 设k为任意正整数, 那么 相应的k阶导函数列{fn(k)(z)}也在Ω上内闭一致收敛.
6. (10分)求从区域Ω = {z ∈ C : z 6= 0, 0 < arg z < π
2}到单位圆盘{w ∈ C : |w| < 1}的共形一一对 应w = f (z), 使得f (eπi4) = 0, 且f0(eπi4) > 0. 要求有详细解答过程, 直接写出答案者不得分.
7. (10分)设f (z)为单位开圆盘D = {z ∈ C : |z| < 1}上的解析函数, |f (z)| 6 1, 且f 在D内有两个不动点, i.e. 存在z16= z2∈ D, 使得f(z1) = z1, f (z2) = z2. 利用Schwarz引理证明: 在D内f (z) = z.
8. (10分)设f (z)为上半平面H = {z ∈ C : Imz > 0}上恒不为零的解析函数, 并且当z ∈ H趋于实轴R上的 点时, |f (z)| → 1.
(1)证明f (z)可以延拓为整函数, 仍然记作f (z).
(2)在(1)的条件下, 假设∞不是f (z)的本性奇点, 证明f (z)为常值函数.
9. (10分)设Ω = {0 < |z| < 1}, 设f 在Ω上全纯, 且 Z Z
Ω
|f (z)|2dxdy < +∞. 证明: z = 0是f (z)的可去奇点.
2016-2017年第二学期复分析期中试题
1. (2分)设z = x + iy(x, y ∈ R), 证明: f (z) =√
xy在z = 0处满足Cauchy-Riemann方程, 但f (z)在z = 0处 不可导.
2. (2分)设f 是凸区域Ω上的全纯函数, 如果对每点z ∈ Ω有Ref0(z) > 0, 则f 是Ω上的单叶函数.
3. (4分=2分×2) (1)若幂级数f (z) =
∞
X
n=0
cnzn的收敛半径为R = 1, 且在点z = 1收敛到s, 则 (a)设θ0∈ (0,π
2)且A为如下四条直线所围城的四边形区域y = ± cot θ0· x, y = ± tan θ0· (x − 1).则上 述级数在区域A上一致收敛.
(b) lim
z→1,z∈Af (z) = s.
(2)利用上述结论求和
∞
X
n=1
zn
n, 并详细说明推导理由.
4. (2分=1分×2)
(1)对任何z1, z2∈ D, 有
f (z1) − f (z2) 1 − f (z2)f (z1)
6
z1− z2
1 − z2z1
. (2)对任何z1∈ D, 有|f0(z1)| 6 1 − |f (z1)|2
1 − |z1|2 . 5. (2分)设f (z) = 1
(z − 1)(z − 2), 试分别给出这个函数D1 = n
z ∈ C
1 < |z| < 2
o和D2 = n
z ∈ C 2 <
|z| < ∞o
上的Laurant展开式.
6. (2分)设Ω =n z ∈ C
0 < r1< |z| < r2< ∞o
, f 是Ω上的全纯函数且在Ω上连续, M (r) = max|z|=r|f (z)|, 求证: 对任何r ∈ (r1, r2), log M (r) 6 log r2− log r
log r2− log r1
log M (r1) + log r − log r1 log r2− log r1
log M (r2).
7. (2分)利用留数定理计算积分(写清楚详细推导过程, 不得直接套用公式).
Z 1 0
1 (1 + x)2
r(1 − x)3 x dx 8. (2分)设f (z)是D =
n z ∈ C
|z| < 1o
上的全纯函数, 实数列{xn}满足limn→+∞xn = 0, 且对任何n ∈ N有0 < xn+1< xn< 1, 求证: 如果对任何n ∈ N有f (x2n+1) = f (x2n), 则f (z)是常值函数.
