   提要 237 ：向量函數在平面上之線積分的方法

提要 237：向量函數在平面上之線積分的方法

對很多讀者來說，向量函數之線積分



dr

F 實在是很難理解，作者建議由作功量

去思考應會有幫助。另外，就是先探討較簡單的平面上之線積分，此為本單元之主要目 標，說明如下。

向量函數在平面上之線積分

向 量 函 數^F

 

 

 



   

 

範例一

試求向量函數^F

 



圖 1 曲線 C 的示意圖

解答：

由線積分之定義知：

   

   

 







































C C C C

xydy ydx

dy dx xy y

z y x d F F F d

j i j i

k j i k j i r

F _{1 2 3}

(2)

現在需將曲線 C 以一參數 t 加以表示，這裡會需要用到之前所介紹過的曲線表示法 的觀念。因圖 1 中之曲線為四分之一圓弧曲線，故可採用圓弧曲線的概念，再取第一象 限的四分之一即可。基於此，該四分之一圓弧曲線可定義為：

t

xcos 、y sint、0 t  2 (3) 將式(3)代入式(2)可得：

 

   

 

   

 

 

 

   

3 1 4

3 0 1

4

3 0 0 cos 4sin 0 1 2 1 3

2 sin cos

4 1 2 2 1

3 2 cos 4sin 1 2 1

cos 2 cos

2 cos 1

cos sin sin

cos sin sin

cos cos sin sin

sin

sin cos sin cos

sin

3 3

2

0 3 2

0 2 2

0

2

0

2 2

0 2

2 2











 

 





 



  





 



  



 



 



 



  



 























































 













t t t

t d t t dt

dt t t dt

t

dt t t t

dt t t t dt

t t

t td t t

td xydy ydx

d

C C C C CF r

亦即 3

1 4 



