目錄

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6.1 節 四邊形 ... 1

定義 6.1-1 四邊形 ... 1

定義 6.1-2 梯形 ... 1

定義 6.1-3 平行四邊形 ... 3

定義 6.1-4 菱形 ... 6

定義 6.1-5 長方形(矩形)... 6

定義 6.1-6 正方形 ... 7

定義 6.1-7 鳶形 ... 7

習題 6.1...8

6.2 節 平行四邊形的性質 ... 10

定理 6.2-1 平行四邊形性質定理(一) ... 10

定理 6.2-2 平行四邊形性質定理(二) ... 33

定理 6.2-3 平行四邊形判別定理(一) ... 42

定理 6.2-4 平行四邊形判別定理(二) ... 44

定理 6.2-5 平行四邊形判別定理(三) ... 47

定理 6.2-6 平行四邊形判別定理(四) ... 49

定義 6.2-1 全等形 ... 55

定理 6.2-7 平行四邊形全等定理 ... 55

定理 6.2-8 三角形兩邊中點連線定理 ... 56

定理 6.2-9 平行線截等線段定理 ... 75

習題 6.2...77

6.3 節 梯形的性質 ... 87

定理 6.3-2 等腰梯形底角定理 ... 94

習題 6.3...101

6.4 節 多邊形的性質 ... 105

定義 6.4-1 多邊形與正多邊形 ... 105

定義 6.4-2 凸多邊形與凹多邊形 ... 105

定義 6.4-3 多邊形的內角 ... 106

定義 6.4-4 多邊形的外角 ... 106

定理 6.4-1 內外角和定理 ... 106

定理 6.4-2 多邊形內角和定理 ... 107

定理 6.4-3 多邊形外角和定理 ... 117

習題 6.4...125

本章重點... 128

第六章 多邊形

6.1 節 四邊形

定義 6.1-1 四邊形

由四線段兩兩相連於端點所圍成的圖形為四邊形。

A

B

C

D

圖 6.1-1 四邊形

定義 6.1-2 梯形

梯形為一組對邊平行的四邊形。

平行的兩邊為底，其中一邊為上底，另一邊為下底。

若不平行的兩邊等長則為等腰梯形。

梯形之高為平行兩邊的垂直距離。

高

腰 腰

下底 上底

F

A D

B

E

C

圖 6.1-2: 梯形

圖 6.1-2 中的四邊形 ABCD 為一梯形，其中 ∥ ， 為上底， 為下

底， 和 為梯形的兩個腰， 為梯形的高。

高

JI = 4.00 cm HG = 4.00 cm

上底

下底 腰 腰

L H

G J

K

I

圖 6.1-3 等腰梯形

圖 6.1-3 中梯形 GHIJ 的兩個腰 和 等長，故 GHIJ 為一等腰梯形。

例題 6.1-1：

下圖四邊形 ABCD 中，∠D＝82°、∠A＝98°、∠B＝83°，則：

(1) 與 是否平行？為什麼？

(2) 與 是否平行？為什麼？

(3) 四邊形 ABCD 是哪一種四邊形？為什麼？

想法：(1) 兩直線平行的條件為：1. 同位角相等 2. 內錯角相等 3. 同側內角互補 (2) 梯形為一組對邊平行的四邊形

解：

敘述 理由

(1) ∥

(2) 與 不平行

已知∠D＝82°、∠A＝98° ＆

∠A＋∠D＝98°＋82°＝180°(同側內角互補) 已知∠A＝98°、∠B＝83° ＆

∠A＋∠B＝98°＋83°＝181°(同側內角不互補)

定義 6.1-3 平行四邊形

二組對邊都平行的四邊形稱為平行四邊形(如圖 6.1-4)，其中 ∥ 且

∥ 。

圖 6.1-4 平行四邊形

例題 6.1-2：

如下圖，L1∥L2，M1∥M2，四條直線互相交於 A、B、C、D 四點，已知

∠1＝63°，則

(1) ABCD 是哪一種四邊形？

(2) 求∠2、∠3。

想法：(1) 二組對邊都平行的四邊形為平行四邊形 (2) 若兩直線平行，則：1. 同位角相等 2. 內錯角相等 3. 同側內角互補 解：

敘述 理由

(1) ABCD 是平行四邊形 (2) ∠DAB＝∠1＝63°

(3) ∠DAB＋∠3＝180°

(4) ∠3＝180°－∠DAB＝117°

(5) ∠DCB＋∠3＝180°

(6) ∠DCB＝180°－∠3＝63°

(7) ∠2＝∠DCB＝63°

已知 L1∥L2，M1∥M2 ＆ 平行四邊形定義 對頂角相等 ＆ 已知∠1＝63°

已知 M1∥M2 ＆ 同側內角互補 由(3)移項 ＆ (2) ∠DAB＝63°

已知 L1∥L2 ＆ 同側內角互補 由(5)移項 ＆ (4) ∠3＝117°

對頂角相等 ＆ (6) ∠DCB＝63°

例題 6.1-3：

已知：四邊形 ABCD 中，∠A＝132°，∠B＝48°，∠C＝132°，∠D＝48°

求證：ABCD 為平行四邊形

想法：(1) 兩直線平行的條件為：1. 同位角相等 2. 內錯角相等 3. 同側內角互補 (2) 二組對邊都平行的四邊形為平行四邊形 證明：

敘述 理由

(1) ∠B＋∠C＝48°＋132°＝180°

(2) ∥

(3) ∠A＋∠B＝132°＋48°＝180°

(4) ∥

(5) ABCD 是平行四邊形

已知∠B＝48°，∠C＝132°

由(1) ＆ 同側內角互補則兩直線互相平行 已知∠A＝132°，∠B＝48°

由(3) ＆ 同側內角互補則兩直線互相平行 由(2) ＆ (4) ＆ 平行四邊形定義(兩組對邊 平行的四邊形為平行四邊形)

例題 6.1-4：

試問下列四個四邊形中，哪一個不是平行四邊形？

(A) (B)

(C) (D)

想法：(1) 兩直線平行的條件為：1. 同位角相等 2. 內錯角相等 3. 同側內角互補 (2) 二組對邊都平行的四邊形為平行四邊形 解：

敘述 理由

(1) 四邊形 ABCD 中 (2) ∥

(3) ∥

(4) 四邊形 ABCD 為平行四邊形 (5) 四邊形 EFGH 中

(6) ∥ (7) 不平行

(8) 四邊形 EFGH 為梯形 (9) 四邊形 IJKL 中 (10) ∥

如圖(A)

∠A＋∠D＝180°，同側內角互補

∠A＋∠B＝180°，同側內角互補 由(2) ∥ ＆ (3) ∥ 如圖(B)

∠E＋∠H＝180°，同側內角互補

∠E＋∠F  180°

由(6) ∥ ＆ (7) 不平行 如圖(C)

∠I＋∠J＝180°，同側內角互補

(11) ∥

(12) 四邊形 IJKL 為平行四邊形 (13) 四邊形 OPQR 中

(14) ∥ (15) ∥

(16) 四邊形 OPQR 為平行四邊形 (17) 因此本題選(B)

∠I＋∠L＝180°，同側內角互補 由(10) ∥ ＆ (11) ∥ 如圖(D)

∠O＋∠R＝180°，同側內角互補

∠O＋∠P＝180°，同側內角互補 由(14) ∥ ＆ (15) ∥ 由(1)~(16)

定義 6.1-4 菱形

四邊相等的平行四邊形叫菱形(如圖 6.1-5)，其中 ∥ 、 ∥ 且 ＝ ＝ ＝ 。

圖 6.1-5 菱形 定義 6.1-5 長方形(矩形)

平行四邊形的四個角都是直角稱為長方形或矩形(如圖 6.1-6)，其中 ∥ 、 ∥ 且∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°。

圖 6.1-6 矩形

定義 6.1-6 正方形

四邊都相等的矩形就叫正方形(如圖 6.1-7) ，其中 ∥ 、 ∥ 且

∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°且 ＝ ＝ ＝ 。

圖 6.1-7 正方形 定義 6.1-7 鳶形

兩組鄰邊相等的四邊形就叫鳶形，也叫做箏形，其中 ＝ 且 ＝ 。

圖 6.1-8 鳶形

習題 6.1

習題 6.1-1

下圖四邊形 ABCD 中，∠D＝85°、∠A＝95°、∠B＝86°，則：

(1) 與 是否平行？為什麼？

(2) 與 是否平行？為什麼？

(3) 四邊形 ABCD 是哪一種四邊形？為什麼？

習題 6.1-2

如下圖，L1∥L2，M1∥M2，四條直線互相交於 A、B、C、D 四點，已知

∠1＝65°，則

(1) ABCD 是哪一種四邊形？

(2) 求∠2、∠3。

習題 6.1-3

已知：四邊形 ABCD 中，∠A＝135°，∠B＝45°，∠C＝135°，∠D＝45°

求證：ABCD 為平行四邊形

習題 6.1-4

試證明平行四邊形若有一角為直角，則為矩形。

習題 6.1-5

若一平行四邊形的兩鄰邊相等，試證明此四邊形為正方形或菱形。

習題 6.1-6

試證矩形的對角線相等。

6.2 節 平行四邊形的性質

定理 6.2-1 平行四邊形性質定理(一) 平行四邊形的對邊相等及對角相等。

4 3

2 1

C

A D

B

圖 6.2-1 平行四邊形

已知：如圖 6.2-1，ABCD 為平行四邊形( ∥ ， ∥ )。

求證：(1) ＝ ， ＝ 。

(2) ∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠DCB。

想法：利用兩全等三角形之對應邊相等及對應角相等的性質。

證明：

敘述 理由

(1) 連接 A 點及 C 點 (2) ∥

(3) ∠1＝∠2 (4) ∥ (5) ∠3＝∠4

(6) 在△ABC 與△C D A 中

∠1＝∠2

＝

∠3＝∠4

(7) △ABC △CDA (8) ＝ ， ＝ (9) ∠ABC＝∠CDA (10) ∠1＋∠3 ＝∠2＋∠4

∴∠BAD＝∠DCB

作圖

平行四邊形的對邊平行

由(2) ∥ ＆ 兩平行線的內錯角相等 平行四邊形的對邊平行

由(4) ∥ ＆ 兩平行線的內錯角相等 如圖所示

由(3) 已證 共同邊 由(5) 已證

由(6) ＆ 根據 A.S.A 三角形全等定理 由(7) ＆ 全等三角形的對應邊相等 由(7) ＆ 全等三角形的對應角相等 由(3)式 ＋ (5)式 ＆ 等量相加

如圖∠BAD＝∠1＋∠3、∠DCB＝∠2＋∠4

例題 6.2-1：

若一平行四邊形的三邊長分別為 4、7、4，則第四個邊長為 。 想法：利用平行四邊形兩組對邊等長，求出第四個邊

解：

敘述 理由

(1) 第四個邊長為 7 平行四邊形兩組對邊等長

例題 6.2-2：

如下圖，平行四邊形 ABCD 中，若 ＝2x＋1， ＝6， ＝7，求 x＝？

想法：利用平行四邊形兩組對邊等長，求 x 之值 解：

敘述 理由

(1) ＝ (2) 7＝2x＋1 (3) x＝3

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊相等 由(1) ＆ 已知 ＝2x＋1， ＝7 由(2) ＆ 解一元一次方程式

例題 6.2-3：

如下圖，平行四邊形 ABCD 中， ＋ ＝20， ＋ ＝30，求 ＋ 。

想法：利用平行四邊形兩組對邊等長，分別求出 與 ，再算 ＋ 之值

解：

敘述 理由

(1) ＝

(2) ＋ ＝20 (3) ＋ ＝20 (4) ＝10 (5) ＝

(6) ＋ ＝30 (7) ＋ ＝30 (8) ＝15

(9) ＋ ＝10＋15＝25

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊相等 已知

將(1) ＝ 代入(2) 由(3) ＆ 解一元一次方程式

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊相等 已知

將(5) ＝ 代入(6) 由(7) ＆解一元一次方程式 由(4) ＝10 ＆ (8) ＝15

例題 6.2-4：

如下圖，平行四邊形 ABCD 中， ＝6， ＝7， ＝2x＋1， ＝y－3，

求 xy。

想法：利用平行四邊形兩組對邊等長，分別求出 x 與 y，再算 xy 之值 解：

敘述 理由

(1) ＝ (2) 2x＋1＝7 (3) x＝3 (4) ＝ (5) y－3＝6 (6) y＝9

(7) xy＝3×9＝27

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊相等 由(1) ＆ 已知 ＝2x＋1 ＆ ＝7 由(2) ＆ 解一元一次方程式

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊相等 由(4) ＆ 已知 ＝y－3 ＆ ＝6 由(5) ＆解一元一次方程式

由(3) ＆ (6)

例題 6.2-5：

如下圖，平行四邊形 ABCD 中， ＋ ＋ ＋ ＝56， ＝12，求 。

想法：利用平行四邊形兩組對邊相等，求 之值

解：

敘述 理由

(1) ＝ ＆ ＝ (2) ＋ ＋ ＋ ＝56 (3) ＋ ＋ ＋ ＝56 (4) 2( ＋ )＝56

(5) ＋ ＝28 (6) 12＋ ＝28 (7) ＝28－12＝16

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊相等 已知

將 (1) ＝ ＆ ＝ 代入 (2) 由(3) 整理後提出 2

由(4) 等量除法，等式兩邊同除以 2 將已知 ＝12 代入(5) ＋ ＝28 由(6) 移項

例題 6.2-6：

如下圖，平行四邊形 ABCD 中，3 ＝ ，且 ＋ ＋ ＋ ＝24，

求 。

想法：利用平行四邊形兩組對邊相等，求 之值

解：

敘述 理由

(1) ＝ ＆ ＝ (2) ＋ ＋ ＋ ＝24 (3) ＋ ＋ ＋ ＝24 (4) 2( ＋ )＝24

(5) ＋ ＝12 (6) ＋3 ＝12 (7) ＝3

(8) ＝ ＝3

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊相等 已知

將 (1) ＝ ＆ ＝ 代入 (2) 由(3) 整理後提出 2

由(4) 等量除法，等式兩邊同除以 2 將已知 ＝3 代入 (5)

由(6) ＆ 解一元一次方程式 由(7) ＝3 ＆ (1) ＝

例題 6.2-7：

如下圖，平行四邊形 ABCD 中，3 ＝4 ，且 和 的差為 5，

求 ＋ ＋ ＋ ＝？

想法：(1) 利用已知條件求出 和 之值，

(2) 再利用平行四邊形兩組對邊相等，計算出 ＋ ＋ ＋ 之值 解：

敘述 理由

(1) ＝ ＆ ＝ (2) 3 ＝4

(3) ＝ 3 4

(4) ＞

(5) ＝ ＋5 (6) 3

4 ＝ ＋5

(7) ＝15

(8) ＝ ＋5＝15＋5＝20 (9) 所以 ＋ ＋ ＋

＝ ＋ ＋ ＋

＝20＋20＋15＋15

＝70

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊相等 已知

由(2) 等號兩邊同×

3 1

由(3)

已知 和 的差為 5 ＆ (4) ＞ 將(3) ＝

3

4 代入(5) ＝ ＋5

由(6) ＆ 解一元一次方程式

將(7) ＝15 代入 (5) ＝ ＋5 題目所求列式

將(1) ＝ ＆ ＝ 代入 將(7) ＝15 ＆ (8) ＝20 代入 加法運算

例題 6.2-8：

如下圖，ABCD 與 BEFC 皆為平行四邊形，已知∠D＝54°，∠F＝26°，

求∠ABE。

想法：(1) 利用平行四邊形對角相等，先求出∠ABC 與∠EBC，

(2) 再相加計算出∠ABE 之值 解：

敘述 理由

(1) ∠ABC＝∠D＝54°

(2) ∠EBC＝∠F＝26°

(3) ∠ABE＝∠ABC＋∠EBC＝80°

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等 已知 BEFC 為平行四邊形 ＆ 對角相等 全量等於分量之和 ＆ 由(1) ＆ (2)

例題 6.2-9：

如下圖，平行四邊形 ABCD 中，∠B＝75°，求∠A、∠C、∠D。

想法：(1) 先利用平行四邊形對邊互相平行 ＆ 同側內角互補的性質求出∠A 後，

(2) 再利用平行四邊形對角相等求出∠C 與∠D 解：

敘述 理由

(1) ∥

(2) ∠A＋∠B＝180°

(3) ∠A＝180°－∠B＝105°

(4) ∠D＝∠B＝75°

(5) ∠C＝∠A＝105°

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊互相平行 由(1) ∥ ＆ 同側內角互補

由(2) 移項 ＆ 已知∠B＝75°

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等 ＆ 已知∠B＝75°

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等 ＆ 由(3) ∠A＝105° 已證

例題 6.2-10：

如右圖， ∥ ∥ ∥ ， ∥ ∥ ∥ ，如果∠G＝70°，則

下列敘述何者正確？

(A)∠1＝70° (B)∠H＝110° (C)∠K＝110° (D)∠8＝110°

想法：(1) 利用平行線同側內角互補先求出∠2 的度數，

(2) 再利用對頂角相等求出∠1 的度數，

(3) 接著利用平行四邊形對角相等的性質求出∠3 的度數，

(4) 最後再反覆利用對頂角相等、同側內角互補與平行四邊形對角相等的 性質，依序求出∠4、∠H、∠5、∠6、∠K、∠7 與∠8 之度數 解：

敘述 理由

(1) ∥ ∥ ∥ (2) ∥ ∥ ∥

(3) PGQB、QCRH、RKID 皆為平行四邊形

(4) 在平行四邊形 PGQB 中 (5) ∠G＋∠2＝180°

(6) 70°＋∠2＝180°

(7) ∠2＝180°－70°＝110°

(8) ∠1＝∠2＝110°

(9) ∠3＝∠2＝110°

已知 已知

由(1) ＆ (2) 兩組對邊平行為平行四邊形

如圖所示

由(1) ∥ ＆ 同側內角互補 將已知∠G＝70° 代入(5)中 由(6) 移項

對頂角相等 ＆ 由(7) ∠2＝110° 已證 由(3) PGQB 為平行四邊形 ＆ 對角相等

(10) 在平行四邊形 QCRH 中 (11) ∠4＝∠3＝110°

(12) ∠5＝∠4＝110°

(13) ∠H＝180°－∠4 (14) ∠H＝180°－110°＝70°

(15) 在平行四邊形 RKID 中 (16) ∠6＝∠5＝110°

(17) ∠7＝∠6＝110°

(18) ∠K＝180°－∠6

(19) ∠K＝180°－110°＝70°

(20) ∠8＝∠7＝110°

(21) 所以答案選(D)∠8＝110°

如圖所示

對頂角相等 ＆ 由(9) ∠3＝110° 已證 由(3) QCRH 為平行四邊形 ＆ 對角相等 由(2) ∥ ＆ 同側內角互補

將(11) ∠4＝110° 代入 (13) 如圖所示

對頂角相等 ＆ 由(12) ∠5＝110° 已證 由(3) RKID 為平行四邊形 ＆ 對角相等 由(1) ∥ ＆ 同側內角互補 將(16) ∠6＝110° 代入 (18)

對頂角相等 ＆ 由(17) ∠7＝110° 已證 由(20) 已證

例題 6.2-11：

如下圖，過△ABC 三頂點作對邊的平行線，三線交於 D、E、F 三點，若

∠BAD＝40°，求∠DFE。

想法：(1) 兩組對邊平行為平行四邊形 (2) 平行四邊形對角相等

解：

敘述 理由

(1) ∥

(2) ∠ABC＝∠BAD＝40°

(3) 四邊形 ABCF 中 (4) ∥ ＆ ∥

(5) 四邊形 ABCF 為平行四邊形 (6) ∠DFE＝∠AFC＝∠ABC＝40°

已知過△ABC 三頂點作對邊的平行線 由(1) 內錯角相等 ＆ 已知∠BAD＝40°

如圖所示

已知過△ABC 三頂點作對邊的平行線 由(4) 兩組對邊平行為平行四邊形 由(5) 平行四邊形對角相等

例題 6.2-12：

如下圖， // // ， // // ，若∠A＝115°，求∠GKF。

想法：(1) 兩組對邊平行為平行四邊形 (2) 平行四邊形對角相等

解：

敘述 理由

(1) ∥ ＆ ∥ (2) AEKG 為平行四邊形 (3) ∠GKE＝∠A＝115°

(4) ∠GKF＋∠GKE＝180°

(5) ∠GKF＋115°＝180°

(6) ∠GKF＝180°－115°＝65°

已知

由(1) ＆ 兩組對邊平行為平行四邊形 由(2) ＆ 平行四邊形對角相等

如圖所示 ∠GKF 與∠GKE 互為補角 由(4) ＆ (3)∠GKE＝115° 已證 由(5) 移項

例題 6.2-13：

如下圖，平行四邊形 ABCD 中，∠A＝（6x－4）°，∠C＝（4x＋24）°，求：

(1) x 之值

(2) ∠A、∠B、∠C、∠D

想法：(1) 平行四邊形兩組對角相等 (2) 同側內角互補

解：

敘述 理由

(1) ∠C＝∠A (2) 4x＋24＝6x－4

(3) x＝14

(4) ∠A＝(6x－4)°＝(6×14－4)°＝80°

(5) ∠C＝(4x＋24)°＝(4×14＋24)°＝80°

(6) ∥

(7) ∠A＋∠B＝180°

(8) ∠B＝180°－∠A＝100°

(9) ∠D＝∠B＝100°

ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等 由(1) ＆ ∠C＝（4x＋24）°

＆ ∠A＝（6x－4）°

由(2) ＆ 解一元一次方程式 將(3) 代入∠A＝（6x－4）°

將(3) 代入∠C＝（4x＋24）°

ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊平行 由(6) ∥ ＆ 同側內角互補 由(7)移項 ＆ (4) ∠A＝80°已證 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等

＆ 由(8) ∠B＝100°已證

例題 6.2-14：

如下圖，平行四邊形 ABCD 中，∠B＝

2

1∠A，求∠A、∠B、∠C、∠D。

想法：(1) 同側內角互補

(2) 平行四邊形兩組對角相等 解：

敘述 理由

(1) ∥

(2) ∠A＋∠B＝180°

(3) ∠A＋

2

1∠A＝180°

(4) ∠A＝120°

(5) ∠B＝

2

1∠A＝

2

1×120°＝60°

(6)∠C＝∠A＝120°

(7) ∠D＝∠B＝60°

ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊互相平行

∥ ＆ 同側內角互補 由(2) ＆ 已知∠B＝

2 1∠A

由(3) ＆ 解一元一次方程式 將(4)代入已知∠B＝

2 1∠A

ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等 ＆ 由(4) ∠A＝120° 已證

ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等 ＆ 由(5) ∠B＝60° 已證

例題 6.2-15：

如下圖，平行四邊形 ABCD 中，若∠A＝∠B＋∠D，求∠C。

想法：(1) 同側內角互補

(2) 平行四邊形兩組對角相等 解：

敘述 理由

(1) ∠D＝∠B (2) ∠A＝∠B＋∠D

＝∠B＋∠B＝2∠B

(3) ∠B＝

2 1∠A

(4) ∥

(5)∠A＋∠B＝180°

(6)∠A＋

2

1∠A＝180°

(7)∠A＝120°

(8) ∠C＝∠A＝120°

ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等 已知∠A＝∠B＋∠D ＆

(1) ∠D＝∠B 已證 由(2) ＆ 等式兩邊同乘

2 1

ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊平行

∥ ＆ 同側內角互補 由(5) ＆ (3) ∠B＝

2

1∠A 已證

由(6) ＆ 解一元一次方程式

ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等 ＆ 由(7) ∠A＝120° 已證

例題 6.2-16：

如下圖，平行四邊形 ABCD 中，∠A＝（5y－2）°，∠B＝4x°， ∠D＝32°，

求 x＋y。

想法：(1) 同側內角互補

(2) 平行四邊形兩組對角相等 解：

敘述 理由

(1) ∠B＝∠D (2) 4x°＝32°

(3) x＝8 (4) ∥

(5) ∠A＋∠D＝180°

(6) （5y－2）°＋32°＝180°

(7) y＝30

(8) x＋y＝8＋30＝38

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等 由(1) ＆ 已知∠B＝4x° ＆ ∠D＝32°

由(2) ＆ 解一元一次方程式

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊平行 由(4) ∥ ＆ 同側內角互補

由(5) ＆ 已知∠A＝（5y－2）° ＆ ∠D＝32°

由(6) ＆ 解一元一次方程式 由(3) x＝8 ＆ (7) y＝30 已證

例題 6.2-17：

如下圖，平行四邊形 ABCD 中，若∠A 比∠B 大 10°，求∠D。

想法：(1) 同側內角互補

(2) 平行四邊形兩組對角相等 解：

敘述 理由

(1) ∥

(2) ∠A＋∠B＝180°

(3) ∠A＝∠B＋10°

(4) (∠B＋10°)＋∠B＝180°

(5) ∠B＝85°

(6) ∠D＝∠B＝85°

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊平行 由(1) ∥ ＆ 同側內角互補

已知∠A 比∠B 大 10°

將(3)式代入(2)式得 由(4) 解一元一次方程式

平行四邊形 ABCD 中，對角相等 ＆ (5) ∠B＝85° 已證

例題 6.2-18：

如下圖，平行四邊形 ABCD 中， 為對角線，∠BAC＝95°，∠D＝60°，

求∠ACB。

想法：(1) 平行四邊形對角相等 (2) 三角形內角和 180°

解：

敘述 理由

(1) ∠B＝∠D＝60°

(2) 三角形 ABC 中

∠ACB＋∠B＋∠BAC＝180°

(3) ∠ACB＋60°＋95°＝180°

(4) ∠ACB＝180°－60°－95°＝25°

已知 ABCD 為平行四邊形，對角相等

＆ 已知∠D＝60°

如圖所示

三角形內角和 180°

將(1) ∠B＝60° ＆ 已知∠BAC＝95°

代入(2)得 由(4) 移項

例題 6.2-19：

如下圖，平行四邊形 ABCD 中，E 在 上， 為∠BAD 的角平分線，

＝5， ＝8，∠D＝56°，求：

(1)∠1 (2)

想法：(1) 利用已知∠D＝56° ＆ 平行四邊形鄰角互補可得∠BAD＝124°

(2) 利用已知 為∠BAD 的角平分線 ＆ ∠BAD＝124° ，可求得

∠BAE＝62°

(3) 利用已知∠D＝56° ＆ 平行四邊形對角相等可得∠B＝∠D＝56°

(4) 利用三角形 ABE 內角和 180° ＆ ∠B＝56°、∠BAE＝62° ， 可求得∠1＝62°

(5) 利用∠1＝∠BAE＝62°得知三角形 ABE 為等腰三角形 ＆ 已知 ＝5，可求得 ＝ ＝5

(6) 利用已知 ＝8 ＆平行四邊形對邊相等可得 ＝ ＝8 (7) 最後利用 ＝8 ＆ ＝5 可求得 ＝ － ＝8－5＝3 解：

敘述 理由

(1) ∥

(2) ∠BAD＋∠D＝180°

(3) ∠BAD＝180°－∠D＝180°－56°＝124°

(4) ∠BAE＝∠EAD＝

2

1∠BAD＝

2

1 ×124°

＝62°

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊平行

由(1) ∥ ＆ 同側內角互補 由(2) 移項 ＆ 已知∠D＝56°

已知 為∠BAD 的角平分線 ＆ (3) ∠BAD＝124° 已證

(5)∠B＝∠D＝56°

(6) 三角形 ABE 中

∠1＋∠BAE＋∠B＝180°

(7) ∠1＋62°＋56°＝180°

(8) ∠1＝180°－62°－56°＝62°

(9) 三角形 ABE 為等腰三角形

(10) ＝ ＝5

(11) 平行四邊形 ABCD 中

＝ ＝8

(13) ＝ － ＝8－5＝3

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對角相等 ＆ 已知∠D＝56°

如圖所示

三角形內角和 180°

將(4) ∠BAE＝62° 已證 ＆ (5) ∠B＝56° 已證 代入(6)得 由(7)移項

由(4) ＆ (8) ∠1＝∠BAE＝62°

＆ 等底角三角形為等腰三角形 由(9)三角形 ABE 為等腰三角形

＆等腰三角形兩腰等長 ＆ ＝5 如圖所示

平行四邊形對邊相等 ＆ 已知 ＝8

如圖所示 ＆ (11) ＝8 已證 ＆ (10) ＝5 已證

例題 6.2-20：

如下圖，平行四邊形 ABCD 中，∠ABC 的角平分線 交 於 F 點，

E 在 上，已知 ＝10， ＝18，求 。

想法：(1) 利用 平分∠ABC 可得知∠FBC＝∠ABF＝

2

1∠ABC

(2) 利用平行四邊形對邊平行( ∥ ) ＆內錯角相等，得知∠F＝∠ABF (3) 利用平行四邊形對邊平行( ∥ ) ＆ 同位角相等，得知

∠FED＝∠FBC

(4) 於是我們得到∠F＝∠FBC ＆ ∠F＝∠FED ＆ 兩底角相等為等腰三 角形，得到三角形 BCF 與三角形 FED 皆為等腰三角形

(5) 利用三角形 BCF 為等腰三角形，等腰三角形兩腰等長 ＆ 已知

＝18，得知 ＝ ＝18

(6) 利用平行四邊形對邊相等 ＆ 已知 ＝10，得知 ＝ ＝10 (7) 於是我們得到 ＝ － ＝18－10＝8

(8) 利用三角形 FED 為等腰三角形，等腰三角形兩腰等長 ＆ 已證 ＝8，得知 ＝ ＝8

解：

敘述 理由

(1) ∠FBC＝∠ABF＝

2

1∠ABC (2) ∥

(3) ∠F＝∠ABF＝∠FBC

(4) ∥

已知∠ABC 的角平分線 交 於 F 點 已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊平行 由(2) ∥ ＆ 內錯角相等

＆ (1) ∠ABF＝∠FBC

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊平行

(5) ∠FED＝∠FBC (6) 三角形 FED 中 (7) ∠F＝∠FBC＝∠FED (8) 三角形 FED 為等腰三角形

(9) ＝

(10) 三角形 BCF 中

(11) 三角形 BCF 為等腰三角形

(12) ＝ ＝18

(13) 平行四邊形 ABCD 中 (14) ＝ ＝10

(15) ＝ － ＝18－10＝8

(16) ＝ ＝8

由(4) ∥ ＆ 同位角相等 如圖所示

由(3) ＆ (5) 遞移律 由(7) ∠F＝∠FED 已證

＆ 等底角三角形為等腰三角形 由(8) 三角形 FED 為等腰三角形

＆ 等腰三角形兩腰等長 如圖所示

由(7) ∠F＝∠FBC 已證

＆ 等底角三角形為等腰三角形 由(11) 三角形 BCF 為等腰三角形

＆ 等腰三角形兩腰等長 ＆ 已知 ＝18 如圖所示

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 對邊等長

＆ 已知 ＝10

如圖所示 ＆ (12) ＝18 已證 ＆ (14) ＝10 已證

由(9) ＝ 已證 ＆ (15) ＝8 已證

定理 6.2-2 平行四邊形性質定理(二) 平行四邊形的對角線互相平分。

3

4 2

1

I

F G

E H

圖 6.2-2

已知：如圖 6.2-2，平行四邊形 EFGH 的兩對角線 及 相交於 I。

求證： ＝ 且 ＝

想法：證明 △EHI △GFI，全等三角形的對應邊相等。

證明：

敘述 理由

(1) ∠1=∠2 (2) = (3) ∠3=∠4

(4) △EHI △GFI (5) ＝ 且 ＝

平行四邊形對邊平行 ∥ ＆ 內錯角相等 平行四邊形的對邊相等

平行四邊形對邊平行 ∥ ＆ 內錯角相等 由(1)~(3) ＆ 根據 A.S.A. 三角形全等定理 由(4) ＆ 全等三角形的對應邊相等

Q. E. D.

例題 6.2-21：

ABCD 為平行四邊形，兩對角線交於 O 點。如果 ＝9， ＝14，

則 ＝_______， ＝_______。

想法：平行四邊形對角線互相平分 解：

敘述 理由

(1) ABCD 為平行四邊形

(2) 與 為對角線且相交於 O 點 (3) ＝ ＝

2 1 ＝

2 1×9＝

2 9＝4.5

(4) ＝ ＝ 2

1 ＝

2

1×14＝7

已知 已知

由(1)、(2) ＆ 平行四邊形對角線互相 平分 ＆ 已知 ＝9

由(1)、(2) ＆ 平行四邊形對角線互相 平分 ＆ 已知 ＝14

例題 6.2-22：

ABCD 為平行四邊形，兩對角線交於 O 點。如果 ＝12， ＝4，

則 ＝______， ＝_______。

想法：平行四邊形對角線互相平分 解：

敘述 理由

(1) ABCD 為平行四邊形

(2) 與 為對角線且相交於 O 點 (3) ＝ ＝

2 1

(4) 4＝

2 1

(5) ＝8 (6) ＝ ＝

2

1 ＝

2

1×12＝6

已知 已知

由(1)、(2) ＆ 平行四邊形對角線互相

平分， ＝

由(3) ＆ 已知 ＝4

由(4) ＆ 等式兩邊同乘以 2

由(1)、(2) ＆ 平行四邊形對角線互相 平分 ＆ 已知 ＝12

例題 6.2-23：

如下圖，平行四邊形 ABCD 中，對角線 和 相交於 O 點，

若 ＝8x＋3， ＝9x－1，求 。

想法：平行四邊形對角線互相平分 解：

敘述 理由

(1) ABCD 為平行四邊形

(2) 與 為對角線且相交於 O 點 (3) ＝ ＝

2 1

(4) 8x＋3＝9x－1 (5) x＝4

(6) ＝8x＋3＝8×4＋3＝35 (7) 35＝

2 1

(8) ＝2×35＝70

已知 已知

由(1)、(2) ＆ 平行四邊形對角線互相

平分， ＝

由(3) ＆ 已知 ＝8x＋3， ＝9x－1 由(4) ＆ 解一元一次方程式

將(5) x＝4 代入 已知 ＝8x＋3 將(6) ＝35 代入 (3) ＝

2 1

由(7) ＆ 等式兩邊同乘以 2

例題 6.2-24：(菱形的兩對角線互相垂直且平分)

如下圖所示，ABCD 為菱形，對角線 和 相交於 O 點，求證：

(1) ⊥ (2) ＝ 、 ＝

想法：(1) 利用 △ABC △ADC，得知∠BAC＝∠DAC；

(2) 利用 ABCD 為菱形的定義，得知 ＝ ，可得到△ABD 為等腰三 角形；

(3) 利用等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊的性質，可得證 ⊥ 且 ＝ ；

(4) 同理可證： ⊥ 且 ＝ 。 證明：

敘述 理由

(1) 在△ABC 與△ADC 中

＝

＝

＝

(2) △ABC △ADC (3) ∠BAC＝∠DAC (4) △ABD 中， ＝ (5) △ABD 為等腰三角形

平分∠BAD

(6) ⊥ ( 即 ⊥ )

且 ＝

如圖所示

ABCD 為菱形 ＆ 菱形四邊等長 ABCD 為菱形 ＆ 菱形四邊等長 共同邊

由(1) ＆ 根據 S.S.S.三角形全等定理 由(2) ＆ 對應角相等

ABCD 為菱形 ＆ 菱形四邊等長 由(4) ＆ 等腰三角形定義

由(3) ∠BAC＝∠DAC 已證

由(5) ＆ 等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊

(7) 同理可證：

⊥ ( 即 ⊥ )

且 ＝

(8) 所以 ⊥ 且

＝ 、 ＝

同理：△ABD △CBD，∠ADB＝∠CDB；

△ACD 為等腰三角形， 平分∠ADC；

等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊 由(6) ＆ (7)

在例題 6.2-24 中，我們得知菱形的對角線互相垂直且平分，因為正方形亦 為菱形，所以正方形的兩對角線亦互相垂直且平分。

例題 6.2-25：(鳶形的兩對角線互相垂直)

如下圖所示，ABCD 為鳶形，對角線 和 相交於 O 點，求證：

(1) ⊥ 。 (2) ＝

想法：(1) 利用 △ABC △ADC，得知∠BAC＝∠DAC，

(2) 利用 ABCD 為鳶形的定義，得知 ＝ ，則△ABD 為等腰三角形，

(3) 利用等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊的性質，可得證 ⊥ 且 ＝ 。

證明：

敘述 理由

(1) 在△ABC 與△ADC 中

＝

＝

＝

(2) △ABC △ADC (3) ∠BAC＝∠DAC (4) △ABD 中， ＝ (5) △ABD 為等腰三角形

平分∠BAD (6) ⊥ ＆ ＝ (7) 所以 ⊥

(8) 所以 ＝

如圖所示

ABCD 為鳶形 ＆ 鳶形鄰邊等長 ABCD 為鳶形 ＆ 鳶形鄰邊等長 共同邊

由(1) ＆ 根據 S.S.S.三角形全等定理 由(2) ＆ 對應角相等

ABCD 為鳶形 ＆ 鳶形鄰邊等長 由(4) ＆ 等腰三角形定義

由(3) ∠BAC＝∠DAC 已證

由(5) ＆ 等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊 由(6) ⊥

由(6) ＝

例題 6.2-26：(矩形的兩對角線等長)

如下圖所示，ABCD 為長方形，對角線 和 相交於 O 點，求證： ＝ 。

想法：利用△ABD △DCA，可得證 ＝ 。 證明：

敘述 理由

(1) 在△ABD 與△DCA 中

＝

∠BAD＝∠CDA＝90°

＝

(2) △ABD △DCA (3) ＝

如圖所示

ABCD 為長方形 ＆ 長方形對邊等長

ABCD 為長方形 ＆ 長方形四個角皆為 90 度 共同邊

由(1) ＆ 根據 S.A.S.三角形全等定理 由(2) ＆ 對應邊相等

在例題 6.2-26 中，我們得知矩形的兩對角線等長，因為正方形亦為矩形，

所以正方形的兩對角線亦等長。

例題 6.2-27：

下列圖形各具有哪些性質？（在空格中打ˇ）

圖形

性質 平行四邊形 長方形 菱形 正方形 鳶形

對邊平行 對邊等長 對角線等長

對角線互相平分 對角線互相垂直 四角皆為直角

想法：利用各圖形的性質作答 解：

敘述 理由

(1) 平行四邊形對邊平行 平行四邊形對邊等長

平行四邊形對角線互相平分 (2) 長方形對邊平行

長方形對邊等長 長方形對角線等長 長方形對角線互相平分 長方形四個角皆為直角 (3) 菱形對邊平行

菱形對邊等長

菱形對角線互相平分 菱形對角線互相垂直 (4) 正方形對邊平行 正方形對邊等長 正方形對角線等長 正方形對角線互相平分 正方形對角線互相垂直 正方形四個角皆為直角 (5) 鳶形對角線互相垂直

平行四邊形定義 定理 6.2-1 定理 6.2-2

長方形也是平行四邊形 長方形也是平行四邊形 例題 6.2-26

長方形也是平行四邊形 長方形定義

菱形也是平行四邊形 菱形也是平行四邊形 菱形也是平行四邊形 例題 6.2-24

正方形也是平行四邊形 正方形也是平行四邊形 正方形也是長方形 正方形也是平行四邊形 正方形也是菱形

正方形也是長方形 例題 6.2-25

定理 6.2-3 平行四邊形判別定理(一)

四邊形的一組對邊若平行且相等，則為平行四邊形。

1

2 3

4 C

B

D A

圖 6.2-3

已知：如圖 6.2-3，四邊形 ABCD 中 ∥ 且 ＝ 。 求證：ABCD 為平行四邊形。

想法：利用兩全等三角形之對應邊相等及對應角相等性質及平行四邊形的定義。

證明：

敘述 理由

(1) 在△ABC 與 △CDA 中 ∠1＝∠2

＝ ＝

(2) △ABC △CDA (3) ∠3＝∠4

(4) ∥

(5) 故 ABCD 為平行四邊形

如圖所示

已知 ∥ ＆ 內錯角相等 已知

共同邊

由(1) ＆ 根據 S.A.S.三角形全等定理 由(2) ＆ 全等三角形的對應角相等 由(3) ＆ 內錯角相等的兩線平行 由已知 ∥ ＆ (4) ∥ 已證

＆ 平行四邊形的定義

Q. E. D.

例題 6.2-28

如下圖，四邊形 ABCD 中， ∥ ，且 ＝8， ＝8，則 ABCD 是否為 平行四邊形？

想法：一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形 解：

敘述 理由

(1) 四邊形 ABCD 中 ∥

＝

(2) ABCD 為平行四邊形

如圖所示 已知 ∥

已知 ＝8， ＝8

由(1) ＆ 一組對邊平行且相等的四邊形為 平行四邊形定理

定理 6.2-4 平行四邊形判別定理(二)

四邊形的兩組對邊若分別相等，則為平行四邊形。

1

2 3

4 B C

A D

圖 6.2-4

已知：如圖 6.2-4，四邊形 ABCD 中， ＝ ， ＝ 求證：ABCD 為平行四邊形

想法：利用全等三角形的對應角相等及內錯角相等則兩線平行的性質。

證明：

敘述 理由

(1) 連接 A，C 兩點作一直線 (2) 在△ABC 與△CDA 中

＝

＝

＝

(3) △ABC △CDA (4) ∠1=∠2，∠3=∠4 (5) ∥ ， ∥

(6) 故得 ABCD 為平行四邊形

過兩點可畫一直線。

如圖所示 已知 ＝

已知 ＝

共同邊

由(2) ＆ 根據 S.S.S.全等三角形性質 全等三角形的對應角相等

由(4) ＆ 內錯角相等則兩線平行

由(5) ＆ 兩組對邊平行為平行四邊形定義 Q. E. D.

例題 6.2-29：

如下圖，四邊形 ABCD 中， ＝16， ＝18， ＝16， ＝18，則 ABCD 是否為平行四邊形？

想法：兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形 解：

敘述 理由

(1) 四邊形 ABCD 中

＝ ＝16

＝ ＝18

(2) 四邊形 ABCD 為平行四邊形

如圖所示 已知 已知

由(1) ＆ 兩組對邊相等的四邊形為平行四邊 形定理

例題 6.2-30：

下列哪一組邊長可以拼成平行四邊形？

(A) 5，6，7，8 (B) 3，5，5，7 (C) 7，9，9，7 (D) 6，6，6，7 想法：兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形 解：

敘述 理由

(1) 四邊長分別為 7，9，9，7 可拼成 平行四邊形

(2) 所以答案選(C)

兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形 定理

例題 6.2-31：

阿明用不同長度的棒子當做平行四邊形的四個邊長，則下列哪一組棒子的 長度依序以逆時針方向連接起來，無法組成平行四邊形？

(A) 4，4，6，6 (B) 1，4，1，4 (C) 8，8，8，8 (D) 5，2，5，2 想法：(1) 兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形 (2) 相鄰兩邊相等的四邊形為鳶形(箏形) 解：

敘述 理由

(1) 四邊長分別為 1，4，1，4 可拼成 平行四邊形

(2) 四邊長分別為 8，8，8，8 可拼成 菱形，亦為平行四邊形

(3) 四邊長分別為 5，2，5，2 可拼成 平行四邊形

(4) 所以答案選(A) 四邊長分別為 4，4，6，6 可拼成鳶形(箏形)

兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形 定理

兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形 定理

兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形 定理

兩組鄰邊相等的四邊形為鳶形(箏形)

定理 6.2-5 平行四邊形判別定理(三)

四邊形的對角線若互相平分，則為平行四邊形。

1

2 4

3

O

C A D

B

圖 6.2-5

已知：如圖 6.2-5，四邊形 ABCD，兩對角線 和 相交於 O， ＝ 且

＝ 。

求證： ABCD 為平行四邊形。

想法：證明 ∥ 且 ＝ ，利用四邊形的一組對邊平行且相等，則為平行

四邊形性質。

證明：

敘述 理由

(1) 在△AOD 與 △COB

＝

∠1=∠2

＝

(2) △AOD △COB (3) ∠3=∠4

(4) ＝ (5) ∥

(6) ABCD 為平行四邊形

如圖所示 已知

對頂角相等 已知

由(1) ＆ 根據 S.A.S.全等三角形定理 全等三角形的對應角相等

全等三角形的對應邊相等 由(3) ∠3=∠4 已證 ＆ 內錯角相等則兩線平行定理

由(4) ＆ (5) ＆ 四邊形的一組對邊 平行且相等，則為平行四邊形定理

Q. E. D.

例題 6.2-32：

如下圖，四邊形 ABCD 中， ＝7， ＝5.5， ＝7， ＝5.5，則 ABCD 是否為平行四邊形？

想法：對角線互相平分的四邊形為平行四邊形 解：

敘述 理由

(1) 四邊形 ABCD 中

＝ ＝7

＝ ＝5.5

(2) ABCD 為平行四邊形

如圖所示 已知 已知 由(1) ＆

對角線互相平分的四邊形為平行四邊形定理

定理 6.2-6 平行四邊形判別定理(四)

四邊形的兩組對角相等，則為平行四邊形。

B C A D

圖 6.2-6

已知：如圖 6.2-6，四邊形 ABCD，兩組對角相等，∠BAD＝∠BCD 且

∠ABC＝∠ADC。

求證： ABCD 為平行四邊形。

想法：利用同側內角互補之兩線平行證明 ∥ 且 ∥ ，再利用平行四邊

形定義：四邊形的兩組對邊平行，則為平行四邊形。

證明：

敘述 理由

(1) ∠BAD＋∠BCD＋∠ABC＋∠ADC

＝360

(2) ∠BAD＋∠BAD＋∠ABC＋∠ABC

＝2(∠BAD+∠ABC)＝360

(3) ∠BAD＋∠ABC＝180

(4) ∥

(5) 同理 ∠ABC＋∠BCD＝180

(6) ∥

(7) 所以四邊形 ABCD 為平行四邊形

四邊形可由兩個三角形組成，如圖 6.2-6，每個三角形內角和為 180，

合計 360。

由(1) ＆ 已知∠BCD＝∠BAD 且

∠ADC＝∠ABC ＆ 整理後提出 2 由(2) ＆ 等式兩邊同除以 2

由(3) ＆ 同側內角互補之兩線平行 同(2) & (3) 同理可證

由(5) ＆ 同側內角互補之兩線平行 由(4) ＆ (6) ＆ 兩組對邊平行之 平行四邊形定義

Q. E. D.

例題 6.2-33：

當四邊形 PQRS 滿足下列哪一個選項的條件時，才能確定是平行四邊形？

(A)∠P＋∠Q＝∠R＋∠S＝180° (B)

∥

想法：可以判斷平行四邊形之方法有：

1. 根據平行四邊形之定義：兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形 2. 兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形

3. 一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形 4. 兩組對角相等的四邊形為平行四邊形

5. 對角線互相平分的四邊形為平行四邊形 解：

敘述 理由

(A) 四邊形 PQRS 中，如圖所示

∥

所以 PQRS 為梯形

(B) 四邊形 PQRS 中，如圖所示

∥ ＆ ＝ 所以 PQRS 為等腰梯形 (C) 四邊形 PQRS 中，如圖所示

∠P＝∠Q 且∠R＝∠S 所以 PQRS 為等腰梯形

∠P＋∠Q＝∠R＋∠S＝180° 同側內角互補 梯形定義

已知

等腰梯形定義

已知

等腰梯形定義

(D) 四邊形 PQRS 中，如圖所示

∠P＝∠R，∠Q＝∠S 所以 PQRS 為平行四邊形 所以本題選(D)

已知

兩組對角相等為平行四邊形定理

例題 6.2-34：

下列四個條件中，哪一個不能用來判定四邊形 ABCD 為平行四邊形？

(A) ∥ ，∠A＝∠C (B) ∥ ， ＝

(C) ∥ ， ＝ (D) ＝ ， ＝

想法：可以判斷平行四邊形之方法有：

1. 根據平行四邊形之定義：兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形 2. 兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形

3. 一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形 4. 兩組對角相等的四邊形為平行四邊形

5. 對角線互相平分的四邊形為平行四邊形 解：

敘述 理由

(A) 四邊形 ABCD 中，如右圖所示 連接 B 點與 D 點

在△ABD 與△CDB 中

∠A＝∠C

∠1＝∠2

＝

所以△ABD △CDB 所以 ＝

所以四邊形 ABCD 為平行四邊形

(B) 四邊形 ABCD 中，如右圖所示

∥ ＝

所以為 ABCD 平行四邊形

如上圖所示 已知

∥ ＆ 內錯角相等 共同邊

根據 A.A.S.三角形全等性質 對應邊相等

∥ ＆ ＝

一組對邊平行且相等的四邊形為平行四 邊形定理

已知 已知

一組對邊平行且相等的四邊形為平行四 邊形定理

(C) 本選項有兩種情形：

第一種情形：

四邊形 ABCD 中，如右圖所示

∥ ＝

所以 ABCD 為等腰梯形

第二種情形：

四邊形 ABCD 中，如右圖所示

∥ ＝

所以 ABCD 為平行四邊形 (D) 四邊形 ABCD 中，如右圖所示

＝ ＝

所以為 ABCD 平行四邊形 所以此題選(C)

已知 已知 已知

等腰梯形定義

已知 已知 如圖所示

已知 已知

兩組對邊相等為平行四邊形定理

例題 6.2-35：

如下圖，若△ABC 與△ACD 皆為正三角形，則四邊形 ABCD 為下列何者？

(A) 長方形 (B) 正方形 (C) 平行四邊形 (D) 梯形

想法：1. 一組對邊平行的四邊行為梯形 2. 可以判斷平行四邊形之方法有：

(1) 根據平行四邊形之定義：兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形 (2) 兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形

(3) 一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形 (4) 兩組對角相等的四邊形為平行四邊形

(5) 對角線互相平分的四邊形為平行四邊形 3. 四個角皆為直角的平行四邊形為長方形 4. 四邊等長的長方形為正方形

解：

敘述 理由

(1) △ABC 與△ACD 中 (2) ∠BAC＝∠DCA＝60°

(3) ∠BCA＝∠DAC＝60°

(4) 所以 ∥

(5) 所以 ∥

(6) 所以 ABCD 為平行四邊形

(7) 所以此題選(C)

如圖所示

已知△ABC 與△ACD 皆為正三角形 已知△ABC 與△ACD 皆為正三角形 由(2) ∠BAC＝∠DCA ＆

內錯角相等的兩直線互相平行 由(3) ∠BCA＝∠DAC ＆ 內錯角相等的兩直線互相平行

由(4) ＆ (5) 兩組對邊平行的四邊形為 平行四邊形

定義 6.2-1 全等形

兩個可以完全重合的圖形就叫做全等形。

定理 6.2-7 平行四邊形全等定理

一平行四邊形的兩邊及其夾角若分別等於另一平行四邊形的兩邊及其夾 角，則此二平行四邊形全等。

I B C

A D E J

F

圖 6.2-7

已知：如圖 6.2-7，ABCD 及 EFIJ 為兩平行四邊形， ＝ ， ＝ 且

∠BAD＝∠FEJ

求證：ABCD 及 EFIJ 為兩全等平行四邊形。

想法：利用移形公理，證明兩平行四邊形完全重合。

證明：

敘述 理由

(1) 將平行四邊形 ABCD 移至平行四邊 形 EFIJ 上，使 與 重合， 與

重合。

(2) B 點與 F 點重合，D 點與 J 點重合。

(3) 與 重合。

(4) 與 重合。

(5) C 點與 I 點重合。

(6) 平行四邊形 ABCD 與平行四邊形 EFIJ 完全重合。

(7) 所以 ABCD 及 EFIJ 為兩全等平行 四邊形。

移形公理 ＆ 已知 ＝ ， ＝ 且

∠BAD＝∠FEJ。

由(1) 與 重合， 與 重合。

過 B 點只有 ∥ ＆ 過 F 點只有 ∥ 。 過 D 點只有 ∥ ＆ 過 J 點只有 ∥ 。

由(3) ＆ (4)相異兩線相交只有一交點。

由(1)~(5)，兩平行四邊形的四邊完全 重合。

全等形定義。

Q. E. D.

定理 6.2-8 三角形兩邊中點連線定理

三角形的兩邊中點連線必平行第三邊且等於第三邊的一半。

O

M N

J

K L

圖 6.2-8

已知：如圖 6.2-8，△JKL 中，M 為 的中點，N 為 的中點。

求證： ∥ 且 ＝1

2

想法：延長 至 O 點，使 ＝2 ，然後證明 LKMO 為平行四邊形，

利用平行四邊形對邊相等質可得 ＝ ，所以 ∥ 且 ＝1 2 。 證明：

敘述 理由

(1) 延長 至 O 點，使 ＝ ， 即 ＝1

2

(2) 連接 L 點與 O 點

(3) 在△JNM 與 △LNO 中

＝

∠JNM＝∠LNO

＝

(4) △JNM △LNO (5) ∠JMN＝∠LON (6) 所以 ∥

(7) ＝ (8) ＝

延長線作圖

過兩點可作一直線 如圖所示

由(1)作圖 ＝ 對頂角相等 已知 N 為 中點

由(3) ＆ 根據 S.A.S. 三角形全等性質 由(4) ＆ 全等三角形對應角相等 由(5) ＆ 內錯角相等的兩線互相平行 由(4) ＆ 全等三角形對應邊相等 已知 M 為 中點

(9) ＝

(10) 四邊形 MKLO 中

∥ 且 ＝

(11) 所以 MKLO 為平行四邊形

(12) ∥ ( 即 ∥ ) (13) ＝

(14) ＝1 2

(15) 所以 ∥ 且 ＝1 2

由(7) ＆ (8) 遞移律 如圖所示

由(6) ∥ ＆ (9) ＝

由(10) ＆一組對邊平行且相等的四邊形 為平行四邊形定理

由(11) ＆ 平行四邊形的對邊平行 由(11) ＆ 平行四邊形的對邊等長 由(1) ＝1

2 ＆ (13) ＝ 由(12) ∥ ＆ (14) ＝1 2

Q. E. D.

例題 6.2-36：

如下圖，△ABC 中，D、E 分別是 及 的中點。若 ＝6，則 ＝______。

想法：三角形的兩邊中點連線等於第三邊的一半 解：

敘述 理由

(1) △ABC 中，

D、E 分別是 、 的中點 (2) ＝

2 1 ＝

2

1×6＝3

如圖所示 已知

由(1) ＆ 三角形的兩邊中點連線等於 第三邊的一半 ＆ 已知 ＝6

例題 6.2-37：

如下圖，△ABC 中，已知 D、E 分別是 、 的中點。若 ＝5，

∠B＝40°，∠A＝80°，則：

(1) ＝？ (2) ∠AED＝？

想法：三角形的兩邊中點連線必平行第三邊且等於第三邊的一半 解：

敘述 理由

(1) △ABC 中，

D、E 分別是 、 的中點 (2) ∥ ＆ ＝

2 1

(3) 所以 ＝2 ＝2×5＝10 (4) △ABC 中，

∠A＋∠B＋∠C＝180°

(5) 80°＋40°＋∠C＝180°

(6) ∠C＝180°－80°－40°＝60°

(7) ∠AED＝∠C＝60°

如圖所示 已知

由(1) ＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半

由(2) ＝ 2

1 ＆ 已知 ＝5

如圖所示

三角形內角和 180°

由(4) ＆ 已知 ∠A＝80°，∠B＝40°

由(5) ＆ 移項

由(2) ∥ 已證 ＆ 同位角相等

＆ (6) ∠C＝60° 已證

例題 6.2-38：

如下圖，△ABC 中，F、G 分別為 及 的中點，D、E 分別為 及 的中點。若 ＝12，則 ＋ ＝______。

想法：三角形的兩邊中點連線等於第三邊的一半 解：

敘述 理由

(1) △ABC 中，

F、G 分別是 、 的中點 (2) ＝

2 1 ＝

2

1×12＝6

(3) △AFG 中，

D、E 分別是 、 的中點 (4) ＝

2

1 ＝

2

1×6＝3

(5) ＋ ＝6＋3＝9

如圖所示 已知

由(1) ＆ 三角形的兩邊中點連線等於 第三邊的一半 ＆ 已知 ＝12 如圖所示

已知

由(3) ＆ 三角形的兩邊中點連線等於 第三邊的一半 ＆ (2) ＝6 已證 由(2) ＝6 ＆ (4) ＝3 已證

例題 6.2-39：

如下圖，有一三角形的荷花池 ABC，取三邊中點 D、E、F，建三座橋 、 、 。已知橋的長度 ＝6 公尺， ＝5 公尺， ＝4 公尺，

那麼 ＋ ＋ ＝？

想法：三角形的兩邊中點連線等於第三邊的一半 解：

敘述 理由

(1) △ABC 中

D、E 分別是 、 的中點 (2) ＝

2 1

(3) 6＝

2 1

(4) ＝2×6＝12 公尺 (5) △ABC 中

E、F 分別是 、 的中點 (6) ＝

2 1

(7) 4＝

2 1

(8) ＝2×4＝8 公尺 (9) △ABC 中

D、F 分別是 、 的中點

如圖所示 已知

由(1) ＆ 三角形的兩邊中點連線等於 第三邊的一半

由(2) ＆ 已知 ＝6 公尺 由(3) 等式兩邊同乘以 2 如圖所示

已知

由(5) ＆ 三角形的兩邊中點連線等於 第三邊的一半

由(6) ＆ 已知 ＝4 公尺 由(7) ＆ 等式兩邊同乘以 2 如圖所示

已知

(10) ＝ 2 1

(11) 5＝

2 1

(12) ＝2×5＝10 公尺 (13) 所以 ＋ ＋

＝8 公尺＋12 公尺＋10 公尺 ＝30 公尺

由(9) ＆ 三角形的兩邊中點連線等於 第三邊的一半

由(10) ＆ 已知 ＝5 公尺 由(11) ＆ 等式兩邊同乘以 2 由(4) ＆ (8) ＆ (12) 加法

例題 6.2-40：

如下圖所示，已知 D、E、F 分別是 、 、 的中點， ＝80，

＝88， ＝72，則 ＋ ＋ ＋ ＝？

想法：三角形的兩邊中點連線必平行第三邊且等於第三邊的一半 解：

敘述 理由

(1) △ABC 中

D、F 分別是 、 的中點 (2) ∥ ＆ ＝

2 1 ＝

2

1×88＝44

(3) D、E 分別是 、 的中點 (4) ∥ ＆ ＝

2

1 ＝

2

1×72＝36

(5) 四邊形 DECF 中

∥ ＆ ∥ (6) DECF 為平行四邊形

(7) ＝ ＝44 ＆ ＝ ＝36

(8) 所以 ＋ ＋ ＋ ＝44＋36＋44＋36＝160

如圖所示 已知

由(1) ＆ 三角形的兩邊中點連線 平行等於第三邊的一半 ＆ ＝88 已知

由(3) ＆ 三角形的兩邊中點連線 平行等於第三邊的一半 ＆ ＝72 如圖所示

由(2) ∥ ＆(4) ∥ 已證 由(5)＆兩組對邊平行為平行四邊形 由(6) ＆ 平行四邊形兩組對邊相等

＆ (2) ＝44 ＆ (4) ＝36 由(7) 加法

例題 6.2-41： (四邊形四邊中點連線所成的四邊形為平行四邊形)

如下圖，E、F、G、H 是四邊形 ABCD 四邊的中點。若四邊形 ABCD 的對 角線和為 68，則：

(1) 四邊形 EFGH 為何種四邊形？

(2) ＋ ＋ ＋ ＝？

想法：三角形的兩邊中點連線必平行第三邊且等於第三邊的一半

圖(a) 解：

敘述 理由

(1) 連接 A 點與 C 點，連接 B 點與 D 點，

且 與 相交於 I 點，如上圖(a)所示 (2) ＋ ＝68

(3) △ABD 中

∥ ＆ ＝ 2 1

兩不平行直線必相交於一點

已知四邊形 ABCD 的對角線和為 68 如圖所示

已知 E、H 分別是 、 的中點

＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半

(4) △CBD 中

∥ ＆ ＝ 2 1

(5) △ABC 中

∥ ＆ ＝ 2 1

(6) △ACD 中

∥ ＆ ＝ 2 1

(7) ∥ ∥ ＆ ∥ ∥

(8) 所以四邊形 EFGH 為平行四邊形

(9) 所以 ＋ ＋ ＋ ＝

2

1 ＋

2 1 ＋

2

1 ＋

2 1 ＝ ＋ ＝68

如圖所示

已知 F、G 分別是 、 的中點

＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 如圖所示

已知 E、F 分別是 、 的中點

＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 如圖所示

已知 G、H 分別是 、 的中點

＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 由(3) ∥ 、(4) ∥ ＆ (5) ∥ 、(6) ∥ 遞移律 由(7) ∥ ＆ ∥ ＆ 兩組對邊平行為平行四邊形 題目所求

由(3) ＝ 2

1 、(4) ＝ 2 1

(5) ＝ 2

1 、(6) ＝ 2 1

＆ (2) ＋ ＝68

例題 6.2-42： (平行四邊形四邊中點連線所成的四邊形為平行四邊形)

如下圖，E、F、G、H 是平行四邊形 ABCD 四邊的中點。若平行四邊形 ABCD 的對角線和為 48，則：

(1) 四邊形 EFGH 為何種四邊形？

(2) ＋ ＋ ＋ ＝？

想法：三角形的兩邊中點連線必平行第三邊且等於第三邊的一半

圖(a) 解：

敘述 理由

(1) 連接 A 點與 C 點，連接 B 點與 D 點，

且 與 相交於 I 點，如上圖(a)所示 (2) ＋ ＝48

(3) △ABD 中

∥ ＆ ＝ 2 1

(4) △CBD 中

∥ ＆ ＝ 2 1

兩不平行直線必相交於一點

已知四邊形 ABCD 的對角線和為 48 如圖所示

已知 E、H 分別是 、 的中點

＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 如圖所示

已知 F、G 分別是 、 的中點

＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半

(5) △ABC 中

∥ ＆ ＝ 2 1

(6) △ACD 中

∥ ＆ ＝ 2 1

(7) ∥ ∥ ＆ ∥ ∥

(8) 所以四邊形 EFGH 為平行四邊形

(9) 所以 ＋ ＋ ＋ ＝

2

1 ＋

2 1 ＋

2

1 ＋

2 1 ＝ ＋ ＝48

如圖所示

已知 E、F 分別是 、 的中點

＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 如圖所示

已知 G、H 分別是 、 的中點

＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 由(3) ∥ 、(4) ∥ ＆ (5) ∥ 、(6) ∥ 遞移律 由(7) ∥ ＆ ∥ ＆ 兩組對邊平行為平行四邊形 題目所求

由(3) ＝ 2

1 、(4) ＝ 2 1

(5) ＝ 2

1 、(6) ＝ 2 1

＆ (2) ＋ ＝48

例題 6.2-43： (矩形四邊中點連線所成的四邊形為菱形)

如下圖，E、F、G、H 是矩形 ABCD 四邊的中點。若矩形 ABCD 的對角線 和為 24，則：

(1) 四邊形 EFGH 為何種四邊形？

(2) ＋ ＋ ＋ ＝？

想法：三角形的兩邊中點連線必平行第三邊且等於第三邊的一半

圖(a) 解：

敘述 理由

(1) 連接 A 點與 C 點，連接 B 點與 D 點，

且 與 相交於 I 點，如上圖(a)所示 (2) ＋ ＝24

(3) ＝

(4) △ABD 中

∥ ＆ ＝ 2 1

兩不平行直線必相交於一點

已知四邊形 ABCD 的對角線和為 24 已知 ABCD 為矩形 ＆ 矩形對角線 相等

如圖所示

已知 E、H 分別是 、 的中點

＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半

(5) △CBD 中

∥ ＆ ＝ 2 1

(6) △ABC 中

∥ ＆ ＝ 2

1 ＝

2 1

(7) △ACD 中

∥ ＆ ＝ 2 1 ＝

2 1

(8) ∥ ∥ 、 ∥ ∥ ＆

＝ ＝ ＝ ＝

2 1

(9) 所以四邊形 EFGH 為菱形

(10) 所以 ＋ ＋ ＋ ＝

2

1 ＋

2 1 ＋

2

1 ＋

2 1 ＝ ＋ ＝24

如圖所示

已知 F、G 分別是 、 的中點

＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 如圖所示

已知 E、F 分別是 、 的中點

＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 ＆ (3) ＝

如圖所示

已知 G、H 分別是 、 的中點

＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 ＆ (3) ＝

由(4)、(5)、(6) ＆ (7) 遞移律

由(8) ∥ 、 ∥ 、

＝ ＝ ＝

＆ 四邊等長的平行四邊形為菱形 題目所求

由(4) ＝ 2

1 、(5) ＝ 2 1

(6) ＝ 2

1 、(7) ＝ 2 1

＆ (2) ＋ ＝24

例題 6.2-44： (菱形四邊中點連線所成的四邊形為矩形)

如下圖，E、F、G、H 是菱形 ABCD 四邊的中點。若菱形 ABCD 的對角線 和為 36，則：

(1) 四邊形 EFGH 為何種四邊形？

(2) ＋ ＋ ＋ ＝？

想法：三角形的兩邊中點連線必平行第三邊且等於第三邊的一半

圖(a) 解：

敘述 理由

(1) 連接 A 點與 C 點，連接 B 點與 D 點，

且 與 相交於 I 點，如上圖(a)所示

不平行的兩直線必相交於一點

(2) ＋ ＝36 (3) ⊥

(4) △ABD 中

∥ ＆ ＝ 2 1

(5) △CBD 中

∥ ＆ ＝ 2 1

(6) △ABC 中

∥ ＆ ＝ 2 1

(7) △ACD 中

∥ ＆ ＝ 2 1

(8) ∥ ∥ 、 ∥ ∥

(9) 四邊形 EFGH 為平行四邊形

(10) ⊥ 、 ⊥ 、 ⊥ 、

⊥

(11) 所以四邊形 EFGH 為矩形

(12) 所以 ＋ ＋ ＋ ＝

2

1 ＋

2

1 ＋

2 1 ＋

2 1 ＝ ＋ ＝36

已知四邊形 ABCD 的對角線和為 36 已知 ABCD 為菱形 ＆ 菱形對角線 互相垂直且平分

如圖所示

已知 E、H 分別是 、 的中點

＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 如圖所示

已知 F、G 分別是 、 的中點

＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 如圖所示

已知 E、F 分別是 、 的中點

＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 如圖所示

已知 G、H 分別是 、 的中點

＆ 三角形的兩邊中點連線必平行 第三邊且等於第三邊的一半 由(4) ∥ 、(5) ∥ ＆ (6) ∥ 、(7) ∥ 遞移律 由(8) ∥ 、 ∥

＆ 兩組對邊平行為平行四邊形

由(8) ∥ ∥ 、 ∥ ∥

＆ (3) ⊥

由(9)、(10) ＆ 四個角皆為直角的 平行四邊形為矩形

題目所求 由(4) ＝

2

1 、(5) ＝ 2 1

(6) ＝ 2

1 、(7) ＝ 2 1

例題 6.2-45： (正方形四邊中點連線所成的四邊形為正方形)

如下圖，E、F、G、H 是正方形 ABCD 四邊的中點。若正方形 ABCD 的對 角線和為 56，則：

(1) 四邊形 EFGH 為何種四邊形？

(2) ＋ ＋ ＋ ＝？

想法：三角形的兩邊中點連線必平行第三邊且等於第三邊的一半

圖(a) 解：

敘述 理由

(1) 連接 A 點與 C 點，連接 B 點與 D 點，

且 與 相交於 I 點，如上圖(a)所示 (2) ＋ ＝56

(3) ⊥ 且 ＝

不平行兩直線必相交於一點

已知四邊形 ABCD 的對角線和為 56 已知 ABCD 為正方形 ＆

正方形對角線互相垂直 ＆ 正方形兩對角線相等